搜档网
当前位置:搜档网 › 关于高等数学函数极限与连续习题及答案

关于高等数学函数极限与连续习题及答案

关于高等数学函数极限与连续习题及答案
关于高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数

()12

++=x x

x f 与函数()11

3--=x x x g 相同.

错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。

∴()12

++=x x x f 与()11

3--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与

()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大.

错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在.

错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞

→lim ,a a n n =∞

→lim .

错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim =-∞

→n n ,但n n )1(lim -∞

→不存在。

5、如果()A x f x =∞

→lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小).

正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo .

正确 ∵1lim =α

β

,是

∴01lim lim =??

?

??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小.

正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim

2

02

2020=?????

? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01

sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x

x x x x x x .

错误 ∵x

x 1

sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x x

x =??

?

??+→11lim 0

错误 ∵e x x

x =??

?

??+∞

→11lim

10、点0=x 是函数x

x

y =的无穷间断点.

错误 =-→x x x 00lim

1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x

x x ∴点0=x 是函数x

x

y =的第一类间断点.

11、函数()x f x

1

=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.

错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质,()x f x

1

=

在0=x 处不连续 ∴函数()x f x

1

=

在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值 二、填空题:

1、设()x f y =的定义域是()1,0,则

(1)()x e f 的定义域是( (,0)-∞ );

(2)()x f 2sin 1-的定义域是( ,()2x x k x k k Z πππ?

?≠≠+∈???

?

);

(3)()x f lg 的定义域是( (1,10) ). 答案:(1)∵10<

(3)∵1lg 0<

2、函数()??

?

??≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是( (]4,2- ).

3、设()2sin x x f =,()12+=?x x ,则()[]=?x f ( ()2

21sin +x ).

4、n

x

n n sin lim ∞

→=( x ).

∵x x n

x n x

n n x n x n n n n =?==∞→∞→∞→sin

lim 1

sin

lim

sin lim 5、设()11cos 1121

1x

x x f x x x x π-<-???

=-≤≤??

->??,则()10lim x f x →--=( 2 )

,()=+→x f x 01lim ( 0 ). ∵()10

10

lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=,()()01lim lim 0

101=-=+→+→x x f x x

6、设()?????=≠-=00

cos 12x a

x x x x f ,如果()x f 在0=x 处连续,则=a ( 21 ).

∵21cos 1lim 20=-→x x x ,如果()x f 在0=x 处连续,则()a f x

x x ===-→021

cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点,则()=→x f x x 0

lim ( ()0x f ).

∵初等函数()x f 在定义区间内连续,∴()=→x f x x 0

lim ()0x f

8、函数()

2

11

-=x y 当x →( 1 )时为无穷大,当x →( ∞ )时为无穷小.

∵()

∞=-→2

1

11

lim

x x ,()

011

lim

2

=-∞

→x x

9、若(

)

01lim

2=--+-+∞

→b ax x x x ,则=a ( 1 ),=b ( 2

1

-

). ∵

(

)b ax x x

x --+-+∞

→1lim

2

(

)(

)

(

)

b

ax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞

→111lim 222

欲使上式成立,令012

=-a ,∴1a =

±,

上式化简为

()

()()2

211212112lim lim lim

1x x x b

ab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =,021=+ab ,1

2b =-

10、函数()x

x f 111

+=

的间断点是( 1,0-==x x ). 11、()342

22+--+=x x x x x f 的连续区间是( ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ).

12、若2sin 2lim =+∞→x x

ax x ,则=a ( 2 )

. ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=??? ?

?

+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim ( 0 )

,=∞→x

x x 1

sin lim ( 1 ), ()=-→x x x 101lim ( 1

-e )

,=??? ?

?+∞→kx

x x 11lim ( k e ). ∵0sin 1lim sin lim =?=∞→∞→x x x

x x x 111sin

lim

1sin lim ==∞→∞→x

x x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞

=( 不存在 ),lim sin(arccot )x x →+∞

=( 0 )

三、选择填空:

1、如果a x n n =∞

→lim ,则数列n x 是( b )

a.单调递增数列 b .有界数列 c .发散数列 2、函数()()

1log 2++=x x x f a 是( a )

a .奇函数

b .偶函数

c .非奇非偶函数

()()

1

1log 1)(log 2

2++=+-+-=-x x x x x f a

a

3、当0→x 时,1-x e 是x 的( c )

a .高阶无穷小

b .低阶无穷小

c .等价无穷小

4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤(M 是正数),则函数()x f 在该邻域内

( c )

a .极限存在

b .连续

c .有界

5、函数()x f x

-=

11

在( c )条件下趋于∞+. a .1→x b .01+→x c .01-→x

6、设函数()x f x

x

sin =,则()=→x f x 0lim ( c )

a .1

b .-1

c .不存在 ∵1sin lim sin lim

sin lim

000000-=-=-=-→-→-→x

x x x x x

x x x

根据极限存在定理知:()x f x 0

lim →不存在。

7、如果函数()x f 当0x x →时极限存在,则函数()x f 在0x 点( c )

a .有定义

b .无定义

c .不一定有定义

∵()x f 当0x x →时极限存在与否与函数在该点有无定义没有关系。

8、数列1,1,21,2,31,3,…,n

1,n ,…当∞→n 时为( c ) a .无穷大 b .无穷小 c .发散但不是无穷大

9、函数()x f 在0x 点有极限是函数()x f 在0x 点连续的( b )

a .充分条件

b .必要条件

c .充分必要条件 10、点0=x 是函数1arctan x

的( b )

a .连续点

b .第一类间断点

c .第二类间断点

∵00

1lim arctan 2

x x π→-=- 00

1lim arctan 2

x x π

→+=

根据左右极限存在的点为第一类间断点。 11、点0=x 是函数x

1

sin 的( c )

a .连续点

b .第一类间断点

c .第二类间断点 四、计算下列极限:

1、()n

n n

n 31lim -+∞→ 解 ()3

1))1(3131(lim 31lim =-?+=-+∞→∞→n n n n n n

n 2、0tan 3lim

sin 2x x

x

解 0tan 3lim sin 2x x x →2

3

23lim 0==→x x x (∵x x 2sin ,0→~2,tan3x x ~x 3) 3、??

? ??+--+∞

→x x x x x lim

4、(

)

n n n n n --++∞

→221lim

解 ()()()n

n n n n

n n n

n

n n n

n n

n n

n n -+++-+++--++=--++∞

→∞

→2222

22

2

2

111lim

1lim

5、x

x x x x sin lim 2

300+++→

6、11sin lim 20

-+→x x

x x 7、1

1

lim 0

--→x x x

8、1lim

1

--→x x

x x

9、3

0tan sin lim x x x

x →-

(∵

2

10,1cos 2x x x →-:,sin x :)

10、x

x x 2cos 1lim

0--→

()2

122

1lim

2cos 1lim

20

00

0-

==--→-→x x x

x x x

(∵x x cos 1,0-→~22

1x )

11、1lim 1x

x x x →∞-??

?+??

1

21111lim lim 111x

x x x x x e x x e e x -→∞→∞??

- ?-????=== ?+????+ ???

12、??

? ?

?+∞

→x x x 11ln lim

解 ???

??+∞→x x x 11ln lim 111lim ln 11ln lim =??? ?

?+=??? ??+=∞→∞→x

x x

x x x 13、x

x x

x x cos cos lim

+-∞→

解 cos 1cos lim lim 1cos cos 1x x x x x x x x x x

→∞→∞-

-==++

14、??

?

??---→1112lim 21x x x 解 2211121111lim lim lim 11112x x x x x x x x →→→-??-==-=- ?---+?

? 15

、x 解

lim lim 1x x →∞→∞==16、x x x cos 1sin lim 0

0-+→ 解

000000sin sin lim lim lim x x x x x x →+→+→+===

17、()???

? ??+++?+?∞

→11321211lim n n n Λ 解 ()???? ??+++?+?∞→11321211lim n n n Λ

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( ); 若f(x1)>f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞) 周期:T——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c为常数) 2.幂函数: y=x n , (n为实数) 3.指数函数: y=a x , (a>0、a≠1) 4.对数函数: y=log x ,(a>0、a≠1) a 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同. 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ,a a n n =∞ →lim . 错误 如:数列()n n a 1-=,1)1(lim =-∞ →n n ,但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim =α β ,是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2x 是同阶无穷小. 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x . 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 . 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点. 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点. 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (i )若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (ii )若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在: (i )数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (ii ) A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 (v )两边夹挤准则(夹逼定理/夹逼原理) (vi )柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下:

1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (i )“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后,就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或;) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法,即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=,这样就能把幂上的函数移下来了,变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候,含有正余弦的加减的时候) 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ; cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成

求极限的常用方法典型例题

求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则; (2) 利用两个重要极限; (3) 利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量); (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限: (1)x x x 33sin 9lim 0-+→ (2)1)1sin(lim 21--→x x x (3)x x x 1 0)21(lim -→ (4)2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ (5))1 1e (lim 0-+→x x x x 解(1)对分子进行有理化,然后消去零因子,再利用四则运算法则和第一重要极限计算,即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? (2)利用第一重要极限和函数的连续性计算,即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= (3)利用第二重要极限计算,即 x x x 1 0)21(lim -→=2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 (4)利用无穷小量的性质(无穷小量乘以有界变量还是无穷小量)计算,即

222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注:其中当∞→x 时,x x x x sin 1sin =,)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量,即它们还是无穷小量。 (5) 利用函数的连续性计算,即 )11e (lim 0-+→x x x x =11 01e 00-=-+?

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x , 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1, x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),且 f (0 ) 0, f (1) a , 求 f (0 )及 f ( n).(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数,小数第 3 位起以后所有数全部舍去,试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 , 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元,而零售价为 0.40 元,并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ,只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ,而 销 售 量 为 x 份 ,试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数,试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x , 问 在 0 , 上 f ( x ) 是 否 有 界 ? 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA , 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 , 0 x ; x , x ; 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) . x x 4 x x , . , . 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1, x 0 ; ( x ) 2 x 1, 求 f ( x ) 及 f ( x) . 1 , x 0 . e x , x ; 0 , x 0 ; 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) . x x ( x) x 2, x 0 , . . 1 x ) , ( x ) x , x 0 ; 求 f ( x ) . 设 f ( x )( x x 2 , x 2 0 . 2 x , x 0 ; 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0. . 2 , 0 , x ; x , x ; ( x ) 求 f ( x) ( x ). 设 f ( x ) x , x 0 . x , x . 1

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点: (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素:定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件,无此条件,函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系,“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系,但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则,“f”是一个记号,不是一个数,不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的,则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式,表示函数还可以用其他的形式,不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号,f(a)是函数值的记号,是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数,当其定义域相同,对应法则一样时,此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性: 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点: (1) 并不是函数都具有这些特性,而是在研究函数时,常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”,与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数,其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数,则f(0)=0。存在着既是奇函数,又是偶函数的函数,例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期,但不是任何周期函数都有最小周期。

高等数学求极限的14种方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要:设 A x f x x =→)(lim 0 , (1)若A 0>,则有0>δ,使得当δ<-<||00x x 时,0)(>x f ; (2)若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时,0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限,其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在: (1)数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论,即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” (2)A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 (5)两边夹挤准 (夹逼定理/夹逼原理) (6) 柯西收敛准则(不需要掌握)。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是: ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时,恒有、使得当 二.解决极限的方法如下: 1.等价无穷小代换。只能在乘除.. 时候使用。例题略。 2.洛必达(L ’hospital )法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近,而不是N 趋近,所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限,数列极限的n 当然是趋近于正无穷的,不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在,假如告诉f (x )、g (x ),没告诉是否可导,不可直接用洛必达法则。另外,必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况: (1)“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”,应为无穷大和无穷小成倒数的关系,所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

高等数学1.3-函数的极限

第三节 函数的极限(一) 教学目的:(1)理解函数极限和左、右极限的概念; (2)理解无穷小概念,掌握其性质 教学重点:函数极限的概念,无穷小概念 教学难点:函数极限的概念的理解与应用 教学方法:讲授法 教学时数:2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数,然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1)+∞→x 时的极限: +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”,表示x 无限增加,0x > . 例:对于x x f 1)(= ,当自变量+∞→x 时,x x f 1 )(=与常数0无限接近 . 复习数列极限的定义:数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε,N ?,N n >时,ε<-a x n . 令()n f x n =,则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε,N ?,当N n >时,()ε<-a n f .将n 换成连续变量x ,将a 改记为A ,就可以得到x →+∞时,()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 . 定义3.1:设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X >时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限,记作()lim x f x A →+∞ =, 或()A x f →,(x →+∞) . 几何意义:对任意给定的0ε>,在轴上存在一点X ,使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 . 2)x →-∞时的极限: x →-∞读作“x 趋于负无穷大”,表示x 无限增加,0x < . 定义:设函数)(x f 在),(a -∞内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X <-时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限,记作()lim x f x A →-∞ =

最全大学高等数学函数、极限和连续(新)

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( ); 若f(x 1)>f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c 为常数) 2.幂函数: y=x n , (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

考研数学高数公式:函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(,求)(x f 的定义域及值域。 ,,,且成立,对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数.及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x f 表示将x 之值保留二位小数,小数第3位起以后所有数全部舍去,试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数,试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元,而零售价为0.40元,并且如果报纸当天未售出不能退给报社,只好亏本。若每天进报纸t 份,而销售量为x 份,试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数,试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设,问在,上是否有界?f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线,写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=., ; ,.,;, 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][].及求)()(x f x f ?? [][]设,; ,. ,求及.f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=. ,; ,., ;,设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x [].及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设,,;,.求.f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设,; , .求.f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 .求.,; ,.,;,设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有 (A ) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C ) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D ) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2.设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则 (A ) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B ) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C ) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. (D ) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. 3.设f (x)=x x 1 -,x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ) 1-x B ) x -11 C ) X 1 D ) x 4.下列各式正确的是 ( ) A ) lim + →x )x 1 +1(x =1 B ) lim + →x )x 1 +1(x =e C ) lim ∞ →x )x 1 1-(x =-e D ) lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5.已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ( )。 A.1; B.∞; C.3ln ; D.3ln 2。 6.极限:=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1; B.∞; C.2 -e ; D.2 e 7.极限:∞ →x lim 3 32x x +=( ) A.1; B.∞; C.0; D.2. 8.极限:x x x 11lim 0-+→=( ) A.0; B.∞; C 2 1; D.2.

高数数学极限总结

函数极限总结 一.极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N 定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二.极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限:设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数 ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式: 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限,记作。[2] 单侧极限:?.左极限:或 ?.右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例,f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值f(x)都满足不 等式:|f(x)-A|<ε,那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列,及满足以下条件: (1)从某项起,即,当时,有; (2);, 那么数列的极限存在,且 准则Ⅰ'如果(1)当(或)时, (2) ,, 那么存在,且等于。 夹逼定理:(1)当时,有??成立 (2) ?,那么,极限存在,且等于A 【准则Ⅰ,准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

高等数学(函数及极限)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;

高等数学(函数与极限)完全归纳笔记

目录: 函数与极限 (1) 1、集合的概念 (1) 2、常量与变量 (2) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (9) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

高等数学-函数与极限-教案.

第一章 函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系 式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极 限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a M.

集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A ={a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A ={a 1, a 2, ? ? ?, a n }, M ={x | x 具有性质P }. 例如M ={(x , y )| x , y 为实数, x 2+y 2=1}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N ={0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. N +={1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z ={? ? ?, -n , ? ? ?, -2, -1, 0, 1, 2, ? ? ?, n , ? ? ?}. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x ∈A , 则必有x ∈B , 则称A 是B 的子集, 记为A ?B (读作A 包含于B )或B ?A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A ?B 且B ?A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A =B . 若A ?B 且A ≠B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R . 不含任何元素的集合称为空集, 记作?. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 或x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A ?B , 即 A ? B ={x |x ∈A 且x ∈B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B ={x |x ∈A 且x ?B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A ?B =B ?A , A ?B =B ?A ; (2)结合律 (A ?B )?C =A ?(B ?C ), (A ?B )?C =A ?(B ?C ); (3)分配律 (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C ), (A ?B )?C =(A ?C )?(B ?C );

相关主题