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相似三角形分类讨论类

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相似三角形分类讨论类

相似三角形中分类讨论的数学思想(汤杰)

讨论标志一:当两个三角形不用相似符号对应联立的问题

1?在直角三角形ABC中,/ B=90。,点D在边BC上,过点D的直线将直角三角形

ABC分成一个三角形和一个四边形,得

到的小三角形与原三角形相似,这样的直线可以画几条并画出示意图。

2. (2013,永州)如图,已知AB BD , CD BD

(1 )若AB=9 , CD=4 , BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、的三

角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似若存在,求BP的长;若理由;

(2)若AB=9 , CD=4 ,

BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、点的三角形与以P、C、D三点

为顶点的三角形相似并求BP的长;

(3)若AB=9 , CD=4 ,

BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、点的三角形与以P、C、D三点为顶

点的三角形相似并求BP的长;

(4)若AB= m , CD= n , BD= l,请问m, n,丨满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点两个P点三个P点

3 (2014?武汉)如图,Rt A ABC中,/ ACB=90°, AC=6cm, BC=8cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5cm的速度向

点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动,运动时间为

t秒(0v t V2),连接PQ.( 1 )若厶BPQ与厶ABC相似,求t的值;

(2)连接AQ, CP,若AQ丄CP求t的值;

4. (2014?益阳)如图,在四边形ABCD 中,AB // CD , AD 丄AB ,Z B=60 ° AB=10 , BC=4,点P 沿线

段AB从点A向点B运动,设AP=x. (1 )求AD的长;(2)点P在运动过程中,是否存在以A、P、D 为顶点的三

角形与以P、C、B为顶点的三角形相似若存在,求出x的值;若不存在,请说明理由;

(2013徐州中考)

讨论标志二:利用相似三角形解决等腰三角形的讨论问

题。

1.(2014?黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ ABC中,/ ACB=90 ° AC=8 , BC=6 , CD丄AB于点D .点P从点D出发,沿线段DC

向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止?设运动时间为t秒.

(1)求线段CD的长;

(2)当t为何值时,△ CPQ为等腰三角形

3.讨论标志三:利用相似三角形解决直角三角形的讨论问题

如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=4, OC=2 .点P从点O出发,沿x轴以每秒1个单位长的速度向点 A 匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.将线段CP 的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D,点D随点P的运动而运动,连接

(1)请用含t的代数式表示出点D的坐标;

(2)求t为何值时,△ DPA的面积最大,最大为多少

B X0Q A C

DP、DA.

y*

(3)在点P从O向A运动的过程中,△ DPA能否成为直角三角形若能,求若不

能,请说明理由;

4.分类讨论标志四:利用相似三角形解决直线与圆的相切问题

(2013?广安)雅安芦山发生7.0级地震后,某校师生准备了一些等腰直角三角形纸片,从每张纸片中剪出一个半圆制作玩具,寄给灾区的小朋友?已知如图,是腰长为4的等腰直角三角形ABC,要求剪出的半圆的直径在△ ABC的边上, 且半圆的弧与△ ABC的其他两边相切,并求出相应半圆的半径(结果保留根号)

(补充平面直角坐标系动圆与坐标轴相切问题) t的值.

B三点为顶点不

存在,请说明

A、B三点为顶

A、B三点为顶

相似三角形分类整理超全

第一节:相似形与相似三角形 基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理) (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得:AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即b a =d c ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么ad=b c 。如果ad=bc (a ,b ,c , d 都不等于0),那么 d c b a =。 ②合比性质:如果 d c b a =,那么d d c b b a ±=±。

(精心整理)相似三角形分类讨论

D C B A D C B A C B A C B A C B C P 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新: 1. 已知△ABC 的三边长分别是4、6、8,△DEF 的一条边为24,如果△DEF 与△ABC 相似,则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9:25,其中一个三角形一边上的高是6,那么另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段AB=2,P 是线段AB 的黄金分割点,则AP 的长为 问题:什么是分类讨论?为什么要分类? 二、新知学习: 题组一: 1.例1.如图所示,在ABC ?中,AB=6,AC=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交AB 于点Q ,若使APQ ?与ABC ?相似,则AQ 的长为 2.变式一:如图所示, 在ABC ?中,P 是AC 上一点,过P 点的直线截ABC ?交AB 于点Q ,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线有 条. 3. 变式二:如图所示,在ABC ?中,P 是AC 上一点,过P 点的直线截ABC ?,使截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线最多有 条. 探究:如果ABC ?是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗?等腰三角形呢? 题组二: 1.例2: 己知菱形ABCD 的边长是3,点E 在直线AD 上,DE =1,联结BE 与对角 线AC 相交于点M ,则MC AM = C B C B C B

2.变式一: 等腰ABC 中,AB=AC=10,BC=16,点P 在BC 边上,若PA 与腰垂直,则BP= . 3. 变式二: 在△ABC 中∠B=25°,AD 是BC 边上的高,并且AD 2=BD ·DC,则∠BCA= . 题组三 1.在矩形ABCD 中,AB=4,AD=5,P 是射线BC 上的一个动点,作PE ⊥AP ,PE 交射线DC 于点E ,射线AE 交射线BC 于点F ,设BP=x ,CE=y .求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域;(点P 与点B 、C 都不重合), 2.已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E 是射线BC 上的动点(点E 与点B 不重合),M 是线段DE 的中点.联结BD ,交线段AM 于点N ,如果以A 、N 、D 为顶点的三角形与△BME 相似,求线段BE 的长. 三、课后反思: 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类讨论?分类的原则是什么? 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学问题. A C D A C D

相似三角形基本类型

相似三角形基本类型一、“X”型. B C B C 二、“子母”,“A型”,“斜A ”. B B B (双垂直K型)三、“K”型

C B (三垂直K 型) A C D B C A B D 四、共享型 A B E C D

A B E B B 1.在△ABC 和△ADE 中,∠BAD=∠CAE ,∠ABC=∠ADE. A B E

1.如图,已知∠1=∠2,∠3=∠4,求证∠ABE=∠ACD. A B D 2. A B P 3.如图,已知C 是线段AB 上的任意一点(端点除外),分别以AC 、BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD 和△BCE ,连结AE 交CD 于点M ,连结BD 交CE 于点N ,给出以下三个结论:①MN ∥AB ;②1MN =1AC +1 BC ;③M N≤14AB ,其中正确结论的个数 是( ) A .0 B .1 C .2 D .3

F E C B B' C' 4.如图,Rt △AB 'C ' 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的,连结CC ' 交斜边于点E , CC ' 的延长线交BB ' 于点F . (1)证明:△ACE ∽△FBE ; (2)设∠ABC =α,∠CAC ' =β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE 与△FBE 是全 等三角形,并说明理由. 5.

A D B 6.在等边△ABC 中,D 为BC 边上一点,E 为AC 边上一点,且∠ADE=60°,BD=3,CE=2,则△ABC 的边长为_________. A B C D 7. 0 90A E ∠=∠=°, 1 2 EDB C ∠= ∠. (1)当AB=AC 时,①∠EBF=_________.

相似三角形详细讲义

知识梳理 相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形. 相似用符号“∽”表示,读作“相似于”. 相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数). 相似三角形对应角相等,对应边成比例. 注意: ①对应性:即两个三角形相似时,通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上,这样写比较容易 找到相似三角形的对应角和对应边. ②顺序性:相似三角形的相似比是有顺序的. ③两个三角形形状一样,但大小不一定一样. ④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对 应边成比例. 相似三角形的基本定理 定理:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交,所构成的三角形与原 三角形相似. 定理的基本图形: 用数学语言表述是:

BC DE // , ADE ∽ABC . 相似三角形的等价关系 (1)反身性:对于任一ABC 有ABC ∽ABC . (2)对称性:若ABC ∽'''C B A ,则'''C B A ∽ABC . (3)传递性:若ABC ∽C B A '',且C B A ''∽C B A ,则ABC ∽C B A . 三角形相似的判定方法 1、定义法:对应角相等,对应边成比例的两个三角形相似. 2、平行法:平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角 形与原三角形相似. 3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两 个三角形相似.简述为:两角对应相等,两三角形相似. 4、判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹 角相等,那么这两个三角形相似.简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这 两个三角形相似.简述为:三边对应成比例,两三角形相似.(在遇到两个三角形的三边都知道的情况优先考虑,把边长分别从小到大排列,然后分别计算他们的比值是否相等来判断是否相似) 6、判定直角三角形相似的方法: (1)以上各种判定均适用. (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. (3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似. 直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图,Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC 上的高,则有射影定理如下: (1)(AD )2=BD ·DC , (2)(AB )2=BD ·BC , (3)(AC )2=CD ·BC 。 证明:在 △BAD 与△ACD 中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC ,又∵∠ BDA=∠ADC=90°,∴△BAD ∽△ACD 相似,∴ AD/BD =CD/AD ,即 (AD )2=BD ·DC 。其余类似可证。 注:由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式(2)+(3)得: (AB )2+(AC )2=BD ·BC+CD ·BC =(BD+CD)·BC=(BC )2, 即 (AB )2+(AC )2=(BC )2。 这就是勾股定理的结论。 判断相似三角形的几条思路: 1 条件中若有平行线,可采用相似三角形的基本定理 2 条件中如果有一对等角,可再找一对等角(用判定1)或再找夹边成比例。(用判定2)3条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等(直角可以直接得出相似)4条件中若有一对直角,可考虑在找一对等角或证明斜边,直角边对应成比例。5条件中若

相似三角形分类讨论

D C B A D C B A C B A C B A P C A B B A C P P C B A A B C P 《相似三角形中分类讨论思想得运用》 一、温故知新: 1、 已知△A BC得三边长分别就是4、6、8,△DEF 得一条边为24,如果△D EF 与△ABC 相似,则相似比为 2、两个相似三角形得面积之比就是9:25,其中一个三角形一边上得高就是6, 那么另一个三角形对应边上得高为 3、已知线段A B=2,P 就是线段AB 得黄金分割点,则AP 得长为 问题:什么就是分类讨论?为什么要分类? 二、新知学习: 题组一: 1、例1、如图所示,在中,AB =6,AC=4,P 就是AC 得中点,过P 点得直线交 AB 于点Q ,若使与相似,则A Q得长为 2、变式一:如图所示,在中,P就是A C上一点,过P 点得直线截交于点Q ,使截得得三角形与原三角形相似,则满足这样得直线有 条、 3、 变式二:如图所示,在中,P 就是A C上一点,过P点得直线截,使截得得三角形与原三角形相似,则满足这样得直线最多有 条、 探究:如果就是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立吗? 等腰三角形呢? 题组二: 1、例2: 己知菱形ABCD 得边长就是3,点E 在直线AD 上,D E=1,联结BE 与对角线AC 相交于点M ,则 = 2、变式一: 等腰中,AB =AC=10,BC=16,点P 在BC 边上,若PA与腰垂直,则B P= 、 3、 变式二: 在△A BC 中∠B=25°,AD 就是BC 边上得高,并且AD 2=BD ·DA= 、题组三 1、在矩形A BCD 中,A B=4,AD=5,P 就是射线BC 上得一个动点,作PE ⊥AP , PE 交射线DC 于点E,射线AE 交射线BC 于点F,设BP =x,C E=y 。求y 关于x 得函数解析式,并写出它得定义域;(点P 与点B 、C 都不重合), 2.已知A B=2,AD =4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E就是射线BC 上得动点 E 与点B不重合)M 就是线段DE 得中点.联结BD,交线段AM 于点N,如果 以A 、N 、D 为顶点得三角形与△BME 相似,求线段BE 得长. 三、课后反思: 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类 A C B P A C B P A C B P A B C D A B C D

相似三角形分类讨论

B C 《相似三角形中分类讨论思想的运用》 一、温故知新: 1. 已知△AB C的三边长分别是4、6、8,△DEF 的一条边为24,如果△D EF 与△ABC 相似,则相似比为 2.两个相似三角形的面积之比是9:25,其中一个三角形一边上的高是6,那么 另一个三角形对应边上的高为 3.已知线段A B=2,P 是线段A B的黄金分割点,则AP 的长为 问题:什么是分类讨论?为什么要分类? 二、新知学习: 题组一: 1.例1.如图所示,在ABC ?中,AB =6,A C=4,P 是AC 的中点,过P 点的直线交 AB 于点Q,若使APQ ?与ABC ?相似,则AQ 的长为 2,在?,过交AB 3. 变式二:如图所示,在ABC ?中,P 是AC 上一点,过P点的直线截ABC ?,使 截得的三角形与原三角形相似,则满足这样的直线最多有 条. 探究:如果ABC ?是直角三角形,点P 直角边上或点P 在斜边上上述结论还成立 吗?等腰三角形呢? 则∠BCA= . 题组三 1.在矩形A BCD 中,AB =4,AD=5,P是射线B C上的一个动点,作PE ⊥AP,PE 交 射线DC 于点E ,射线AE 交射线BC 于点F,设BP=x,CE=y.求y 关于x 的函数 解析式,并写出它的定义域;(点P 与点B、C 都不重合), 2).E是射线B C上的动点 ,M BD,交线段AM 于点N,如果以 C B C B C B C D C D

-- D C B A D C B A Q P C B A C B A C B A A B C F B C A D P D A B C P Q y x 123 45-1 -2 -3 -412345-1-2-3-4-5B A o A、N 、D为顶点的三角形与△BME 相似,求线段BE 的长. 三、课后反思: 1. 相似三角形中有哪些几何情境需要分类 讨论?分类的原则是什么? 2. 请积累你运用分类讨论思想解决的数学 问题. 四、检测反馈: 1.已知在Rt ABC ?中,?=∠90C ,A B=5,A C=3,点D 是射线BC 上的一点,(不与端点 B重合),联结AD ,如果ACD ?与ABC ?相似,则BD= 2.在等腰ABC ?中,AB =AC,若一条中线长为6厘米,另一条中线为9厘米,则 等腰ABC ?的底边长为 3. AD ∥BC,∠D=90°,DC =6,A D=2,BC= 4.若在边DC 上有点P 使△PA D和△P BC 相似,求D P的长. 4.如图,4,3,90==?=∠=∠AC BC ABD ACB ,当ABC ?与ADB ?相似时 ,求AD 的长. 5.拓展题:如图:在⊿A BC中,∠C=90°,BC =6,AC=8. P 、Q分别为A C、BA 上的动点,且BQ =2AP,联结PQ,设A P=x. ① 在点P 、点Q 移动的过程中,⊿A PQ能否与⊿ABC 相似?若能,请求出AP的 长;若不能,请说明理由。 ② 当x 为何值时,⊿AP Q是等腰三角形? 五、作业: 1. 在直角坐标系中有两点0,2),如果点C 在x 轴上(C 与A不重合),当点C 的坐标为 时,使得由点B 、O 、C组成的三角形与△AO B相似。 2. 已知:如图,P 是边长为4的正方形ABCD 内一点,且PB=3,BF ⊥BP ,垂足为B,请在射线BF 上找一点M,使以B 、M 、C为顶点的三角形与△ABP 相似。 3.已知BD是矩

相似三角形分类整理(超全)上课讲义

相似三角形分类整理 (超全)

第一节:相似形与相似三角形 基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理) (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或 等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得: AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即b a =d c ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么ad=b c 。如果ad=bc (a ,b ,c , d 都不等于0),那么 d c b a =。

中考相似三角形动点问题分类讨论问题(培优及标准答案)

Q △ AMN ABC △ AEF ABC 2018年中考复习相似动点分类讨论 1?如图,已知一个三角形纸片 ABC , BC 边的长为8, BC 边上的高为6 , B 和 C 都为 锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 不重合),过点M 作MN // BC ,交AC 于点N , 在△ AMN 中,设MN 的长为x , MN 上的高为h . (1 )请你用含x 的代数式表示h . (2)将厶AMN 沿MN 折叠,使△ AMN 落在四边形BCNM 所在平面,设点 A 落在平面 的点为A ,, △ AMN 与四边形BCNM 重叠部分的面积为 y ,当x 为何值 时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1) Q MN // BC △ AMN ABC - - h 3x 6 8 4 (2) Q △ AMN AMN △ A “MN 的边 MN 上的高为 h , 当点 A 落在四边形 BCNM 内或BC 边上时 c 1 S A AMN = — MN ? h 2 1 3 一 x ?一 x 2 4 ②当A 1落在四边形BCNM 外时,如下图(4 x 8), 3 设厶 A 1EF 的边EF 上的高为h 1,则h , 2h 6 -x 6 2 Q EF // MN △ A 1EF AMN S ^ AEF S A ABC Q S A ABC 1 6 8 24 2 S A A 1 EF 24 3x 2 12x 24 2 Q y S A A 1MN S A A 1EF 3 2 3 2 9 2 x -x 2 12x 24 x 12x 24 8 2 8 y 9 2 -x 2 12x 24 8 (4 x 8) 综上所述:当Ox < 4时, y 3x 2 ,取 x 8 4 , y 最大6 当4 x 8 时,y 9 2 -x 12x 24,取 x 16 ,y 最大 8 8 3 1 A

相似三角形的基本类型总结

相似三角形的基本类型总结 类型一 平行线型 相关定理 平行于三角形一边的直线,和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 平行相似可分为“A”型平行相似和“X”型平行相似两种. 如图(1)(2)所示,由BC DE //可直接证得:△ADE ∽△ABC . E D C B A 图(1) E D C B A 图(2) 1. 如图(3)所示,已知BC DE //,8:1:=?DBCE ADE S S 四边形,则 =AC AE 【 】 (A )91 (B )31 (C )81 (D )2 1 2. 如图(4)所示,已知,//CD AB AD 与BC 相交于点O .若3 2 =OC BO ,10=AD ,则 =AO _________. 图(3) E D C B A 图(4) O D C B A F E D C B A 图(5) 3. 如图(5)所示,已知AC DF AB DE //,//. 求证:△DEF ∽△ABC .

类型二 相交型 如图(6)所示,由D B ∠=∠或 AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图(7)所示,由ADE B ∠=∠或AED C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE ; 如图(8)所示,由D B ∠=∠或E C ∠=∠或AE AC AD AB = ,可得△ABC ∽△ADE . 像以上三种情况,若两个三角形有一个公共角,且公共角的对边相交,若另有一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例,则这两个三角形相似.这就是相交型相似. 图(6) E D C B A E D C B A 图(7) 图(8) E D C B A 4. 如图(9)所示,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,B AED ∠=∠,射线AG 分别交线段DE 、BC 于点F 、G ,且CG DF AC AD = . (1)求证:△ADF ∽△ACG ; (2)若 21=AC AD ,求 FG AF 的值. G F E D C B A 图(9)

相似三角形分类整理(超全)(汇编)

第一节 第二节 第九节:相似形与相似三角形基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成比 例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理) (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得: AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即b a =d c ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么ad=b c 。如果ad=bc (a ,b ,c , d 都不等于0),

相似三角形的分类讨论(教学案)

相似三角形的分类讨论(教学案) 一、教学目标: 1.进一步理解三角形相似的判定方法 2.初步领悟分类讨论的数学思想 3.培养学生的合作意识、探究意识。 二、教学重难点:领悟分类讨论的数学思想 三、教学过程: (一)复习 相似三角形的判定方法有哪些? 你能画出几种常见的相似三角形吗? (二)新授 A 由于对应边不确定,需要分类讨论。 例1 已知△ABC的三边长分别是4、6、8,△DEF的一条边为24,要使△DEF与△ABC相似,则另两边的长分别是 B 由于对应角不确定,需要分类讨论。 例2 均有一个角为84°的两个等腰三角形一定相似吗? 均有一个角为104°的两个等腰三角形一定相似吗? C 三角形的形状不确定,需要分类讨论。 例3 在△ABC中∠B=25°,AD是BC边上的高,并且AD2=BD×DC,则∠BCA= D 由于位置的不确定,需要分类讨论。 例4 在直角坐标系中有两点A(4,0),B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),当点C的坐标为时,使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似。 例5 已知:如图,P是边长为4的正方形ABCD内一点,且PB=3,BF⊥BP,垂足为B,请在射线BF上找一点M,使以B、M、C为顶点的三角形与△ABP相似。

D A B C P B C 例6 已知BD 是矩形ABCD 的对角线,AB=30cm ,BC=40cm ,点P 、Q 同时从A 点出发,分别以2cm/s ,4cm/ s 的速度由A →B →C →D →A 的方向在矩形边上运动,在点Q 回到点A 的整个运动过程中:① PQ 能否与BD 平行?② PQ 能否与BD 垂直?请分别作出判断。如果存在,请分别求出时间t,如果不存在,请说明理由。 E 计数中进行分类讨论。 例7 如图,在有边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC ,在网格上画出与△ABC 相似的三角形(全等的只需画一个,与△ABC 全等的不再画),使它的3个顶点都落在小正方形的顶点上。这样的三角形能画几个,最短的边长分别是多少? (三) 课堂小结: 分类讨论、有序思考的回顾。 (四)、课后作业:已知Rt △OAB 在直角坐标系中的位置如图,P (3,4)为OB 的中点,点C 为折线OAB 上的动点,线段PC 把Rt △OAB 分成两部分,问点C 在什么位置时,分割得到的三角形与△OAB 相似?画出所有符合要求的线段,写出点C 的坐标。

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WORD 格式可编辑 相似三角形经典模型总结 经典模型 平移旋转 180° ∽ 平行型 平行型 翻折 180° 翻折 180° 一般 特殊 翻折 180° 斜交型 斜交型 特殊一边平移 一般 平移 特殊 双垂直 斜交型 双垂直 一般 【精选例题】 “平行型” 【例 1】如图,EE1∥FF1∥MM1,若AE EF FM MB , 则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF M M : S四边形 MM C B _________ 1 1 1 1 1 1 A E E1 F F 1 M M1 B C

WORD 格式可编辑 【例 2】如图,AD∥EF∥MN∥BC,若AD 9,BC 18 , AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ , MN _____ A D E F M N B C 【例 3】已知,P为平行四边形ABCD 对角线, AC 上一点,过点P 的直线与 AD , BC , CD 的延长线, AB 的延长线分别相交于点 E , F , G , H 求证: PE PH PF PG G D C E P F A B H 【例 4】已知:在ABC 中, D 为 AB 中点, E 为 AC 上一点,且 AE 2, BE、 CD相交于点 F , 求BF 的 值 EC EF A D F E B C 【例 5】已知:在ABC 中, AD 1 AB,延长 BC到F ,使CF 1 BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3 求证:① DE EF ② AE 2CE A D E B

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【例 6】已知:D,E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点,连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ,BD: DE AB: AC 求证:CEF 为等腰三角形 A C D E B F 【例7】如图,已知 AB / / EF / /CD ,若 AB a , CD b , EF c ,求证:1 1 1 . c a b A C E B F D 【例 8】如图,找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系,并证明你的结论. C A E B F D 【例 9】如图,四边形ABCD 中, B D90M 是 AC 上一点, ME AD 于点 EMF BC ,, 于点 F 求证:MF ME 1 AB CD D E M A C F B

相似三角形中的分类讨论实录加反思

无可奈何“落去”,似曾“相似”归来 ——“一题一课”模型下的相似复习课课堂实录与反思背景介绍 “一题一课”,倡导一个题目上一节课,就是围绕着说题时抽到的那一题来上一节课。我抽到的题是第18题,主要考查相似三角形的判定与性质,涉及到分类讨论。这道题对学生来讲说不上难,因为从学生接触相似三角形开始就已经在接触这类题了;可也说不上简单,毕竟分类讨论不是每个学生都能理解的了的。可光就这个题目讲上一节课,是根本不可能的。 对这课我最初的设想是由浅入深,先温习或做些铺垫性的问题,把起点放在相似三角形的判定的复习上,编制单一的不涉及分类的相似题目,再重点像讲课文例题那样去启发分析,最后拓展提炼。因此刚开始花了大量的时间去寻找合适的题目,无果之后又尝试着自己去改编题目:赋予△ABC为等腰三角形的背景下,DE∥BC,在BC边上寻一点F,使△DEF与△ABC相似。试上之后,这道题反响还不错,引入等方面修正完善一下就好。杭州听课回来还没缓过神来连着清明放假三天,期间我仔细思考教学设计中的这道题目,总觉得偏离了“一题一课”的理念。可是箭在弦上不得不发,没机会再试上再磨课了!比赛当天,心里还是隐隐觉得不好,于是开始两手准备:一方面将这个课再次仔细整理准备上课;另一方面再次去找寻其他题目,最终决定只将该题作为课后拓展题让学生拓展提升。感谢教研组听课的同事,每一位都给出了非常宝贵的意见和建议,帮我不断修正与完善。在磨课的过程中,我受益良多。 课堂实录

师:今天这节课我们一起探讨相似三角形中的分类讨论。首先我们拿出练习纸,动手画画看。 (媒体显示题目,学生动手作图)如图,△ABC 中,AB=12,AC=15。D 为AB 边上一点,过点D 作一条截线交AC 于点E ,使△ADE 与△ABC 相似,你能作出几条?请画出图形。 师:谁来说说看你是怎么画的? 生:先做BC 的平行线,交AC 于点E 。还有一个是做的那条线和AD 相等…… 师:做的那条线和AD 相等? 生:作AD=AE 师:在AC 上取一点E ,使得AD=AE 师:说说看你是怎么想的?(学生回答不出)为什么这种情况下这两个三角形相似? 生:因为平行 师:依据的是什么? 生:相似三角形中(学生说不出来师补充) 师:作DE ∥BC 时,就是说∠ADE 与∠ABC 相等。这也是相似三角形的判定方法之一。那你说说看第二种情况下又是什么原因? 生:BC DE AC AD (学生明显的将对应边写错) 师:先说说看她的想法对不对?在相似三角形中已知一角,再找夹这个角的两边对应成比例。∠A 是公共角,在△ADE 中夹∠A 的两边分别是AD 与AE ,在△ABC

最新相似三角形分类整理(超全)

第一节 第二节 第十一节:相似形与相似三角形基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成 比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理) (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得: AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段a ,b ,c ,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即b a =d c ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么ad=b c 。如果ad=bc (a ,b ,c , d 都不等于0),

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相似三角形基本类型 一、“ X”型 . A A B B O J C D D C 二、“子母”,“ A 型”,“斜 A” . A A D D E E B C B C A A D D B C C (双垂直 K 型) 三、“ K”型

A E C B D (三垂直K 型) A E C B D A E C D B 四、共享型 A B E C D

A B C D F E A E F G B C A E D B C 1.在△ ABC 和△ ADE中,∠ BAD=∠ CAE,∠ ABC=∠ ADE. A E D B C

1.如图,已知∠ 1=∠ 2,∠ 3=∠ 4,求证∠ ABE=∠ ACD. A 1 2 E F 3 D B 2. O 4 C T E G F A B P 3.如图,已知 C 是线段 AB 上的任意一点(端点除外),分别以AC、 BC 为斜边并且在AB 的 同一侧作等腰直角△ACD和△ BCE,连结 AE 交 CD于点 M ,连结 BD 交 CE于点 N,给出 以下三个结论:①MN ∥AB;② 1 = 1 + 1 ;③ M N≤ 1 AB,其中正确结论的个数MN AC BC 4 是() A. 0B. 1C.2D.3

4.如图,Rt△AB C是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连结CC交斜边于点E,CC的延长线交 BB 于点 F. (1)证明:△ACE∽△FBE; ( 2)设∠ABC= ,∠CAC = ,试探索、满足什么关系时,△ACE与△ FBE是全 等三角形,并说明理由. B F C' B' E C A 5.

B F Q2 D E C A 6.在等边△ ABC中, D 为 BC边上一点, E 为 AC 边上一点,且∠ ADE=60°, BD=3,CE=2,则△ABC 的边长为 _________. A E B D C 7. AE 900°, EDB 1 C . 2 (1)当 AB=AC时 ,①∠ EBF=_________.

相似三角形经典练习题

相似三角形经典练习题   一.选择题(共9小题) 1.在直角三角形中,两直角边分别为3和4,则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为( ) A.B.C.D. 2.如图,在Rt△ABC中,AD为斜边BC上的高,若S△CAD=3S△ABD,则AB:AC等于( ) A.1:3B.1:4C.1:D.1:2 3.如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,AC的中点,△ADE和四边形BCED的面积分别记为S1,S2,那么的值为( ) A.B.C.D. 4.如图,?ABCD中,Q是CD上的点,AQ交BD于点P,交BC的延长线于点R,若DQ:CQ=4:3,则AP:PR=( ) A.4:3 B.4:7 C.3:4 D.3:7 5.如图,△ADE∽△ACB,其中∠AED=∠B,那么能成立的比例式是( )

A.B. C.D. 6.如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( ) A.B.C.D. 7.如图,△ABC,AB=12,AC=15,D为AB上一点,且AD=AB,在AC上取一点E,使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似,则AE等于( ) A.B.10 C.或10D.以上答案都不对 8.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( ) A.B.C.D.

9.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠,使点C 落在AB边上的C′处,并且C′D∥BC,则CD的长是( ) A.B.C.D.   二.填空题(共11小题) 10.a=4,b=9,则a、b的比例中项是 . 11.在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列说法正确的有 (填序号).①AC?BC=AB?CD;②AC2=AD?DB;③BC2=BD?BA;④CD2=AD?DB. 12.如图,Rt△ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于D,AC=8,BC=6,则 AD= . 13.如图,DE∥AC,BE:EC=2:1,AC=12,则DE= . 14.如图,平行四边形ABCD中,E是BD上一点,AE的延长线与BC的延长 线交于F,与CD交于G,若AE=4,EG=3,则EF= .

中考相似三角形动点问题分类讨论问题(培优及标准答案)

2018年中考复习 相似 动点 分类讨论 1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,BC 边的长为8,BC 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为AB 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作MN BC ∥,交AC 于点N ,在AMN △中,设MN 的长为x ,MN 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h . (2)将AMN △沿MN 折叠,使AMN △落在四边形BCNM 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A MN △与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少? 【答案】解:(1)MN BC Q ∥ AMN ABC ∴△∽△68h x ∴=34 x h ∴= (2)1AMN A MN Q △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h , ①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时, 1A MN y S =△=21133 2248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<, 设1A EF △的边EF 上的高为1h ,则13 2662 h h x =-= - 11EF MN A EF A MN ∴Q ∥△∽△ 11A MN ABC A EF ABC ∴Q △∽△△∽△ 12 16A EF S h S ??= ??? △△ABC 1 6824 2 ABC S =??=Q △ 2 2 363224122462EF x S x x ??- ?∴==?=-+ ? ? ?? 1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ?? =-= --+=-+- ??? Q △△所 29 1224 (48)8 y x x x =-+-<< 综上所述:当04x <≤时,2 38 y x = ,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2912248y x x =-+-,取16 3 x =,8y =最大 M N A

相似三角形分类整理(超全)

第一节:相似形与相似三角形 基本概念: 1.相似形:对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形。 2.相似三角形:对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形。 1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理) (1)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知a ∥b ∥c, A D a B E b C F c 可得EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB =====或或或或 等. (2)推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A D E B C 由DE ∥BC 可得:AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行. (3)推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比 例.那么这条直线平行于三角形的第三边. 此定理给出了一种证明两直线平行方法,即:利用比例式证平行线. (4)定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形 三边对应成比例. (5)①平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。 ②比例线段:四条线段a ,b,c ,d 中,如果a 与b的比等于c与d的比,即 b a =d c ,那么这四条线段a,b,c , d 叫做成比例线段,简称比例线段。 2.比例的有关性质 ①比例的基本性质:如果 d c b a =,那么a d=bc 。如果ad=bc (a,b ,c ,d 都不等于0),那么d c b a =。 ②合比性质:如果 d c b a =,那么d d c b b a ±=±。

相似三角形典型例题

相似三角形典型例题 例1. 如图,P 为Rt △ABC 斜边AB 上任意一点(除A 、B 外),过点P 作直线截△ABC ,使截得的新三角形与△ABC 相似,满足这样条件的直线的作法共有( ) A 、1种B 、2种C 、3种D 、4种 错解:过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ,可得相似三角形。选B 解:过点P 可作PE ∥BC 或PE ∥AC ,可得相似三角形; 过点P 还可作PE ⊥AB ,可得:∠EPA=∠C=90°,∠A=∠A ∴△APE ∽△ACB ; ∴共有3条. 选:C 点拨:在一个问题有多种情况时,分类小心有遗漏。 例2. 如图所示,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC 、BD 相交于O ,试问:△AOB 和△DOC 是否相似? 错解:△AOB ∽△DOC.理由如下: 在△AOB 和△DOC 中,∵AD ∥BC ,∴, ∵∠AOB=∠DOC ,∴△AOB ∽△DOC 正解:要得到△AOB ∽△DOC ,如果由两边对应成比例且夹角相等,则应得到;而这位同学根据平行线型得到△AOD ∽△COB ,则 。以上两个比 例式是不一样的.所以该学生的解答是不正确的。 例3. 如图1,在4×4的正方形方格中,△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上。

(1)填空:∠ABC=__________°,BC=__________; (2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论。 图1 解:(1)∠ABC=135°,BC=22 (2)能判断△ABC与△DEF相似(或△ABC∽△DEF),这是因为∠ABC=∠DEF= 135°,A B D E B C E F ==2 ∴△ABC∽△DEF 评析:本题寓填空、识图、说理于一体,利用网格解决相似问题,使学生基础知识得以应用,思维能力得以提高。 例4 如图2所示,某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂,这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上,它们之间有公路相通,且AB=CD=900米,AD=BC=1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN,B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处,EC=500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担,每米造价800元。 图2 (1)要使修建自来水管道的造价最低,这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计?并在图形中画出; (2)求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元? 解:(1)过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG,交AN于H、F、G,BH、

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