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三角函数图像变换顺序详解(全面)

《图象变换的顺序寻根》

题根研究

一、图象变换的四种类型

从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换:

1.纵向平移——m 变换

2.纵向伸缩——A变换

3.横向平移——变换

4.横向伸缩——变换

一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样.

以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题.

【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到?

【解法1】第1步,横向平移:

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将y = sin x 向右平移,得

第2步,横向伸缩:Array

将的横坐标缩短倍,得

第3步:纵向伸缩:Array

将的纵坐标扩大3倍,得

第4步:纵向平移:Array

将向上平移1,得

【解法2】第1步,横向伸缩:

将y = sin x 的横坐标缩短倍,得y = sin 2x

第2步,横向平移:

1

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将y = sin 2x向右平移,得

第3步,纵向平移:

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将向上平移,得

第4步,纵向伸缩:

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将的纵坐标扩大3倍,得

【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变

换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大.

【质疑】对以上变换,提出如下疑问:

(1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变?

(2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反——

如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)?

(3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——

如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”?

【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式

(y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.

如将例1中的变成

它们的变换“方向”就“统一”了.

对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的.

故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响;

但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这

就是为什么(在例1的解法2中)后平移时,有的原因.

【说明】为了使得4种变换量与4个参数(A,,,m)对应,降低“解题风险”,在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中,采用如下顺序:

(1)横向平移:x →

(2)横向伸缩:x +→

(3)纵向伸缩:sin () →A sin ()

(4)纵向平移:A sin () →A sin () + m

这正是例1中解法1的顺序.

二、正向变换与逆向变换

如果把由sin x 到A sin

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()+m的变换称作正向变换,那么反过来,由A sin

()+m到sin x变换则称逆向变换.显然,逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.

因为正向变换的一般顺序是:

(1)横向平移,(2)横向伸缩,(3)纵向伸缩,(4)纵向平移.

所以逆向变换的一般顺序则是:

(1)纵向平移,(2)纵向伸缩,(3)横向伸缩,(4)横向平移.

如将函数y= 2sin (2-) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x -),再将纵坐标缩小一半

得y= sin(2 x -),再将横坐标扩大2倍得y= sin(x -),最后将图象左移得函数y= sin x.

【例2】将y = f (x)·cos x 的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.

【分析】这是图象变换的逆变换问题:已知函数的变换结果,求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.

【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位(与正向变换上移1个单位相反),

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得y = 2sin2 x-1,再将2sin2x-1左移(与正向变换右移相反)

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令 f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x

【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.

因为2sin2x=1+sin(2 x-),所以下移1个单位得sin(2 x-),左移得sin2x.

三、翻折变换使> 0

平移变换x→是“对x而言”,由于x过于简单而易被忽略.

强调一下,这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(-x)左移而得.

其实,x或y的系数变-1,也对应着两种不同的图象变换:由x→- x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换;由f (x) →-f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.

【例3】求函数的单调减区间.

【分析】先变换-3x→3x,即沿y轴的翻折变换.

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【解析1】,转化为求g(x)=sin(3x-)的增区间

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令≤≤

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≤x ≤(f(x)减区间主解)

又函数的f(x)周期为,故函数f(x)减区间的通解为

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≤x ≤

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【解析2】

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的减区间为

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≤≤

即是

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≤x ≤

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【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:

(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤

(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.

【思考】本解先将“正数化”,使>0是本解成功的关键. 否则,如果去解不等式组

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