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人教版数学高一-15-16高中数学必修1作业 3.2函数模型及其应用

人教版数学高一-15-16高中数学必修1作业 3.2函数模型及其应用
人教版数学高一-15-16高中数学必修1作业 3.2函数模型及其应用

§3.2习题课

课时目标 1.进一步体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义,理解它们的增长差异性.2.掌握几种初等函数的应用.3.理解用拟合函数的方法解决实际问题的方法.

1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()

2.能使不等式log2x

A.(0,+∞) B.(2,+∞)

C.(-∞,2) D.(0,2)∪(4,+∞)

3.四人赛跑,假设其跑过的路程f i(x)(其中i∈{1,2,3,4})和时间x(x>1)的函数关系分别是f1(x)=x2,f2(x)=4x,f3(x)=log2x,f4(x)=2x,如果他们一直跑下去,最终跑在最前面的人具有的函数关系是()

A.f1(x)=x2B.f2(x)=4x

C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x

4.某城市客运公司确定客票价格的方法是:如果行程不超过100 km,票价是0.5元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价,则客运票价y(元)与行驶千米数x(km)之间的函数关系式是______________________.

5.如图所示,要在一个边长为150 m的正方形草坪上,修建两条宽相等且相互垂直的十字形道路,如果要使绿化面积达到70%,则道路的宽为____________________m(精确到0.01 m).

一、选择题

1.下面对函数f (x )=12

log x 与g (x )=(1

2

)x 在区间(0,+∞)上的衰减情况说法正确的是( )

A .f (x )的衰减速度越来越慢,g (x )的衰减速度越来越快

B .f (x )的衰减速度越来越快,g (x )的衰减速度越来越慢

C .f (x )的衰减速度越来越慢,g (x )的衰减速度越来越慢

D .f (x )的衰减速度越来越快,g (x )的衰减速度越来越快 2.下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( ) A .y =1

100e x B .y =100ln x

C .y =x 100

D .y =100·2x

3.一等腰三角形的周长是20,底边y 是关于腰长x 的函数,它的解析式为( ) A .y =20-2x (x ≤10) B .y =20-2x (x <10) C .y =20-2x (5≤x ≤10) D .y =20-2x (5

4.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元.某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如下表所示:

则下列说法中正确的是( ①买小包装实惠 ②买大包装实惠 ③卖3小包比卖1大包盈利多 ④卖1大包比卖3小包盈利多

A .①③

B .①④

C .②③

D .②④

5.某商店出售A 、B 两种价格不同的商品,由于商品A 连续两次提价20%,同时商品B 连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是( )

A .多赚约6元

B .少赚约6元

C .多赚约2元

D .盈利相同

6.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是( )

A .y =0.2x

B .y =1

10

(x 2+2x )

C .y =2x

10

D .y =0.2+log 16x

二、填空题

7.某种电热水器的水箱盛满水是200升,加热到一定温度可浴用.浴用时,已知每分钟放水34升,在放水的同时注水,t 分钟注水2t 2升,当水箱内水量达到最小值时,放水自动停止.现假定每人洗浴用水65升,则该热水器一次至多可供________人洗澡.

8.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%,设质量为1的镭经过x 年后剩留量为y ,则x ,y 的函数关系是__________________.

9.已知甲、乙两地相距150 km ,某人开汽车以60 km/h 的速度从甲地到达乙地,在乙地停留一小时后再以50 km/h 的速度返回甲地,把汽车离开甲地的距离s 表示为时间t 的函数,则此函数表达式为________. 三、解答题

10.某种放射性元素的原子数N 随时间t 的变化规律是N =N 0e -

λt ,其中N 0,λ是正常数. (1)说明该函数是增函数还是减函数;

(2)把t 表示成原子数N 的函数; (3)求当N =N 0

2时,t 的值.

11.我县某企业生产A ,B 两种产品,根据市场调查和预测,A 产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资单位是万元)

(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数,并写出它们的函数关系;

(2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A,B两种产品的生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润约为多少万元(精确到1万元).

能力提升

12.某乡镇现在人均一年占有粮食360 kg,如果该乡镇人口平均每年增长1.2%,粮食总产量平均每年增长4%,那么x年后若人均一年占有y kg粮食,求出函数y关于x的解析式.

13.如图,有一块矩形空地,要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地,使其四个顶点分别落在矩形的四条边上,已知AB=a(a>2),BC=2,且AE=AH=CF=CG,设AE=x,绿地面积

为y.

(1)写出y关于x的函数关系式,并指出这个函数的定义域.

(2)当AE为何值时,绿地面积y最大?

解决实际问题的解题过程:

(1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的主、被动关系,并用x、y分别表示问题中的变量;

(2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学中,我们建立的函数模型一般都是基本初等函数;

(3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点,正确选择函数知识求

得函数模

型的解,并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示:

§3.2 习题课

双基演练

1.D [设某地区的原有荒漠化土地面积为a ,则x 年后的面积为a (1+10.4%)x ,由题意y =a (1+10.4%)x

a

=1.104x ,故选D.]

2.D [由题意知x 的范围为x >0,由y =log 2x ,y =x 2,y =2x 的图象可知,当x >0时,log 2x

3.D [由于指数函数的增长特点是越来越大,故选D.]

4.y =?????

0.5x (0100)

5.24.50

解析 设道路宽为x ,则2×150x -x 2

150×150×100%=30%,

解得x 1≈24.50,x 2≈275.50(舍去). 作业设计 1.C

2.A [对于指数函数,当底数大于1时,函数值随x 的增大而增大的速度快,又∵e>2,故选A.]

3.D [∵20=y +2x ,∴y =20-2x , 又y =20-2x >0且2x >y =20-2x , ∴5

4.D [买小包装时每克费用为3100元,买大包装每克费用为8.4300=2.8100元,而3100>2.8

100,所以买大

包装实惠,卖3小包的利润为3×(3-1.8-0.5)=2.1(元),卖1大包的利润是8.4-1.8×3-0.7=2.3(元).而2.3>2.1,卖1大包盈利多,故选D.] 5.B [设A 、B 两种商品的原价为a 、b ,

则a (1+20%)2=b (1-20%)2=23?a =23×2536,b =23×25

16

,a +b -46≈6(元).]

6.C [将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)与x =1,2,3时,选项A 、B 、C 、D 中得到的y 值做比较,y =2x

10的y 值比较接近, 故选C.] 7.4

解析 设最多用t 分钟,则水箱内水量y =200+2t 2-34t ,当t =17

2时y 有最小值,此时共放水

34×17

2=289(升),可供4人洗澡.

8.y =100

0.9576

x

解析 设每经过1年,剩留量为原来的a 倍,则y =a x , 且0.957 6=a 100,从而a =0.957 6

1100,因此y =0.957 6x 100

. 9.s =????

?

60t (0≤t ≤2.5)150 (2.5

解析 当0≤t ≤2.5时s =60t , 当2.5

当3.5≤t ≤6.5时s =150-50(t -3.5)=325-50t , 综上所述,s =????

?

60t (0≤t ≤2.5),

150 (2.5

325-50t (3.5≤t ≤6.5).

10.解 (1)由于N 0>0,λ>0,函数N =N 0e -λt 是属于指数函数y =e -x 类型的,所以它是减函数,即原子数N 的值随时间t 的增大而减少.

(2)将N =N 0e -λt 写成e -λt =N N 0,根据对数的定义有-λt =ln N N 0,所以t =-1λ(ln N -ln N 0)=1

λ(ln N 0

-ln N ).

(3)把N =N 02代入t =1

λ(ln N 0-ln N ),

得t =1λ(ln N 0-ln N 02)=1

λ

ln 2.

11.解 (1)投资为x 万元,A 产品的利润为f (x )万元,B 产品的利润为g (x )万元,由题设f (x )=k 1x ,g (x )=k 2x ,

由图知f (1)=14,∴k 1=14,又g (4)=52,∴k 2=54.

从而f (x )=14x (x ≥0),g (x )=5

4

x (x ≥0).

(2)设A 产品投入x 万元,则B 产品投入10-x 万元,设企业的利润为y 万元, y =f (x )+g (10-x )=x 4+

5

410-x (0≤x ≤10),

10-x =t ,

则y =10-t 24+54t =-14(t -52)2+6516(0≤t ≤10),

当t =52,y max ≈4,此时x =10-25

4

=3.75,10-x =6.25.

所以投入A 产品3.75万元,投入B 产品6.25万元时,能使企业获得最大利润,且最大利润约为4万元.

12.解 设该乡镇现在人口量为M ,则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ,

经过1年后,该乡镇粮食总产量为360M (1+4%),人口量为M (1+1.2%),则人均占有粮食为360M (1+4%)M (1+1.2%);经过2年后,人均占有粮食为360M (1+4%)2

M (1+1.2%)2;…;经过x 年后,人均占有粮食

为y =360M (1+4%)x M (1+1.2%)x ,即所求函数解析式为y =360(1.041.012)x .

13.解 (1)S △AEH =S △CFG =1

2x 2,

S △BEF =S △DGH =1

2

(a -x )(2-x ).

∴y =S 矩形ABCD -2S △AEH -2S △BEF =2a -x 2-(a -x )(2-x ) =-2x 2+(a +2)x .

由???

??

x >0

a -x >02-x ≥0a >2

,得0

∴y =-2x 2+(a +2)x ,定义域为(0,2]. (2)当a +24

<2,即a <6时,

则x =a +24时,y 取最大值(a +2)2

8

当a +2

4≥2,即a ≥6时,y =-2x 2+(a +2)x 在(0,2]上是增函数,

则x =2时,y max =2a -4.

综上所述:当a <6,AE =a +24时,绿地面积取最大值(a +2)2

8;

当a ≥6,AE =2时,绿地面积取最大值2a -4.

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