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全等三角形培优练习题

全等三角形培优练习题
全等三角形培优练习题

全等三角形培优练习题

1、如图,在

中,,

,为

上任意一点。求证:。

二、简答题

2、如图所示,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD、BC的交点,点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

3、已知:如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且.

(1)求证:;

(2

)若,求AB的长.

4、已知,如图,延长的各边,使得,,顺次连接,得到为等边三角形.

求证:(1);(2)为等边三角形.

5、如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;

②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?

(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,

求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?

三、计算题

6、如图,AC∥DE,BC∥EF,AC=DE

求证:AF=BD

7、已知,如图,点B、F、C、E在同一直线上,AC、DF相交于点G,AB⊥BE,垂足为B,DE⊥BE,垂足为E,且AB=DE,BF=CE。求证:(1)△ABC≌△DEF;(2)GF=GC。

8、在△ABC中,AD是中线,O为AD的中点,直线l过点O,过A、B、C三点分别作直线的垂线,垂足分别为G,E,

F,当直线绕点O旋转到与AD垂直时(如图l)易证:BE+CF =2AG。

当直线绕O点旋转到与AD不垂直时,如图2,图3两种情况下,线段BE,CF,AG又有怎样的数量关系?写出你的猜

想,并对图3的猜想给予证明。

9、如图,已知△ABC中,AB=BC=1,∠ABC=90°,把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板绕点D按逆时针方向旋转。

(1)在图①中,DE交AB于M,DF交BC于N。

①证明:DM=DN;

②在这一旋转过程中,直角三角板DEF与△ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;

(2)继续旋转至如图②的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;

(3)继续旋转至如图③的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?请写出结论,不用证明。

10、已知:如图,P是正方形ABCD内一点,在正方形ABCD外有一点E,满足∠ABE=∠CBP,BE=BP.

(1)求证:△CPB≌△AEB;

(2)求证:PB⊥BE;

(3)图中是否存在旋转能够重合的三角形?若存在,请说出旋转过程;若不存在,请说明理由.

四、选择题

11、如图,小明作出了边长为的第1个正△A1B1C1,算出了正△A1B1C1的面积。然后分别取△A1B1C1的三边中点A2、B2、C2,作出了第2个正△A2B2C2,算出了正△A2B2C2的面积。用同样的方法,作出了第3个正△A3B3C3,算出了正△A3B3C3的面积……,由此可得,第10个正△A10B10C10的面积是()

A.B. C. D.

12、如图,在△ABC中,∠ACB=9O°,AC=BC,BE⊥CE于D,DE=4cm,AD=6 cm,则BE的长是 ( )

A.2cm B.1.5 cm C.1 cm D.3 cm 13、如图,在△ABC中,D、E分别是边AC、BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数为( )

A.15° B.20° C.25°

D.30°

五、填空题

14、如图:AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B,C,AB=BC,E为BC的中点,且AE⊥BD于F,若CD=4cm,则AB的长度为__________。

参考答案

一、综合题

1、法一:

在上截取,连接

在与中

(SAS)

在中,

,即AB-AC>PB-PC。

法二:

延长至,使,连接

在与中

(SAS)

在中,

二、简答题

2、OE⊥AB.

证明:在△BAC和△ABD中,

AC=BD,

∠BAC=∠ABD,

AB=BA.

∴△BAC≌△ABD.

∴∠OBA=∠OAB,

∴OA=OB.

又∵AE=BE, ∴OE⊥AB.

(注:若开始未给出判断“OE⊥AB”,但证明过程正确,不扣分)

3、

(1)证明:于点,

连接,

.)

(2)解:,

4、证明:(1),,.

是等边三角形,.

又,.

(2)由,得,

是等边三角形,

,同理可得.

中,.

是等边三角形.

5、解:(1)①∵秒,

∴厘米,

∵厘米,点为的中点,

∴厘米.

又∵厘米,

∴厘米,

∴.

又∵,

∴,

∴.

②∵,∴,

又∵,,则,

∴点,点运动的时间秒,

∴厘米/秒.

(2)设经过秒后点与点第一次相遇,

由题意,得,

解得秒.

∴点共运动了厘米.

∵,

∴点、点在边上相遇,

∴经过秒点与点第一次在边上相遇.

三、计算题

6、证明:,,

,.

又,,

即,得证.

7、(1)∵BF=CE ∴BF+FC=CE+FC,即BC=EF

又∵AB⊥BE,DE⊥BE ∴∠B=∠E=900

又∵AB=DE ∴△ABC≌△DEF

(2)∵△ABC≌△DEF ∴∠ACB=∠DFE

∴GF=GC

8、解:图2:BE+CF=2AG 图3:BE―CF=2AG

证明:连接BF,过点D作DP⊥l,垂足是P,交BF于点H

∵AG⊥l BE⊥1 CF⊥1

∴AG∥BE∥PH∥CF

∵AO=OD ∴AG=PD

∵BD=CD ∴BH=HF,DH=CF ∴PH=

∴BE-CF=AG

∴BE=CF=2AG

9、解:(1)①证明:连结DB。在Rt△ABC中,∵AB=BC,AD=DC,∴DB=DC=AD ∠BDC=90°∠ABD=∠C=45°

∵∠DMB+∠DNB=180°,∴∠DMB=∠DNC

∴△BMD≌△CND ∴DM=DN

②四边形DMBN的面积不发生变化。

由①知△BMD≌△CND,∴S△BMD= S△CND

∴S四边形DMBN= S△DBN+ S△BMD= S△DNB+ S△DNC= S△DBC=

(2)DM=DN仍然成立。

证明:连结DB,在Rt△ABC中,∵AB=BC,BD=DC,

∴∠DBM=∠DCN=135°∵∠NDC+∠CDM=∠BDM+∠CDM=90°,

∴∠CDN=BDM ∴△CDN≌△BDM

∴DM=DN。

(3)DM=DN

10、(1)略;(2)略;(3)存在,把△CBP绕点B顺时针旋转90°就与△ABC重合

四、选择题

11、A

12、A

13、D

五、填空题

14、8cm

三角形全等培优证明题50题(有答案)

全等三角形证明题专项练习(100题) 1.已知如图,△ABC≌△ADE,∠B=30°,∠E=20°,∠BAE=105°,求∠BAC的度数.∠BAC=_________.2.已知:如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC.求证:△ABD≌△CDB. 3.如图,点E在△ABC外部,点D在边BC上,DE交AC于F.若∠1=∠2=∠3,AC=AE,请说明△ABC≌△ADE 的道理.

4.如图,△ABC的两条高AD,BE相交于H,且AD=BD.试说明下列结论成立的理由. (1)∠DBH=∠DAC; (2)△BDH≌△ADC. 5.如图,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,且DE=DF,则AB=AC,并说明理由. 6.如图,AE是∠BAC的平分线,AB=AC,D是AE反向延长线的一点,则△ABD与△ACD全等吗?为什么?

7.如图所示,A、D、F、B在同一直线上,AF=BD,AE=BC,且AE∥BC. 求证:△AEF≌△BCD. 8.如图,已知AB=AC,AD=AE,BE与CD相交于O,△ABE与△ACD全等吗?说明你的理由. 9.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上,找出图中全等的三角形,并说明它们为什么是全等的.

10.如图所示,CD=CA,∠1=∠2,EC=BC,求证:△ABC≌△DEC. 11.已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在一条直线上,要使△ABC≌△FDE,应增加什么条件?并根据你所增加的条件证明:△ABC≌△FDE. 12.如图,已知AB=AC,BD=CE,请说明△ABE≌△ACD.

《全等三角形》培优题型全集

《全等三角形》培优题型全集

2 《全等三角形》培优题型全集 题型一:倍长中线(线段)造全等 1、已知:如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E ,交AD 于 F ,且 AE=EF ,求证:AC=BF A C E F 2、如图,△ABC 中,AB=5,AC=3,则中线AD 的取值范围是______. D C B A 3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7,则AB 边的取值范围是( ) A 、1

《全等三角形》数学培优作业

A B C D E 固始三中八年级上期《全等三角形》数学培优作业 (考查内容:边角边) 命题人:吴全胜1、已知:如图,AB=AC,F、E分别是AB、AC的中点。求证:△ABE≌△ACF。 2、已知:点A、F、E、C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF. 求证:△ABE≌△CDF. 3、已知:如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,求证:△ABD≌△ACE 4、如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,试说明△ABD≌△ACD。 A B D C 5、已知:如图,AD∥BC,CB AD=。求证:CBA ADC? ? ?。 6、已知:如图,AD∥BC,CB AD=,CF AE=。求证:CEB AFD? ? ?。 7、已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,DB AC=,DF AE=,AD EA⊥,AD FD⊥,垂足分别是A、D。求证:FDC EAB? ? ?

8、已知:如图,AC AB=,AE AD=,2 1∠ = ∠。求证:ACE ABD? ? ?。 9、如图,在ABC ?中,D是AB上一点,DF交AC于点E,FE DE=,CE AE=, AB与CF有什么位置关系?说明你判断的理由。 10、已知:如图,DBA CAB∠ = ∠,BD AC=。求证∠C=∠D 11、已知:如图,AC和BD相交于点O,OC OA=,OD OB=。 求证:DC∥AB。 12、已知:如图,AC和BD相交于点O,DC AB=,DB AC=。求证:C B∠ = ∠。 13、已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE. 求证:(1)BD=FC (2)AB∥CF 14、已知: 如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D.求证:BD=CD. 15、已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证: BE=AD D C A B E

全等三角形经典培优题型(含答案)

全等三角形的提高拓展训练 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的,公共边常是对应边. (4) 有公共角的,公共角常是对应角. (5) 有对顶角的,对顶角常是对应角. (6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或 最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1)边角边定理(SAS :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑵角边角定理(ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证 明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系. 而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知:AB=4, AC=2 D是BC中点,AD是整数,求AD

C F D

3 已知:/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB,求证:EF=AC 4 已知:AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证:/ B=2/ C A 5 已知:AC平分/ BAD CE±AB, / B+Z D=180°,求证:AE=AD+BE 6如图,四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分Z ABC / BCD且点E在AD上。求证: BC=AB+DC

2019中考全等三角形经典培优题(教师版)

2017中考全等三角形经典培优题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 A D B C

3已知:∠1=∠2,CD=DE,EF ? = ∠90 ACB BC AC=MN C MN AD⊥D MN BE⊥E1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时, 求证:①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE+ =; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立, 请给出证明;若不成立,说明理由. 15如图所示,已知AE⊥AB,AF⊥AC,AE=AB,AF=AC。求证: (1)EC=BF;(2)EC⊥BF C D B A B C D P D A C B F A E D C B A P E D C B A D C B M F E C B A C B D E F A E B M C F B A C D F 2 1 E

16.如图,已知AC ∥BD ,EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ,CD 过点E ,则AB 与AC+BD 相等吗?请说明理由 17.如图9所示,△ABC 是等腰直角三角形,∠ACB =90°,AD 是BC 边上的中线,过C 作AD 的垂线,交AB 于点E ,交AD 于点F ,求证:∠ADC =∠BDE . A B C D E F 图9

全等三角形证明经典(答案) 1. 延长AD到E,使DE=AD, 则三角形ADC全等于三角形EBD 即BE=AC=2 在三角形ABE中,AB-BE

全等三角形证明题培优提高经典例题练习题

全等三角形证明题专练 1、已知,如图,AB ⊥AC ,AB =AC ,AD ⊥AE ,AD =AE 。求证:BE =CD 。 2、已知:如图,AB ⊥BC ,AD ⊥DC ,AB=AD ,若E 是AC 上一点。求证:EB=ED 。 D A E C B 3、已知:如图,AB 、CD 交于O 点,CE//DF ,CE=DF ,AE=BF 。求证:∠ACE=∠BDF 。 A E D C B A B C D E F O

4、如图,△ABC 中,AB=AC ,过A 作GE ∥BC ,角平分线BD 、CF 交于点H ,它们的延长线分别交GE 于E 、G ,试在图中找出三对全等三角形,并对其中一对给出证明。 5、如图,在△ABC中,点D在AB上,点E在BC上,BD=BE。 (1) 请你再添加一个条件,使得△BEA≌△BDC,并给出证明。 你添加的条件是:________ ___ (2)根据你添加的条件,再写出图中的一对全等三角形: ______________(不再添加其他线段,不再标注或使用 其他字母,不必写出证明过程) 6、已知:如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,E 是AD 上一点,BE 的延长线交AC 于F ,若BD=AD ,DE=DC 。求证:BF ⊥AC 。 F E D C A B G H A B C D E F

7、已知:如图,△ABC 和△A 'B 'C '中,∠BAC=∠B 'A 'C ',∠B=∠B ',AD 、A 'D '分别是∠BAC 、∠B 'A 'C '的平分线,且AD=A 'D '。求证:△ABC ≌△A’B’C’。 8、已知:如图,AB=CD ,AD=BC ,O 是AC 中点,OE ⊥AB 于E ,OF ⊥CD 于F 。求证:OE=OF 。 A B C D E F O 9、已知:如图,AC ⊥OB ,BD ⊥OA ,AC 与BD 交于E 点,若OA=OB ,求证:AE=BE 。 O B A C D E A B C D A' B' C' D' 1 2 3 4

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优 考试总分: 110 分考试时间: 120 分钟 卷I(选择题) 一、选择题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) ? 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形,则 A. B. C. D. ? 2.下列定理中逆定理不存在的是() A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中,如果两边相等,那么它们所对的角也相等 C.同位角相等,两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 ? 3.已知:如图,,,,则不正确的结论是() A.与互为余角 B. C. D. ? 4.如图,是的中位线,延长至使,连接,则的值为() A. B. C. D. ? 5.如图,在平面直角坐标系中,在轴、轴的正半轴上分别截取、,使;再分别以点、为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点.若点的坐标为,则与的关系为()A. B. C. D. ? 6.如图,是等边三角形,,于点,于点,,则下列结论:①点在的角平分线上;?②;?③;?④.正确的有() A.个 B.个 C.个 D.个 ? 7.如图,直线、、″表示三条相互交叉的公路,现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有() A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 ? 8.如图,是的角平分线,则等于() A. B. C. D. ? 9.已知是的中线,且比的周长大,则与的差为() A. B. C. D. ? 10.若一个三角形的两条边与高重合,那么它的三个内角中() A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II(非选择题) 二、填空题(共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分) ?

三角形培优训练 题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线,那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线,出一对全等三角形。 7、特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答。 1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,求中线AD的取值范围. 2、如图,△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是中点,试比较BE+CF与EF的大小.

全等三角形培优经典题

全等三角形培优经典题

全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG. (1)直接写出线段EG与CG的数量关系; (2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o,如图2所示,取DF中点G,连接EG,CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中△BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立? A D E G 图1 F A D C G 图2 F A E 图3 D

2、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E是边BC的中点.90 AEF ∠=o,且EF交正方 形外角DCG ∠的平行线CF于点F,求证:AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的 中点M,连接ME,则AM=EC,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =.在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. A D F C G E 图A D F C G E 图 A D F C G E B 图

全等三角形培优(含答案)

三角形培优练习题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 3已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证:EF=AC 4已知:AD 平分∠BAC ,AC=AB+BD ,求证:∠B=2∠C A D B C A B C D E F 2 1 B A C D F 2 1 E

5已知:AC 平分∠BAD ,CE ⊥AB ,∠B+∠D=180°, 求证:AE=AD+BE 6 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC 。 7已知:AB=CD ,∠A=∠D ,求证:∠B=∠C 8.P 是∠BAC 平分线AD 上一点,AC>AB ,求证:PC-PB

9已知,E 是AB 中点,AF=BD ,BD=5,AC=7,求DC 10.如图,已知AD ∥BC ,∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ,CE 的连线交AP 于D .求 证:AD +BC =AB . 11如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且AB =AC +CD ,求证:∠C =2∠B 12如图:AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上,BE ∥CF ,BE=CF 。 P D A C B F A E D C B P E D C B A D C B A

求证:AM 是△ABC 的中线。 13已知:如图,AB =AC ,BD ⊥AC ,CE ⊥AB ,垂足分别为D 、E ,BD 、CE 相交于点F 。 求证:BE =CD . 14在△ABC 中,?=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时, 求证: ①ADC ?≌CEB ?;②BE AD DE +=; (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立, 请给出证明;若不成立,说明理由. 15如图所示,已知AE ⊥AB ,AF ⊥AC ,AE=AB ,AF=AC 。求证:(1)EC=BF ;(2)EC ⊥BF M F E C B A A C B D E F

全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题 1、已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF丄BD交BC于F,连接DF , G为DF中点,连接EG, CG. (1 )直接写出线段EG与CG的数量关系; (2)将图1中厶BEF绕B点逆时针旋转450,如图2所示,取DF中点G,连接EG, CG. 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中厶BEF绕B点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1) 中的结论是否仍然成立? 图1图2图3

学习参考

2、数学课上,张老师出示了问题:如图1 ,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点. AEF 90°,且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F,求证:AE= EF. 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M ,连接ME,则 AM = EC,易证△ AME =△ ECF ,所以AE EF . 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把点E是边BC的中点”改为点E是边BC上(除B, C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论AE=EF'仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条 件不变,结论AE= EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由 图1图2图3

3、已知Rt A ABC 中,AC BC,Z C 90, D 为AB 边的中点,EDF 90° EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB (或它们的延长线)于E、F. 1 当EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图1),易证S A DEF S A CEF S A ABC- 2 当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是 否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S A DEF、S A C EF、S A ABC又有怎样的数量关 系?请写出你的猜想,不需证明 F 图 1图2

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)

八年级数学全等三角形(培优篇)(Word版含解析) 一、八年级数学轴对称三角形填空题(难) 1.如图,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=10cm,点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B,C为顶点的三角形是等腰三角形,则P,A(P,A两点不重合)两点间的最短距离为______cm. - 【答案】10310 【解析】 解:连接BD,在菱形ABCD中, ∵∠ABC=120°,AB=BC=AD=CD=10,∴∠A=∠C=60°,∴△ABD,△BCD都是等边三角形,分三种情况讨论: ①若以边BC为底,则BC垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”,即当点P与点D重合时,PA最小,最小值PA=10; ②若以边PB为底,∠PCB为顶角时,以点C为圆心,BC长为半径作圆,与AC相交于一点,则弧BD(除点B外)上的所有点都满足△PBC是等腰三角形,当点P在AC上时,AP -; 最小,最小值为10310 ③若以边PC为底,∠PBC为顶角,以点B为圆心,BC为半径作圆,则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形,当点P与点A重合时,PA最小,显然不满足题意,故此种情况不存在; -(cm). 综上所述,PA的最小值为10310 -. 故答案为:10310 点睛:本题考查菱形的性质、等边三角形的性质,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.

2.在等腰△ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D,若AD=1 2 BC,则△ABC的顶角的度数为 _____. 【答案】30°或150°或90° 【解析】 试题分析:分两种情况;①BC为腰,②BC为底,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半判断出∠ACD=30°,然后分AD在△ABC内部和外部两种情况求解即可. 解:①BC为腰, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴∠ACD=30°, 如图1,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°, 如图2,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB=180°﹣30°=150°, ②BC为底,如图3, ∵AD⊥BC于点D,AD=1 2 BC, ∴AD=BD=CD, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,

全等三角形培优经典题

全等三角形培优习题 1、已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG . (1)直接写出线段EG 与CG 的数量关系; (2)将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45o ,如图2所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG . 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立? 2 1 E 是边BC 的 EF DCG ,求证:AE =EF . 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证AME ECF △≌△,所以AE EF =. 在此基础上,同学们作了进一步的研究: (1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除 B , C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖 的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. F B D 图1 B D 图2 B 图3 D

1.下列命题中正确的是() A.全等三角形的高相等 B.全等三角形的中线相等 C.全等三角形的角平分线相等 D.全等三角形对应角的平分线相等 2.下列说法正确的是() A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形 AB=BE,BC=DB。 CE=DE 求证:EDC EBC∠ = ∠。 7.已知如图,E.F在BD上,且AB=CD,BF=DE,AE=CF,求证:AC与BD互相平分. 8.如图, 已知:AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF.猜想线段AC与EF的关系,并证明你的结论. 9如图ABD ?和ACE ?均为等边三角形,求证: A D F C G E B 图1 A D F C G E B 图2 A D F C G E B 图3 A B E O F D C

全等三角形各种类型证明培优(经典)

全等三角形 全等图形: 能够完全重合的两个图形就是全等图形. 全等多边形: 能够完全重合的多边形就是全等多边形. 相互重合的顶点叫做对应顶点,相互重合的边叫做对应边,相互重合的角叫做对应角. 全等多边形的对应边、对应角分别相等. 如下图,两个全等的五边形,记作:五边形 ABCDE ≌五边形 A'B'C'D' E' . 全等三角形: 能够完全重合的三角形就是全等三角形. 全等三角形的对应边相等,对应角分别相等; 反之,如果两个三角形的边和角分别对应相等,那么这两个三角形全等. 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等. 全等三角形的概念与表示: 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角.全等符号为 “≌ ”. 全等三角形的性质: 对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等, 对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1) 全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2) 全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3) 有公共边的,公共边常是对应边. (4) 有公共角的,公共角常是对应角. (5) 有对顶角的,对顶角常是对应角. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理 ( SAS) :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理 ( ASA) :两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理 ( SSS) :三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理 ( AAS) :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理 ( HL) :斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 判定三角形全等的基本思路: 找夹角 SAS 已知两边 找直角 HL 找另一边 SSS 能够相互重合的顶 这里符号“≌”表示全等,读作“全等于. E D

全等三角形培优试题

A F D C B E A F C G B E 全等三角形培优试题 三角形全等是证明线段相等,角相等最基本、最常用的方法,这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征,还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来.那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢? 条件中没有现成的全等三角形时,会通过构造全等三角形用判别方法,有些几何问题中,往往不能直接证明一对三角形全等,一般需要作辅助线来构造全等三角形. 1、已知:如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90o,AC=BC ,D 为BC 的中点,CE ⊥AD 于E ,交AB 于F ,连接DF . 求证:∠ADC=∠BDF . 说明:常见的构造三角形全等的方法有如下三种:①涉及三角形的中线问题时,常采用延长中线一倍的方法,构造出一对全等三角形;②涉及角平分线问题时,经过角平分线上一点向两边作垂线,可以得到一对全等三角形;③证明两条线段的和等于第三条线段时,用“截长补短”法可以构造一对全等三角形. 2、已知△ABC ,AB=AC ,E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点,且BE=CF ,EF 交BC 于G .求证:EG=GF . 3、已知:如图16,AB=AE ,BC=ED ,点F 是CD 的中点,AF ⊥CD . 求证:∠B=∠E . G A B F D E C A B F

4、在Rt △ABC 中,∠B AC =90°,AB=AC ,CE ⊥BD 的延长线于E ,∠1=∠2求证:BD =2CE . 5、在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,∠C=2∠B .求证:AB=AC+CD . 6、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC ,AB =AC -BD ,则∠B ∶∠C 的值为多少? 7、如图,△ABC 中,AB =AC ,D 、E 、F 分别是BC 、AB 、AC 上的点,BD =CF ,CD =BE ,G 为EF 中点,连结DG ,问DG 与EF 之间有何关系?证明你的结论。 C A B C D

全等三角形证明培优题

模块一:基本辅助线 1.如图,已知AC=BD,ADL AC,BC丄BD 求证:AD=BC. 2. 如图, (1 )求 证: (2 )在你连接BE后,还能得出什么新的结论?请写出三个(不要求证明) ①如图(1),当OELAB时,四边形OMBN勺面积为 ②如图(2),当正方形OEFG绕点O旋转时,四边形OMBN勺面积会发生变化吗?试证明你的结论. 5.如图所示,在^ ABC中,AB=AC ,在AB上取一点E,在AC延长线上取一点F,使BE=CF , EF 交BC 于G.求证:EG=FG。 AB=AE,/ABC玄AED,BC=ED点F 是CD的中点, AF丄CD. F' {11 £ 重合,OE OG分别与正方形ABCD勺边交于M N两点. 3. 如图,/ B=/ E, / C=/ D,BC=DE,M为CD中点,求证:AML CD.

模块二:母子型 1已知:如图,点 C 为线段AB 上一点,△ ACM, △ CBN 都是等边三角形,AN 交MC 于点 B M 交CN 于点7 (1) 求证:AN=BM; (2) 求证:△ CEF 为等边三角形 2.如图,已知,等腰 Rt △ OAB 中, / AOB=90 °,等腰 Rt △ EOF 中,/ EOF=90 °,连结 AE 、 BF 。求证:(1) AE=BF ; ( 2) AE 丄 BF 。 3.如图1,若四边形 ABCD 四边形GFEC 都是正方形,显然图中有 AG=CE AGL CE 6.如图,在△ ABC 中, 作 EG1 BC 于 G ( 1) =BF+CG AB=AC E 在线段AC 上,D 在AB 的延长线,连 DE 交BC 于 F ,过点 若/ A=50°,/ D=30° 求/ GEF 的度数;(2 )若 BD=CE 求证: E FG E , C

全等三角形培优专题训练

探索三角形全等 1、一长方形纸片沿对角线剪开,得到两三角形纸片,再将这两纸片摆成如下图形式,使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证:AB ⊥ED ; ⑵若PB =BC ,请找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并给予证明 2、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC ,BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ,E 为垂足,则结论:①AD =BF ;②CF =CD ;③AC +CD =AB ;④BE =CF ;⑤BF =2BE.其中正确的是( )

3、如图,点C在线段AB上,DA ⊥AB,EB⊥AB,FC⊥AB,且DA=BC,EB=AC,FC=AB,∠AFB=51°,求∠DFC的度数.

4、如图,四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD ∥BC ,O 为对角线AC 的中点, 过点O 作一条直线分别与AB 、CD 交于点M 、N ,点E 、F 在直线M 、N 上,且OE =OF. ⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来; ⑵求证:∠MAE =∠NCF 全等三角形的应用 全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明: ①线段和角的等量关系 ②线段和角的和差倍分关系 ③直线与直线的平行或垂直等位置关系 1、如图,已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高,点P 在BD 的延长线上,BP =AC ,点Q 在CE 上,CQ =AB.试判断AP 与AQ 的关系,并证明. E

2、如图,AD 是△ABC 的高,E 为AC 上一点,BE 交AD 于点F ,且BF =AC ,FD =CD , 求证:BE ⊥AC 3、如图,在△ABC 中,AB =AC,AD =AE,∠BAC =∠DAC =90°. ⑴当点D 在AC 上时,如图①,线段BD,CE 有怎样的数量和位置关系?证明你猜想的结论. ⑵将图①中的△ADE 绕点A 顺时针旋转α角(0°<α<90°) ,如图②,线段BD 、CE 有怎样的数量关系和位置关系?问明理由. ①

zdx三角形的证明培优

zdx-三角形的证明(培优)

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三角形的证明(培优) 出题人:张丹霞姓名: 题型一全等三角形 例1. 将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和△DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O. (1)当旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是; (2)(2)当△DEF继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)(3)在图③中,连接BO、AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系,并证明. 变式1:如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA. (1)求证:DE平分∠BDC; (2)若点M在DE上,且DC=DM,求证: ME=BD.

变式2:两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置,图②是由它抽象出的几何图形,点B、C、E在同一条直线上,连接DC. (1)请找出图②中的全等三角形,并给予证明(说明:结论中不得含有未标识的字母); (2)求证:DC⊥BE. 变式3:在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:DE=AD+BE; (2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE; (3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE有怎样的等量关系?请写出 这个等量关系,并加以证明.

全等三角形综合培优测试题

。 AC与 4、如图, 已知:AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF.猜 想线段AC与EF 的关系,并证明你的结论. 5、如图∠ABC=90°AB=BC,D为AC上一点分别过A.C作BD的垂线, 垂足分别为E.F,求证:EF=CF-AE. 6、如图,已知AB∥CD,AD∥BC,E.F是 上两点,且BF=DE,则图中共有对 全等三角形. 7、如图,AB∥CD,AD∥BC,OE=OF,图中全等三 角形共有______对. 8、两三角形有以下元素对应相等,不能判定全等的是() A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边 9、如果两个三角形两边对应相等,且其中一边所对的角也相等,那么 这两个三角形() A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等 10 11 DE 则 12 13、已知:如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于D,BE平分∠ABC, 且BE⊥AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点,连结DH与BE相 交于点G。 (1)求证:BF=AC; (2)求证:CE= 2 1 BF; 14、如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠ EDF等于( ) A..90°-∠A B. 90°- 2 1 ∠A C. 180°-∠A D. 45°- 2 1 ∠A 15、已知如图(1),△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条 直线,且B、C在AE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:(1)BD =DE+CE;(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD<CE),其余条件 不变,问BD与DE、CE的关系如何?请予证明.(3)若直线AE绕A点旋 转到图(3)位置时,(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系 如何?请直接写出结果,不须证明.(4)归纳(1)、(2)、(3),请用简捷 语言表述BD、DE、CE的关系. 16、已知:如图,在四边形ABCD中,CD AB=,CDA BAD∠ = ∠。 求证:DCB ABC∠ = ∠。 17、已知:如图5—132,点C在线段AB上,以AC和BC为边在AB的 同侧作正三角形△ACM和△BCN,连结AN、BM,分别交CM、CN于点P、 Q.求证:PQ∥AB. A B E O F D C F G E D C B A D A C B

全等三角形经典培优题型含答案-精品

全等三角形经典培优题型含答案-精品 2020-12-12 【关键字】方法、问题、位置、关键、基础、关系、拓展、关键点 全等三角形的性质:对应角相等,对应边相等,对应边上的中线相等,对应边上的高相等,对应角的角平分线相等,面积相等. 寻找对应边和对应角,常用到以下方法: (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边. (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角. (3)有公共边的,公共边常是对应边. (4)有公共角的,公共角常是对应角. (5)有对顶角的,对顶角常是对应角. (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角),一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角). 要想正确地表示两个三角形全等,找出对应的元素是关键. 全等三角形的判定方法: (1) 边角边定理(SAS ):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. (2) 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. (3) 边边边定理(SSS ):三边对应相等的两个三角形全等. (4) 角角边定理(AAS ):两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5) 斜边、直角边定理(HL ):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 全等三角形的应用:运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题,在证明的过程中,注意有时会添加辅助线. 拓展关键点:能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础. 全等三角形证明经典题 1已知:AB=4,AC=2,D 是BC 中点,AD 是整数,求AD 2已知:BC=DE ,∠B=∠E ,∠C=∠D ,F 是CD 中点,求证:∠1=∠2 3已知:∠1=∠2,CD=DE ,EF//AB ,求证: EF=AC A D B C

全等三角形培优专题训练

探索三角形全等的条件 1、一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两张三角形纸片,再将这两张纸片摆成如下图形式,使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证:AB ⊥ED ; ⑵若PB =BC ,请找出图中与此条件有 关的一对全等三角形,并给予证明 2、如图,在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB =90°,AD 平分∠BAC ,BE ⊥AD 交AC 的延长线于F ,E 为垂足,则结论:①AD =BF ;②CF =CD ;③AC +CD =AB ;④BE =CF ;⑤BF =2BE.其中正确的是( ) 3、如图,点C 在线段AB 上,DA ⊥AB ,EB ⊥AB ,FC ⊥AB ,且DA =BC ,EB =AC ,FC =AB ,∠AFB =51°,求∠DFC 的度数. A

4、如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC,O为对角线AC的中点,过点O 作一条直线分别与AB、CD交于点M、N,点E、F在直线M、N上,且 OE=OF. ⑴图中共有几对全等三角形,请把它们都写下来; ⑵求证:∠MAE=∠NCF 5、在△ABC中,高所在直线AD和BE交于H点,且BH=AC,则∠ABC=_____________. 6、下列三个判断: ⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等; ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等; ⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等. 上述判断是否正确?若正确,说明理由;若不正确,请举出反例. 全等三角形的应用 全等三角形常用来转移线段和角,用它来证明:①线段和角的等量关系②线段和角的和差倍分关系③直线与直线的平行或垂直等位置关系 1、如图,已知BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高,点P在BD的延长线上,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB.试判断AP与AQ的关系,并证明. 2、如图,AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于点F,且BF=AC,FD=CD, 求证:BE⊥AC B E

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