2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。 1.设1i
2i 1i
z -=
++,则||z = A .0
B .
12
C .1
D .2
2.已知集合{}
2
20A x x x =-->,则A =R e A .{}
12x x -<< B .{}
12x x -≤≤
C .}{}{
|1|2x x x x <->U
D .}{}{
|1|2x x x x ≤-≥U
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是 A .新农村建设后,种植收入减少
B .新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C .新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D .新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若3243S S S =+,12a =,则=5a A .12-
B .10-
C .10
D .12
5.设函数32()(1)f x x a x ax =+-+,若()f x 为奇函数,则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A .2y x =-
B .y x =-
C .2y x =
D .y x =
6.在ABC △中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB =u u u r
A
.3144
AB AC -
u u u
r u u u r
B .1344
AB AC -u u u
r u u u r
C .3144
AB AC +u u u
r u u u r
D .1344
AB AC +u u u
r u u u r
7.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为
A .172
B .52
C .3
D .2
8.设抛物线C :y 2=4x 的焦点为F ,过点(–2,0)且斜率为2
3
的直线与C 交于M ,N 两点,则FM FN ?u u u u r u u u r =
A .5
B .6
C .7
D .8
9.已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=?
>?
,,
,,()()g x f x x a =++.若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是 A .[–1,0)
B .[0,+∞)
C .[–1,+∞)
D .[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为
直角三角形ABC 的斜边BC ,直角边AB ,AC .△ABC 的三边所围成的区域记为I ,黑色部分记为II ,其余部分记为III .在整个图形中随机取一点,此点取自I ,II ,III 的概率分别记为p 1,p 2,p 3,则
A .p 1=p 2
B .p 1=p 3
C .p 2=p 3
D .p 1=p 2+p 3
11.已知双曲线C :2
213
x y -=,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点
分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形,则|MN |= A .
32
B .3
C .23
D .4
12.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积的最大
值为 A .
33
4
B .
23
3
C .
32
4
D .
32
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若x ,y 满足约束条件220100x y x y y --≤??
-+≥??≤?
,则32z x y =+的最大值为_____________.
14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若21n n S a =+,则6S =_____________.
15.从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_____________
种.(用数字填写答案)
16.已知函数()2sin sin2f x x x =+,则()f x 的最小值是_____________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:60分。 17.(12分)
在平面四边形ABCD 中,90ADC ∠=o ,45A ∠=o ,2AB =,5BD =. (1)求cos ADB ∠;
(2)若22DC =,求BC . 18.(12分)
如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ;
(2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.
19.(12分)
设椭圆2
2:12
x C y +=的右焦点为F ,过F 的直线l 与C 交于,A B 两点,点M 的坐标为(2,0). (1)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程; (2)设O 为坐标原点,证明:OMA OMB ∠=∠. 20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为)10(<
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为)(p f ,求)(p f 的最大值点0p .
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的0p 作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.
(i )若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求EX ; (ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 21.(12分)
已知函数1
()ln f x x a x x
=
-+. (1)讨论()f x 的单调性;
(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,证明:
()()
1212
2f x f x a x x -<--.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程;
(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 23.[选修4–5:不等式选讲](10分)
已知()|1||1|f x x ax =+--.
(1)当1a =时,求不等式()1f x >的解集;
(2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立,求a 的取值范围.
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C
B
A
B
D
A
B
D
C
A
B
A
13.6 14.63- 15.16 16.33
2
- 17.(12分)
解:(1)在ABD △中,由正弦定理得
sin sin BD AB
A ADB
=
∠∠. 由题设知,
52
sin 45sin ADB
=
?∠,所以2sin 5ADB ∠=. 由题设知,90ADB ∠,所以223cos 1255ADB ∠=-
=. (2)由题设及(1)知,2
cos sin 5
BDC ADB ∠=∠=. 在BCD △中,由余弦定理得
2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???∠
225825225
=+-???
25=.
所以5BC =. 18.(12分)
解:(1)由已知可得,BF ⊥PF ,BF ⊥EF ,所以BF ⊥平面PEF . 又BF ?平面ABFD ,所以平面PEF ⊥平面ABFD .
(2)作PH ⊥EF ,垂足为H .由(1)得,PH ⊥平面ABFD .
以H 为坐标原点,HF u u u r
的方向为y 轴正方向,||BF uuu r 为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系H ?xyz
.
由(1)可得,DE ⊥PE .又DP =2,DE =1,所以PE =3.又PF =1,EF =2,故PE ⊥PF .
可得33,22
PH EH =
=. 则3333(0,0,0),(0,0,),(1,,0),(1,,),2222H P D DP --=u u u r 3
(0,0,)2
HP =u u u r 为平面ABFD 的法向量. 设DP 与平面ABFD 所成角为θ,则334sin ||4||||3
HP DP HP DP θ?===?u u u r u u u r
u u u r u u u r .
所以DP 与平面ABFD 所成角的正弦值为3
4
. 19.(12分)
解:(1)由已知得(1,0)F ,l 的方程为x =1.
由已知可得,点A 的坐标为2(1,
)2或2(1,)2
-. 所以AM 的方程为222y x =-
+或222
y x =-. (2)当l 与x 轴重合时,0OMA OMB ∠=∠=?.
当l 与x 轴垂直时,OM 为AB 的垂直平分线,所以OMA OMB ∠=∠.
当l 与x 轴不重合也不垂直时,设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠,1221(,),(,)A y x y x B , 则122,2x x <<,直线MA ,MB 的斜率之和为212122
MA MB x x y y
k k +=
+--.
由1122,y k k x y k x k =-=-得
121212(23()42)(2)
MA MB x x x x k k x x k
k k -+++=
--.
将(1)y k x =-代入2
212
x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=.
所以,21221222422
,2121
x x x k k k x k -+==++.
则31313222
44128423()4021
k k k k k
k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=,故MA ,MB 的倾斜角互补,所以OMA OMB ∠=∠. 综上,OMA OMB ∠=∠. 20.(12分)
解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为2218
20()C (1)f p p p =-.因此 2182172172020()C [2(1)18(1)]2C (1)(110)f p p p p p p p p '=---=--.
令()0f p '=,得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>;当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<. 所以()f p 的最大值点为00.1p =. (2)由(1)知,0.1p =.
(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知(180,0.1)Y B :,20225X Y =?+,即4025X Y =+.
所以(4025)4025490EX E Y EY =+=+=.
(ii )如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于400EX >,故应该对余下的产品作检验. 21.(12分)
解:(1)()f x 的定义域为(0,)+∞,222
11
()1a x ax f x x x x
-+'=--+=-. (i )若2a ≤,则()0f x '≤,当且仅当2a =,1x =时()0f x '=,所以()f x 在(0,)+∞单调递减.
(ii )若2a >,令()0f x '=得,242a a x --=或24
2a a x +-=.
当2244
(0,
)(,)22
a a a a x --+-∈+∞U 时,()0f x '<; 当2244(
,)22a a a a x --+-∈时,()0f x '>.所以()f x 在2244
(0,),(,)22a a a a --+-+∞单调递减,在2244
(
,)22
a a a a --+-单调递增. (2)由(1)知,()f x 存在两个极值点当且仅当2a >.
由于()f x 的两个极值点12,x x 满足2
10x ax -+=,所以121x x =,不妨设12x x <,则21x >.由于
121212212121212
22
()()ln ln ln ln 2ln 1
1221f x f x x x x x x a a a x x x x x x x x x x ----=--+=-+=-+----,
所以
1212()()2f x f x a x x -<--等价于222
1
2ln 0x x x -+<.
设函数1
()2ln g x x x x
=
-+,由(1)知,()g x 在(0,)+∞单调递减,又(1)0g =,从而当(1,)x ∈+∞时,()0g x <.
所以
2221
2ln 0x x x -+<,即1212
()()2f x f x a x x -<--. 22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为2
2
(1)4x y ++=.
(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.
由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为
2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有
两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为2,所以2|2|
21
k k -+=+,故43k =-或0k =.
经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4
3
k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.
当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为2,所以2|2|
21
k k +=+,故0k =或43k =.
经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4
3
k =时,2l 与2C 没有公共点. 综上,所求1C 的方程为4
||23
y x =-
+. 23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
【解析】(1)当1a =时,()|1||1|f x x x =+--,即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-??
=-<?≥?
故不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >.
(2)当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立. 若0a ≤,则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥; 若0a >,|1|1ax -<的解集为20x a <<,所以2
1a
≥,故02a <≤. 综上,a 的取值范围为(0,2].