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高中数学三角函数图像和性质

高中数学三角函数图像和性质
高中数学三角函数图像和性质

高中数学

三角函数的图象和性质知识点

一. 正弦函数:

1. 正弦函数的图象:

2. 定义域为;值域为 .

(1) 当且仅当时,取得最大值1;

(2) 当且仅当时,取得最小值1-.

3. 单调性:

在闭区间上都是增函数,其值从1-增大到1;

在闭区间上都是减函数,其值从1减小到1-.

4. 奇偶性: .

5. 周期性:最小正周期是,周期是 .

6. 对称性:对称轴是___________,对称中心是__________.

二. 余弦函数:

1. 余弦函数的图象:

2. 定义域为 .值域为 .

(1) 当且仅当时,取得最大值1;

(2) 当且仅当时,取得最小值1-.

3. 单调性:

在闭区间上都是增函数,其值从1-增加到1;在闭区间上都是减函数,其值从1减小到1-.

4. 奇偶性: .

5. 周期性:最小正周期是,周期是 .

6. 对称性:对称轴是___________,对称中心是__________.

三. 正切函数: 1.正切函数的图象

(1) 将正切函数tan y x =在区间 (,

)2

2

ππ

-上的图象向左、右扩展,就可以得到正切函数

tan ,,,2

y x x x k k π

π=∈≠

+∈R Z ()的图象,我们把它叫做正切曲线.正切曲线是由被互相平行的直线x =

________()k ∈Z 所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线x =________()k ∈Z 叫做正切曲线各支的________.

(2) 结合正切曲线的特征,类比正弦、余弦函数的“五点法”作图,也可用三点两线作图法作出正切函数

tan y x =在一个单调区间 (,)22ππ-上的简图.其中,三点为(,1)4π--、()0,0、(,1)4π,两线为2x π-=、2

x π

=. 画

图时,注意图象不能与直线 相交.

2. 定义域为__________;值域为__________.

3. 单调性:在区间__________内,函数单调递增.

4. 奇偶性:由诱导公式tan()tan x x -=-,可得正切函数具备________.

5. 周期性:最小正周期是________;周期是

6. 对称性:对称轴是________,对称中心是________.

题型一正弦,余弦函数的图象和性质

【例1】求函数y=

【例2】函数y=cos x+1的对称中心是_______. 函数y=2sin(4x+p

3

)的对称轴方程为_______.

【过关练习】

1.求函数3sin2

y x

=-的值域以及取得最值时x的值2. 判断函数=sin()

y x x

π-的奇偶性

3. 求函数1sin

y x

=-的单调区间

课后练习

【补救练习】

1. 求函数y

【巩固练习】

1. 求函数12sin y x =-的值域

2. 判断函数=cos y x x 的奇偶性

【拔高练习】

1. 函数2cos(2)14

y x π

=-+的对称轴是_______,对称中心为_______.

2. 求函数11+cos 2

y x =的单调区间

题型二 正切函数的图象和性质

【例1】函数tan 0()4

4

y x x x ππ

≤≤≠且=-的值域是( )

A .[]1,1- B.(][)1,00,1-U

C.(], 1∞-

D.[)1,-+∞

【例2】不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小:tan167tan173。。与

【过关练习】

1.用正切函数图象解不等式

tan x

2. 求函数tan 33

y x π??

=- ??

?

的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心

课后练习

【补救练习】

1. 函数 y =tan x 在

p 4,p 2é?ê??÷∪p 2,

3p 4?è?ù?ú

上的值域是___________.

【巩固练习】

1. 不通过求值,比较下列两个正切函数值的大小:1113tan()tan()45

ππ--与

2. 比较tan1,tan2,tan3的大小

【拔高练习】

1. 在()0,2π内,使tan 1x >成立的x 的取值范围为__________

2. 求函数n 4

ta y x π??

=-+ ??

?的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性、对称中心

函数 y =A sin(wx +j )+k 的图象与性质

知识点

一. 正弦函数、余弦函数的图象:

1. 正弦函数[]sin ,0,2y x x π=∈的图象中,五个关键点是:___、___、___、___、___.

2. 余弦函数[]cos ,0,2y x x π=∈的图象中,五个关键点是:___、___、___、___、___.

二. 三角函数的图象变换:

1. 由sin y x =的图象变换出()sin y wx ?=+的图象一般有两个途径,要对这两个途径加以区分. 【途径一】先平移变换再周期变换(伸缩变换)

先将sin y x =的图象沿x 轴向左()0?>或向右()0?<平移?个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的1

w

倍()0w >,即可得到()sin y wx ?=+的图象. 【途径二】先周期变换(伸缩变换)再平移变换 先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1w 倍()0w >,再沿x 轴向左()0?>或向右()0?<平移w

?

个单位,即可得到()sin y wx ?=+的图象. 三. 函数

y =A sin(wx +j )+k 的图象与性质:

函数()sin y A wx B ?=++()0,0A w >>

最大值是______,最小值是______,周期是_____,频率是______,相位是____,初相是____;其图象的对

称轴是直线_____,凡是该图象与直线______的交点都是该图象的对称中心.

题型一 用五点法画三角函数的图象

【例1】用“五点法”画出函数=1sin y x -在[0,2]π上的简图

【例2】用“五点法”画出函数132sin 2+???

?

?+=πx y 在??

?

???-65,6ππ上的简图

【过关练习】

1. 用“五点法”画出函数 y =sin2x 在 [0,2p ]上的简图

课后练习

【补救练习】

1. 用“五点法”画出函数1

=cos 12

y x +在[0,2]π上的简图

【巩固练习】

1. 用“五点法”画出函数

y =cos 2x +p 4?

è

??

?÷在 [0,2p ]上的简图

【拔高练习】

1. 用“五点法”画出函数162cos 2+???

?

?-=πx y 在??

?

???1213,12ππ上的简图

题型二 函数

y =A sin(wx +j )+k 的图象与性质

【例1】将函数()sin f x x =图象上所有的点向右移动3π个单位长度,再将所得各点的横坐标缩短到原来的12

倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式为( ). A .1

sin()2

3y x π

=-

B.1sin()2

6

y x π

=-

C.sin(2)3

y x π

=-

D.sin(2)6

y x π

=-

【例2】为了得到函数sin 23

y x π??

=- ??

?

的图象,只需把函数sin2y x =的图象( ).

A .向左平移

个单位长度 B.向右平移3

π个单位长度

C.向左平移6

π个单位长度 D.向右平移6

π个单位长度

【过关练习】

1.已知函数()()sin (0,0,)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><的部分图象如图所示,则?=( A .π6

- B.

6

π

C.π

3

- D.π3

2. 已知函数sin()y A x ω?=+,在同一周期内,当9

x π

=时函数取得最大值2,当49

x π

=

时函数取得最小值2-,则该函数的解析式为( ). A .2sin(3)6

y x π

=-

B.2sin(3)6

y x π

=+

C.2sin()3

6

x y π

=+

D.2sin()3

6

x y π

=-

3. 已知函数2()sin(2)3

f x x π=-; (1) 求函数的周期;

(2) 求函数的单调递增区间;

(3) 求函数的对称轴;

(4) 求函数的对称中心;

(5) 求函数在,23ππ

??

-????

上的最值.

课后练习

【补救练习】

1. 将函数sin y x =的图象向右平移2

π

个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得的图象对应的函数解析式为( ) . A .1sin y x =- B.1sin y x =+ C.1cos y x =-

D.1cos y x =+

【巩固练习】

1. 为了得到函数2sin 36x

y π??

=+ ??

?, x ∈R 的图象,只需把函数2sin 3

x

y =,x ∈R 的图象( ).

A .向左平移

6π个单位长度 B.向右平移6π

个单位长度

C.向左平移2

π个单位长度 D.向右平移2

π个单位长度

2. 函数()sin y A wx ?=+,0,0,2

2x R A w ππ??

?∈>>-<< ??

?

的部分图象如图所示,求函数()f x 的解析式.

【拔高练习】

1. 已知函数()sin()(0,0,||2

f x A x k A π

ω?ω?=++>><,在同一个周期内的最高点是(2,2),最低点为(8,4)- ,

求()f x 的解析式.

2. 已知函数()1

2sin 2

3f x x π??=+ ???

(1) 求函数的周期;

(2) 求函数的单调减区间;

(3) 求函数的对称轴;

(4) 求函数的对称中心;

(5) 求函数在,32ππ

??

-????

上的最大值和最小值.

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质 1.三角函数中的值域及最值问题 a .正弦(余弦、正切)型函数在给定区间上的最值问题 (1)(经典题,5分)函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π 2上的最小值为( ) A .-1 B .- 22 C.22 D .0 答案:B 解析:∵x ∈????0,π2,∴-π4≤2x -π4≤3π 4,∴函数f (x )=sin ????2x -π4在区间????0,π2上先增后减.∵f (0)=sin ????-π4=-22, f ????π2=sin ????3π4=2 2, f (0)

三角函数图像与性质知识点总结

三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2,1 (π,0) ? ?? ??? 32π,-1 (2π,0) (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),? ?????π2,0,(π,-1),? ???? ? 3π2,0,(2π,1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y =sin x y =cos x y =tan x 定义域 R R {x |x ≠k π+π 2 ,k ∈Z} 图象 值域 [-1,1] [-1,1] R 对称性 对称轴: x =k π+ π2(k ∈Z); 对称轴: x =k π(k ∈Z) 对称中心: 对称中心:? ?? ?? ?k π2,0 (k ∈Z)

3.一般地对于函数(),如果存在一个非零的常数,使得当取定义域内的每一个值时,都有f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T 叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上确界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下确界.

高三数学三角函数经典练习题及复习资料精析

1.将函数()2sin 2x f x =的图象向右移动02π???? << ?? ? 个单位长度, 所得的部分图象如右图所示,则?的值为( ) A .6 π B .3 π C .12 π D .23 π 2.已知函数()sin 23f x x π??=+ ?? ? ,为了得到()sin 2g x x =的图象,则 只需将()f x 的图象( ) A .向右平移3π个长度单位 B .向右平移6 π个长度单位 C .向左平移6π个长度单位 D .向左平移3 π 个长度单位 3.若113sin cos αα +=sin cos αα=( ) A .13- B .13 C .13-或1 D .13或-1 4.2014cos()3 π的值为( ) A .12 B . 3 2 C .12- D .32 - 5.记cos(80),tan 80k -?=?那么= ( ). A 2 1k -.2 1k - C 2 1k -.2 1k k -- 6.若sin a = -45 ,a 是第三象限的角,则sin()4 a π +=( ) (A )-7210 (B ) 7210 (C )2 - 10 (D ) 210

7 .若 55 2) 4 sin(2cos -=+ π αα,且)2 ,4(ππα∈,则α2tan 的值为( ) A .3 4- B .4 3- C .4 3 D .3 4 8.已知函数)sin(cos )cos(sin )(x x x f +=,则下列结论正确的是 ( ) A .)(x f 的周期为π B .)(x f 在)0,2 (π-上单调递减 C .)(x f 的最大值为2 D .)(x f 的图象关于直线π=x 对称 9.如图是函数2(ωφ),φ<2 π的图象,那么 A.ω=11 10,φ=6 π B.ω=10 11,φ6π C.ω=2,φ=6 π D.ω =2,φ6 π 10.要得到函数sin(4)3 y x π=-的图象,只需要将函数sin 4y x =的 图象( ) A .向左平移3 π个单位 B .向右平移3 π 个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12 π个单位 11.要得到12cos -=x y 的图象,只需将函数x y 2sin =的图象

高中数学教案三角函数的图象与性质

高中数学教案三角函数的图象及性质 精编习题 三角函数的图象及性质 一、知识网络 二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题; 2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇 函数(或偶函数)的充要条件的应用;寻求三角函数的单调区间;比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性;寻求型三角函数的周期以及 难度较高的含有绝对值的三角函数的周期. (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 2、型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草

图的逆用:由给出的一段函数图象求函数解析式; 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用; 4、利用函数图象解决应用问题. (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域及值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y=sinx,y=tanx;偶函数:y=cosx. (2)型三角函数的奇偶性 (ⅰ)g(x)=(x∈R) g(x)为偶函数 由此得; 同理,为奇函数 . (ⅱ) 为偶函数;为奇函 数 . 3、周期性 (1)基本公式

(ⅰ)基本三角函数的周期y=sinx,y=cosx的周期为;y=tanx,y=cotx的周期为 . (ⅱ)型三角函数的周期 的周期为; 的周期为 . (2)认知 (ⅰ)型函数的周期 的周期为; 的周期为 . (ⅱ)的周期 的周期为; 的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对y=的解析式施加绝对值后,该函数的周期不变.注意这一点及(ⅰ)的区别. (ⅱ)若函数为型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究

广州艺术生高考数学复习资料3三角函数性质与图像

三角函数性质与图像 知识清单: .......... 函数s i n ()y A x ω?=+的图像和性质以函数sin y x =为基础,通过图像变换来把握.如①sin y x =????→图例变化为 ②sin()y A x ω?=+(A >0,ω>0)相应地, ①的单调增区间2,22 2 k k ππππ??-++?? ? ? ??? →变为 222 2 k x k π π πω?π- +++≤≤ 的解集是②的增区间. 注:⑴)sin(?ω+=x y 或cos()y x ω?=+(0≠ω )的周期ω π 2= T ; ⑵sin()y x ω?=+的对称轴方程是2 x k π π=+ (Z k ∈),对称中心(,0)k π; cos()y x ω?=+的对称轴方程是x k π=(Z k ∈) ,对称中心1(,0) 2 k ππ+; )tan(?ω+=x y 的对称中心( 0,2πk ). 课前预习 1.函数sin cos y x x =-的最小正周期是 2π . 2. 函数1 π2sin()23 y x =+ 的最小正周期T = 4π . 3.函数sin 2 x y =的最小正周期是2π

4.函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是]6 5, 3 [ ππ 5.函数22cos()( )3 6 3 y x x π π π=- ≤≤的最小值是1 6.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象,可以将函数x y 2cos =的图象向左平移3 π 个单位长度 7.将函数sin y x =的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标不变,再把所得图象上所有点向左平移 3 π 个单位,所得图象的解析式是y=sin( 2 1x+ 6 π ). 8. 函数sin y x x =+ 在区间[0, 2 π ]的最小值为___1___. 9.已知f (x )=5sin x cos x -35cos 2 x + 3 2 5(x ∈R ) ⑴求f (x )的最小正周期;y=5sin(2x-3π ) T=π ⑵求f (x )单调区间;[k 12 π π- ,k π+ 12 5π], [k 12 5ππ+ ,k π+ 12 11π]k Z ∈ ⑶求f (x )图象的对称轴,对称中心。x=1252ππ+k ,( 0,6 2π π+ k ) k Z ∈ 典型例题 例1、三角函数图像变换 将函数1 2cos()3 2 y x π=+的图像作怎样的变换可以得到函数cos y x =的图像? 变式1:将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像? 例2、已知简谐运动π π()2sin 32f x x ????? ?=+< ? ???? ?的图象经过点(01),,则该简谐运动的最 小正周期T 和初相?分别为6T =,π6 = 例3、三角函数性质 求函数34sin(2)2 3 y x ππ= + 的最大、最小值以及达到最大(小)值时x 的值的集合.; 变式1:函数y =2sin x 的单调增区间是[2k π-2 π ,2k π+ 2 π ](k ∈Z ) 变式2、下列函数中,既是(0, 2 π)上的增函数,又是以π为周期的偶函数是( B) (A)y =lg x 2 (B)y =|sin x | (C)y =cos x (D)y=x 2sin 2 变式3、已知? ? ???? ∈2, 0πx ,求函数)12 5cos( )12 cos( x x y +--=ππ 的值域y=2sin (x+ 6 π )?? ? ??2,22 变式4、已知函数12 ()log (sin cos )f x x x =- y=log 2 1()4 sin(2π -x ) ⑴求它的定义域和值域;(2k 4 52,4 πππ π+ + k ) k ∈Z ?? ? ?? ?+∞- ,21

高中数学教师备课必备系列(三角函数(一)专题9 三角函数图像与性质

专题九三角函数图像与性质.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 .三角函数的单调区间: 的递增区间是,递减区间是 ; 的递增区间是,递减区间是, 的递增区间是, .函数 最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 .由=的图象变换出=(ω+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进

行图象变换。 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 途径一:先平移变换再周期变换 (伸缩变换) 先将=的图象向左(>)或向右(<=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的 倍(ω>),便得=(ω+)的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将=的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>),再沿轴向左(>)或向右(<=平移 个单位,便得=(ω+)的图象。 .由=(ω+)的图象求其函数式: 给出图象确定解析式(ω)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,)作为突破口, 要从图象的升降情况找准 ..第一个零点的位置。 .对称轴与对称中心: 的对称轴为,对称中心为; 的对称轴为,对称中心为; 对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。 .求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意、的正负利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; .求三角函数的周期的常用方法: 经过恒等变形化成“、”的形式,在利用周期公式,另外还有图像法和定义法。 .五点法作(ω)的简图: 五点取法是设ω,由取、、π、、π来求相应的值及对应的值,再描点作图。 四.典例解析

(完整版)高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

x ?正弦、余弦、正切函数图象和性质 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 -5 3 7 ~2~ ” - 丁1 T V x 2*伽 -4 -7 -3 ' 、一 -2 -3 - -1 o '2 5 3 J. ‘ 4 2 2 2

y=ta nx J J J 1 Jr jr y y ; 1 1 / / / I ? r / / / y\ y=cotx 1 1 1 \ i 1 ! i I 1 3f-2 1 f J 1 J f f o 2 f I \ I i 1 I L o I I X2 1 三角函数的性质 1定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y = sinx , y= tanx ;偶函数:y= cosx. ⑺八黒 ' -型三角函数的奇偶性 (i)g(x 丄^ 丁(x€ R) (x)为偶函数- U 山呂in(曲+ 训+ e二匕T +—〔七W E) 由此得- 同理或劝=丿血(阪+呦〔肚丘)为奇函数u 如卩二0吕貯=匕吋上亡£)丘)Q..I —「二一L> : C 2. ■■■ □ 为偶函数;.匚」一⑺一".S 为奇函数 O 炉=Rr+ —(h e 7) 3、周期性 1)基本公式 (i)基本三角函数的周期y= sinx , y= cosx 的周期为; y = tanx , y = cotx 的周期为;T? (ii)—",:'型三角函数的周期 尹=」幻n(购+ 朝 +匕尸=+炉)+上的周期为同 y=cosx

P =」tan (处: + &) +匕尸二(处卄洞+& 的周期为91 . (2)认知 (i ) ?卜巳-,?| 型函数的周期 y = pisin (伽+ 剑| j = A cos(d&r+ 4?)| 的周期为 7T y = |j4tan(dft + 训,y=血 ot 〔伽 + 训 的周期为 ? = |了(曲+卩)+円往无0)的周期 》=|£血(血工+朝胡』=|1(:0£(处+?+上| y = |^tan(&r + ^) +円 j =凶诃(你+昉+刈 的周期为’; 7T 的周期为'? 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 数 的周期不变?注意这一点与(i )的区别? (ii ) 若函数为-’二 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (iii ) 探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验一一猜想一一证明 ? (3)特殊情形研究 y 二门」 彳J 的解析式施加绝对值后,该函 JT (i) y = tanx — cotx 的最小正周期为 ; y = sin z|+|co5z| 7T 的最小正周期为二; 7T (iii ) y = sin 4X + cos 4x 的最小正周期为 二. 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象 . 4、单调性 (1) 基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ① 选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的 一个周期; ② 写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③ 获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数 的增区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 . 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域 (2) 』— 丁 型三角函数的单调区间

三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y =A sin(ωx +φ)或y =A cos(ωx +φ),A>0,ω>0,要根据 y =sin x ,y =cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )=sin ()x ?+(0≤?<π)是R 上的偶函数,则?等于( ) A.0 B . 4πC .2 π D .π 【评注】由sin y x =是奇函数,cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论:sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数,则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数,则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数,则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数,则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数,则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知,函数为奇函数,则等于( ) A.0 B .1 C .1-D .1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设,则“”是“为偶函数”的( ) A 充分不必要条件 B .必要不充分条 C .充要条件 D .无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设,其中,则是偶函数的充要条件是( ) A.(0)1f =B .(0)0f =C .'(0)1f =D .'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设,则是( ) A.π最小正周期为的奇函数B .π最小正周期为的偶函数 C .2π 最小正周期为 的奇函数D .2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若,则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B .π最小正周期为的偶函数 C .π最小正周期为2的奇函数D .π最小正周期为2的偶函数

三角函数的图像与性质

一、选择题 1.函数y =sin 2x +sin x -1的值域为( ) A .[-1,1] B .[-5 4,-1] C .[-5 4,1] D .[-1,5 4 ] [答案] C [解析] 本题考查了换元法,一元二次函数闭区间上的最值问题,通过sin x =t 换元转化为t 的二次函数的最值问题,体现了换元思想和转化的思想,令t =sin x ∈[-1,1],y =t 2 +t -1,(-1≤t ≤1),显然-5 4 ≤y ≤1,选C. 2.(2011·山东理,6)若函数f (x )=sin ωx (ω>0)在区间[0,π 3]上单调递增, 在区间[π3,π 2 ]上单调递减,则ω=( ) A .3 B .2 C.32 D.2 3 [答案] C [解析] 本题主要考查正弦型函数y =sin ωx 的单调性 依题意y =sin ωx 的周期T =4×π3=43π,又T =2π ω, ∴2πω=43π,∴ω=32 .

故选C(亦利用y =sin x 的单调区间来求解) 3.(文)函数f (x )=2sin x cos x 是( ) A .最小正周期为2π的奇函数 B .最小正周期为2π的偶函数 C .最小正周期为π的奇函数 D .最小正周期为π的偶函数 [答案] C [解析] 本题考查三角函数的最小正周期和奇偶性. f (x )=2sin x cos x =sin2x ,最小正周期T =2π 2=π, 且f (x )是奇函数. (理)对于函数f (x )=2sin x cos x ,下列选项中正确的是( ) A .f (x )在(π4,π 2)上是递增的 B .f (x )的图像关于原点对称 C .f (x )的最小正周期为2π D .f (x )的最大值为2 [答案] B [解析] 本题考查三角函数的性质.f (x )=2sin x cos x =sin2x ,周期为π,最大值为1,故C 、D 错;f (-x )=sin(-2x )=-2sin x ,为奇函数,其图像关 于原点对称,B 正确;函数的递增区间为???? ??k π-π4,k π+π4,(k ∈Z)排除A. 4.函数y =sin2x +a cos2x 的图像关于直线x =-π 8对称,则a 的值为 ( )

(完整版)高一数学三角函数的图像和性质练习题

高一数学 三角函数的图像和性质练习题 1.若cosx=0,则角x 等于( ) A .k π(k ∈Z ) B . 2π+k π(k ∈Z ) C .2π+2k π(k ∈Z ) D .-2π+2k π(k ∈Z ) 2.使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A .m ≥0 B .m ≤0 C .-1<m <1 D .m <-1或m >1 3.函数y=3cos ( 52x -6π)的最小正周期是( ) A .5 π2 B .2π5 C .2π D .5π 4.函数y=2sin 2x+2cosx -3的最大值是( ) A .-1 B .21 C .-21 D .-5 5.下列函数中,同时满足①在(0, 2π)上是增函数,②为奇函数,③以π为最小正周期的函数是( ) A .y=tanx B .y=cosx C .y=tan 2x D .y=|sinx| 6.函数y=sin(2x+π6 )的图象可看成是把函数y=sin2x 的图象做以下平移得到( ) A.向右平移π6 B. 向左平移 π12 C. 向右平移 π12 D. 向左平移π6 7.函数y=sin(π4 -2x)的单调增区间是( ) A. [kπ-3π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) B. [kπ+π8 , kπ+5π8 ] (k∈Z) C. [kπ-π8 , kπ+3π8 ] (k∈Z) D. [kπ+3π8 , kπ+7π8 ] (k∈Z) 8.函数 y=15 sin2x 图象的一条对称轴是( )

A.x= - π2 B. x= - π4 C. x = π8 D. x= - 5π4 9.函数 y=15 sin(3x-π3 ) 的定义域是__________,值域是________,最小正周期是________,振幅是________,频率是________,初相是_________. 10.函数y=sin2x 的图象向左平移 π6 ,所得的曲线对应的函数解析式是____ _____. 11.关于函数f(x)=4sin(2x+π3 ),(x∈R),有下列命题: (1)y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-π6 ); (2)y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数; (3)y=f(x)的图象关于点(-π6 ,0)对称; (4)y=f(x)的图象关于直线x=-π6 对称;其中正确的命题序号是___________. 12. 已知函数y=3sin (21x -4 π). (1)用“五点法”作函数的图象; (2)说出此图象是由y=sinx 的图象经过怎样的变化得到的; (3)求此函数的最小正周期; (4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 13. 如图是函数y =A sin(ωx +φ)+2的图象的一部分,求它的振幅、最小正周期和初 相。

高考数学重点难点讲解之三角函数的图像和性质

难点15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点,在复习时要充分运用数形结合的思想,把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用. ●难点磁场 (★★★★)已知α、β为锐角,且x(α+β-2π)>0,试证不等式f(x)=)sin cos ()sin cos (αββα+x x <2对一切非零实数都成立. ●案例探究 [例1]设z1=m+(2-m2)i,z2=cos θ+(λ+sin θ)i,其中m,λ,θ∈R ,已知z1=2z2,求λ的取值范围. 命题意图:本题主要考查三角函数的性质,考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用,属★★★★★级题目. 知识依托:主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析:考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题. 技巧与方法:对于解法一,主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题;对于解法二,主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题. 解法一:∵z1=2z2, ∴m+(2-m2)i=2cos θ+(2λ+2sin θ)i,∴ ???+=-=θλθ sin 222cos 22m m ∴λ=1-2cos2θ-sin θ=2sin2θ-sin θ-1=2(sin θ-41)2-89 . 当sin θ=41时λ取最小值-89 ,当sin θ=-1时,λ取最大值2. 解法二:∵z1=2z2 ∴ ???+=-=θλθsin 222cos 22m m

∴??????? --==222sin 2cos 2 λθθm m , ∴4)22(42 22λ--+m m =1. ∴m4-(3-4λ)m2+4λ2-8λ=0,设t=m2,则0≤t ≤4, 令f(t)=t2-(3-4λ)t+4λ2-8λ,则 ???????? ?≥≥≤-≤ ≥?0 )4(0)0(424300 f f λ或f(0)·f(4)≤0 ∴??? ??? ??? ≤≥≤≤≤≤--≥02204345 89λλλλλ或或 ∴-89 ≤λ≤0或0≤λ≤2. ∴λ的取值范围是[-89 ,2]. [例2]如右图,一滑雪运动员自h=50m 高处A 点滑至O 点,由于运动员的技巧(不计阻力),在O 点保持速率v0不为,并以倾角θ起跳,落至B 点,令OB=L ,试问,α=30°时,L 的最大值为多少?当L 取最大值时,θ为多大? 命题意图:本题是一道综合性题目,主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力.属★★★★★级题目. 知识依托:主要依据三角函数知识来解决实际问题. 错解分析:考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题,知识的迁移能力不够灵活. 技巧与方法:首先运用物理学知识得出目标函数,其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题. 解:由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程:

三角函数图象和性质(总结的很全面,不看后悔)

三角函数专题辅导 课程安排 制作者:程国辉

专题辅导一 三角函数的基本性质及解题思路 课时:4-5学时 学习目标: 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。 第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数: cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式: sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式: ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 = = αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=???→=-↓=-=-±±=?-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= (2)倒数关系:sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, (3)商数关系:sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = =

高中数学必修4 三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质 1.“五点法”描图 (1)y =sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0),)1,2 (π ,(π,0),) 1,23( -π,(2π,0). (2)y =cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1),)0,2(π,(π,-1),)0,23(π ,(2π,1). 2.三角函数的图象和性质

(1)周期性 函数y=A sin(ωx+φ)和y=A cos(ωx+φ)的最小正周期为2π |ω|,y=tan(ωx+φ)的最小正周 期为π |ω|. (2)奇偶性 三角函数中奇函数一般可化为y=A sin ωx或y=A tan ωx,而偶函数一般可化为y=A cos ωx+b的形式. 三种方法 求三角函数值域(最值)的方法: (1)利用sin x、cos x的有界性; (2)形式复杂的函数应化为y=A sin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域; (3)换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值)问题.

双基自测 1.函数)3cos(π +=x y ,x ∈R ( ). A .是奇函数 B .是偶函数 C .既不是奇函数也不是偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 2.函数) 4 tan( x y -=π 的定义域为( ). A . } ,4 |{Z k k x x ∈- ≠π π B .},4 2|{Z k k x x ∈-≠π π C .},4 |{Z k k x x ∈+ ≠π π D .},4 2|{Z k k x x ∈+ ≠π π 3.)4sin(π -=x y 的图象的一个对称中心是( ). A .(-π,0) B .)0,4 3(π- C .)0,2 3( π D .)0,2 (π 4.函数f (x )=cos )6 2(π + x 的最小正周期为________. 考向一 三角函数的周期 【例1】?求下列函数的周期: (1)) 2 3 sin( x y π π - =;(2))6 3tan(π -=x y 考向二 三角函数的定义域与值域 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目:

三角函数图像与性质测试

三角函数的性质与图像(学案) 一、 学习目标 1、“五点法”画函数sin()y A x ω?=+的图像. 2、图像变换规律. 3、由函数图像或性质求解析式. 重点:围绕三角函数图像变换、五点作图求函数解析式. 难点:图像变换中的左右平移变换中平移量的确定. 二、 学习过程 1、高考考点分析 2、知识梳理: (1)用“五点法”画sin()y A x ω?=+一个周期的简图时,要找出

五个关键点。 填写表格: (2)三角函数图像的变化规律: (3)函数sin()y A x ω?=+的物理意义:

(4)由函数sin()y A x k ω?=++图像求函数解析式的步骤和方法: ①A 的确定: ②k 的确定: ③ω的确定: ④?的确定: 三、基础训练 1、函数sin(2)3 y x π =+的最小正周期为( ) A. 4π B. 2π C. π D. 2 π 2、将函数2sin(2)6 y x π =+的图像向右平移14 个周期后,所得图像 对应的函数为( ) A. 2sin(2)6 y x π=+ B. 2sin(2)3 y x π =+ C. 2sin(2)4 y x π=- D. 2sin(2)3 y x π =- 3、为了得到sin()3 y x π =+的图像,只需把函数sin y x =的图像上所 有的点( ) A .向左平移3π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向上平移3π个单位 D .向下平移3 π 个单位 4、函数2cos2y x x +的最小正周期为( ) A . 2 π B .23π C. π D. 2π

四、范例导航 题型一:三角函数的图象 例1.(2000全国,5)函数y =-xc os x 的部分图象是( ) 变式练习.(2002上海,15)函数y =x +sin|x |,x ∈[-π,π]的大致图象是( ) 题型二:函数sin()y A x ω?=+图像及变换 例2、已知函数2sin(2)3 y x π =+ (1)求它的振幅、周期、初相。 (2)用五点作图法作它在一个周期内的图像。 (3)试说明2sin(2)3 y x π =+的图像可由sin y x =的图像经过 怎样的变换得到? 列表:

三角函数图像及其性质

【本讲教育信息】 一.教学内容: 三角函数的图象与性质 二.教学目的: 了解三角函数的周期性,知道三角函数y=A sin(ωx+φ),y=A cos(ωx +φ)的周期为。 能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,并能根据图象理解正弦函 数、余弦函数在[0,2π],正切函数在(-,)上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)。 了解三角函数y=A sin(ωx+φ)的实际意义及其参数A,ω,φ对函数图象变化的影响;会画出y=A sin(ωx+φ)的简图,能由正弦曲线y=sin x通过平移、伸缩变换得到y=A sin(ωx+φ)的图象。 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 三.教学重点:三角函数的性质与运用 教学难点:三角函数的性质与运用。 四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间: 的递增区间是, 递减区间是; 的递增区间是,

递减区间是, 的递增区间是, 3.函数 最大值是,最小值是,周期是,频率是,相位是,初相是;其图象的对称轴是直线,凡是该图象 与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y=sinx的图象变换出y=sin(ωx+)的图象一般有两个途径,只有区别开这两个途径,才能灵活进行图象变换 利用图象的变换作图象时,提倡先平移后伸缩,但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言,即图象变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少. 途径一:先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y=sinx的图象向左(>0)或向右(<0=平移||个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),便得y=sin(ωx+)的图象。 途径二:先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y=sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω>0),再沿x轴向左(>0)或向右(<0=平移个单位,便得y=sin(ωx+)的图象。 5.由y=Asin(ωx+)的图象求其函数式: 给出图象确定解析式y=Asin(ωx+)的题型,有时从寻找“五点”中的第一零点(-,0)作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心: 的对称轴为,对称中心为; 的对称轴为,对称中心为; 对于和来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间:一般先将函数式化为基本三角函数的标准式,要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间; 8.求三角函数周期的常用方法: 经过恒等变形化成“、”的形式,再利用周期公式,另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin(ωx+)的简图: 五点取法是设x=ωx+,由x取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值,再描点作图。

高考数学热点难点专题11++三角函数的图像与性质中的易错点(理)(教师版)

专题11 三角函数的图像与性质中的易错点 一.学习目标 1.理解三角函数的定义域、值域和最值、奇偶性、单调性与周期性、对称性. 2.会判断简单三角函数的奇偶性,会求简单三角函数的定义域、值域、最值、单调区间及周期. 3.理解三角函数的对称性,并能应用它们解决一些问题. 二.方法总结 1.三角函数奇偶性的判断与其他函数奇偶性的判断步骤一致: (1)首先看定义域是否关于原点对称; (2)在满足(1)后,再看f (-x )与f (x )的关系. 另外三角函数中的奇函数一般可化为y =A sin ωx 或y =A tan ωx ,偶函数一般可化为y =A cos ωx +b 的形式. 2.三角函数的单调性 (1)函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思想是把ωx +φ看作一个整体,比如:由2k π-π2≤ωx +φ≤2k π+π 2 (k ∈Z)解出x 的范围,所得区间即为增区间. 若函数y =A sin(ωx +φ)中A >0,ω<0,可用诱导公式将函数变为y =-A sin(-ωx -φ),则y =A sin(-ωx -φ)的增区间为原函数的减区间,减区间为原函数的增区间. 对函数y =A cos(ωx +φ),y =A tan(ωx +φ)等单调性的讨论同上. (2)三角函数单调性的应用主要有比较三角函数值的大小,而比较三角函数值大小的一般步骤:①先判断正负;②利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的两个同名函数;③再利用单调性比较. 3.求三角函数的最值常见类型: (1)y =A sin(ωx +φ)+B 或y =A tan(ωx +φ)+B , (2)y =A (sin x -a )2+B , (3)y =a (sin x ±cos x )+b sin x cos x (其中A ,B ,a ,b ∈R ,A ≠0,a ≠0). 三.函数图象与性质需要掌握的题型 (一)三角函数图象平移 (二)三角函数的零点 (三)函数的单调性 (四)函数的解析式 (五)三角函数图象综合 (六)三角函数的奇偶性

2020高考数学三角函数复习题

高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复习过程中既要注重三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知识的工具性,突出三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等;熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的公式解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五点画出函数sin() =+的图象; y A xω? 理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化. 二、高考考点分析 2004年各地高考中本部分所占分值在17~22分,主要以选择题和解答题的形式出现。主要考察内容按综合难度分,我认为有以下几个层次:第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、切弦互化等。

第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。 三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x;配凑角:α=(α+β)- β,β= 2β α+- 2β α-等。 (3)降次与升次。(4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ+bcosθ=2 2b a+sin(θ+?),这里辅助角?所在象限由a、b的符号确定,?角的值由tan?= a b确定。 2.证明三角等式的思路和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析”。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。

三角函数的图象与性质知识点汇总

三角函数的图象与性质 、知识网络 基弃变换 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性奇函数:y = sinx , y = tanx ; 偶函数:y= cosx. (2) -'’ 一 -‘:型三角函数的奇偶性 (i)g (x)=* (x€ R) g (x )为偶函数 ' 二二—「二: O卫址1(徴 + ? =/win(-徴+@)(x亡卫)U sin ocrcos(p= 0(x白应) cos (p二 0 o(p= jt/r-hy e 7) 由此得 同理,旨(对二話乞山(伽+洌0€丘)为奇函数O 寻炉=七兀3€2). (ii)u'■■ ' '''「:;::「' ■?■. 八为偶函数' ..为奇函数

O S (<3X + 炉)+丘 的周期为 竺 kl 7T y = / tan (阪 + + 上丿=/cot (血+饲 + 上 的周期为 (2)认知 -I ' ' : " '型函数的周期 7T -;1 1 - - ■ : - 1 的周期为 门; 71 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 J 的解析式施加绝对值后, y = sin z|+|co3J : 的最小正周期为

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