(北师大版)初中数学【例题与讲解】定义与命题

2定义与命题

1．定义

对某些名称或术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是对名称和术语下定义．

谈重点下定义的注意事项

①在定义中，必须揭示出事物与其他事物的本质属性的区别．②定义的双

重性：定义本身既可以当性质用，又可以当判定用．③语句必须通顺、

严格、准确，一般不能用“大约”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的

词语．要有利于人们对被定义的事物或名词与其他事物或名词区别．

②【例1】下列语句，属于定义的是()．

A．两点之间线段最短

B．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

C．三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半

D．三人行则必有我师焉

解析：判断是不是定义，关键看是否对名称或术语的含义加以描述，而且作出了规定．很明显，A，C，D没有对名称或术语作出描述，故应选B.

答案：B

点技巧分清定义与命题

注意定义与命题的区分，作出判断的是命题，对名称或术语作出描述的是定义．

2．命题

(1)定义：判断一件事情的句子，叫做命题．

(2)命题的组成结构：

①每个命题都是由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

②有些命题没有写成“如果……那么……”的形式，条件和结论不明显．对于这样的命题，要经过分析才能找到条件和结论，也可以将它们改写成“如果……

那么……”的形式．命题的条件部分，有时也可用“已知……”或“若……”等形式表述．命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述．谈重点改写命题

命题的改写不能是简单地加上“如果”“那么”，而应当使改写的命题和原来的命题内容不变，且语句通顺完整，命题的条件、结论要清楚可见．有些命题条件和结论不一定只有一个，要注意区分．

【例2】指出下列命题的条件和结论：①平行于同一直线的两条直线互相平行；②若ab＝1，则a与b互为倒数；③同角的余角相等；④矩形的四个角都是直角．

分析：命题的条件是已知事项，结论是由已知事项推断出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式．“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论．

解：①条件：两条直线都和第三条直线平行，结论：这两条直线互相平行．

②条件：ab＝1，结论：a与b互为倒数．

③条件：两个角是同一个角的余角，结论：这两个角相等．

④条件：一个四边形是矩形，结论：这个四边形的四个角都是直角．

点技巧分清条件和结论

“若……则……”形式的命题中“若”后面是条件，“则”后面是结论．

3．公理、定理、证明

(1)公理

公认的真命题称为公理．

①公理是不需推理论证的真命题．

②公理可以作为推理论证定理及其他命题真假的依据．

常用的几个公理：

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

②两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．

③两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．

④两角及其夹边对应相等的两个三角形全等．

⑤三边对应相等的两个三角形全等．

⑥全等三角形的对应边相等、对应角相等．

其他公理：等式和不等式的有关性质，等量代换都可以看作公理．

(2)定理

有些命题的正确性是通过推理的方法证实的，这样的真命题叫做定理．

①定理是经过推理论证的真命题，但真命题不一定都是定理．

②定理可以作为推理论证其他命题的依据．

(3)证明

推理的过程叫证明．推理必须做到步步有据，条条有理．

【例3】下列说法正确的是()．

A．真命题都可以作为定理

B．公理不需要证明

C．定理不一定都要证明

D．证明只能根据定义、公理进行

解析：真命题并不都是定理，故选项A不正确；定理必须经过证明，故选项C不正确；证明可以根据定义、公理、定理进行，故选项D不正确；公理是公认的真命题，不需要证明，故选B.

答案：B

点评：掌握公理、定理、命题之间的区别，明确其含义，是解决本题的关键．

4．命题及真假命题的判断

(1)命题的判断

判断一个句子是否为命题，要根据命题的定义．

①命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断，即具有明确的判断性．如果一个句子对某一件事情没有作出任何判断，那么它就不是命题．

②命题并不是数学所独有，凡是判断某一件事情的正确或错误的语句都是命题．

③命题是陈述语句，其他形式的句子，如：疑问句、感叹句、祈使句等都不是命题．如：“你爱好什么运动？”没有作出判断，这不是命题．

注意：错误的判断也是命题，不能以正确与否来判断是否为命题．

(2)真假命题的判断

命题是一个判断，这个判断可能正确，也可能错误．因此可以将命题分为真命题和假命题．

①正确的命题称为真命题．

②不正确的命题称为假命题．

③真命题、假命题的判断与比较：

要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例；要说明一个命题是真命题需根据公理和定理证明．

谈重点判断真假命题的方法

①如果题设成立，结论也一定成立，那么这样的命题为真命题；②如果题设成立，但结论不成立，这样的命题为假命题．

【例4－1】下列句子中是命题的有__________(填序号)．①直角三角形中的两个锐角互余．②正数都小于0.③如果∠1＋∠2＝180°，那么∠1与∠2互补．④太阳不是行星．⑤对顶角相等吗？⑥作一个角等于已知角．

解析：判断是否为命题，要根据命题的特征：一是必须为一个完整的句子；二是必须对某件事情做出肯定或否定的判断．所以①②③是命题，它们都对事情作出了肯定回答；④是命题，它对事情作出了否定回答；⑤不是陈述语句；⑥只是描述了一个作图的过程，并未作出判断，不是命题．

答案：①②③④

【例4－2】下列命题中，真命题是()．

A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0 B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0

C．若a·b＝0，则a＝0，且b＝0 D．若a·b＝0，则a＝0，或b＝0 解析：分析是否为真命题，需要分析各题设能否推出结论，从而利用排除法得出答案．由a·b＞0可得a，b同号，可能同为正，也可能同为负，所以A是假命题；a·b＜0可得a，b异号，所以B是假命题；a·b＝0可得a，b中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，所以C是假命题；若a·b＝0，则a＝0，或b ＝0，或二者同时为0，所以D是真命题．故选D.

答案： D

【例4－3】已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②

等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等．其中假命题有__________(填序号)．

解析：

答案

析规律巧判真假命题

命题是判断事情的语句．若命题判断的事情是正确的，则命题是真命题；反之，命题为假命题．

5．命题的组合

命题是由条件和结论组成的，当条件成立，结论也成立时，该命题即为真命题．命题的组成就是通过选择一定的条件，使结论成立，即组成真命题．组合新的命题是考察命题的概念及有关知识的重要题型．该题型常见于对几何的考查，一般是给出几个单独的论断，根据有关知识内容结合图形重新组合写出正确的命题．

命题的条件和结论往往不是固定的，要使所组合的命题是正确的，要求必须理解掌握有关的知识内容．

点评：①命题组合时，条件可能不止一个，注意两个条件的情况．②组合命题一般是几何中的某一图形的性质或者判定．

【例5－1】如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；

②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE.请以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题__________．(用序号?????的形式写

出)

解析：答案不唯一，如：由AB＝AC，∠B＝∠C，BD＝CE，得到△ABD≌△ACE，则AD＝AE.所以①③④?②.

答案：①③④?②

【例5－2】对同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；

②b∥c；③a⊥b；④a∥c；⑤a⊥c.以其中两个论断为条件，另一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________(用序号表示)．

解析：答案不唯一．根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行”，可得出：若①②，则④.

答案：若①②，则④