一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类
全等篇
同侧锐角直角钝角
P
异侧相似篇
A
同侧锐角直角钝角
P
异侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED,则△AEC≌△BDE.
3.中点型“一线三等角”
如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3,当∠1=∠2 且1
902
BOC BAC ∠=?+∠时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.
如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关,
1
902
BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质,反之未必是内心.
在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF ,交于点 P ,则点 D 是△PEF 的旁心.
5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明 )
图 3-5
其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题;
b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
c.图形中只有直线上一个角,不上“二等角”构造模型解题.
体会:感觉最后一种情况出现比较多,尤其是压轴题中,经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时,我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段,尤其是直角坐标系中的张角问题,在 x 轴或 y 轴(也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线)上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.
3.构造一线三等角的步骤:找角、定线、构相似
坐标系中,要讲究“线”的特殊性
如图 3-6,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角导线段的关系,过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序,看起来线条比较多,很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例 1 如图所示,一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于 A 、B 两点,点 P 是线段 AB 上一个动点(不包括 A 、B 两端点),C 是线段 OB 上一点,∠OPC=45°,若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.
例 2 如图所示,四边形 ABCD 中,∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°,AE ⊥BC 于 E ,∠ADE=67.5°,AB=6,则 CE= .
例 3 如图,四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=5.求BC 的长.
例 4 如图,△ABC 中,∠BAC=45°,AD⊥BC,BD=2,CD=3,求AD 的长.
一线三等角,补形最重要,内构勤思考,外构更精妙.找出相似形,
比例不能少.巧设未知数,妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造,坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5 如图,在△ABC 中,∠BAC=135°,AC= 2AB, AD⊥AC 交BC 于点D,若AD = 2,求△ABC的面积
当然有45°或135°等特殊角,据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起,是相似集中条件的一种.
大练身手:
例7:在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,3),C(-3,0),D是线段AB上一点,CD交y轴于E,且S△BCE=2S△AOB.
(1)求直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标,猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系,并说明理由;
(3)若F为射线CD上一点,且∠DBF=45°,求点F的坐标.
例8:如图,直线y=x+2与y轴交于点C,与抛物线y=ax2交于A、B两点(A在B的左侧),BC=2AC,点P是抛物线上一点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)若点P在直线AB的下方,求点P到直线AB的距离的最大值;
(3)若点P在直线AB的上方,且∠BPC=45°,求所有满足条件的点P的坐标.
练1:.如图,抛物线的顶点为C(-1,-1),且经过点A、点B和坐标原点O,点B的横坐标为-3.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D为抛物线上的一点,且△BOD的面积等于△BOC的面积,请直接写出点D的坐标;
(3)若点E的坐标为(0,2),点P是线段BC上的一个动点,是否存在点P,使得∠OPE =45°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
课后作业:
如图,点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点,若∠APB=45°,求点P的坐标
在四边形ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,∠ACD=45°,AB=3,AD=4,求AC的长.
如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,△EFG为等边三角形,求证:BE+GC=3BC
如图,△ABC:△DBA,且AC=2BC,求证:CD=2AB.
如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5
5,求BD的长
如图,点A 是反比例(X>0)图形上一点,点B是X轴正半轴上一点,点C的坐标为(0,2),点△ABC是等边三角形时,求点A的坐标.
如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,
直线l:y=-1
2x+m经过点A,与抛物线交于另一点D(5,-
7
2),点P是直线l上方的抛
物线上的动点,连接PC、PD.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCD为直角三角形时,求点P的坐标;
(3)设△PCD的面积为S,请你探究:使S的值为整数的点P共有几个,说明理由.
y
x
O
A B
C
D
l
1.如图1,已知直线y =kx 与抛物线 交于点A (3,6).
(1)求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度;
(2)点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM , 交x 轴于点M (点M 、O 不
重合),交直线OA 于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究:线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值?如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由;
(3)如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上(与点O 、A 不重
合),点D (m ,0)是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD .继续探 究:m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个?
3222742+-=x y
如图,直线AC:y=-2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+c(a>0)过A、C两点,与x轴交于另一点B(B在A的右侧),且△OBC∽△OCA.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点D为抛物线上一点,∠DCA=45°,求点D的坐标;
备用图
专题18《弦图模型》 破解策略 1.内弦图 如图,在正方形ABCD中,BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF,则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.证明因为∠ABC=∠BFC=90° 所以∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB-90°. 所以∠ABE=∠FC B. 又因为AB=B C.所以△ABE≌△BCF, 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. D C 2.外弦圈 如图,在正方形ABCD中,点M,N,P,Q在正方形ABCD边上,且 四边形MUPQ为正方形,则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. 证明因为∠B=∠QMN=∠C=90°, 所以∠BQM+∠QMB=∠QMB+∠NMC=90°, 所以∠BQM=∠NM C. 又因为QM=MN,所以△QBM≌△MCN. 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. N Q D A 3.括展 (1)如图,在Rt△ABH中.∠ABH=90°,BE⊥AH于点E.所以 △A BE≌△BHE≌△AH B. (2)如图,在Rt △QBM和Rt△BLK中,QB=BL,QM⊥BK,所以 △QBM≌△BLK.
证明因为∠BLK=90°,QM⊥BK, 所以∠KBL+∠QMB=∠KBI十∠K=90° 所以∠QMB=∠K, 又因为QB=BL. 所以△QBM≌△BLK. 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在的直线上,连结CE,以CE 为边,作正方形CEFG(点D,F在直线CE的同侧),连结BF.当点E在线段AD上时,AE =1,求BF的长. G 解如图,过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H, 延长FH交BC的延长线于点K. 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形, 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH,所以FH=ED=AD-AE=3,EH=CD=4.因为CDHK为矩形,所以HK=CD=4,CK=DH=EH-ED=1. 所以FK=FH十HK=7,BK=BC+CK=. 5. 所以BF
一线三等角模型 一 . 一线三等角概念 “一线三等角” 是一个常见的相似模型, 指的是有 三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形, 这个角可以是直角, 也可以是锐角或钝角。 不同地区对此有不同的称呼, “K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角” 。二 . 一线三等角的分类 全等篇 C D D C A P B A P B 锐角 直角 D D D C A P B 同侧 钝角 D A A B P P B A B P C C 相似篇 C 异侧 D C D C A P B A P B 锐角 直角 D D C A P B 同侧 钝角 D D A B P A B P A B P C C C 异侧 三、“一线三等角”的性质 1. 一般情况下,如图 3-1 ,由∠ 1=∠ 2=∠ 3,易得△ AEC ∽△ BDE. 2. 当等角所对的边相等时,则两个三角形全等 . 如图 3-1 ,若 CE=ED ,则△ AEC ≌△ BDE.
3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠ 1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△ BDE∽△ CFD∽△ DFE. 4. “中点型一线三等角“的变式( 了解 ) 如图 3-3,当∠ 1=∠2 且BOC 901 BAC 时,点O是△ABC的内心.可以考虑构2 造“一线三等角”. 如图 3- 4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, BOC901 BAC 这是内心的性质,反之未必是内心. 2 在图 3-4(右图)中,如果延长BE 与 CF,交于点 P ,则点 D 是△ PEF 的旁心 . 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5 ,以等腰三角形为例进行说明) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解 . 相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用 1.“一线三等角”应用的三种情况 . a.图形中已经存在“一线三等角”,直接应用模型解题; b.图形中存在“一线二等角”,不上“一等角”构造模型解题;
专题九:“一线三角型”模型的应用 1、如图,在△ABC中,AB=AC,P、M分别在BC、AC边上,且APM B ∠=∠,AP=MP,求证:△APB≌△PMC。 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据 已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ABC为等边三角形,60 APM? ∠=,BP=1, 2 3 CM=,求△ABC的边长。 3、如图,等腰梯形ABCD中,AD//BC,3,7,60 AD cm BC cm B? ==∠=,P为BC上一点(不与B、C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得APM B ∠=∠。 (1)求证:△ABP∽△PCM; (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3?若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由。
4、如图,, ===, AB cm CD cm BD cm ⊥⊥,且6,4,14 AB BD CD BD 问:在BD上是否存在P点,使以P、B、A为顶点的三角形与以P、D、C 为顶点的三角形相似?如果存在,求BP的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形ABCD中,AD//BC,AD BC <,且AD=5,AB=DC=2。 (1)如图a,P是AD上的一点,满足BPC A ∠=∠。 ①求证:△ABP∽△DPC;②求AP的长。 (2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足BPE A ∠=∠,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么: ①当点Q在线段DC的延长线上时,设, AP x CQ y ==,求y关于x的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP的长。 6、正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点, 当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,如图。 (1)证明Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设BM x =,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数 关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN面积最大,并求出
如图,AB=12米,CA丄AB于点A , DB丄AB于点B,且AC=4米,点P从B向A运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟后,△ CPA 与厶PQB全等? D C / / F - f I A p S 如图①所示,在△ ABC中,/ C=90 0,AC=BC,过点C在厶ABC外作直线MN,AM丄M N于点M , BN丄MN于点N . ⑴求证:MN=AM + BN . (2)如图②.若过点C直线MN与线段AB相交,AM丄MN于点M, BN丄MN于N ,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图①图②
如图,已知/ B= / C=90 ° M是BC的中点,DM平分/ ADC. (1) 求证:AM平分/ DAB (2) 试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? (3) 线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果 如图,△ ABE EDC , E 在BD 上, AB 丄BD ,垂足为 B , △ AEC 是等腰直角三角形吗 ? 为什么?
【练3】正方形ABCD,E是BC上一点,AE — EF,交/ DCH的平分线于点 F ,求证AE=EF 如图所示,在Rt ABC中,.ABC =90 ,点D在边AB上,使,过点D作EF _ AC,分别 交AC于点E,CB的延长线于点F。求证:AB=BF。( 8分) 如图(1),已知AB 丄BD,ED 丄BD,AB=CD,BC=DE, ⑴试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由.
弦图模型 1.弦图基本模型 模型一: c b a 模型二: 1. 弦图模型之变形 ααα 探究重难点: 例1. 如图,在正方形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 边上的点,且BE=CF, 连接AE 、BF 交于点H 。 (1)求证:AE=BF (2)求证: AE ⊥ BF c a b
变式练习1.如图,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD边上的点, 连接AE、BF交于点H,且AE⊥BF. 求证:AE=BF 变式练习2 如图,E,F分别是等边三角形ABC的边AB,AC上的点,且BE=AF,CE、BF交于点P (1)求证:CE=BF; (2)求∠BPC的度数. 例2. 如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D 为AC边上一点,若∠APD=60°,则CD的长为为多少? 例3.如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l3上,且l1,l2之间的距离为2,l2,l3之间的距离为3,求AC的长是多少?
变式练习1.如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是(﹣2,1),点C的纵坐标是4, 则B、C两点的坐标分别是() A.(,3)、(﹣,4)B.(,3)、(﹣,4) C.(,)、(﹣,4)D.(,)、(﹣,4) 变式练习2.: 在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,则S1+S2+S3+S4为 变式练习3. 如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=2,将梯形的腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至DE,连接AE,CE,若△ADE的面积为3,那么BC的长为多少? 变式练习4. 在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB,AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE,BG和EG,EG与HA的延长线交于点M.下列结论:①BG=CE;②BG⊥CE; ③AM是△AEG的中线;④∠EAM=∠ABC.其中正确结论的是
“ 一线三等角”模型在初中数学中的应用 一、“一线三等角”模型的提炼 例1、(2015 年山东·德州卷) (1)问题:如图1,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证:AD·BC=AP·BP. (2)探究:如图2,在四边形ABCD 中,点P 为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?说明理由. (3)应用:请利用(1)、(2)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD 中,AB=6,AD=BD=5.点P 以每秒1 个单位长度的速度,由点 A 出发,沿边AB 向点B 运动,且满足∠DPC=∠A.设点P 的运动时间为t(秒),当以D 为圆心,以DC 为半径的圆与A B相切,求t 的值. 变式1 ( 2012 年烟台) ( 1) 问题探究 如图6,分别以△ABC 的边AC 与边BC 为边,向△ABC 外作正方形ACD1E1 和正方形BCD2E2,过点C作直线KH 交直线AB 于点H,使∠AHK = ∠ACD1.作 D1M ⊥KH,D2N ⊥KH,垂足分别为点M、N.试探究线段D1M 与线段D2N 的数量关系,并加以证明. ( 2) 拓展延伸 1如图7,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线K1H1 ,K2H2,分别交直线AB 于点H1、H2,使∠AH1K1 = ∠BH2K2 = ∠ACD1.作D1M ⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点M、N. D1M = D2N 是否仍成立? 若成立,给出证明; 若不成立,说明理由. 2如图8,若将① 中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M = D2N 是否仍成立? ( 要求:在图8 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明)
《八年级数学期中培优》全等、等腰与勾股综合:一线三等角模型(K 型/三垂直模型)应用 1.(1)如图(1),已知:在△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=90°,直线MN 过A 点,分别过B 、C 向直线MN 作垂线,垂 足为E 、F 。求证: EF=BE+CF 。 (2)若将(1)中的直线MN 绕着A 点旋转,使直线MN 与BC 相交,如图(2),而其他条件不变时,(1)中的 结论是否成立?若成立,请你证明;若不成立,你能得到什么结论?请给出证明。 2.如图1,△ABC 中,AG ⊥BC 于点G ,以A 为直角顶点,分别以AB 、AC 为直角边,向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ,过点E 、F 作射线GA 的垂线,垂足分别为P 、Q . (1)试探究EP 与FQ 之间的数量关系,并证明你的结论. (2)若连接EF 交GA 的延长线于H ,由(1)中的结论你能判断并证明EH 与FH 的大小关系吗? (3)图2中的△ABC 与△AEF 的面积相等吗?(不用证明) A B C E F 图(1) M N A B C E F 图(2) M N
3.[问题背景]如图1所示,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,点D为直线BC上的一个动点(不与B、C重合),连结AD,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°,使点A旋转到点E,连结EC. [问题初探]如果点D在线段BC上运动,通过观察、交流,小明形成了以下的解题思路:过点E作EF⊥BC交直线BC于F,如图2所示,通过证明△DEF≌△,可推证△CEF是三角形,从而求得 ∠DCE=°. [继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动,如图3所示,求出∠DCE的度数. [拓展延伸]连接BE,当点D在直线BC上运动时,若AB=,请直接写出BE的最小值. 4、课间,小聪拿着老师的等腰直角三角板玩,不小心掉到两墙之间(如图),∠ACB=90°,AC=BC,从三角板的刻度可知AB=20cm,小聪很快就知道了砌墙砖块的厚度的平方(每块砖的厚度相等)为________cm. 5、如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1、l2、l3上,且l1、l2之间 的距离为2 , l2、l3之间的距离为3 ,则AC的长为。
几何模型:一线三等 角模型
一线三等角模型 一.一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型,指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,“K 形图”,“三垂直”,“弦图”等,以下称为“一线三等角”。 二.一线三等角的分类 全等篇 同侧 锐角直角钝角 P 异侧 相似篇 A 同侧锐角直角钝角 异侧
三、“一线三等角”的性质 1.一般情况下,如图 3-1,由∠1=∠2=∠3,易得△AEC ∽△BDE. 2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等.如图 3-1,若 CE=ED ,则△AEC ≌△BDE. 3.中点型“一线三等角” 如图 3-2,当∠1=∠2=∠3,且 D 是 BC 中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE. 4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3,当∠1=∠2 且1 902 BOC BAC ∠=?+∠时,点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”. 如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关, 1 902 BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质,反之未必是内心. 在图 3-4(右图)中,如果延长 BE 与 CF ,交于点 P ,则点 D 是△PEF 的旁心. 5.“一线三等角”的各种变式(图 3-5,以等腰三角形为例进行说明 ) 图 3-5 其实这个第 4 图,延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的,不延长理解,以为是一种新型的,同侧穿越型?不管怎么变,都是由三等角确定相似三角形来进行解题 四、“一线三等角”的应用
【例1】已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,BE=EF,∠BEF=90°,按图①放置,使点F在BC上,取DF的中点G,连接EG、CG. (1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明; (2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°,再连接DF,取DF中点G(如图②),问(1)中的结论是否仍然成立.证明你的结论; (3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间),再连接DF,取DF的中点G(如图③),问(1)中的结论是否仍然成立,证明你的结论.
【例2】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点M为边BC的中点,以M为顶点作∠EMF=∠B,射线ME交腰AB于点E,射线MF交腰CD于点F,连接EF. (1)求证:△MEF∽△BEM; (2)若△BEM是以BM为腰的等腰三角形,求EF的长; (3)若EF⊥CD,求BE的长.
【例3】如图,在梯形ABCD 中,AD∥BC,AD=6cm,CD=4cm,BC=BD=10cm,点P 由B 出发沿 BD 方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,线段EF 由DC 出发沿DA 方向匀速运动,速度为1cm/s,交BD 于Q,连接PE.若设运动时间为t(s)(0<t<5).解答下列问题: (1)当t 为何值时,PE∥AB; (2)设△PEQ 的面积为y(cm 2),求y 与t 之间的函数关系式; (3)是否存在某一时刻t,使S△PEQ=25 2S△BCD?若存在,求出此时t 的值;若不存在,说明理由;(4)连接PF,在上述运动过程中,五边形PFCDE 的面积是否发生变化?说明理由.
专题18 弦图模型 破解策略 1.内弦图 如图,在正方形ABCD中,BF⊥CG,CG⊥DH,DH⊥AE,AE⊥BF,则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH.证明因为∠ABC=∠BFC=90° 所以∠ABE+∠FBC=∠FBC+∠FCB-90°. 所以∠ABE=∠FC B. 又因为AB=B C.所以△ABE≌△BCF, 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH. D C 2.外弦圈 如图,在正方形ABCD中,点M,N,P,Q在正方形ABCD边上,且 四边形MUPQ为正方形,则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. 证明因为∠B=∠QMN=∠C=90°, 所以∠BQM+∠QMB=∠QMB+∠NMC=90°, 所以∠BQM=∠NM C. 又因为QM=MN,所以△QBM≌△MCN. 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ. N Q D A 3.括展 (1)如图,在Rt△ABH中.∠ABH=90°,BE⊥AH于点E.所以 △A BE≌△BHE≌△AH B. (2)如图,在Rt △QBM和Rt△BLK中,QB=BL,QM⊥BK,所以 △QBM≌△BLK.
E H B A 证明 因为∠BLK =90°,QM ⊥BK , 所以∠KBL +∠QMB =∠KBI 十∠K = 90° 所以∠QMB =∠K , 又因为QB = BL . 所以△QBM ≌△BLK . K Q E 例题讲解 例1 四边形ABCD 是边长为4的正方形,点E 在边AD 所在的直线上,连结CE ,以CE 为边,作正方形CEFG (点D ,F 在直线CE 的同侧),连结BF .当点E 在线段AD 上时,AE =1,求BF 的长. G F E D 解 如图,过点F 作FH ⊥AD 交AD 的延长线于点H , 延长FH 交BC 的延长线于点K . 因为四边形ABCD 和四边形CEFG 是正方形, 根据“弦图模型”可得△ECD ≌△FEH ,所以FH =ED =AD -AE =3,EH = CD =4. 因为CDHK 为矩形,所以HK =CD =4,CK =DH =EH -ED =1. 所以FK = FH 十HK =7,BK =BC +CK =.5. 所以BF 22 FK BK 74
如图,AB=12 米,CA⊥AB 于点A,DB⊥ AB 于点B,且AC=4 米,点P 从 B 向 A 运动, 每分钟走1米,点Q从B点向D 运动,每分钟走2米,P、Q两点同时出发,运动几分钟 如图①所示,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC,过点 C 在△ABC 外作直线MN,AM⊥M N 于点M,BN⊥MN 于点N. (1)求证:MN=AM+BN. (2)如图②.若过点C 直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于N,(1)中的 结论是否仍然成立?说明理由. 图① 图②
如图,已知∠B=∠C=90°,M 是BC 的中点,DM 平分∠ADC. 1)求证:AM 平分∠DAB 2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系? 3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系?直接写出结果。 如图,△ABE≌△EDC,E 在BD 上,AB⊥BD,垂足为B,△AEC 是等腰直角三角形吗?为什么?
练3】正方形ABCD,E 是BC上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的平分线于点F,求证AE=EF
交AC 于点E,CB 的延长线于点F。求证:AB=BF 。(8 分) 如图(1),已知AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE, (1)试判断AC与CE的位置关系,并说明理由. (2)若将CD沿CB方向平移得到图②③④⑤的情形,其余条件不变,此时第(1)问中AC与CE的位置关系还成立吗?结论还成立吗?请任选一个说明理由. 如图,在△ABC 中,AB=AC,DE 是过点A 的直线,BD⊥DE 于D,CE⊥DE 于点E;如图所示,在Rt ABC中,ABC = 90,
专题九:“一线三角型”模型的应用1如图,在△ ABC中,AB=AC P、M分别在BC AC边上, 且.APM ,AP=MP,求证:△ APB^A PMC 分析:证明两个三角形全等,找边、角的等量关系,根据已有的知识经验,学生很快能够解决。 2、如果把第1题中的等腰三角形改为等边三角形,如图, △ ABC为等边三角形,.APM =60 , BP=1,CM =?,求△ ABC的边长 3 AD//BC, AD 二3cm, BC 二7cm, 一B 二 3、如图,等腰梯形ABCD中, 60 , P为BC上一点(不与B C重合),连结AP,过P点作PM交DC于M,使得 APM "B。 (1)求证:△ ABP^A PCM (2)求AB的长; (3)在底边BC上是否存在一点P,使得DM:MC=5:3若存在, 求出BP的长;若不存在,请说明理由
4、如图,AB I BD,CD _ BD ,且 AB = 6cm,CD = 4cm, BD = 14cm , 问:在 BD 上是否存在P 点,使以P 、B 、A 为顶点的三角形与以P 、DC 为顶点的三角形相似?如果存在,求 BP 的长;如果不存在,请说明理由。 5、已知在梯形 ABCD 中, AD//BC, AD :: BC ,且 AD=5,AB=DC=2 (1) 如图a ,P 是AD 上的一点,满足.BPC- A ①求证:△ ABP^A DPC ②求AP 的长。 (2) 如果点P 在AD 边上移动(点P 与点A 、D 不重合),且满 足.BPE W^A ,PE 交直线BC 于点E ,同时交直线DC 于点Q,那么: ①当点Q 在线段DC 的延长线上时,设AP 二x,CQ 二y ,求y 关于x 的函数解析式, 并写出函数自变量的取值范围; ②当CE=1时,求出AP 的长 6、正方形ABCD 边长为4, M N 分别是BC CD 上的两个动点, 当M 点在BC 上运动时,保持AM 和 MN 垂直,如图。 (1) 证明 Rt △ ABMh Rt △ MCN (2) 设BM =x ,梯形ABCN 勺面积为y ,求y 与x 之间的函数 关系 式;当M 点运动到什么位置时,四边形 ABCNS 积最大,并求出 占 ~~
中考模型解题 之 弦图模型 一、 知识提要 1. 弦图基本模型 模型一: c b a 模型二: 2. 弦图模型之变形 60°60°60° ααα 二、 专项训练 【板块一】弦图基本模型 1. 如图,Rt △ABC 中,CD ⊥AB ,垂足为D ,DE ⊥AC ,垂足为E ,求证:22AC AE BC CE . E D C B A 2. 如图,梯形ABCD 中,AB //DC ,∠B =90°,E 为BC 上一点,且AE ⊥ED .若 c a b
BC =12,DC =7,BE :EC =1:2,则AB 的长为____________. E D C B A 3. 在△ABC 中,AB =25,AC =4,BC =2,以AB 为边向△ABC 外作△ABD , 使△ABD 为等腰直角三角形,求线段CD 的长. 【板块二】弦图模型之变形 4. (2011)如图,等边三角形ABC 的边长为3,点P 为BC 边上一点,且BP =1, 点D 为AC 边上一点,若∠APD =60°,则CD 的长为 . 5.(2011)如图,四边形ABCD ,M 为BC 边的中点.若∠B =∠AMD = ∠C =45°,AB =8,CD =9,则AD 的长为( ) A .3 B .4 C .5 D .6 A B C D M
6.(2011荆州)如图,P 为线段AB 上一点,AD 与BC 交干E ,∠CPD =∠A =∠B ,BC 交PD 于F ,AD 交PC 于G ,则图中相似三角形有( ) P G F E D C B A A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 7. 在△ABC 中,AC =BC ,∠ACB=90°,点M 是AC 上的一点,点N 是BC 上的一点,沿着直线MN 折叠,使得点C 恰好落在边AB 上的P 点, 求证:MC :NC =AP :PB .