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高中数学选修全套教案

高中数学选修全套教案
高中数学选修全套教案

高中数学选修4-4全套教案

第一讲坐标系

一平面直角坐标系

课题:1、平面直角坐标系

教学目的:

知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法

能力与与方法:体会坐标系的作用

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

教学重点:体会直角坐标系的作用

教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题

授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学.

教具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

一、复习引入:

情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位

置机器运动的轨迹。

情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景

图案,需要缺点不同的画布所在的位置。

问题1:如何刻画一个几何图形的位置

问题2:如何创建坐标系

二、学生活动

学生回顾

刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系

1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定

2、平面直角坐标系

在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定

3、空间直角坐标系

在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定

三、讲解新课:

1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足:

任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 四、数学运用

例1 选择适当的平面直角坐标系,表示边长为1的正六边形的顶点。

*变式训练

如何通过它们到点O 的距离以及它们相对于点O 的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置

例2 已知B 村位于A 村的正西方1公里处,原计划经过B 村沿着北偏东600的方向设一条地下管线m.但在A 村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W 周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m 的计划需要修改吗

*变式训练

1.一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米,并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程

2.在面积为1的PMN ?中,2tan ,2

1

tan -=∠=∠MNP PMN ,建立适当的坐标系,

求以M ,N 为焦点并过点P 的椭圆方程

例3 已知Q (a,b ),分别按下列条件求出P 的坐标

(1)P 是点Q 关于点M (m,n )的对称点

(2)P 是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点(Q 不在直线1上)

*变式训练

用两种以上的方法证明:三角形的三条高线交于一点。 思考

通过平面变换可以把曲线14

)1(9)1(2

2=-++y x 变为中心在原点的单位圆,请求出该复合变换

四、巩固与练习

五、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立直角坐标系;

2.建标法的基本步骤; 3.什么时候需要建标。

五、课后作业:课本P14页 1,2,3,4 六、课后反思:

建标法,学生学习有印象,但没有主动建标的意识,说明学生数学学习缺乏系统性,需要加强训练。

课题:2、平面直角坐标系中的伸缩变换 教学目标:

知识与技能:平面直角坐标系中的坐标变换 过程与方法:体会坐标变换的作用

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识 教学重点:理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换 教学难点:会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题 授课类型:新授课

教学措施与方法:启发、诱导发现教学. 教学过程:

一、阅读教材P4—P8

问题探究1:怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线sin 2y x =

思考:“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么

问题探究2:怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin y x =

思考:“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么

问题探究3:怎样由正弦曲线sin y x =得到曲线3sin 2y x =

二、新课讲解:

定义:设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,在变换 的作用下,点P(x,y)对应P’(x’,y’).称?

为平面直角坐标系中的伸缩变换

注 (1)

(2)把图形看成点的运动轨迹,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到; (3)在伸缩变换下,平面直角坐标系不变,在同一直角坐标系下进行伸缩变换。

例1、在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x

y y

?=?=?后的图形。

(1)2x+3y=0; (2) 221x y +=

例2、在同一平面坐标系中,经过伸缩变换???='='y

y x x ,

3后,曲线C 变为曲线9922='+'y x ,

求曲线C 的方程并画出图象。 三、知识应用:

1、已知x x f x x f ωsin )(,sin )(21==()0>ω)(2x f 的图象可以看作把)(1x f 的图象在其所

'(0):'(0)x x y y

λλ?μμ=>??

=>?0,0λμ>>

在的坐标系中的横坐标压缩到原来的31

倍(纵坐标不变)而得到的,则ω为( )

A .2

1

B .2 C.3 D.31

2、在同一直角坐标系中,经过伸缩变换???='='y

y x

x 35后,曲线C 变为曲线22281,x y ''+=则

曲线C 的方程为( )

A .2225361x y += 2291001x y +=.2210241x y += D.

22

281259

x y += 3、在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换??

???='='y

y x

x 3121后的图形。

(1);025=+y x (2)122=+y x 。

四、知识归纳:设点P (x,y )是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 ??

?>?='>?='),

0(,),

0(,:μμλλ?y y x x 的作用下,点P(x,y)对应到点),(y x P ''',称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

五、作业布置:

1、抛物线24y x =经过伸缩变换14

13x x y y ?'=????'=??后得到

2、把圆22

16x y +=变成椭圆22116

y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为

4、把曲线3sin 2y x =的图象经过伸缩变换124x x

y y ?'=???'=?得到的图象所对应的方程为

5、在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换212

x x y y '=??

?'=??后,

曲线C 变为221640x y x '''--=,则曲线C 的方程

六、反思:

二极坐标系

课题:1、极坐标系的的概念

教学目的:

知识目标:理解极坐标的概念

能力目标:能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

教学重点:理解极坐标的意义

教学难点:能够在极坐标系中用极坐标确定点位置

授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学.

教具:多媒体、实物投影仪

教学过程:

一、复习引入:

情境1:军舰巡逻在海面上,发现前方有一群水雷,如何确定它们的位置以便将它们引爆

情境2:如图为某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处。

(1)他向东偏60°方向走120M后到达什么位置该位置惟

一确定吗

(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描

问题1:为了简便地表示上述问题中点的位置,应创建怎

样的坐标系呢

问题2:如何刻画这些点的位置

这一思考,能让学生结合自己熟悉的背景,体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性,为引入极坐标提供思维基础.

二、讲解新课:

从情镜2中探索出:在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想,就是极坐标的基本思想。

1、极坐标系的建立:

在平面上取一个定点O,自点O引一条射线OX,同时确定一个单位长度和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系。

(其中O称为极点,射线OX称为极轴。)

2、极坐标系内一点的极坐标的规定

对于平面上任意一点M,用表示线段OM的长度,用表示从OX到OM 的角度,叫做点M的极径,叫做点M的极角,有序数对(,)就叫做M的极坐标。

特别强调:由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2 )时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(,)建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径

=0,极角是任意角. 3、负极径的规定

在极坐标系中,极径允许取负值,极角也可以去任意的正角或负角 当<0时,点M (

,)位于极角终边的反向延长线上,且OM=ρ。

M (,)也可以表示为))12(,()2,(πθρπθρ++-+k k 或 )(z k ∈ 4、数学应用

例1 写出下图中各点的极坐标(见教材14页) A (4,0)B (2 )C ( ) D ( )E ( )F ( ) G ( )

① 平面上一点的极坐标是否唯一 ② 若不唯一,那有多少种表示方法 ③坐标不唯一是由谁引起的

③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式

约定:极点的极坐标是ρ=0,θ可以取任意角。 变式训练

在极坐标系里描出下列各点

A (3,0)

B (6,2π)

C (3,2π)

D (5,3

4π)E (3,65π)F (4,π)G (6,35π

点的极坐标的表达式的研究

例2 在极坐标系中,(1)已知两点P (5,45π),Q )4,1(π

,求线段PQ 的长度;

(2)已知M 的极坐标为(,)且=3

π

,R ∈,说明满足上述条件的点M 的位置。

变式训练

1、若ABC ?的的三个顶点为.),6

7,3(),65,8(),25,5(判断三角形的形状π

ππC B A

2、若A 、B 两点的极坐标为),(),,(2211θρθρ求AB 的长以及AOB ?的面积。(O 为极点) 例3 已知Q (,),分别按下列条件求出点P 的极坐标。 (1) P 是点Q 关于极点O 的对称点; (2) P 是点Q 关于直线2

π

θ=

的对称点;

(3) P 是点Q 关于极轴的对称点。 变式训练

1.在极坐标系中,与点)6

,8(π

-关于极点对称的点的一个坐标是 ( )

)6

,8(),65,8(),65,8(),6,8(ππππ----D C B A

2在极坐标系中,如果等边ABC ?的两个顶点是),4

5

,2(),4,2(B A π求第三个顶点C 的坐标。

三、巩固与练习

四、小 结:本节课学习了以下内容:1.如何建立极坐标系。 2.极坐标系的基本

要素是:极点、极轴、极角和度单位。3.极坐标中的点与坐标的对应关系。 五、课后作业:

六.课后反思:本节学习内容对学生来说是全新的,因而学生学习的兴趣很浓,课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维,感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。

课题:2、极坐标与直角坐标的互化 教学目的:

知识目标:掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 能力目标:会实现极坐标和直角坐标之间的互化

德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 教学难点:互化关系式的掌握 授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

情境1:若点作平移变动时,则点的位置采用直角坐标系描述比较方便; 情境2:若点作旋转变动时,则点的位置采用极坐标系描述比较方便 问题1:如何进行极坐标与直角坐标的互化

问题2:平面内的一个点的直角坐标是)3,1(,这个点如何用极坐标表示 学生回顾

理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义

正确画出点的位置,标出极径和极角,借助几何意义归结到三角形中求解 二、讲解新课:

直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ,则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:

{θρθρsin cos ==y x { x

y y x =

+=θρtan 2

22 说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式

2通常情况下,将点的直角坐标化为极坐标时,取ρ≥0,0≤θ≤π2。 3互化公式的三个前提条件

1. 极点与直角坐标系的原点重合;

2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;

3. 两种坐标系的单位长度相同.

三.举例应用:

例1.(1)把点M 的极坐标)3

2,8(π

化成直角坐标

(2)把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标 变式训练

在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(π

π-B A 求A,B 两点的距离

例2.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.

(1)已知A 的极坐标),3

5,4(π

求它的直角坐标,

(2)已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标.ρ(>0,0≤θ<2π) 变式训练

把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<π2) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A

例3.在极坐标系中,已知两点)3

2,6(),6,6(π

πB A .

求A,B 中点的极坐标.

变式训练

在极坐标系中,已知三点)6

,32(),0,2(),3,2(π

πP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线

上.

四、巩固与练习:课后练习

五、小 结:本节课学习了以下内容:

1.极坐标与直角坐标互换的前提条件; 2.互换的公式;

3.互换的基本方法。

五、课后作业:

六、课后反思:在教师的引导下,学生能积极应对互化的原因、方法,也能较好地模仿操作,但让学生独立自主完成新的问题的解答,明显有困难,需要教师的点拨引导。这点可采取的措施是:小组讨论,共同寻找解决问题的方法,很有效。但教学时间不足。

三 简单曲线的极坐标方程

课 题: 1、圆的极坐标方程 教学目标:

1、掌握极坐标方程的意义

2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程 教学重点、极坐标方程的意义 教学难点:极坐标方程的意义 教学方法:启发诱导,讲练结合。 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程:

一、复习引入: 问题情境

1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用

2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程 极坐标系的建立是否可以求曲线方程

学生回顾

1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置

2、曲线的方程和方程的曲线(直角坐标系中)定义

3、求曲线方程的步骤

4、极坐标与直角坐标的互化关系式:

二、讲解新课:

1、引例.如图,在极坐标系下半径为a 的圆的圆心坐标为

(a ,0)(a >0),你能用一个等式表示圆上任意一点, 的极坐标(,)满足的条件

解:设M (,)是圆上O 、A 以外的任意一点,连接AM ,

则有:OM=OAcos θ,即:ρ=2acos θ ①,

2、提问:曲线上的点的坐标都满足这个方程吗

可以验证点O(0,π/2)、A(2a ,0)满足①式. 等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件. 反之,适合等式①的点都在这个圆上.

3、定义:一般地,如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程0),(=θρf 的点

在曲线上,那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程,这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。

例1、已知圆O 的半径为r ,建立怎样的坐标系,

可以使圆的极坐标方程更简单 ①建系;

②设点;M (ρ,θ)

③列式;OM =r , 即:ρ=r ④证明或说明.

变式练习:求下列圆的极坐标方程

(1)中心在C(a ,0),半径为a ; (2)中心在(a,/2),半径为a ; (3)中心在C(a ,0),半径为a

答案:(1)

=2acos

(2)

=2asin

(3)0cos()a ρθθ-=2

例2.(1)化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程,

(2)化极坐标方程)3

cos(6π

θρ-

= 为直角坐标方程。

三、课堂练习:

1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是 (C)

()().2cos .2sin 44.2cos 1.2sin 1A B C D ππρθρθρθρθ???

?=-=- ? ?

???

?=-=- 2.极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是多少

2

2

sin (4)π

π

ρθρθρθρ3.说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1)=2cos(-

) (2)=cos(

-)4

3

(3)=3 =6

2222423020x y x y x y x y x +-+==+==.填空:

 (1)直角坐标方程的 极坐标方程为_______(2)直角坐标方程-+1的极坐标方程为_______(3)直角坐标方程9的极坐标方程为_____(4)直角坐标方程3的极坐标方程为_______

四、课堂小结:

1.曲线的极坐标方程的概念.

2.求曲线的极坐标方程的一般步骤. 五、课外作业:教材28P 1,2

1.在极坐标系中,已知圆C 的圆心)6

,3(π

C ,半径3=r ,

(1)求圆C 的极坐标方程。

(2)若Q 点在圆C 上运动,P 在OQ 的延长线上,且2:3:=OP OQ ,求动点P 的轨迹方程。

课题:2、直线的极坐标方程 教学目标:

知识与技能:掌握直线的极坐标方程

过程与方法:会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:理解直线的极坐标方程,直角坐标方程与极坐标方程的互化 教学难点:直线的极坐标方程的掌握 授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学. 教学过程: 一、探究新知: 阅读教材P13-P14

探究1、直线l 经过极点,从极轴到直线l 的角是4

π

思考:用极坐标表示直线时方程是否唯一

探究2、如何表示过点(,0)(0)A a a >,且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程,化为直角坐标方程是什么过点(,0)(0)A a a >,平行于极轴的直线l 的极坐标方程呢

二、知识应用:

例1、已知点P 的极坐标为(2,)π,直线l 过点P 且与极轴所成的角为3

π

,求直线l 的极

坐标方程。

例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程

(1) 5()4R πθρ=∈ (2)(2cos 5sin )40ρθθ+-= (3) sin()43

π

ρθ-=

例3、判断直线sin()4πρθ+=与圆2cos 4sin ρθθ=-的位置关系。

三、巩固与提升: P15第1,2,3,4题

四、知识归纳:

1、直线的极坐标方程

2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化

3、直线与圆的简单综合问题 五、作业布置:

1、在直角坐标系中,过点(1,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程是( ) A sin 1ρθ= B sin ρθ= C cos 1ρθ= D cos ρθ=

2、与方程(0)4

π

θρ=≥表示同一曲线的是 ( )

A ()4

R π

θρ=

∈ B 5(0)4πθρ=

≤ C 5()4R πθρ=∈ D (0)4

πθρ=≤ 3、在极坐标系中,过点(2,)2

A π

-且与极轴平行的直线l 的极坐标方程是

4、在极坐标系中,过圆4cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线方程是

5、在极坐标系中,过点3(2,)4

A π

且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是

6、已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=7(2,)4

A π

到这条直线的距离。

7、在极坐标系中,由三条直线0,,cos sin 13

π

θθρθρθ==+=围成图形的面积。

六、反思:

四 柱坐标系与球坐标系简介

课题:球坐标系与柱坐标系 教学目的:

知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点:利用它们进行简单的数学应用 授课类型:新授课

教学模式:启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入:

情境:我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题:如何在空间里确定点的位置有哪些方法 学生回顾

在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法

极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理

二、讲解新课: 1、球坐标系

设P 是空间任意一点,在oxy 平面的射影为Q ,连接OP ,记| OP |=r ,OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ,P 在oxy 平面的射影为Q ,Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?,点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示,我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)

有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标,其中r ≥0,0≤θ≤π,0≤?<2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为:

?????

?

?====++θ?θ?

θcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系

设P 是空间任意一点,在oxy 平面的射影为Q ,用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在

平面oxy 上的极坐标,点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系

有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标,其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为:

3、数学应用

例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.

变式训练

建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.

例2.将点M 的球坐标)6

5,3,8(π

π化为直角坐标.

变式训练

1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.

2.将点M 的柱坐标)8,3

,

4(π

化为直角坐标. 3.在直角坐标系中点),,(a a a a (>0)的球坐标是什么

例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么并将此方程化为直角坐标方程.

变式训练

标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么

例4.已知点M 的柱坐标为),3,4

,2(π

点N 的球坐标为),2

,4,

2(π

π求线段MN 的长度.

思考:

在球坐标系中,集合??

??????≤≤≤≤≤≤=π?πθ?θ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体

积为多少

三、巩固与练习

四、小 结:本节课学习了以下内容:

1.球坐标系的作用与规则; 2.柱坐标系的作用与规则。

五、课后作业:教材P15页12,13,14,15,16

六、课后反思:本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来,学生容易理解。但以后少用,可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。

第二章 参数方程

【课标要求】

1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用;理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念

一、教学目标:

1.通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物运动轨迹的参数方程,体会参数的意义。

2.分析曲线的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点:根据问题的条件引进适当的参数,写出参数方程,体会参数的意义。

教学难点:根据几何性质选取恰当的参数,建立曲线的参数方程。 三、教学方法:启发诱导,探究归纳 四、教学过程

(一).参数方程的概念

1.问题提出:铅球运动员投掷铅球,在出手的一刹那,铅球的速度为0ν

,与地面成

α

角,如何来刻画铅球运动的轨迹呢 2.分析探究理解: (1)、斜抛运动:

为参数)

t gt t v y t v x (21sin cos 200??

?

??-?=?=αα (2)、抽象概括:参数方程的概念。说明:(1)一般来说,参数的变化范围是有限制的。

(2)参数是联系变量x ,y 的桥梁,可以有实际意义,也可无实际意义。 (3)平抛运动:

为参数)

t gt y t x (215001002??

?

??-== (4)思考交流:把引例中求出的铅球运动的轨迹

的参数方程消去参数t 后,再将所得方程与原方程进行比较,体会参数方程的作用。 (二)、应用举例:

例1、已知曲线C 的参数方程是???+==1232

t y t x (t 为参数)(1)判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系;

(2)已知点3M (6,a )在曲线C 上,求a 的值。 分析:只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。学生练习。 反思归纳:给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

例2、设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆做匀速(角速度)运动,角速度为60π

rad/s,试以时间t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程。

解析:如图,运动开始时质点位于A 点处,此时t=0,设动点M (x,y )对应时刻t,由图可知2cos 602sin {

x y t θθ

θ=π==

又,得参数方程为

6060

2cos 2sin (0){

x t y t t ππ==≥。

反思归纳:求曲线的参数方程的一般步骤。 (三)、课堂练习:

(四)、小结:1.本节学习的数学知识;2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导,抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。 (五)、作业:

补充:设飞机以匀速v=150m/s 作水平飞行,若在飞行高度h=588m 处投弹(设投弹的初速度等于飞机的速度,且不计空气阻力)。(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标。简解:(1)

)(9.45881502为参数t t

y t

x ???-==。(2)1643m 。

五、教学反思:

第二课时圆的参数方程及应用

一、教学目标:

知识与技能:分析圆的几何性质,选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值(数形结合)

过程与方法:能选取适当的参数,求圆的参数方程

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

二、重难点:教学重点:能选取适当的参数,求圆的参数方程

教学难点:选择圆的参数方程求最值问题.

三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程:

(一)、圆的参数方程探求

1、根据图形求出圆的参数方程,教师准对问题讲评。

)(sin cos 为参数θθ

θ

??

?==r y r x 这就是圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程。

说明:(1)参数θ的几何意义是OM 与x 轴正方向的夹角。(2)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的。(3)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。

3、若如图取

结论:参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。 4,反思归纳:求参数方程的方法步骤。 (二)、应用举例

例1、已知两条曲线的参数方程

05cos 4cos

125sin 3sin 45

:(:(45x x t y y t t c c θ

θθ==+==+??为参数)和为参数)

(1)、判断这两条曲线的形状;(2)、求这两条曲线的交点坐标。学生练习,教师准对问题讲评。

(三)、最值问题:利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值(数形结合)

例2、1、已知点P (x ,y )是圆0124622=+--+y x y x 上动点,求(1)22y x +的最值,

(2)x+y 的最值,

(3)P 到直线x+y- 1=0的距离d 的最值。

。半径,并化为普通方程所表示圆的圆心坐标、为参数、指出参数方程)(sin 235cos 22ααα+=-=??

?y x

解:圆0124622=+--+y x y x 即1)2()3(22=-+-y x ,用参数方程表示为θ

θ

sin 2cos 3{+=+=y x

由于点P 在圆上,所以可设P (3+cos θ,2+sin θ),

(1))sin(13214cos 6sin 414)sin 2()cos 3(2222?θθθθθ++=++=+++=+y x (其中tan ? =

2

3

) ∴22y x +的最大值为

。 (2) x+y= 3+cos θ+ 2+sin θ

( θ + 4π

)∴ x+y 的最大值为

最小值为

显然当sin ( θ+ 4π

)= ±1时,d

取最大值,最小值,分别为1+

1-2、 过点(2,1)的直线中,被圆x 2+y 2-2x+4y=0截得的弦:为最长的直线方程是_________;为最短的直线方程是__________;

3、若实数x,y 满足x 2+y 2-2x+4y=0,则x-2y 的最大值为 。 (三)、课堂练习:学生练习:1、2

(四)、小结:1、本课我们分析圆的几何性质,选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同,可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。 (五)、作业:

1、方程04524222=-+--+t ty tx y x (t 为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D ) A .一个定点 B .一个椭圆 C .一条抛物线 D .一条直线

2、已知)(sin cos 2为参数θθ

θ

??

?=+=y x ,则2

2)4()5(++-y x 的最大值是6。

8.曲线y y x 222=+的一个参数方程为)(sin 1cos 为参数θθθ

?

??+==y x

五、教学反思:

(3)

d =

=

第三课时 圆锥曲线的参数方程

一、教学目标:

知识与技能:了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义 过程与方法:能选取适当的参数,求简单曲线的参数方程

情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二、重难点:教学重点:圆锥曲线参数方程的定义及方法

教学难点:选择适当的参数写出曲线的参数方程.

三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一)、复习引入:

1.写出圆方程的标准式和对应的参数方程。

(1)圆222r y x =+参数方程???==θ

θ

sin cos r y r x (θ为参数)

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1.1算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域.那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始.同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6; 第三步:将第二步中的运算结果6与4相加,得到10; 第四步:将第三步中的运算结果10与5相加,得到15. 算法2可以运用公式1+2+3+…+n=2)1 (+n n 直接计算第一步:取n=5; 第二步:计算 2)1 (+n n ; 第三步:输出运算结果. (说明算法不唯一) 例3:(课本第2页,解二元一次方程组的步骤) (可推广到解一般的二元一次方程组,说明算法的普遍性)例4:用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: 慕尧书城出品,正品保障。

高中数学选修4-4全套教案

高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题:1、平面直角坐标系 教学目的: 知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法:体会坐标系的作用 情感、态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 教学重点:体会直角坐标系的作用 教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 教具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 情境1:为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行,并在按计划完成科学考察任务后,安全、准确的返回地球,从火箭升空的时刻开始,需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2:运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演,其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案,需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何创建坐标系? 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置,需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上,当取定两条互相垂直的直线的交点为原点,并确定了度量单位和这两条直线的方向,就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对(x,y)确定 3、空间直角坐标系 在空间中,选择两两垂直且交于一点的三条直线,当取定这三条直线的交点为原点,并确定了度量单位和这三条直线方向,就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对(x,y,z)确定 三、讲解新课: 1、建立坐标系是为了确定点的位置,因此,在所建的坐标系中应满足: 任意一点都有确定的坐标与其对应;反之,依据一个点的坐标就能确定这个点的位置

人教版新课标高中数学必修四 全册教案

按住Ctrl 键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1.1 任意角 教学目标 (一) 知识与技能目标 理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. (二) 过程与能力目标 会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合;掌握区间角的集合的书写. (三) 情感与态度目标 1. 提高学生的推理能力; 2.培养学生应用意识. 教学重点 任意角概念的理解;区间角的集合的书写. 教学难点 终边相同角的集合的表示;区间角的集合的书写. 教学过程 一、引入: 1.回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 二、新课: 1.角的有关概念: ①角的定义: 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. ②角的名称: ③角的分类: ④注意: ⑴在不引起混淆的情况下,“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”; ⑵零角的终边与始边重合,如果α是零角α =0°; ⑶角的概念经过推广后,已包括正角、负角和零角. ⑤练习:请说出角α、β、γ各是多少度? 2.象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角. 例1.如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A O B

例2.在直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是第几象限的角. ⑴ 60°; ⑵ 120°; ⑶ 240°; ⑷ 300°; ⑸ 420°; ⑹ 480°; 答:分别为1、2、3、4、1、2象限角. 3.探究:教材P3面 终边相同的角的表示: 所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S ={ β | β = α + k ·360 ° , k ∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和. 注意: ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角; ⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差 360°的整数倍; ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角. 例3.在0°到360°范围内,找出与下列各角终边相等的角,并判断它们是第几象限角. ⑴-120°;⑵640 °;⑶-950°12'. 答:⑴240°,第三象限角;⑵280°,第四象限角;⑶129°48',第二象限角; 例4.写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) . 解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}. 例5.写出终边在x y =上的角的集合S,并把S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素β写出来. 4.课堂小结 ①角的定义; ②角的分类: ③象限角; ④终边相同的角的表示法. 5.课后作业: ①阅读教材P 2-P 5; ②教材P 5练习第1-5题; ③教材P .9习题1.1第1、2、3题 思考题:已知α角是第三象限角,则2α,2 α 各是第几象限角? 解:α 角属于第三象限, 正角:按逆时针方向旋转形成的角 零角:射线没有任何旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角

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(第1课时) 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式,并会用通项公式写出数列的任意一项;对于比较简单的数列,会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学生的观察能力和抽象概括能力. 情感态度与价值观:通过本节课的学习,体会数学来源于生活,提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念,通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数:1,3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,…,第n 项,…. 例如,上述例子均是数列,其中①中,“4”是这个数列的第1项(或首项),“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式: ,,,,,321n a a a a ,或简记为{}n a ,其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子,帮助学生理解数列及项的定义. ②中,这是一个数列,它的首项是“1”,“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项,等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式)对于上面的数列②,第一项与这一项的序号有这样的对应关系: 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式:n a n 1 = 来表示其对应关系 即:只要依次用1,2,3…代替公式中的n ,就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子,练习找其对应关系

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2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;

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高中数学教案全套word 1.1集合的概念 ................................................ ...... 1 1.2集合的运算 ................................................ ...... 3 1.3含绝对值的不等式的解法 ........................................ 6 1.4一元二次不等式的解法.......................................... 91.5简易逻辑 ................................................ ...... 12 1.6充要条件 ................................................ ...... 15 1.7数学巩固练习.............................................. 18.1函数的概念 ................................................ .... 21.2函数的解析式及定义域 ........................................ 24.3函数的值域 ................................................ .... 28.4函数的奇偶

性................................................. ...2.5函数的单调性.................................................. 37.6反函数 ................................................ ..........1.7二次函数 ................................................ ........2.8指数式与对数式 ................................................ .2.9指数函数与对数函数 .............................................0.1 0函数的图象 ................................................ .....2.11函数的最值 ................................................ .....2.12函数的应用 ................................................ .....1.13数学巩固练习 .. (4) .1数列的有关概念 ................................. 错误!未定义书签。.2等差数列与等比数列的基本运算 ................. 错误!未定义书签。.3等差数列、

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第一章空间几何体 第一章课文目录 1.空间几何体的结构 1.空间几何体的三视图和直观图 1.3空间几何体的表面积与体积 知识结构: 一、空间几何体的结构、三视图和直观图 1.柱、锥、台、球的结构特征 圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱;旋转轴叫做圆柱的轴;垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面;无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 棱柱与圆柱统称为柱体; (2)锥 棱锥:一般的有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥;这个多边形面叫做棱锥的底面或底;有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面;各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点;相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 圆锥:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥;旋转轴为圆锥的轴;垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面;斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 棱锥与圆锥统称为锥体。 (3)台 棱台:用一个平行于底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台;原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面;棱台也有侧面、侧棱、顶点。 圆台:用一个平行于底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台;原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面;圆台也有侧面、母线、轴。 圆台和棱台统称为台体。 (4)球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体,简称为球;

半圆的圆心叫做球的球心,半圆的半径叫做球的半径,半圆的直径叫做球的直径。 (5)组合体 由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体。 几种常凸多面体间的关系 名称棱柱直棱柱正棱柱 图形 定义有两个面互相平 行,而其余每相 邻两个面的交线 都互相平行的多 面体 侧棱垂直于底面 的棱柱 底面是正多边形的 直棱柱 侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形 平行于底面的截面 的形状与底面全等的多 边形 与底面全等的多 边形 与底面全等的正多 边形 名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形 定义有一个面是多 边形,其余各面 底面是正多边 形,且顶点在底 用一个平行于 棱锥底面的平 由正棱锥截得 的棱台

高中数学【北师大选修1-1】教案全集

第一章常用逻辑用语1.1 命题 教学过程: 一、复习准备: 阅读下列语句,你能判断它们的真假吗? (1)矩形的对角线相等; >; (2)312 >吗? (3)312 (4)8是24的约数; (5)两条直线相交,有且只有一个交点; (6)他是个高个子. 二、讲授新课: 1. 教学命题的概念: ①命题:可以判断真假的陈述句叫做命题(proposition). 也就是说,判断一个语句是不是命题关键是看它是否符合“是陈述句”和“可以判断真假”这两个条件. 上述6个语句中,(1)(2)(4)(5)(6)是命题. ②真命题:判断为真的语句叫做真命题(true proposition); 假命题:判断为假的语句叫做假命题(false proposition). 上述5个命题中,(2)是假命题,其它4个都是真命题. ③例1:判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题? (1)空集是任何集合的子集; (2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)2小于或等于2; (4)对数函数是增函数吗? x<; (5)215 (6)平面内不相交的两条直线一定平行; (7)明天下雨. (学生自练→个别回答→教师点评) ④探究:学生自我举出一些命题,并判断它们的真假. 2. 将一个命题改写成“若p,则q”的形式: ①例1中的(2)就是一个“若p,则q”的命题形式,我们把其中的p叫做命题的条件,q 叫做命题的结论. ②试将例1中的命题(6)改写成“若p,则q”的形式. ③例2:将下列命题改写成“若p,则q”的形式. (1)两条直线相交有且只有一个交点; (2)对顶角相等; (3)全等的两个三角形面积也相等. (学生自练→个别回答→教师点评) 3. 小结:命题概念的理解,会判断一个命题的真假,并会将命题改写“若p,则q”的形式. 巩固练习: 教材 P4 1、2、3 4. (师生共析→学生说出答案→教师点评) ②例1:写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假: (1)同位角相等,两直线平行; (2)正弦函数是周期函数;

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高 一 数 学 教 案 (必修五) 重庆铁路中学陈昭旭

数学5 第一章解三角形 课题:§1.1.1 正弦定理 授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C === b c 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C == (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

最新人教版高中数学必修二_全册教案

按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 第一章:空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1.知识与技能 (1)通过实物操作,增强学生的直观感知。 (2)能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2.过程与方法 (1)让学生通过直观感受空间物体,从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。(2)让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3.情感态度与价值观 (1)使学生感受空间几何体存在于现实生活周围,增强学生学习的积极性,同时提高学生的观察能力。 (2)培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点:让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点:柱、锥、台、球的结构特征的概括。 三、教学用具 (1)学法:观察、思考、交流、讨论、概括。 (2)实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师提出问题:在我们生活周围中有不少有特色的建筑物,你能举出一些例子吗?这些建筑的几何结构特征如何?引导学生回忆,举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的,(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体),你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗?这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1.引导学生观察物体、思考、交流、讨论,对物体进行分类,分辩棱柱、圆柱、棱锥。

2.观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片,它们各自的特点是什么?它们的共同特点是什么? 3.组织学生分组讨论,每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)每相邻两上四边形的公共边互相平行。概括出棱柱的概念。 4.教师与学生结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。 5.提出问题:各种这样的棱柱,主要有什么不同?可不可以根据不同对棱柱分类? 请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? 6.以类似的方法,让学生思考、讨论、概括出棱锥、棱台的结构特征,并得出相关的概念,分类以及表示。 7.让学生观察圆柱,并实物模型演示,如何得到圆柱,从而概括出圆标的概念以及相关的概念及圆柱的表示。 8.引导学生以类似的方法思考圆锥、圆台、球的结构特征,以及相关概念和表示,借助实物模型演示引导学生思考、讨论、概括。 9.教师指出圆柱和棱柱统称为柱体,棱台与圆台统称为台体,圆锥与棱锥统称为锥体。 10.现实世界中,我们看到的物体大多由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组合而成。请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体,并说出组成这些物体的几何结构特征?它们由哪些基本几何体组成的? (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维,教师提出问题,让学生思考。 1.有两个面互相平行,其余后面都是平行四边形的几何体是不是棱柱(举反例说明,如图) 2.棱柱的何两个平面都可以作为棱柱的底面吗? 3.课本P8,习题1.1 A组第1题。 4.圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直角三角形旋转得到,圆台可以由什么图形旋转得到?如何旋转? 5.棱台与棱柱、棱锥有什么关系?圆台与圆柱、圆锥呢? 四、巩固深化 练习:课本P7 练习1、2(1)(2) 课本P8 习题1.1 第2、3、4题 五、归纳整理 由学生整理学习了哪些内容 六、布置作业

人教版高中数学选修教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集 第一章导数及其应用 §1.1.1变化率问题 教学目标: 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 教学重点:平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率; 教学难点:平均变化率的概念. 教学过程: 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度. 二.新课讲授 (一)问题提出 问题1 气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? ? 气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是33 4)(r r V π= ? 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么3 43)(π V V r = 分析: 3 43)(π V V r =, ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(62.00 1) 0()1(L dm r r ≈-- ⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为 )/(16.01 2) 1()2(L dm r r ≈-- 可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率 是多少? 1 212) ()(V V V r V r -- 问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位:m )与起跳后的时间t (单位:s )存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态? 思考计算:5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 在5.00≤≤t 这段时间里,)/(05.405.0) 0()5.0(s m h h v =--= ; 在21≤≤t 这段时间里,)/(2.812) 1()2(s m h h v -=--= 探究:计算运动员在49 65 0≤≤t 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题:§1.1 集合 教材分析:集合概念及其基本理论,称为集合论,是近、现代数学的一个重要的基础,一方面,许多重要的数学分支,都建立在集合理论的基础上。另一方 面,集合论及其所反映的数学思想,在越来越广泛的领域种得到应用。 课型:新授课 教学目标:(1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的理解集合“属于” 关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不 同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 教学重点:集合的基本概念与表示方法; 教学难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合; 教学过程: 一、引入课题 军训前学校通知:8 月15日8点,高一年段在体育馆集合进行军训动员;试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生? 在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高 一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新 的概念——集合(宣布课题),即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 (一)集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能 意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set), 也简称集。 ——————————————第 1 页(共 70页)——————————————

高中数学人教版选修1-2全套教案

高中数学人教版选修1-2全套教案 第一章统计案例 第一课时 1.1回归分析的基本思想及其初步应用(一) 教学要求:通过典型案例的探究,进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点:了解线性回归模型与函数模型的差异,了解判断刻画模型拟合效果的方法-相关指数和残差分析. 教学难点:解释残差变量的含义,了解偏差平方和分解的思想. 教学过程: 一、复习准备: 1. 提问:“名师出高徒”这句彦语的意思是什么?有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗?这两者之间是否有关? 2. 复习:函数关系是一种确定性关系,而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法,其步骤:收集数据→作散点图→求回归直线方程→利用方程进行预报. 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生,其身高和体重数据如下表所示: 体重. (分析思路→教师演示→学生整理)

第一步:作散点图第二步:求回归方程第三步:代值计算 ②提问:身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗? 不一定,但一般可以认为她的体重在60.316kg左右. ③解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上,观察上述散点图,我们可以发现女大学生的体重y和身高x之间的关系并不能用一次=+来严格刻画(因为所有的样本点不共线,所以线性模型只能近似地刻画身高和体函数y bx a 重的关系). 在数据表中身高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和61kg,如果能用一次函数来描述体重与身高的关系,那么身高为165cm的3名女在学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响,把这种影响的结果e(即残差变量或随机 =++,其中残差变量e中包含体重变量)引入到线性函数模型中,得到线性回归模型y bx a e 不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0时,线性回归模型就变成一次函数模型. 因此,一次函数模型是线性回归模型的特殊形式,线性回归模型是一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数:相关系数的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关关系越强,它们的散点图越接近一条直线,这时用线性回归模型拟合这组数据就越好,此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结:求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

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§1.1平面直角坐标系与伸缩变换 一、三维目标 1、知识与技能:回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 2、能力与与方法:体会坐标系的作用 3、情感态度与价值观:通过观察、探索、发现的创造性过程, 培养创新意识。 二、学习重点难点 1、教学重点:体会直角坐标系的作用 2、教学难点:能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 三、学法指导:自主、合作、探究 四、知识链接 问题1:如何刻画一个几何图形的位置? 问题2:如何研究曲线与方程间的关系? 五、学习过程 一.平面直角坐标系的建立 某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正北两个观测点同时听到一声巨响,正东观测点听到巨响的时间比它们晚了4s。已知各观测点到中心的距离是1020m,试确定

巨响发生的位置(假定声音传播的速度是340m/s,各观测点均在同一平面上) 问题1: 思考1:问题1:用什么方法描述发生的位置? 思考2:怎样建立直角坐标系才有利于我们解决问题? 问题2:还可以怎样描述点P的位置? B例1.已知△ABC的三边a,b,c满足b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线,建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。 探究:你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗?比较不同的直角坐标系下解决问题的过程,建立直角坐标系应注意什么问题?

小结:选择适当坐标系的一些规则: 如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点 如果图形有对称轴,可以选对称轴为坐标轴 使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上 二.平面直角坐标系中的伸缩变换 思考1:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=sin2x? 坐标压缩变换: 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变,将横 坐标x 缩为原来 1/2,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ?????==y y x x ''21通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 思考2:怎样由正弦曲线y=sinx 得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持横坐标x 不变,将纵坐标y 伸长为原来 3倍,得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为: ???==y y x x 3' '通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换。

高中数学必修1全套教案

人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大(小)值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1指数(2) §2.1.1指数(3) §2.1.2指数函数及其性质(1) §2.1.2指数函数及其性质(2) §2.2.1对数与对数运算(1) §2.2.1对数与对数运算(2) §2.2.2对数函数及其性质(第一、二课时)

§2.2.2对数函数及其性质(第三课时)§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例(1) §3.2.2函数模型的应用实例(2) §3.2.2函数模型的应用实例(3)

第一章集合与函数概念 一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念,本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中,恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于培

高中数学全套教案(新人教A版)

第一章 三角函数 1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角 一、 教学目标: 1、知识与技能 (1)推广角的概念、引入大于360? 角和负角;(2)理解并掌握正角、负角、零角的定义;(3)理解任意角以及象限角的概念;(4)掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法;(5)树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念;(6)揭示知识背景,引发学生学习兴趣.(7)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学生的参与意识. 2、过程与方法 通过创设情境:“转体720? ,逆(顺)时针旋转”,角有大于360? 角、零角和旋转方向不同所形成的角等,引入正角、负角和零角的概念;角的概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法;列出几个终边相同的角,画出终边所在的位置,找出它们的关系,探索具有相同终边的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3、情态与价值 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识,即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后,知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法,学会运用运动变化的观点认识事物. 二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角的定义,掌握终边相同角的表示法. 难点: 终边相同的角的表示. 三、学法与教学用具 之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等. 教学用具:电脑、投影机、三角板 四、教学设想 【创设情境】 思考:你的手表慢了5分钟,你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时,你应当如何将它校准?当时间校准以后,分针转了多少度? [取出一个钟表,实际操作]我们发现,校正过程中分针需要正向或反向旋转,有时转不到一周,有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360? ? ~之间,这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角. 【探究新知】 1.初中时,我们已学习了0360? ?~角的概念,它是如何定义的呢? [展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1,一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ,就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边,OB 叫终边,射线的端点O 叫做叫α的顶点. 2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语:“转体720? ” (即转体2周),“转体1080? ”(即转体3周)等,都是遇到大于360? 的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360? 的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?

2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版)

教育精品资料 2020年人教版高中数学必修三全套教案(全册完整版) 按住Ctrl键单击鼠标打开名师教学视频全册播放 第一章算法初步 (1) 1.1算法与程序框图 (2) 1.1 算法与程序框图(共3课时) 1.1.1算法的概念(第1课时) 【课程标准】通过对解决具体问题过程与步骤的分析(如二元一次方程组求解等问题),体会算法的思想,了解算法的含义. 【教学目标】1.理解算法的概念与特点;

2.学会用自然语言描述算法,体会算法思想; 3.培养学生逻辑思维能力与表达能力. 【教学重点】算法概念以及用自然语言描述算法 【教学难点】用自然语言描述算法 【教学过程】 一、序言 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础. 在现代社会里,计算机已经成为人们日常生活和工作不可缺少的工具. 听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机几乎渗透到了人们生活的所有领域. 那么,计算机是怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 同时,算法有利于发展有条理的思考与表达的能力,提高逻辑思维能力. 在以前的学习中,虽然没有出现算法这个名词,但实际上在数学教学中已经渗透了大量的算法思想,如四则运算的过程、求解方程的步骤等等,完成这些工作都需要一系列程序化的步骤,这就是算法的思想. 二、实例分析 例1:写出你在家里烧开水过程的一个算法. 解:第一步:把水注入电锅; 第二步:打开电源把水烧开; 第三步:把烧开的水注入热水瓶. (以上算法是解决某一问题的程序或步骤) 例2:给出求1+2+3+4+5的一个算法. 解:算法1 按照逐一相加的程序进行 第一步:计算1+2,得到3; 第二步:将第一步中的运算结果3与3相加,得到6;

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