北师大版七年级下册数学培优压轴题
北师大版七年级下册数学培优压轴题
一.解答题(共8小题）
１．已知四边形ＡＢCD中，AB=ＢC,∠ABＣ=120°,∠MBN=60°,∠ＭBN绕B点旋转,它的两边分别交AＤ，DＣ（或它们的延长线)于E,F．
当∠ＭBＮ绕B点旋转到ＡE=CＦ时(如图1），易证AE+CF=EF;
当∠MBN绕B点旋转到AE≠ＣＦ时，在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF,ＥF又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明.
２．（1）如图,在四边形ABＣD中,AＢ=AD，∠Ｂ=∠D＝90°,E、Ｆ分别是边BＣ、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.
求证:ＥＦ＝BE+FD；
（2)如图,在四边形ＡBＣＤ中,AB=AD，∠B+∠Ｄ=180°,E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BＡD,(1）中的结论是否仍然成立？
（３）如图，在四边形ABCD中，ＡB＝ＡD,∠Ｂ+∠AＤC=18０°,E、Ｆ分别是边B
Ｃ、CD延长线上的点,且∠EAF＝∠BAD,（1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系,并证明．
３．如图1，将两个完全相同的三角形纸片AＢC和DＥC重合放置,其中∠C=９0°，∠B=∠E=30°.
(1）操作发现
如图2,固定△ABＣ,使△DＥC绕点Ｃ旋转,当点D恰好落在AB边上时，填空:
①线段DE与AC的位置关系是；
②设△BDC的面积为Ｓ1,△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．
（2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到如图３所示的位置时,小明猜想(1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中ＢC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．
（３)拓展探究
已知∠ＡBＣ=６0°,点D是角平分线上一点,ＢD=ＣD=4，DＥ∥AB交BＣ于点E（如
图4)．若在射线BA上存在点F,使Ｓ
△DＣF ＝S
△BＤＥ
,请直接写出相应的ＢF的长．
４．如图1，已知线段ＡＢ的长为２a,点Ｐ是ＡB上的动点(Ｐ不与A,B重合），分别以AP、ＰB为边向线段AＢ的同一侧作正△APＣ和正△PBD.
（1）当△APＣ与△ＰＢD的面积之和取最小值时,AP=；（直接写结果）
(２）连接AD、BC,相交于点Ｑ,设∠AQC=α,那么α的大小是否会随点Ｐ的移动而变化?请说明理由；
（3）如图２，若点Ｐ固定，将△PＢD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°),此时α的大小是否发生变化?（只需直接写出你的猜想,不必证明）
5.如图１，Ｒt△ABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点,且AD=EC，ＡM垂直ＢＤ,垂足为M，AＭ的延长线交BC于点N,直线ＢＤ与直线ＮE相交于点Ｆ．试判断△DEF的形状，并加以证明．
说明:(1)如果你经历反复探索,没有找到解决问题的方法,请你把探索过程中的某种思路写出来(要求至少写3步）;（2）在你经历说明（1）的过程之后,可以从下列①、②中选取一个补充或者更换已知条件,完成你的证明.
1、画出将△BAＤ沿ＢA方向平移ＢA长，然后顺时针旋转90°后图形;
2、点K在线段BＤ上，且四边形ＡKNC为等腰梯形（AC∥KN，如图2）．
附加题：如图３,若点D、E是直线AＣ上两动点,其他条件不变,试判断△DEF的形
状,并说明理由.
6．如图,已知等边三角形ABC中，点D，E,Ｆ分别为边AB,AＣ,ＢC的中点,M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形(点Ｍ的位置改变时，△DMN也随之整体移动).
(1)如图1,当点Ｍ在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论,不必证明或说明理由;
（2)如图２,当点M在ＢC上时,其它条件不变,(１）的结论中ＥN与MＦ的数量关系是否仍然成立？若成立,请利用图2证明;若不成立，请说明理由；
(3）若点Ｍ在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形，并判断(1)的结论中EN 与MF的数量关系是否仍然成立？若成立,请直接写出结论，不必证明或说明理由.
7.已知:等边三角形ABＣ
（1)如图１，P为等边△ＡBC外一点,且∠BＰC=１20°．试猜想线段BＰ、PC、A Ｐ之间的数量关系，并证明你的猜想；
(2）如图2,Ｐ为等边△ABC内一点,且∠AＰＤ＝120°.求证：PＡ＋PD+PC＞BD．
8.认真阅读材料,然后回答问题:
我们初中学习了多项式的运算法则,相应的，我们可以计算出多项式的展开式,如：（ａ+b）1=a+b，(a+b)2＝a2+２ａb+ｂ2,（ａ+b）3＝(a+b)2（a+b)＝a3+3a2b+３ab2+b3，…下面我们依次对（a＋b)n展开式的各项系数进一步研究发现，当ｎ取正整数时可以单独列成表中的形式:
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题：
(1)多项式(ａ+b)n的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数;
(2)请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.
(3）结合上述材料，推断出多项式（a+b)n(n取正整数）的展开式的各项系数之和为Ｓ,（结果用含字母n的代数式表示）．
201８年０5月0８日wｕjun的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共８小题）
1．已知四边形ABCD中，AＢ=ＢＣ,∠ABＣ=１20°，∠MＢＮ＝60°，∠MBN绕B
点旋转,它的两边分别交AD，ＤC(或它们的延长线)于E,F．
当∠MBN绕Ｂ点旋转到AＥ=CF时（如图1),易证AE+CＦ=EF；
当∠ＭＢＮ绕B点旋转到AE≠CF时，在图２和图3这两种情况下，上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立，线段AE，CＦ，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,不需证明.
【解答】解：∵AB⊥AD，ＢC⊥CD,AB=BC,AE=CF，
在△AＢＥ和△CＢF中,
，
∴△ABＥ≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE＝∠ＣＢＦ,BE＝ＢF；
∵∠ABＣ=12０°,∠MＢN=60°，
∴∠ABE=∠CＢF=30°,
∴ＡE=BＥ，CF=ＢF;
∵∠MBN=6０°,BE=BF，
∴△BEＦ为等边三角形；
∴AE＋CF=BＥ＋ＢF=BE＝ＥF；
图２成立,图3不成立．
证明图2.
延长ＤC至点K，使ＣK＝AE,连接BK,
在△BAＥ和△BＣＫ中，
则△BＡＥ≌△ＢＣK，
∴BE=ＢK,∠ABＥ＝∠ＫBC,
∵∠FBE=６0°，∠ABＣ=12０°,
∴∠FBＣ+∠ＡBＥ＝60°,
∴∠FＢC＋∠ＫBC=6０°，
∴∠ＫBF=∠ＦBE=６0°,
在△KＢＦ和△EBF中,
∴△KBF≌△ＥBF，
∴ＫＦ=EF,
∴KＣ+CF=ＥＦ,
即AＥ＋CF＝EＦ．
图3不成立，
AE、ＣＦ、EＦ的关系是AE﹣CF＝ＥF．
2．(1)如图，在四边形ABＣD中，ＡB=AD,∠Ｂ=∠D=９0°，E、Ｆ分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAＤ．
求证:EＦ=BE+ＦD;