2018高考全国3卷理科数学带答案

2018 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。

一、选择题：本题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．已知集合A x | x 1≥ 0 ， B0，1，2 ，则A B

A ．0B． 1C． 1，2D． 0 ，1，2

2． 1 i 2 i

A ． 3 i B． 3 i C．3 i D ．3 i

3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫

卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼

的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

4．若 sin 1

，则 cos 2 3

A ．877

D．

8 B．C．

9 999

5． x225

的展开式中 x4的系数为x

A．10B． 20C． 40D． 80

．直线 x y 2 0 分别与x 轴，

y 轴交于

A

，

B

两点，点

P

在圆

2

y

2

2

上，则ABP 面积的

6x 2取值范围是

A．2，6B．4，8C．

，D． 2 2，3 2 2 3 2

7．函数 y x4x2 2 的图像大致为

8．某群体中的每位成品使用移动支付的概率都为

p ，各成员的支付方式相互独立，设

X 为该群体的

10 位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4，P X

4 P X

6 ，则 p

A ．0．7

B ．0．6

C ． 0．4

D ．0．3

9． △ ABC 的内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 ABC 的面积为

a 2

b 2

c 2 ，则 C

4

A ．

π

B ．

π

C ．

π

D ．

π

2

3

4

6

10．设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，

ABC 为等边三角形且其面积为

9 3 ，则

三棱锥 D ABC 体积的最大值为

A ．12 3

B ．18 3

C ．24 3

D ．54 3

F 1 ，F 2

x 2 y 2 a 0 ，b 0 O

F 2 C

11．设 是双曲线

C ：

a 2

b 2 1（ ）的左，右焦点， 是坐标原点．过 作 的一

条渐近线的垂线，垂足为 P ．若 PF 1

6 OP ，则 C 的离心率为

A ． 5

B ． 2

C ． 3

D ． 2

12．设 a

log 0.2 0.3 ， b log 2 0.3 ，则

A ． a b ab 0

B ． ab a b 0

C ． a b 0 ab

D ． ab 0 a b

二、填空题：本题共

4 小题，每小题

5 分，共 20 分。

13．已知向量 a = 1,2 ， b = 2, 2 ， c = 1,λ ．若 c ∥ 2a + b ，则 ________．

14．曲线 y

ax 1 e x 在点 0，1 处的切线的斜率为

2 ，则 a

________．

15．函数 f x cos 3x

π

在 0，π 的零点个数为 ________．

6

16．已知点 M

1，1 和抛物线 C ：y 2 4x ，过 C 的焦点且斜率为

k 的直线与 C 交于 A ， B 两点．若

∠ AMB 90 ，则 k ________．

三、解答题：共

70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

17～ 21 题为必考题，每个试

题考生都必须作答。第

22、 23 为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共 60 分。

17．（ 12 分）

等比数列 a n 中， a 1 1，a 5 4a 3 ．

（ 1）求 a n 的通项公式；

（ 2）记 S n 为 a n 的前 n 项和．若 S m 63 ，求 m ．

18．（ 12 分）

某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为

比较两种生产方式的效率，选取

40 名工人，将他们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种

生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：

min ）绘制了如

下茎叶图：

（ 1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（ 2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下面的列联表：

超过 m

不超过 m

第一种生产方式

第二种生产方式

（ 3）根据（ 2）中的列表，能否有

99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

附： K 2

n ad

bc

2

P K 2 ≥ k

0.050 0.010 0.001 ． a b c d

a c

b d

，

k

3.841 6.635 10.828

19．（ 12 分）

如图，边长为 2 的正方形 ABCD 所在平面与半圆弧

CD 所在平面

垂直， M 是CD 上异于 C ， D 的点．

（ 1）证明：平面 AMD ⊥ 平面 BMC ；

（ 2）当三棱锥 M

ABC 体积最大时，求面

MAB 与面 MCD 所成

二面角的正弦值． 20．（ 12 分）

已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ：

x 2

y 2 1交于 A ， B 两点． 线段 AB 的中点为 M 1，m m 0 ．

（ 1）证明： k 1 ；

2

（ 2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且 FP FA FB 0 ．证明：FA， FP ， FB 成等差数列，并求该数列的公差．

21．（ 12 分）

已知函数 f x 2 x ax2ln 1x2x ．

（ 1）若a0，证明：当1x0 时，f x0 ；当x0 时，f x0 ；

（ 2）若x0是 f x 的极大值点，求 a ．

（二）选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22． [选修 4— 4：坐标系与参数方程]（10 分）

在平面直角坐标系

x cos ，

为参数），过点0 ， 2 且倾斜角为xOy 中，⊙O的参数方程为（

y sin

的直线 l 与⊙ O 交于A，B两点．

（1）求的取值范围；

（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．

23． [选修 4— 5：不等式选讲]（ 10 分）

设函数 f x 2 x 1 x 1 ．

（ 1）画出 y f x 的图像；

（ 2）当 x ∈ 0 ，， f x ≤ ax b ，求a b 的最小值．

绝密★ 启用前

2018 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学试题参考答案

一、选择题

123456789101112

C D A B C A D B C B C B

二、填空题

1

13．14．315． 3 16．2

2

17．解：

（ 1）设{ a n}的公比为q，由题设得a n q n 1 ．

由已知得 q44q2，解得q0 （舍去）， q 2 或 q 2．

故 a n ( 2) n 1或 a n 2n 1．

（ 2）若a n( 2)n 1，则S n 1 (2) n．由S m63得(2)m188 ，此方程没有正整数解．

3

若 a n 2n1，则 S n 2n 1．由S m63 得2m64 ，解得 m 6 ．

综上， m6．

18．解：

（1）第二种生产方式的效率更

高．理由如下：

（ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85．5 分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73． 5 分钟．因此第二种生产方式的效率更高．

（ iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高．（ iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8 上的最多，关于茎 8 大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7 上的最多，关于茎7 大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为

用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此

第二种生产方式的效率更高．

以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

（ 2）由茎叶图知

7981

m80 ．

2

列联表如下：

超过 m不超过m

第一种生产方式 15 5 第二种生产方式

5

15

（ 3）由于 K 240(15 15

5 5) 2 10 6.635 ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有

20 20 20 20

差异．

19．解：

（ 1）由题设知，平面 CMD ⊥平面 ABCD ，交线为 CD ．因为 BC ⊥ CD ， BC 平面 ABCD ，所以

BC ⊥平面 CMD ，故 BC ⊥ DM ．

因为 M 为 CD 上异于 C ， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM ⊥ CM ．

又 BC CM =C ，所以 DM ⊥平面 BMC ．

而 DM 平面 AMD ，故平面 AMD ⊥平面 BMC ．

（ 2）以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

D - xyz ．

当三棱锥 M- ABC 体积最大时， M 为 CD 的中点．

由题设得 D (0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C (0,2,0), M (0,1,1) ，

AM

( 2,1,1), AB (0,2,0), DA (2,0,0)

设 n

( x, y, z) 是平面 MAB 的法向量，则

n AM

0, 2x y z 0,

n AB

即

0.

2 y

0.

可取 n (1,0,2) ．

DA 是平面 MCD 的法向量，因此

cos n , DA

n DA 5 ，

| n || DA |

5

25

sin n, DA，

5

所以面 MAB 与面 MCD 所成二面角的正弦值是 2 5 ．

5 20．解：

（ 1）设A(x1, y1), B( x2, y2)，则x

12

y121,

x

22y22 1 ．4343

两式相减，并由y1y2

k 得

x1x2

x1x2

y

1

y

2k 0．

43

由题设知x

1

x21,

y

1

y

2m ，于是

22

k

3

．①

4m

由题设得 0m 31

，故 k．22

（ 2）由题意得 F (1,0) ，设P(x3, y3)，则

( x31, y3)( x1 1, y1 )( x2 1, y2 )(0,0) ．由（ 1）及题设得x33( x1 x2 )1, y3( y1y2 )2m0 ．

又点 P 在 C 上，所以m3，从而P(1,3

)，|FP |3．

422于是

| FA|(x122(x1 1)23(1x12x1

1)y1)2．

42

同理|FB| 2x

2 ．2

所以|FA| |FB| 41

( x1x2 ) 3 ．2

故 2| FP | | FA || FB |，即 | FA |,| FP |,| FB | 成等差数列．设该数列的公差为d，则

2| d | || FB | | FA ||1

| x1x2 |1( x1x2 )2 4 x1 x2．②22

3

代入①得 k 1 ．

将 m

4

所以 l 的方程为y x7，代入 C 的方程，并整理得7x214x10 ．

44

故 x1 x22, x1x21321 28，代入②解得

| d |

28．

所以该数列的公差为321 或321．

2828 21．解：

（ 1）当a 0时，f ( x)(2x)ln(1x) 2x ，

f ()ln(1

x

)x ．x1x

设函数 g( x) f ( x)ln(1x)

1x，则 g (x)

(1

x．x x)2

当 1 x0 时， g ( x)0 ；当 x0 时， g (x)0 ．故当 x1时， g( x)g(0) 0 ，且仅当 x0 时， g ( x)0 ，从而 f(x)0 ，且仅当 x 0 时， f(x)0 ．

所以 f ( x) 在 (1,) 单调递增．

又 f (0)0 ，故当1x0 时， f ( x) 0 ；当 x0 时， f ( x)0 ．

（ 2）（ i）若a0 ，由（1）知，当 x0 时， f (x)(2x)ln(1x)2x0 f (0) ，这与 x 0是 f (x) 的极大值点矛盾．

（ ii ）若a0 ，设函数 h( x) f (x)ln(1 x)2x．

x ax2x ax 2

22

由于当| x |min{1,1}时，2x ax20 ，故 h( x) 与 f ( x) 符号相同．

| a|

又 h(0) f (0) 0 ，故 x 0 是 f ( x) 的极大值点当且仅当x0 是 h( x) 的极大值点．

h ( x)12(2x ax2 )2x(12ax)x2 ( a2 x24ax6a1) ．

1 x(2x ax

2 ) 2( x 1)(ax2x 2)2

如果 6a10，则当 0x6a 1，且 | x |min{1,1

} 时，h ( x) 0，故x0 不是 h( x)

4a| a|

的极大值点．

如果6a10，则 a2 x24ax6a 1 0 存在根x10，故当 x( x1,0) ，且 | x|min{1,}1

| a|时， h ( x)0 ，所以 x0 不是 h( x) 的极大值点．

如果6a10，则

h (x)x3 ( x24)．则当 x (1,0)时， h ( x) 0；当 x(0,1)时，

( x1)(x26x12)2

h ( x) 0 ．所以 x0 是 h( x) 的极大值点，从而x0 是 f ( x) 的极大值点

综上， a 1

．6

22．解：

（ 1）O 的直角坐标方程为x2y21．

当时， l 与O 交于两点．

2

当时，记 tan k ，则 l 的方程为 y kx 2 ．l 与O 交于两点当且仅当|

2|1 ，

k 2 21

解得 k 1 或 k 1 ，即( ,) 或( ,) ．

4224

综上，的取值范围是 (,) ．

4 4

x t cos , （ 2）l的参数方程为

2(t 为参数，) ．

y t sin44

设 A ，B ，P 对应的参数分别为t A，t B，t P，则t P t A t B，且 t A，t B满足t222t sin 1 0 ．

2

于是 t A t B 2 2sin ， t P

x t P cos,

2sin ．又点P的坐标( x, y)满足

2t P sin .

y

x

2

,

sin 2

所以点 P 的轨迹的参数方程是2(为参数，) ．

y

22

cos2

44 22

23．解：

3x, x

1 ,

2

（ 1） f (x)x 2,

1 y f ( x) 的图像如图所示．

x 1,

2 3x, x

1.

（ 2）由（ 1）知， y f ( x) 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为

3 ，故当且仅当 a 3且 b 2时， f (x) ax b 在 [0, ) 成立，因此 a b 的最小值为 5 ．