新北师大版八年级下册三角形的证明
三角形的证明
【知识点一：全等三角形的判定与性质】 1．判定和性质
一般三角形
直角三角形
判定
边角边（SAS ）、角边角（ASA ）
角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL ）
性质
对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
2．证题的思路：
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???????????????）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【典型例题】
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ ） A ．SSS B ．ASA
C ．AAS
D ．角平分线上的点到角两边距离相等 2．下列说法中，正确的是（ ）
A ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B ．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C ．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
D ．面积相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌ΔAD
E ，若∠B ＝80°，∠C ＝30°，∠DAC ＝35°， 则∠EAC 的度数为（ ） A ．40°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
4．已知：如图，在△MPN 中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ ＝NQ ．求证：HN ＝PM .
5．用三角板可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM＝ON（如图5－7），再分别过点M、N 作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．
图5－7
【巩固练习】
1．下列说法正确的是（）
A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等
C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等
2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若△ADB≌
△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）
A．15°B．20°C．25°D．30°
3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．
（1）请证明AD＝A'D'；
（2）把上述结论用文字叙述出来；
（3）你还能得出其他类似的结论吗?
图4－9
5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．
（1）当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．
图4－10 （2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．
①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．
图4－11
【知识点二：等腰三角形的判定与性质】
等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）
等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；
②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；
③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．
【典型例题】
1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）
A．12 B．15 C．12或15 D．18
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）
A．0＜x＜3 B．x＞3 C．3＜x＜6 D．x＞6
4．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，
要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．
6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求
证：MD=MA.
【巩固练习】
1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）
A．30°B．40°C．50°D．70°
2．下列说法错误的是（）
A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等
C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等
D．两个等边三角形全等
3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B 在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条
件的C点的个数为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D 作DG∥AC交BC于G．求证：
（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．
【知识点三：等边三角形的判定与性质】
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
三条边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有两个叫是60°的三角形是等边三角形．
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．
【典型例题】
1．下列说法中不正确的是（）
A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等
B．有一边对应相等的两个等边三角形全等
C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等
D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等
2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）
A．10°B．12.5°C．15°D．20°
3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.
【变式练习】
1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（）
A．4倍B．3倍
C．2倍D．1倍
3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延
长线上．若DE=DB，则CE的长为．
4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，
且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数
是（）
A．60°B．110°C．120°D．135°
5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、
B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三
角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）
A．6 B．12 C．32 D．64
6.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
7．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．
（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．
【知识点四：反证法】
反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．
【基础练习】
1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）
A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数
C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数
2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（）
A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°
C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°
3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．
【知识点五：直角三角形】
1、直角三角形的有关知识．
●勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；
●勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；
●在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、互逆命题、互逆定理
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
【典型例题】
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：
（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；
（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等
2．使两个直角三角形全等的条件是（）
A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等
C．一条边对应相等D．两条边对应相等
3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）
A．7 B．6 C．5 D．4
4．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与
对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）
A．1 B．4
3
C．
3
2
D．2
5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，
若CD=2，那么BD等于（）
A．6 B．4 C．3 D．2
6．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，
则点A到边BC的距离为（）
A．3B．22C．4 D．3
7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论．
8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．
（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）．
（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．
9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：B′E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．
【变式练习】
1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角
C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角
2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）
A．36
5
B．
12
25
C．
9
4
D．
33
3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是．
4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=1
2
AB，则∠A等于（）
A．30°B．45°C．60°D．不能确定
5．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．
6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角? 请说明理由．
7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：
（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、22、5；
（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．
【提高练习】
1．如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点
B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
2．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．16
D ．55
3．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示：
a = ，
b = ，
c = ；
（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．
4．如图，AC =BC =10cm ，∠B =15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．5cm
D ．6cm
5．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =15°，AB 的垂直平分线交AB 于E ，交BC 于D ，BD =8，则AC = ．
6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A 、B 两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C （点C 必须在小正方形的顶点上），使以A 、B 、C 为顶点的三角形分别满足以下要求：
（1）在图1中画一个△ABC ，使△ABC 为面积为5的直角三角形； （2）在图2中画一个△ABC ，使△ABC 为钝角等腰三角形．
n
2
3
4
5
…
a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b
4
6
8
10
…
c 22+1 32+1 42+1 52+1 …
7．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．
【知识点六：线段的垂直平分线】
●线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。
●线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
?三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。
【典型例题】
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线