搜档网
当前位置:搜档网 › 2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理

2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理

2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理
2017届高三数学一轮复习第四篇三角函数解三角形第6节正弦定理和余弦定理及其应用课时训练理

解三角形(1)---正弦定理

解三角形(1)---正弦定理 【定理推导】 如图1-1,固定?ABC 的边CB 及∠B ,使边AC 绕着顶点C 转动。思考: (1)∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? (2)显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大,能否用一个 等式把这种关系精确地表示出来? 如图1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a 、AC=b 、AB=c ,根据锐角三角函数 中正弦函数的定义,有a sinA c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, 则a b c c sinA sinB sinC ===,从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c A B C ==。 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立?(分为锐角三角形和钝角三角形两种情况) 如图1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则:sin sin a b A B = , 同理可得 sin sin c b C B = ,从而 sin sin a b A B = sin c C = 思考:是否可以用其它方法证明这一等式?由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 证法二:(向量法)过点A 作j AC ⊥ ,由向量的加法可得AB AC CB =+ 则 ()j AB j AC CB ?=?+ ∴j AB j AC j CB ?=?+? ()()0 0cos 900cos 90-=+- j AB A j CB C ∴sin sin =c A a C ,即 sin sin = a c A C 证明三:(外接圆法)如图所示,∠A =∠D ,∴ 2sin sin a a CD R A D ===, 同理:sin b B =2R ,sin c C =2R 同理,过点C 作⊥ j BC ,可得sin sin =b c B C ,从而a b c sinA sinB sinC == 类推:当?ABC 是钝角三角形时,以上关系式仍然成立。 从上面的探究过程,可得以下定理: c b a C B A (图1-2) c b a C B A (图1-3) c b a C B A j C B A (图1-1) a b c O B C A D

正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A

解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)

解三角形题型5:正、余弦定理判断三角形形状 1、(2013·陕西高考文科·T9)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、(2010上海文数)18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =, 则△ABC (A )一定是锐角三角形. (B )一定是直角三角形. (C )一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 4、在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中,若c C b B a A sin cos cos = =,则△ABC 是( ) A .有一内角为30°的直角三角形 B .等腰直角三角形 C .有一内角为30°的等腰三角形 D .等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c -a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 9、(2010辽宁文数17)在ABC ?中,a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边, 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)若sin sin 1B C +=,试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B).

必修五解三角形正弦定理和余弦定理

学案正弦定理和余弦定理 导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC中,A+B+C=________; (2)a+b____c,a-bb?sin A____sin B?A____B; (4)三角形面积公式:S△ABC=1 2ah= 1 2ab sin C= 1 2ac sin B=_________________; (5)在三角形中有:sin 2A=sin 2B?A=B或________________?三角形为等腰或直角三角形; sin(A+B)=sin C,sin A+B 2=cos C 2. 自我检测 1.(2010·上海)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13,则△ABC() A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 2.(2010·天津)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A等于() A.30°B.60°C.120°D.150° 3.(2011·烟台模拟)在△ABC中,A=60°,b=1,△ABC的面积为3,则边a的值为() A.27 B.21 C.13 D.3

4.(2010·山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2, sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 5.(2010·北京)在△ABC 中,若b =1,c =3,C =2π3 ,则a =________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中,a =3,b =2,B =45°,求角A 、C 和边c ; (2)在△ABC 中,a =8,B =60°,C =75°,求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中,若tan A =13 ,C =150°,BC =1,则AB =________; (2)在△ABC 中,若a =50,b =256,A =45°,则B =________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且a 2+c 2- b 2=a c . (1)求角B 的大小; (2)若c =3a ,求tan A 的值. 变式迁移2 在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B =2π3 ,b =13,a +c =4,求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,如果(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ),试判断该三角形的形状. 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中,AC AB =cos B cos C . (1)证明:B =C ; (2)若cos A =-13 ,求sin ????4B +π3的值. 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它 是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求

正弦定理余弦定理解三角形

第一篇 正弦定理和余弦定理 【知识清单】 一、三角形有关性质 (1)在△ABC 中,A +B +C =π;a +b >c ,a -b b ?sin A >sin B ?A >B ; (2)三角形面积公式:S △ABC =12ah =12ab sin C =1 2ac sin B =1sin 2 bc A ; (3)在三角形中有:sin 2A =sin 2B ?A =B 或2 A B π += ?三角形为等腰或直角三角形; sin(A +B )=sin C ,()cos cos A B C +=-,sin A + B 2=cos C 2 . 定理 正弦定理 余弦定理 内容 2sin sin sin a b c R A B C === 2222sin a b c bc A =+- 2222sin b a c ac B =+- 222 2sin c a b ab C =+- 变形 形式 ①2sin a R A =,2sin b R B =,2sin c R C =; ②sin 2a A R =,sin 2b B R =,sin 2c C R =; ③::c sin :sin :sin a b A B C =; ④sin sin +sin sin a b c a A B C A ++=+. 222cos 2b c a A bc +-=; 222cos 2a c b B ac +-= ; 222cos 2a b c C ab +-= 解决 的问题 ①已知两角和任一边,求另一角和其他两条边. ②已知两边和其中一边的对角,求另一边和其他两角. ①已知三边,求各角; ②已知两边和它们的夹角,求第三 边和其他两个角. 三、解斜三角形的类型 (1)已知两角一边,用正弦定理,有解时,只有一解; (2)已知两边及其一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为以下情况,在ABC ?中, A 为锐角 A 为钝角或直角 图 形 关系式 sin a b A < sin a b A = sin b A a b << a b ≥ a b > 解个数 无解 一解 两解 一解 一解 上表中,为锐角,时,无解;为钝角或直角时,或均无解.

解三角形之正弦定理

1.1.1 解三角形之正弦定理2 2015.03.17 命题人——王峰 班级 姓名 学号 一、选择题 1.在△ABC 中,若∠B =135°,AC =2,则BC sin A = ( ) A .2 B .1 C . 2 D .2 2 2.在△ABC 中,∠B =45°,c =22,b =433 ,则∠A 的大小为 ( ) A .15° B .75° C .105° D .75°或15° 3.已知△ABC 的面积为3 2,且b =2,c =3,则sin A = ( ) A .32 B .12 C .34 D . 3 4.在△ABC 中,a =1,A =30°,C =45°,则△ABC 的面积为 ( ) A .22 B .24 C .32 D .3+14 5.在△ABC 中,B =60°,最大边与最小边之比为(3+1)∶2,则最大角为 ( ) A .45° B .60° C .75° D .90° 6.在△ABC 中,(b +c )∶(a +c )∶(a +b )=4∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C = ( ) A .4∶5∶6 B .6∶5∶4 C .7∶5∶3 D .7∶5∶6 7.在△ABC 中,a =2b cos C ,则这个三角形一定是 ( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰或直角三角形 *8.[2013·辽宁理,6]在△ABC 中,若a sin B cos C +c sin B cos A =1 2b ,且a >b ,则B = ( ) A .π6 B .π3 C .2π3 D .5π 6 二、填空题 9.在△ABC 中,若b =5,∠B =π 4,cos A =5 5,则sin A =________;a =________. 10.(1)在△ABC 中,若a =32,cos C =1 3,S △ABC =43,则b =________; (2)在△ABC 中,若tan A =13 ,C =150°,BC =1,则AB =________. 11.(1)在△ABC 中,若b =a cos C ,则△ABC 是___________三角形; (2)在△ABC 中,若a cos A =b cos B ,则△ABC 是______________三角形;

正余弦定理与解三角形整理(有答案)

正余弦定理考点梳理: 1. 直角三角形中各元素间的关系:如图,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理) A (2)锐角之间的关系:A+B=90°; c (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) b sin A=cos B=a c ,cos A=sin B= b c ,tan A= a b 。 C B 2. 2.斜三角形中各元素间的关系: a 如图6-29 ,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=_____ (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理: a b c 2R 。(R为外接圆半径)sin A sin B sin C a b c = ==2R的常见变形: sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c; (2) a b == sin A sin B c = sin C a+b+c =2R; sin A+sin B+sin C (3) a=2R sin_ A,b=2R sin_ B,c=2R sin_ C; a b c (4)sin A=,sin B=,sin C=. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式:S=1 2 ab sin C= 1 1 bc sin A=ca sin B. 2 2 5. 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式:. 6. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角.

正弦定理和余弦定理(解三角形)

解三角形 1.内角和定理:在ABC ?中,A B C ++= π;sin()A B +=sin C ;cos()A B +=cos C -,cos 2A B +=sin 2C 2.面积公式: ①ABC S ?=21aha =21bhb =2 1chc (ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高); ②ABC S ?=21absinC =21bcsinA =2 1acsinB ; ③ABC S ?=2R 2sinAsinBsinC.(R 为外接圆半径) ④ABC S ?=R abc 4; ⑤ABC S ?=))()((c s b s a s s ---,?? ? ??++=)(21c b a s ; ⑥ABC S ?=r ·s ,( r 为△ABC 内切圆的半径) 3.三角形中常见的不等式: ①B A B A sin sin ,>>则若(任意三角形) ②锐角三角形中,B A cos sin > 4.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一:R C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具) 形式二:?? ???===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具) 4.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一:222 2cos a b c bc A =+- 2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+- 形式二:cos A =bc a c b 2222-+ ; cos B =ca b a c 2222-+ ; cosC=ab c b a 22 22-+ 考点1: 运用正、余弦定理求角或边 题型1.求三角形中的某些元素 例1.已知:A.B.C 是ABC ?的内角,c b a ,,分别是其对边长,向量()()1cos ,3--=A m π,??? ? ????? ??-=1,2cos A n π,n m ⊥. (Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若,3 3cos ,2==B a 求b 的长.

2017年高考试题:正余弦定理解三角形

2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ,2=a ,2=c ,则=C ( ) A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答:0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到: 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ,C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 (Ⅰ)求C B sin sin ; (Ⅱ)若1cos cos 6=C B ,3=a ,求ABC ?的周长。 本题解答:(Ⅰ)ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 (Ⅱ)61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ,3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到:921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据(Ⅰ)得到:898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到:3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为:333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答:根据射影定理得到:b A c C a =+cos cos ,b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2

正弦定理解三角形

利用正弦定理解三角形 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题: 1、已知三角形的两角和任意一边,求三角形其他两边与角。 2、已知三角形的两边和其中一边的对角,求三角形其他边与角。 例题设计一: 已知△ABC,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)。 (1)∠A=60°∠B=45° a=10 (2)∠A=45°∠B=105° c=10 (1)属于已知三角形的两角和其中一角的对边,先由三角形内角和定理知∠C=180°-∠A-∠B=75°,然后由正弦定理直接得:b===≈8.2,c==≈11.2 (2)为已知两角和另一角的对边,这时先利用∠A+∠B+∠C=π,求出另一角∠C=30°,然后由正弦定理得:a=== b=== 这两道例题均选自教材,使学生明确在三角形中已知两角和任意一边时,这样的三角形是唯一确定的。学会用方程思想分析正弦定理解决问题。 习题设计一: 设计意图:巩固当堂内容 已知在△ABC中,c=10, ∠A=45°,∠C=30°,求a、b和∠B.

解:∵,∴a=,∠B=180°- (∠A+∠C)=180°-(45°+30°)=105°,∵,∴ b ==20sin75°=20×=5+5. 例题设计二: 已知△ABC中,根据下列条件,求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1) (1) a=3 b=4 ∠A=30° (2) a=b=6 ∠A=120° (3) a=2 b=3 ∠A=45° (1)由正弦定理得sinB===,再由三角形内角和定理 知∠B的范围为:0°<B<150°,∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°,再根据“三角形中大边对大角”知 b=4>a=3,∴∠B>∠A, ∴∠B≈41.8°或∠B≈138.2°; 当∠B≈41.8°时,∠C≈180°-30°-41.8°=108.2°, c==≈5.7; 当∠B≈138.2°时,∠C≈180°-30°-138.2°≈11.8°,

三角函数与解三角形:正弦定理和余弦定理

正弦定理和余弦定理【考点梳理】 1.正弦定理和余弦定理 (1)S=1 2a·h a(h a表示边a上的高); (2)S=1 2ab sin C= 1 2ac sin B= 1 2bc sin A. (3)S=1 2r(a+b+c)(r为内切圆半径). 【考点突破】 考点一、利用正、余弦定理解三角形 【例1】在△ABC中,∠BAC=3π 4,AB=6,AC=32,点D在BC边上, AD=BD,求AD的长. [解析] 设△ABC的内角∠BAC,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos∠BAC

=(32)2+62-2×32×6×cos 3π4 =18+36-(-36)=90,所以a=310. 又由正弦定理得sin B=b sin∠BAC a= 3 310 = 10 10, 由题设知0<B<π 4, 所以cos B=1-sin 2B=1-1 10= 310 10. 在△ABD中,因为AD=BD,所以∠ABD=∠BAD,所以∠ADB=π-2B,故由正弦定理得 AD=AB·sin B sin(π-2B)= 6sin B 2sin B cos B= 3 cos B=10. 【类题通法】 1.正弦定理是一个连比等式,只要知道其比值或等量关系就可以运用正弦定理通过约分达到解决问题的目的. 2.(1)运用余弦定理时,要注意整体思想的运用. (2)在已知三角形两边及其中一边的对角,求该三角形的其它边角的问题时,首先必须判断是否有解,如果有解,是一解还是两解,注意“大边对大角”在判定中的应用. 【对点训练】 1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sin B +sin C)=(a-3c)sin A,则角B的大小为() A.30°B.45° C.60°D.120° [答案]A

高考数学专题--正余弦定理及解三角形

高考数学专题--正余弦定理及解三角形 高考考点:1、利用正、余弦定理解三角形 2、解三角形的实际应用 3、解三角形与其他知识的交汇问题 解三角形问题一直是近几年高考的重点,主要考查以斜三角形为背景求三角形的基本量、面积或判断三角形的形状,解三角形与平面向量、不等式、三角函数性质、三角恒等变换交汇命题成为高考的热点. 考点1 利用正、余弦定理解三角形 题组一 利用正、余弦定理解三角形 调研1 ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3 cos sin 3b a C a C =+ . (1)求A ; (2)若3a = ,2bc =,求ABC △的周长. 【解析】(1) 3cos sin 3b a C a C =+ ,3 ,sin sin cos sin sin 3B A C A C ∴=+由正弦定理得, 3 sin cos cos sin sin cos sin sin 3A C A C A C A C ∴+=+ ,tan 3A =即, ()0πA ∈又,,∴ π 3A = . (2) 22π,32cos 3b c bc =+-由余弦定理得, ()2 33b c bc +-=即, 2bc =又,3b c ∴+=, 故33ABC +△的周长为. 调研2 如图,ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知3sin cos C c B b = .

(1)求角B 的大小; (2)点D 为边AB 上的一点,记BDC θ∠=,若π85π,2,5,2 5CD AD a θ<<=== ,求sin θ与b 的值. 【解析】(1)由已知3sin cos C c B b =,得3sin sin cos sin C C B B =, 因为sin 0 C >,所以sin 3tan cos 3B B B == , 因为0πB <<,所以 π 6B = . (2)在BCD △中,因为sin sin sin CD BC a B BD C θ== ∠,所以 85 25sin sin B BDC = ∠,所以 25sin 5θ=, 因为θ为钝角,所以ADC ∠为锐角,所以 ()25cos cos π1sin 5ADC θθ∠=-=-= , 在ADC △中,由余弦定理,得22252cos(π)5425255b AD CD AD CD θ=+-?-=+-?? =, 所以5b = . ☆技巧点拨☆ 利用正、余弦定理解三角形的关键是利用定理进行边角互化.即利用正弦定理、余弦定理等工具合理地选择“边”往“角”化,还是“角”往“边”化. 若想“边”往“角”化,常利用“a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ”; 若想“角”往“边”化,常利用sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c 2R ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab 等. 题组二 与三角形面积有关的问题 调研3 如图,在ABC △中,点D 在边AB 上,CD ⊥BC ,AC =53,CD =5,BD =2AD . (1)求AD 的长;

(完整版)解三角形之正弦定理与余弦定理

正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式. 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 知识点清单 一. 正弦定理: 1. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,并且都等于外 接圆的直径,即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半 径) sin A sinB sinC 2. 变 形:1) a b c a b c sin sin sinC sin sin sinC 2)化边为 角: a:b:c sin A:sin B: sinC ; a sin A; b sin B a sin A b sinB c sinC c sin C 3)化边为角:a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC 4)化角为边:sin A a;sin B b ; sin A a sin B b sinC c sinC c 5)化角为边:sin A a sinB b,sinC c 2R2R2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题: ①已知两个角及任意—边,求其他两边和另一角;例:已知角B,C,a , 解法:由A+B+C=18o0 ,求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A ; 求出 b 与c c sinC ②已知两边和其中—边的对角,求其他两个角及另一边。例:已知边 a,b,A, 解法:由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C,再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边 c sinC 4. △ABC中,已知锐角A,边b,则 ① a bsin A 时,B 无解; ② a bsin A 或 a b 时, B 有一个解;

解三角形(正弦定理余弦定理)知识点例题解析高考题汇总及答案

解三角形 【考纲说明】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识梳理】 一、正弦定理 1、正弦定理:在△ABC 中,R C c B b A a 2sin sin sin ===(R 为△AB C 外接圆半径)。 2、变形公式:(1)化边为角:2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C === (2)化角为边:sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R === (3)::sin :sin :sin a b c A B C = (4)2sin sin sin sin sin sin a b c a b c R A B C A B C ++====++. 3、三角形面积公式:21111sin sin sin 2sin sin sin 22224ABC abc S ah ab C ac B bc A R A B C R ?====== 4、正弦定理可解决两类问题: (1)两角和任意一边,求其它两边和一角;(解唯一) (2)两边和其中一边对角,求另一边的对角,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 二、余弦定理 1、余弦定理:A bc c b a cos 22 2 2 -+=?bc a c b A 2cos 2 2 2 -+= B ac a c b cos 22 2 2 -+=?ca b a c B 2cos 2 2 2 -+= C ab b a c cos 22 2 2 -+=?ab c b a C 2cos 2 2 2 -+= 2、余弦定理可以解决的问题: (1)已知三边,求三个角;(解唯一) (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角;(解唯一): (3)两边和其中一边对角,求另一边,进而可求其它的边和角.(解可能不唯一) 三、正、余弦定理的应用 1、仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图1).

正弦定理、解三角形

解三角形 [前言 ] 1.三角形的构成要素是三条边与三个角,所谓的解 ②该性质对所有三角形均适用,却只关注边且为不 三角形,即根据已知条件求边的长短与角的大小; 等关系,没有体现角;多数情况中,该性质作为判 求解的方法,不再是传统意义上的尺规测量,而是 段三角形构成的条件; 借助三角形本身所固有的性质来求角的大小、边的 ③该性质对所有的三角形均适用,尽管同时涉及角 长度,正是“解铃还须系铃人”; 与边,但体现的是不等关系; ④⑤⑥这几条性质不能推广,针对某一类具体的三 2.对于三角形的性质,常见的可概括为以下几条: 角形适用; ①内角和定理:三个内角相加之和为180°; ⑦⑧这些性质反映了三角形的外延问题,往往不在 ②两边之和大于第三边,两边之差小于第三边; 解三角形的范畴 ③大角对大边,小边对小角; 综括上述性质的特征: ④勾股定理:a 2+b 2=c 2; 解三角形所采用的性质必须满足四点要求:(1)对 ⑤在直角三角形中,30°所对的直角边为斜边的一半 所有的三角形均适用;(2)必须为等式;(3)必须有 ⑥等腰三角形两腰相等,两底角相等;等边三角形 角的参与;(4)必须有边的参与.满足四点要求的性 三条边相等,三个角相等; 质有正弦定理与余弦定理,即解三角形的主要方法. ⑦直角三角形外接圆的圆心为斜边的中点,斜边长 为外接圆的直径; 3.所谓角已知,不见得已知角的度数,凡是角的正 ⑧三角形的外角等于与它不相邻的两个内角相加之 弦值、余弦值、正切值已知,即为角已知;在解三 和等等; 角形中,求角的大小,也不见的求角的度数,可以 比较上述性质: 是角的某一个三角函数值,原因在于角已为任意角 ①内角和定理对所有三角形均适用,但只体现了角 不囿于锐角或者特殊角. 的关系,不能解决有关边的问题; [正弦定理] 1.正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等,即 a sinA = b sinB = c sinC 其中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边. 对于直角三角形、钝角三角形,同理可证. 2.几何意义:对任意一个?ABC 中,均有:

2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和余弦定理学案文

2019-2020年高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.6正弦定理和 余弦定理学案文 [知识梳理] 1.正弦定理、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则 2.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况

3.三角形中常用的面积公式 (1)S =1 2ah (h 表示边a 上的高). (2)S =12bc sin A =12ac sin B =1 2 ab sin C . (3)S =1 2r (a +b +c )(r 为三角形的内切圆半径). 4.在△ABC 中,常有的结论 (1)∠A +∠B +∠C =π. (2)在三角形中大边对大角,大角对大边. (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. [诊断自测] 1.概念思辨 (1)在三角形中,已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形.( ) (2)在△ABC 中,a sin A =a +b -c sin A +sin B -sin C .( ) (3)若a ,b ,c 是△ABC 的三边,当b 2 +c 2 -a 2 >0时,△ABC 为锐角三角形;当b 2 +c 2 - a 2=0时,△ABC 为直角三角形;当 b 2+ c 2-a 2<0时,△ABC 为钝角三角形.( ) (4)在△ABC 中,若sin A sin B

正弦定理

课题:正弦定理 授课类型:新授课●教学目标 知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力;培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力,通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1.1-1,固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。A 思考:∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来? C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1.1-1) 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中,sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (由学生讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则 sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b C B = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

12高一数学正余弦定理与解三角形

正余弦定理与解三角形 撰稿:王秋寰 审稿:谷丹 责编:王静伟 目标认知: 学习目标: 1.掌握正弦定理、余弦定理及其推导; 2.能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题. 学习重点: 运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系,解决与之有关的计算问题与实际问题. 学习难点: 灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题. 内容解析: 一、正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即sin sin sin a b c A B C = = . 注:1.应用正弦定理,可以研究两类解三角形问题: (1)已知两角和任意一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而可求其他的边和角. 2.正弦定理的常见变形公式: ① 2sin sin sin a b c R A B C == =(其中R 为三角形外接圆的半径); ② 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===; ③ sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = = = ;sin :sin :sin ::A B C a b c =; ④ 三角形面积公式:111 sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===. 二、余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍,即 2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b c a ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 余弦定理的变式:222 cos 2b c a A bc +-= ,222 cos 2a c b B ac +-= ,222 cos 2a b c C ab +-= . 注:1.应用余弦定理,可以研究两类解三角形问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 2.余弦定理的几种常见变形式: ①222 cos 2b c a A bc +-= ;222 cos 2a c b B ac +-= ;222 cos 2b a c C ab +-= (求任意两边的夹角) ②222 2cos b c a bc A +-=;22 2 2cos b a c ab C +-=;2 2 2 2cos a c b ac B +-=(式的化简) ③2 2 2 60A a c b bc ∠=?=+- ;2 2 2 120A a c b bc ∠=?=++ ;2 2 2 90A a b c ∠=?=+ ; A ∠是锐角2 2 2 a b c ?<+;A ∠是钝角2 2 2 a b c ?>+(判断三角形的形状)

高考冲刺 正弦、余弦定理及解三角形_基础

正弦、余弦定理及解三角形 【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定:ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1.边的关系: (1) 两边之和大于第三边:a b c +>,a c b +>,c b a +>; 两边之差小于第三边:a b c -<,a c b -<,c b a -<; (2) 勾股定理:ABC ?中,2 2 2 90a b c C +=?=?. 2.角的关系: ABC ?中,A B C π++=,222C B A ++=2 π (1)互补关系: sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=- (2)互余关系: sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222 A B C C π+=-= 3.直角三角形中的边与角之间的关系 Rt ABC ?中,90C =?(如图) ,有: c c C c b B c a A ==== 1sin ,sin ,sin , cos ,cos ,cos 0b a A B C c c ===. 要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理:在—个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即: 应用 解三角形 正弦定理 余弦定理

相关主题