试题2019届高三上学期期中考试数学(理)试题答案
理科数学高三年级期中考试试题参考答案
1-4、BDAD ；5-8、CBAC ；9-12、DCBC ；13、10-；14、3；15、1+=ex y ；16、]22[，
-； 17．⑴ 易知：0,a ≠由题设可知()31,1,1122 1.2 2.1.
n d a a
a n n d d a ?
+=?=??∴∴=+-?=-??=???=??
………6分
⑵ 由（I ）知2232-+=n b n
n ，
∴
T n 12分 18.⑴(x f 6分
⑵由f ?12分 19.⑴由列联表可知，
2
2
200(70406030) 2.19813070100100
K ??-?=≈???.
∵2.198 2.072>，
∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分 ⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有60
106100
?=（人）
， 偶尔或不用共享单车的有40
104100
?
=（人）.
则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为213
64633
10102
3
C C C P C C =+=. …………8分 ②由22?列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为13013
20020
=
， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人，
恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为1320
. 由题意得)20
13,10(~B X ，∴1313()10202E X =?=；13791
()10202040D X =??=
. …………12分 20.⑴在直三棱柱中1CC AB ⊥，
111C F C =
)2a ， (02BA =，，，(11BE =，，，(20BC =，， 2 y ?)1=-，n 设平面CBE 的法向量()2x y z =，，n ， ∴20
20
x x y z =??
++=?，∴()2021=-，
，n ， ……………………11分 记二面角A BE C --的平面角为θ，1
cos 5
θ=
， ∴sin 5
θ=
∴二面角A BE C --的平面角的正弦值为5
． ……………………12分 21.⑴函数()f x 的定义域为()-∞+∞,，
()()()
e 1e e e x x x x
f x x kx x kx x k '=+--=-=-， ·········1分 ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >．
∴()f x 的单调递减区间是()0-∞，，单调递增区间是[
)0+∞,； ·········2分 ②当0k <
∴()f x ③当1k = ④当1k > []
0ln k ,⑵()0f =- ①当0k < 由（1 ()f x f ≤ 此时()f x 当[
0x ∈,又∵()f x ∴函数(f x ②当1k >时，
由（1）知，当()lnk x ∈-∞,时，
()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；· ········8分 当[
)ln x k ∈+∞,时，()()ln 010f k f <=-<，
()()()22
11
111e e 22k k k k k f k k k ++??+++=-=-??????
．
令()2
1e 2
t
g t t =-
，12t k =+>，则()e t g t t '=-，()e 1t g t ''=-， ∵2t >，()0g t ''>，()g t '在()2+∞,上单调递增，()()2
2e 20g t g ''>=->， ∴()g t 在()2+∞,上单调递增，得()()2
2e 20g t g >=->，即()10f k +>．
∴()f x 在[
)ln k +∞,上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有唯一的零点．·········11分 综合①②知，当0k >时函数()f x 在定义域()-∞+∞,上有且只有一个零点． ……………·12分 22.⑴由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=，化为直角坐标方程为2
2
4x y x +=， 所以圆
由x y =???????
5分
将x y ?=??????
10分 23. 因为x 5分 （2 由柯西不等式可知(
)()()
2
22
3313a b
a b ++≥+，
所以，()2
316a b +≤，因为a ，b 均为正实数，
所以34a b +≤(当且仅当1a b ==时取“=”)． ……………………10分