2020-2021备战中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习附答案
2020-2021备战中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习附答案
一、直角三角形的边角关系
1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．
【答案】553
【解析】
【分析】
如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．
【详解】
解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．
∵AM⊥CD，
∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，
∴四边形OQMP是矩形，
∴QM＝OP，
∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∵OP⊥CD，
∠COD＝30°，
∴∠COP＝1
2
∴QM＝OP＝OC?cos30°＝3
∵∠AOC＝∠QOP＝90°，
∴∠AOQ＝∠COP＝30°，
∴AQ＝1
OA＝5（分米），
2
∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3
∵OB∥CD，
∴∠BOD＝∠ODC＝60°
在Rt △OFK 中，KO ＝OF?cos60°＝2（分米），FK ＝OF?sin60°＝23（分米）， 在Rt △PKE 中，EK ＝22EF FK -＝26（分米），
∴BE ＝10?2?26＝（8?26）（分米），
在Rt △OFJ 中，OJ ＝OF?cos60°＝2（分米），FJ ＝23（分米），
在Rt △FJE′中，E′J ＝2263-（2）
＝26， ∴B′E′＝10?（26?2）＝12?26，
∴B′E′?BE ＝4．
故答案为：5＋53，4．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．如图（9）所示（左图为实景侧视图，右图为安装示意图），在屋顶的斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB 和CD （均与水平面垂直），再将集热板安装在AD 上.为使集热板吸热率更高，公司规定：AD 与水平面夹角为1θ，且在水平线上的射影AF 为
1.4m .现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为2θ，并已知1tan 1.082θ=，
2tan 0.412θ=．如果安装工人确定支架AB 高为25cm ，求支架CD 的高（结果精确到1cm ）？
【答案】
【解析】
过A 作AF CD ⊥于F ，根据锐角三角函数的定义用θ1、θ2表示出DF 、EF 的值，又可证四边形ABCE 为平行四边形，故有EC=AB=25cm ，再再根据DC=DE+EC 进行解答即可．
3．如图，反比例函数() 0k y k x
=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?.
(1)求k 的值及点B 的坐标；
(2)求tanC 的值.
【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2.
【解析】
【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数
()0k y k x
=≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标；
（2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可.
【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上，
∴a =2，∴A (1，2)，
把A (1，2)代入 k y x = 得2k =， ∵反比例函数()0k y k x
=≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称，
∴()1
2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，
∵
90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=，
∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 22OD 1
tanC tan AOD =∠===.
【点睛】本题考查了反比例与一次函数综合问题，涉及到待定系数法、中心对称、三角函数等知识，熟练掌握和应用相关知识是解题的关键，（2）小题求出∠C=∠AOD 是关键.
4．如图，某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度，由于教学楼底部不能直接到达，故兴趣小组在平地上选择一点C ，用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°，再向主教学楼的方向前进24米，到达点E 处（C ，E ，B 三点在同一直线上），又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°，已知测角器CD 的高度为1.6米，请计算主教学楼AB 的高
度．（3≈1.73，结果精确到0.1米）
【答案】22.4m
【解析】
【分析】
首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造等量关系，进而求解．
【详解】
解：在Rt △AFG 中，tan ∠AFG =3， ∴FG =tan 3
AG AG AFG =∠， 在Rt △ACG 中，tan ∠ACG =
AG CG ， ∴CG =tan AG ACG
∠=3AG ． 又∵CG ﹣FG =24m ，
即3AG ﹣3
AG =24m ， ∴AG =123m ，
∴AB =123+1.6≈22.4m ．
5．如图，AB 是圆O 的直径，O 为圆心，AD 、BD 是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD ．延长PD 交圆的切线BE 于点E
(1)判断直线PD 是否为⊙O 的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA 的长；
(3)将线段PD 以直线AD 为对称轴作对称线段DF ，点F 正好在圆O 上，如图2，求证：四边形DFBE 为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）连接OD ，由AB 是圆O 的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得
出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x 的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】
（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，3
∴0 tan30
OD
PD
=，解得OD=1，
∴22
PO PD OD
+，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
（3）如图2，
依题意得：∠ADF=∠PDA，∠PAD=∠DAF，
∵∠PDA=∠PBD∠ADF=∠ABF，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
设∠PBD=x°，则∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，
∵四边形AFBD内接于⊙O，
∴∠DAF+∠DBF=180°，
即90°+x+2x=180°，解得x=30°，
∴∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF=30°，
∵BE、ED是⊙O的切线，
∴DE=BE，∠EBA=90°，
∴∠DBE=60°，∴△BDE是等边三角形，
∴BD=DE=BE，
又∵∠FDB=∠ADB﹣∠ADF=90°﹣30°=60°∠DBF=2x°=60°，
∴△BDF是等边三角形，
∴BD=DF=BF，
∴DE=BE=DF=BF，
∴四边形DFBE为菱形.
【点睛】
本题是一道综合性的题目，考查了切线的判定和性质，圆周角定理和菱形的性质，是中档题，难度较大．
6．如图，AB是⊙O的直径，PA、PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．
(1)求证：∠EPD=∠EDO；
(2)若PC=3，tan∠PDA=3
4
，求OE的长．
【答案】（1）见解析；（2.【解析】
【分析】
（1）由切线的性质即可得证.（2）连接OC，利用tan∠PDA=3
4
，可求出CD=2,进而求得
OC=3
2
，再证明△OED∽△DEP，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求出OE的长.
【详解】
（1）证明：∵PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，∴∠APO=∠CPO, PA⊥AO，
∵DE⊥PO，
∴∠PAO=∠E=90°，
∵∠AOP=∠EOD，
∴∠APO=∠EDO，
∴∠EPD=∠EDO.
（2）连接OC，
∴PA=PC=3，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△PAD中，
AD=4，，∴CD=PD-PC=5-3=2，
∵tan∠PDA=3
4
，
∴在Rt△OCD中，
OC=3
2
，
5
2
，
∵∠EPD=∠ODE，∠OCP=∠E=90°，∴△OED∽△DEP，
∴PD
DO =
PE
DE
=
DE
OE
=2，
∴DE=2OE,
在Rt△OED中，OE2+DE2=OD2，即5OE2=
2
5
2
??
?
??
=
25
4
，
∴．
【点睛】
本题考查了切线的性质；锐角三角函数；勾股定理和相似三角形的判定与性质，充分利用tan ∠PDA=34
，得线段的长是解题关键.
7．如图，已知二次函数212
y x bx c =
++的图象经过点A （-3，6），并与x 轴交于点B （-1，0）和点C ，顶点为点P ．
（1）求这个二次函数解析式；
（2）设D 为x 轴上一点，满足∠DPC =∠BAC ，求点D 的坐标； （3）作直线AP ，在抛物线的对称轴上是否存在一点M ，在直线AP 上是否存在点N ，使AM +MN 的值最小？若存在，求出M 、N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）点C 坐标为（3，0），点P （1，-2）；（2）点P （7，0）；（3）点N （-75，145
）． 【解析】
【分析】
（1）将点A 、B 坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）利用S △ABC =
12×AC×BH= 12×BC×y A ，求出sinα= 222105BH AB ==，则tanα= 12，在△PMD 中，tanα= MD PM 12
22x =+，即可求解； （3）作点A 关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N ⊥AP 分别交对称轴与点M 、交AP 于点N ，此时AM+MN 最小，即可求解．
【详解】
（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：
9
633
2
1
2
b
b c
?
=-+
??
?
?=--+
??
，解得：
1
3
2
b
c
=-
?
?
?
=-
??
，故：抛物线的表达式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
，
令y=0，则x=-1或3，令x=0，则y=-
3
2
，
故点C坐标为（3，0），点P（1，-2）；
（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，
设：∠DPC=∠BAC=α，
由题意得：AB10，AC2BC=4，PC2，
S△ABC=
1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A，
解得：BH2
sinα=
BH
AB
22
210
=
5
，则tanα=
1
2
，
由题意得：GC=2=PG，故∠PCB=45°，
延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，
则MD=MC=x，
在△PMD中，tanα=
MD
PM22
x+
1
2
，
解得：x2CD2x=4，
故点P（7，0）；
（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，
直线AP表达式中的k值为：8
4
=-2，则直线A′N表达式中的k值为
1
2
，
设直线A′N的表达式为：y=1
2
x+b，
将点A′坐标代入上式并求解得：b=7
2
，
故直线A′N的表达式为：y=1
2
x+
7
2
…①，
当x=1时，y=4，
故点M（1，4），
同理直线AP的表达式为：y=-2x…②，
联立①②两个方程并求解得：x=-7
5
，
故点N（-7
5
，
14
5
）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形等知识，其中（3），利用对称点求解最小值，是此类题目的一般方法．
8．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；
（2）连接FC，观察并直接写出∠FCN的度数（不要写出解答过程）
（3）如图（2），将图中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请求出tan∠FCN的值．若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．