全等三角形培优题型全集

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《全等三角形》培优题型全集

题型一：倍长中线（线段）造全等

1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：

AC=BF

C

2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______.

D

C

B

A

3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1

C 、5

D 、9

4、已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA=BD ， 求证：AE=

2

1

AC C

E

5、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，

且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠

A

B

F

D

E

C

题型二：截长补短

1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。 求证：BC ＝AB ＋CD 。

2、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB=AC+CD.

3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数

D

C

B

A

4、已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和

.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量

关系，并加以证明．

D

O

E

C

B A

D

C

B A 12

题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段

1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，

求证：∠BAD+∠C=180°

D

C

B

A

2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？

3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.

4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。

求证：∠ADC＋∠B＝180°。

图九

2

1

C

B

A

D

5、如图，在△ABC中∠A BC,∠A CB的外角平分线相交于点P，求证：AP是∠BAC的角平分线

图十一

4

3

2

1

A

B

C

6、如图，∠B=∠C=90°，AM平分∠DAB，DM平分∠ADC。求证:点M为BC的中点

A

B C

D

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题型四：连接法（构造全等三角形）

1、已知：如图，AB ＝AD ，BC ＝DC ，E 、F 分别是DC 、BC 的中点，求证： AE ＝AF 。

2、如图，直线AD 与BC 相交于点O ，且AC=BD ，AD=BC ． 求证：CO=DO ．

A

O

D

C B

3、已知：如图，AB=AE ，BC=ED ，点F 是CD 的中点，AF ⊥CD ．

求证：∠B=∠E ．

A

F D

C

B

E

4、在等边ABC ?内取一点D ，使DA DB =，在ABC ?外取一点

E ，使DBE DBC ∠=∠，且BE BA =，求BED ∠.

题型五：全等+角平分线性质

1、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且DB=DC ， 求证：EB=FC

2、已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ，?PN ⊥CD 于N ，求证：PM= PN

P D A

C

B

M N

题型六：全等+等腰三角形的性质

1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O.求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .

O

C

E

B

D

A

2、.已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ， BE ＝CF ，∠B ＝∠C ．求证：OA ＝OD ．

D

A

F

E

D

E

C

B

A

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题型七：两次全等

1、如图，AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。求证：BF=CF

F

D

C

B

A

2、如图，D 、E 、F 、B 在一条直线上AB=CD, ∠B=∠D ，BF=DE. 求证：（1）AE=CF; （2）AE ∥CF （3）∠AFE=∠CEF

3、如图：A 、E 、F 、B 四点在一条直线上，AC ⊥CE ，BD ⊥DF ，AE=BF ，AC=BD 。求证：△ACF ≌△BDE

A

B

C

E

F

D

4、如图，在四边形ABCD 中，E 是AC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

654

32

1

E D

C

B

A

5、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分

6、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG

题型八：直角三角形全等（余角性质）

1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一

点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ．求证：BD ＝CG ．

2、如图，将等腰Rt △ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．

3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F ，求证：EF ＝CF －AE

A

B

E

O F

D

C

A

C

F

D

E A

F

C

B

D

E

G

A

D

F

E

C

B

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题型九：延长角平分线的垂线段

1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．

A

F D

C

B

E

2、如图，△ABC 中，∠BAC=90度，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．

F

E D

C

B

A

3、已知，如图34，△ABC 中，∠ABC=90o，AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=

2

1

AE ． C

E

B

A

D

题型十：面积法

1、如图，在△ABC 中，∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC ， 求证AB=AC.

2、如图，在△ABC 中，∠A=90°，D 是AC 上的一点，BD=DC ，P 是BC 上的任一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 为垂足． 求证：PE+PF=AB ．

3、己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是线段BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，求证： PE+PF=CD.

4、己知，△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥AB ，垂足为D ，P 是射线BC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 垂足分别为E 、F ，求证： PE – P F=CD.

题型十一：旋转型

1、如图，正方形ABCD 的边长为1，G 为CD 边上一动点（点G 与C 、D 不重合）， 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于H 。

求证：① △BCG ≌△DCE ，② BH ⊥DE

E

D

C A

B

G

P

F E

D

C

A B

G

P

F

E

D

C

A

B G

H

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2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B ，C ，E 在同一条直线上，连结DC ． （1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC ⊥BE ．

3、（1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；

（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不重叠），求∠AEB .

4、如图，AE ⊥AB ，AD ⊥AC ，AB=AE ，∠B=∠E ， 求证：（1）BD=CE ；（2）BD ⊥CE ．

5、如图所示，已知AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，AE=AB ，AF=AC 。 求证： （1）EC=BF ；（2）EC ⊥BF

6、 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.

7、D 为等腰Rt ABC ?斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

①当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 ②若AB=2，求四边形DECF 的面积。

8、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，

求证：AD 平分∠CDE

C

E

D

B

A

9、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，

求五边形ABCDE 的面积

B

A

O

D

C

E 图8

图1

图2

A

B

C

B

O

D

图7

A

E

A E

B

M C

F

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10、已知Rt ABC △中，

90AC BC C D ==?，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，

EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

（1）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），求证：1

2DEF CEF ABC S S S +=△△△．

（2）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时（如图2），求DEF S △、CEF S △、ABC S △之间的数量关系？ （3）当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时（如图3），求DEF S △、CEF S △、ABC S △之间的数量关系？

11、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. （1）、当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； （2）、当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ；

（3）、当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？

A

E

C

F B

D

图1

图3

A

D

F

E

C

B

A

D

B

C

E

图2

F

A

C

B

E

D N

M 图3

A

C

D

E

M

N

图2

C

B

E

D

图1

N

M