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三角函数图像变换

三角函数图像变换
三角函数图像变换

三角函数y A x =+sin()ω?的图像变换

1结合具体实例,理解y=Asin )(?ω+x 的实际意义,会用“五点法”画出函数y=Asin )(?ω+x 的简图。会用计算机画

图,观察并研究参数?ω,,A ,进一步明确?ω,,A 对函数图象的影响。

2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin )(?ω+x 的图象。

3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下,作出函数)3sin(π

+=x y 和)4

sin(π

-=x y 的简图,

并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析:函数)3

sin(π

+=x y 的周期为2π,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简

图。 设Z x =+

3π,那么Z x sin )3sin(=+π,3

π

-=Z x

当Z 取0、ππππ2232,,,时,x 取-πππππ3

6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ,??

?

???-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。

列表:

x

-

π

3

π

6

23π

76π

53π x +

π3

π

2

π

32π

sin()x +

π

3

1

-1

类似地,对于函数)4sin(π

-

=x y ,可列出下表:

x

π

4

34

π

54π

74π

94π x -

π

4

π

2

π

32π

sin()x -

π

4

1

-1

描点作图(如下)

利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出)3

sin(π

+=x y ,x R ∈及

)4

sin(π

-=x y ,x R ∈的简图(图略)

由图可以看出,)3

sin(π

+

=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动

π

3个单位而得到的,)4

sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动

π

4个单位得到的。

注意:一般地,函数y x =+≠sin()()??0的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点

向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有:

将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

如作函数y x =sin2及

y x

=sin 12的简图,并指出它们与y x =sin 图象间的关系。 解析:函数y x =sin2的周期T ==22ππ

,我们来作x ∈[]0,π时函数的简图。

设2x Z =,那么sin sin 2x Z =,当Z 取0、ππ

ππ22

32,,,时,所对应的五点是函数

y Z Z =∈sin [],,02π图象上起关键作用的五点,这里x Z =2,所以当x 取0、π4、πππ

234、、时,所对应的五点是函数y x x =∈sin []20,,π的图象上起关键作用的五点。

列表:

x 0 π

4

π

2

34π

π

2x

0 π

2

π

32π

sin 2x

1

-1

函数x y 2

1sin =的周期ππ42

12==T ,我们来作x ∈[]04,π时函数的简图。

列表:

x 0 π 2π

3π 4π 12x 0 π2

π

32

π

sin 12

x 0

1

-1

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出y x =sin2,x R ∈及

x y 2

1

sin

=,x R ∈的简图(图略)

。 从上图可以看出,在函数x y 2sin =的图象上横坐标为

2

0x (x R 0∈)的点的纵坐标同y x =sin 上横坐标为x 0的点的纵坐标相同(例如,当x 02=π时,sin()sin 2221

0?==x π

sin sin

x 021

==π

)。因此,y x =sin2的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍(纵坐标不变)而得到的。

类似地,

y x

=sin 12的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的。

注意:一般地,函数y x =>≠sin ()ωωω01且的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有

点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当01<<ω时)到原来的1

ω倍(纵坐标不变)而得到的。

推广到一般有:

函数y f x =>≠()()ωωω01,的图象,可以看作是把函数y f x =()的图象上的点的横坐标

缩短(当ω>1)或伸长(当01<<ω)到原来的1

ω倍(纵坐标不变)而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出x y sin 2=及x y sin 2

1

=的简图,并指出它们的图象与y x =sin 的关系。

解析:函数y x =2sin 及x y sin 2

1

=的周期T =2π,我们先来作x ∈[]02,π时函数的简图。

列表:

x 0 π

2

π

32π

sinx 0 1

0 -1 0 2sinx

0 2 0 -2 0 1

2

sin x 0

12

-12

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到y x x R =∈2sin ,及

y x x R =

∈1

2sin ,的简图(图略)。

从上图可以看出,对于同一个x 值,y x =2sin 的图象上点的纵坐标等于y x =sin 的图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变),从而y x x R =∈2sin ,的值域为[-2,2],最大值为2,最小值为-2。

类似地,x y sin 2

1

=

的图象,

可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的,从而R x x y ∈=,sin 2

1

的值域是[-21,21],最大值为21,最小值

为-

12。

注意:对于函数y A x =sin (A>0且A ≠1)的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有点

的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

y A x x R =∈sin ,的值域为[-A ,A ],最大值为A ,最小值为-A 。

推广到一般有:

函数y Af x =()(A>0且A ≠1)的图象,可以看作是把函数y f x =()图象上的点的纵坐标伸长(当A>1)或缩短(当0

4、函数y A x =+sin()ω?的图象

作函数y A x =+sin()ω?的图象主要有以下两种方法:

(1)用“五点法”作图

用“五点法”作y A x =+sin()ω?的简图,主要是通过变量代换,设z x =+ω?,由z 取0,

2π,π,2

,2π来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。 (2)由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象,有两种主要途径:“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一:先平移后伸缩 y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00

横坐标变为原来的

纵坐标不变

1

ωω??→??????

?=+y x sin()

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变A y A x ?→???????=+sin()

ω?

法二:先伸缩后平移

y x =?→??????

?sin 横坐标变为原来的

纵坐标不变

y x y x =?→???????=+>

()()||ωω????

ω向左或向右平移个单位

00

纵坐标变为原来的倍横坐标不变

A y A x ?→???????=+sin()

ω?

可以看出,前者平移||?个单位,后者平移|

|

?

ω个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对

变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则必然会出现错误。 当函数y A x =+sin()ω?(A>0,ω>0,x ∈+∞[)0,)表示一个振动量时,A 就表示这个

量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间

T =

ω,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f T =

=

12ω

π,它叫做振动的频率;

ω?x +叫做相位,?叫做初相(即当x =0时的相位)。

例1. 用两种方法将函数y x =sin 的图象变换为函数y x =+

sin()

23π

的图象。

分析1:x x x x →→+

=+

226

23()π

π

解法1:

y x

=?→

???????sin 横坐标缩短到原来的

纵坐标不变12 y x =?→

?????sin 26向左平移个单位π

y x x =+

=+

sin[()]sin()

26

23π

π

分析2:

x x x →+

→+

π

π

3

23

解法2:y x =?→?????sin 向左平移个单位

π

3

y x =+

?→???????

sin()

π

3

12横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

y x =+

sin()

23π

点评:在解法1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换

方法中的平移是不同的(即6π和3π

),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一

致的。 练习:

∴应选D

x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与x 轴交点中最

的图象.∴选D

例2. 用五点法作出函数)3

2sin(2π

+

=x y 的图象,并指出函数的单调区间。

分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。 解析:(1)列表

列表时3

+

x 取值为0、

2π、π、2

3π、2π,再求出相应的x 值和y 值。

(2)描点

x

-

π

6

π

12

π

3

712π 56π 23

x +

π

0 π

2

π

32

π

y

2

-2

(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到)3

2sin(2π

+

=x y ,

x R ∈的简图(图略)。

可见在一个周期内,函数在[

12π,12

]上递减,又因函数的周期为π,所以函数的递减区间为)(Z k k k ∈??

???

?++,127,12

ππππ。同理,增区间为)(

Z k k k ∈??

???

?+,12,12

5-ππππ。 点评:五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的ω?x +取0、2π

、π、

2

3π、2π,然后求出相应的x ,y 值。

例3. 如图是函数y A x =+sin()ω?的图象,确定A 、ω、?的值。

解析:显然A =2

T =--=566ππ

π

() ∴===ωπππ222

T

∴=+y x 22sin()?

解法1:由图知当

x =-

π

6时,y =0

故有2260x +=?-+=?π?(),

∴=

3 ∴所求函数解析式为

y x =+

223sin()

π

解法2:由图象可知将y x =22sin 的图象向左移π

6

即得

y x =+226sin ()

π,即y x =+223sin()π

∴=

3

点评:求函数y A x =+sin()ω?的解析式难点在于确定初相?,一般可利用图象变换

例:4.试述如何由y =31

sin (2x +3π)的图象得到y =sin x 的图象。

解析:y =3

1

sin (2x +3π)

(纵坐标不变倍

横坐标扩大为原来的3

πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313π

=????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移

x y sin 3=?????????→?横坐标不变

纵坐标扩大到原来的

另法答案:

(1)先将y =31sin (2x +3π)的图象向右平移6π个单位,得y =3

1

sin2x 的图象;

(2)再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y =31

sin x 的图象;

(3)再将y =3

1

sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y =sin x 的

图象。

例5: 函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15,试依图指出

(1)f(x)的最小正周期;

(2)使f(x)=0的x 的取值集合; (3)使f(x)<0的x 的取值集合;

(4)f(x)的单调递增区间和递减区间; (5)求使f(x)取最小值的x 的集合; (6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心.

解析: 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的体现,它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx 的图象的关系得出.

注:得出函数f(x)的最小正周期之后,研究f(x)的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中研究,再延伸到整个定义域中.

注:实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x 0,而其中x 0使f(x 0)=1或f(x 0)=-1

注:f(x)的图象的对称中心为(x 0,0),其中x 0使f(x 0)=0

【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题,其中有两点要注意反思:①周期性在研究中的化简作用,②三角函数的“多对一”性.

练习:1.(13分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2)的部分

图象如图所示. (1)求函数f (x )的解析式;

(2)如何由函数y =2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图

象, 试写出变换过程. 解 (1)由图象知A =2.

f (x )的最小正周期T =4×???

?5π12-π6=π,故ω=2πT =2.

将点????π6,2代入f (x )的解析式,得sin ???

?π3+φ=1.

又|φ|<π2,∴φ=π6.

故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin ???

?2x +π6.

(2)方法一 y =2sin x 6

??????

→π

向左平移个坐标

y =2sin ????x +π61

2???????→横坐标缩短为原来的纵坐标不变y =2sin ????2x +π6. 方法二 y =2sin x 1

2

???????→横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

y =2sin 2x 2.(14分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2,x ∈R )

的图象

的一部分如图所示 (1)求函数f (x )的解析式;

(2)当x ∈???

?-6,-23时,求函数y =f (x )+f (x +2)的最大值与最小值 及相应

的x 的值.

解 (1)由图象知A =2,T =8,

∵T =2πω=8,∴ω=π

4.

又图象过点(-1,0),∴2sin ???

?-π4+φ=0. ∵|φ|<π2,∴φ=π4.∴f (x )=2sin ???

?π4x +π4.

(2)y =f (x )+f (x +2)

=2sin ????π4x +π4+2sin ???

?π4x +π2+π4

=22sin ????π4x +π2=22cos π4x . ∵x ∈?

???-6,-23,∴-3π2≤π4x ≤-π6. ∴当π4x =-π6,即x =-2

3时,y =f (x )+f (x +2)取得最大值6; 当π

4x =-π,即x =-4时,y =f (x )+f (x +2)取得最小值-2 2.

易错分析 y =f (x )+f (x +2)化简错误,化简公式和方法不熟致误. 12

??????→π

向左平移个坐标

y =2sin ???

?2x +π6. 3.(14分)函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2)

的一段

图象如图所示.

(1)求函数y =f (x )的解析式;

(2)将函数y =f (x )的图象向右平移π

4个单位,得到y =g (x )的图象,求直线y =6与函数y =f (x )+g (x )的图象在(0,π)内所有交点的坐标. 解 (1)由题图知A =2,T =π,于是ω=2π

T =2,

将y =2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度, 得y =2sin(2x +φ)的图象.

于是φ=2×π12=π6,∴f (x )=2sin ???

?2x +π6.

(2)依题意得g (x )=2sin ????2

????x -π4+π6 =-2cos ???

?2x +π6.

故y =f (x )+g (x )=2sin ????2x +π6-2cos ???

?2x +π6

=22sin ???

?2x -π12.

由22sin ????2x -π12=6,得sin ????2x -π12=32. ∵0

12. ∴2x -π12=π3或2x -π12=2π

3, ∴x =524π或x =38π,

∴所求交点坐标为????5π24,6或???

?3π8,6.

易错分析 f (x )向右平移π4个单位得g (x )=2sin ?? 2???

?x -π4

?

?+π

6,学生易错为

g (x )=2sin ???

?2x -π4+π6,忽略了x 的系数2的作用.

一、选择题

1.将函数y =sin(x -π

3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π

3个单位,得到图象的解析式是( )

A .y =sin(2x +π

3) B .y =sin(12x -π

2) C .y =sin(12x -π

6) D .y =sin(2x -π

6)

[答案] C

[解析] 将函数y =sin(x -π

3)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =sin(x 2-π3)的图象,再将所得函数图象向左平移π3个单位,得到函数y =sin[12(x +π3)-π3]=sin(x 2-π

6)的图象,故选C.

2.函数y =A sin(ωx +φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )

A .y =2sin(2x +2π

3) B .y =2sin(2x +π

3) C .y =2sin(x 2-π

3) D .y =2sin(2x -π

3)

[答案] A

[解析] 由图象可知,A =2,T =2[5π12-(-π

12)]=π,∴ω=2.∴y =2sin(2x +φ), 又∵2×(-π12)+φ=π

2, ∴φ=2π3,∴y =2sin(2x +2π3). 3.函数y =sin|x |的图象是( )

[答案] B

[解析] 令f (x )=sin|x |,x ∈R , ∴f (-x )=sin|-x |=sin|x |=f (x ), ∴函数f (x )=sin|x |为偶函数,排除A ; 又当x =π2时,y =sin|π2|=sin π

2=1,排除D ;

当x =3π2时,y =sin|3π2|=sin 3π

2=-1,排除C ,故选B.

4.为了得到函数y =2sin ???

?x 3+π6,x ∈R 的图象,只需把函数y =2sin x ,x ∈R 的图象上所有的点( )

A .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变) B .向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变)

C .向左平移π

6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D .向右平移π

6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) [答案] C

[解析] 将y =2sin x 的图象向左平移π6个单位得到y =2sin ????x +π6的图象,将y =2sin ???

?x +π6图象上

各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),

则得到y =2sin ???

?13x +π6的图象,故选C.

二、填空题

5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的最大值为3,最小正周期是2π7,初相是π

6,则这个函数的解析式为________.

[答案] y =3sin(7x +π

6)

[解析] 由题意,知A =3,ω=2πT =2π2π7

=7,φ=π

6,

∴y =3sin(7x +π

6).

6.函数f (x )=3sin ???

?2x -π3的图象为C ,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

①图象C 关于直线x =11π

12对称;

②图象C 关于点???

?2π3,0对称; ③函数f (x )在区间???

?-π12,5π12内是增函数; ④由y =3sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度可以得到图象C . [答案] ①②③

[解析] f ???

?11π12=3sin 3π2=-3,①正确;

f ???

?2π3=3sinπ=0,②正确; f (x )的增区间为????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ),令k =0得增区间????-π12,5π12,③正确; 由y =3sin2x 的图象向右平移π

6个单位长度可以得到图象C ,④错误. 三、解答题

7.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π

2)的图象的一个最高点为(2,22),由这个最高点到相邻最低点,图象与x 轴交于点(6,0),试求这个函数的解析式.

[解析] 已知函数最高点为 (2,22),∴A =2 2.

又由题意知从最高点到相邻最低点,图象与x 轴相交于点(6,0),而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为14个周期长度,∴T

4=6-2=4,即T =16.

∴ω=2πT =π8.

∴y =22sin(π

8x +φ).

将点(6,0)的坐标代入,有22(π

8×6+φ)=0, ∴sin(3π

4+φ)=0, 又∵|φ|<π2,∴φ=π

4.

∴函数的解析式为y =22sin(π8x +π

4).

8.已知函数f (x )=2sin(2x +π

6)+a +1(其中a 为常数). (1)求f (x )的单调区间;

(2)若x ∈[0,π

2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值; (3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合. [解析] (1)由-π2+2k π≤2x +π6≤π

2+2k π(k ∈Z ), 解得-π3+k π≤x ≤π

6+k π(k ∈Z ).

∴函数f (x )的单调增区间为[-π3+k π,π

6+k π](k ∈Z ). 由π2+2k π≤2x +π6≤3π

2+2k π,k ∈Z , 解得π6+k π≤x ≤2π

3+k π,k ∈Z .

∴函数f (x )的单调减区间为[π6+k π,2π

3+k π](k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π2,∴π6≤2x +π6≤7π

6, ∴-12≤sin(2x +π

6)≤1,

∴f (x )的最大值为2+a +1=4,

(3)当f (x )取最大值时,2x +π6=π

2+2k π,k ∈Z , ∴2x =π

3+2k π,k ∈Z ∴x =π

6+k π,k ∈Z . ∴当f (x )取最大值时,

x 的取值集合是{x |x =π

6+k π,k ∈Z }.

9.(2014·北京文,16)函数f (x )=3sin(2x +π

6)的部分图象如图所示.

(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值; (2)求f (x )在区间[-π2,-π

12]上的最大值和最小值. [解析] (1)f (x )的最小正周期为2π

2=π. ∵(x 0,y 0)是最大值点,

令2x +π6=π2+2k π,k ∈Z ,结合图象得x 0=7π

6,y 0=3. (2)因为x ∈[-π2,-π

12], 所以2x +π6∈[-5π

6,0].

于是,当2x +π6=0,即x =-π

12时,f (x )取得最大值0; 当2x +π6=-π2,即x =-π

3时,f (x )取得最小值-3.

基础巩固

一、选择题

1.函数y =|cos x |的周期为( ) A .2π B .π C .π2

D .π4

[解析] 作出函数y =|cos x |的简图,

由图象可知,函数y =|cos x |的周期为π.

2.(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g (x )=cos x 的图象,只需将f (x )=cos(x -π

4)的图象( )

A .向右平移π

8个单位长度 B .向左平移π

8个单位长度 C .向右平移π

4个单位长度 D .向左平移π

4个单位长度

[答案] D

[解析] 将f (x )=cos(x -π4)的图象向左平移π4个单位长度得到g (x )=cos[(x +π4)-π

4]=cos x ,故选D. 3.(2014·山东济南一中高一月考)函数y =cos2x 的图象( ) A .关于直线x =-π

4对称 B .关于直线x =-π

2对称 C .关于直线x =π

8对称 D .关于直线x =5π

4对称 [答案] B

[解析] 令2x =k π(k ∈Z ), 则x =k π

2,k ∈Z .

当k =-1时,x =-π

2,故选B.

4.已知函数y =2cos(ωx +φ)???

?0<φ<π2在一个周期内如图所示.设其周期为T ,则有( )

A .T =6π5,φ=π

4 B .T =3π2,φ=π

4 C .T =3π,φ=-π

4 D .T =3π,φ=π

4

[答案] A

[解析] T 2=3π4-3π20=12π20=3π5,T =6π

5.

5.要得到函数y =cos(2x +1)的图象,只要将函数y =cos2x 的图象( ) A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移1

2个单位 D .向右平移1

2个单位

[答案] C

[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题.

∵y =cos(2x +1)=cos2(x +12),所以只须将y =cos2x 图象向左平移1

2个单位即可得到y =cos(2x +1)的图象.注意图象平移是对“x ”而言的.

6.设f (x )是定义域为R ,最小正周期为3π2的函数,若f (x )=?????

cos x ????-π2≤x ≤0sin x 0

A .1

B .22

C .0

D .-2

2

【答案】 B

【解析】 f ????-154π=f ????3π

2×-3+3π4

=f ????3π4=sin 3π4=22.

二、填空题

7.函数y =cos x

1+sin x 的定义域为________.

[答案] (-π2+2k π,π

2+2k π](k ∈Z )

[解析] 由已知得,?

????

1+sin x ≠0?sin x ≠-1

cos x ≥0,

结合正、余弦函数图象可知, -π2+2k π

2+2k π(k ∈Z ).

8.(2014·江西九江外国语高一月考)函数f (x )=cos(2x -π

6)+1的对称中心坐标为________. [答案] (π3+k π

2,1)k ∈Z

[解析] 令2x -π6=π

2+k π(k ∈Z ),

则x =π3+k π

2,k ∈Z .

故函数f (x )=cos(2x -π6)+1的对称中心坐标为(π3+k π

2,1)k ∈Z . 三、解答题

9.已知函数y =a -b cos x 的最大值是32,最小值是-1

2,求函数y =-4b sin ax 的最大值、最小值及最小正周期.

[解析] -1≤cos x ≤1,由题意知b ≠0. 当b >0时,-b ≤-b cos x ≤b , ∴a -b ≤a -b cos x ≤a +b .

∴??? a +b =3

2a -b =-1

2

,解得?????

a =12

b =1

.

∴y =-4b sin ax =-4sin 1

2x ,

最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 当b <0时,b ≤-b cos x ≤-b , ∴a +b ≤a -b cos x ≤a -b .

∴???

a -

b =32

a +

b =-1

2

,解得?????

a =12

b =-1

.

∴y =-4b sin ax =4sin 1

2x ,最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.

能力拓展

一、选择题

1.函数y =lncos x (-π2

2)的图象是( )

[答案] A

[解析] 由y =lncos x (-π2

2<0,故选A. 2.已知函数y =A sin(ωx +φ)+b 的图象如图所示,则常数A 、ω、φ、b 的取值是( )

A .A =6,ω=12,φ=π

3,b =-2 B .A =-4,ω=12,φ=π

3,b =-2 C .A =4,ω=2,φ=π

3,b =2 D .A =4,ω=12,φ=π

3,b =2

[答案] D

[解析] ∵最大值与最小值的差=6-(-2)=8, ∴A =4.又∵周期T =10π3-????

-2π3=4π,

∴ω=2πT =2π4π=1

2,且b =6+-22

=2, ∴y =4sin ???

?12x +φ+2. 由题意知A 、B 、C 、D 四个选项中φ都等于π

3,故选D.

3.已知f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0

A .????-3,-π2∪(0,1)∪???

?π2,3

B .????-π2,-1∪(0,1)∪???

?π2,3

C .???

?-3,-π2∪(0,1)∪(1,3)

D .(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)

[答案] B

[解析] f (x )>0的解集为(-1,0)∪(1,3),f (x )<0的解集为(-3,-1)∪(0,1),当x ∈(-π,π)时,cos x >0的解集为????-π2,π2,cos x <0的解集为????-π,-π2∪????π2,π,故f (x )cos x <0的解集为???

?-π2,-1∪(0,1)

∪???

?π2,3. 4.把函数y =cos ?

??

?x +4π3的图象向右平移φ个单位,所得到的函数图象正好关于y 轴对称,则

φ的最小值为( )

A .4π3

B .2π

3 C .π3 D .5π3

[答案] C

[解析] 当φ=π3时,得y =cos ???

?x -π3+4π3

=cos(π+x )=-cos x ,所以图象关于y 轴对称. 二、填空题

5.已知f (n )=cos n π

4,n ∈N *,则f (1)+f (2)+f (3)+…+f (100)=________. [答案] -1

[解析] 因f (n )=cos n π

4的周期T =8,且f (1)+f (2)+…+f (8)=0.

所以f (1)+f (2)+…+f (100)=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=cos π4+cos π2+cos 3π

4+cosπ=-1.

6.已知函数y =A sin(ωx +φ),在同一周期内当x =π12时,y max =2;当x =7π

12时,y min =-2,那么函数的解析式为________.

[答案] y =2sin ???

?2x +π3

[解析] ∵T 2=7π12-π12=π

2,∴T =π,ω=2,

三角函数图像的平移变换专项练习

三角函数图像的平移变换专项练习 1.为了得到函数)6 3sin(π +=x y 的图象,只需把函数x y 3sin =的图象 ( ) A 、向左平移 6π B 、向左平移18π C 、向右平移6π D 、向右平移18 π 6、将函数)(sin )(R x x x f y ∈?=的图象向右平移4 π 个单位后,再作关于x 轴的对 称变换,得到函数x y 2sin 21-=的图象,则)(x f 可以是_______。 1、要得到函数)4 2sin(3π +=x y 的图象,只需将函数x y 2sin 3=的图象( ) (A )向左平移 4π个单位 (B )向右平移4π 个单位 (C )向左平移8π个单位 (D )向右平移8 π 个单位 2、将函数y=sin3x 的图象作下列平移可得y=sin(3x+ 6 π )的图象 (A) 向右平移 6π 个单位 (B) 向左平移6π 个单位 (C )向右平移18π 个单位 (D )向左平移18 π 个单位 3.将函数sin y x =的图象上每点的横坐标缩小为原来的1 2 (纵坐标不变),再把 所得图象向左平移6π 个单位,得到的函数解析式为( ) ()sin 26A y x π?? =+ ?? ? ()sin 23B y x π? ?=+ ?? ? ()sin 26x C y π??=+ ??? ()s i n 212x D y π??=+ ??? 4、把函数x y cos =的图象上所有的点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,然后把图象向左平移4 π 个单位长度,得到新的函数图象,那么这个新函数的解析式为 (A )??? ??+=42cos πx y (B )??? ??+=42cos πx y (C )x y 2sin = (D )x y 2sin -= 5.要得到函数x y cos 2=的图象,需将函数)42sin(2π +=x y 的图象( ) (A)横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再向左平行移动8π 个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的 21倍(纵坐标不变),再向右平行移动4 π个单位长度

三角函数的平移及伸缩变换(含答案)

三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道,每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的,再把图象上各点向左平移个单位长度,则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案:C 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y=f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍,然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位,得到函数,则y =f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.

答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数,若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案:C 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为,将的图象向左平移个单位长度,所得图象关于y轴对称,则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案:D 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称,则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π,若将其图象沿x轴向右平移a个单位(a >0),所得图象关于原点对称,则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案:D

三角函数图像变换顺序详解

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩: 将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移:

将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2中有的变 换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问(1):在不同的变换顺序中,为什么“伸缩量不变”,而“平移量有变”?这是因为在“一次”替代:x→中,平移是对x进行的. 故先平移(x→)对后伸缩(→)没有影响; 但先收缩(x→)对后平移(→)却存在着“平移”相关. 这

三角函数的图像的变换口诀解读

三角函数的图像的变换口诀解读 变T 数倒系数议,变A 伸压 y 无疑, 变φ 要把系数提,正φ 左进负右移. 周期变换是通过改变x 的系数来实现的,即周期T 的变化只与ω有关而与φ无关.这是因为ω π 2=T ,故要使周期扩大或缩小m (m >0) 倍,则须用 x m 1去代原式中的x (纵坐标不 变),故有“变T 数倒系数议”之说. 相位φ变换实质上就是将函数的图像向左或向右平移.当先作周期变换后作相位变换时,须提出系数ω,这是因为周期变化时改变了x 的值,此时其初相位(非0初相)同时也改变相应得到改变,且改变的倍数相同.当先作相位变换后作周期变换,由于此时x 的系数为1,系数提不提无影响,为了统一记忆我们也视为提出系数“1”.因而有“变φ要把系数提”之说. 三角函数图像的周期﹑振幅﹑相位等变换的问题是历年高考中常考查的内容.对此类命题的求解,无论三种变换怎样摆设,先要弄清哪是原函数的图像,哪是新函数的图像,再据本歌诀所述,很快就可得到解决. 例1 为了得到 y =) 62sin(π-x 的图像,可以将函数 y = cos2x 的图像 (2004年高考) ( ) (A)向右平移6 π 个单位长度 (B)向右平移3 π 个单位长度 (C)向左平移 6 π 个单位长度 (D) 向左平移 3 π 个单位长度 解法1 ∵ y = cos2x =) 4 (2sin )2 2sin(π π + =+ x x , 而 y =] 3 )4 [(2sin )6 2sin(π π π - + =- x x , 由此可得 只须将函数y = cos2x 的图像向右平移3 π 个单位长度即可.故选(B). 解法2 ∵ y =)62sin(π - x ) 6 22 cos( ππ x + -=,即y ) 3(2cos π - = x , 而已知的函数为y = cos2x , 由此可得,须将函数y = cos2x 的图像向右平3 π 个单位即可.故选(B). 点评 由于当ω ?- =x 时, 相位0 =+?ω x .因而,我们可称此时的相位为零相位.由此可 见,在作相位变换时,其平移的数值与方向是由两个0相位对应的x 值的差来决定的.对于本题而言,由于两个0相位对应的x 的值分别为12 π与4 π - ,故所作的平移就是要将已知函数 的0相位对应的点) 0 ,4(π - 移到点)0 12 ( ,π 处.易知要平移的数值是: 3 )4 (12 π π π = - -,方向是向 右的.显然这一方法就是“五点作图法”中的第一零点判断法. 例2 已知函数 f (x ) =) 5 sin( 2π + x (x ∈R ) 的图像为C, 函数 y = ) 5 2sin(π - x (x ∈R ) 的图 像为C 1, 为了得到C 1,只需把C 上所有的点先向右平移 ,再将 . ( ) (A) 5 2π个单位,横、纵坐标都缩短到原来的2 1 (B) 5 2π个单位,横、纵坐标都伸

三角函数图像的变换

1、函数y=sin(x+π),x∈R和y=sin(x- 6- O 3 ),x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系?2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象,试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 ),x∈R的简图。 π2 3 ),x∈R 6 ),x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳: 系? π 34 ),x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移 π y=1 5、函数y=Asin(ωx+φA>0,ω>0,|φ|<π) 的图象如图,求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业:(A组) 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图: 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 (3)y=4sin(x- π (4)y=sin(2x+π 第1页共2页

6 ) ,x ∈R (2) y = 1 sin( 3 x - (1) y = 5 sin( 1 x + 4 ) ,x ∈R 6、把函数 y =cos(3x + π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 (3) y = 3sin(2 x - ) ,x ∈R (4) y = 2 cos( x + π ) ,x ∈R 3 ,φ =- 6 B.A =1,T= 2 3 ,φ =- 4 D.A =1,T= 3 sin(2x + 3 sin(2x + (1) y = 8sin( - ) ,x ∈[0,+∞) (2) y = 1 7 ) ,x ∈[0,+∞) 2 的图象的一部分,求这个函数的解析式。 4、(1)y =sin(x + π (2)y =sin(x - π (3)y =sin(x - π 4 )是由 y =sin(x + 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin (x - π A.y =sin(x + 3π B.y =sin( x + π C.y =sin(x - π D.y =sin(x + π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y =sin(-3x )的图象,这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组): 7、如图:是函数 y =A sin(ω x +φ )+2 的图象的一部分,它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A =3,T= 4π π 4π 3π 3 ,φ =- 4 C.A =1,T= 2π 3π 4π π 3 ,φ =- 6 8、如左下图是函数 y =A sin (ω x +φ )的图象的一段,它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图,直接 写出下列函数的振幅、周期和初相,并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出(注意定义域): x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y =sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y =sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y =sin(x + 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )- 4 4 ) π 4 ),则原来的函数

三角函数图像变换顺序详解全面

《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到? 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩:

将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移: 将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2 中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变? (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)? (3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩”? 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了.

三角函数图像及其变换

高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点: ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值,用平滑曲线连结各点,即可得到其在一个周期内的图象。 3.研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4.图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A

(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5.主要题型:求三角函数的定义域、值域、周期,判断奇偶性,求单调区间,利用单调性比较大小,图 象的平移和伸缩,图象的对称轴和对称中心,利用图象解题,根据图象求解析式,已知三角函数值求角。 二.基础练习 1. 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = . 2.函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3.函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4.函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5.将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像? 6.已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01), ,则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8.给出下列命题: ①存在实数x ,使sin cos 1x x =成立; ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数; ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴; ④若α和β都是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>. ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称; 其中结论是正确的序号是 (把你认为是真命题的序号都填上). 三、例题分析: 题型1:三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象,可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换?

三角函数图像变换顺序详解

《图象变换的顺序寻根》 题根研究? 一、图象变换的四种类型 从函数y二f (x)到函数y二A f ( : "「)+m其间经过4种变换: 1. 纵向平移——m变换 2. 纵向伸缩——A变换 3.横向平移一一变换 4. 横向伸缩一一总变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y二sin x到y二A sin ( ' :」)+m为例,讨论4种变换的顺序问题 V:= / (x)= 1+ 3sin( 2x- [例1】函数 ' -的图象可由y二sin x的图象经过怎 样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步,横向平移: 将y二sin x向右平移:,得 第2步,横向伸缩: L-1—A ——J — 将. 二的横坐标缩短二倍, 第3步:纵向伸缩: v 二s£n( 2x——''i 将. -的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: v = 3sin(2x——) v = 1 + —— 将二向上平移1,得

【解法2】第1步,横向伸缩:

2 将y 二sin x 的横坐标缩短二倍,得 y 二sin 2 x 第2步,横向平移: 第3步,纵向平移: y — sinC2x ——) 将, -向上平移】;,得 第4步,纵向伸缩: v = — 4- sinf 2x — 将1 1的纵坐标扩大 71 【说明】 解法1的“变换量”(如右移:)与参数值(「对应,而解法2 71 71 中有的变换量(如右移1)与参数值(一)不对应,因此解法1的“可靠性” 大, 而解法2的“风险性”大. 【质疑】 对以上变换,提出如下疑问: (1) 在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有 变 (2) 在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反一一 如当匚<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向) (3) 在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反一一 如1^1 > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩” 【答疑】 对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式 y 二A f (-八i )+m 中x 和y 的地位在形式上“不平等”所至.如果把函数式变为方 程式 -r (y^' ) = f (一」),则x 、y 在形式上就“地位平等”了 v = 1 + 2x- — (v — 1) = sinf 2x -—) 71 将y 二sin 2 x 向右平移;一:,得 尸二 sin ( 2孟一— .-I + 3sin( 2x —— 3倍,得. - 71

三角函数图像与性质_图像变换习题

考点测试20 三角函数的图象和性质 一、基础小题 1.已知f(x)=sin ? ????x +π2,g(x)=cos ? ????x -π2,则f(x)的图象( ) A .与g(x)的图象相同 B .与g(x)的图象关于y 轴对称 C .向左平移π2个单位,得到g(x)的图象 D .向右平移π 2 个单位,得到g(x)的图象 解析 因为g(x)=cos ? ????x -π2=cos ? ????π2-x =sinx ,所以f(x)向右平移π2个单位,可得到g(x)的图象,故选 D. 2.函数y =sin 2x+sinx -1的值域为( ) A .[-1,1] B .??????-54,-1 C .???? ? ?-54,1 D .? ?????-1,54 答案 C 解析 (数形结合法)y =sin 2x+sinx -1,令sinx =t ,则有y =t2+t -1,t ∈[-1,1],画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当t =-12及t =1时,函数取最值,代入y =t2+t -1可得y ∈???? ??-54,1. 3.函数y =2sin ? ????π6-2x (x ∈[-π,0])的单调递增区间是( ) A .??????-π,-5π6 B .??????-π3,0 C .??????-2π 3 ,-π6 D .??????-π 3 ,-π6 答案 C 解析 因为y =2sin ? ????π6-2x =-2sin ? ????2x -π6,所以函数y =2sin ? ????π6-2x 的单调递增区间就是函数y =sin ? ????2x -π6的单调递减区间.由π2+2kπ≤2x -π6≤3π2+2kπ(k ∈Z),解得π3+kπ≤x ≤5π6+kπ(k ∈Z), 即函数y =2sin ? ????π6-2x 的单调递增区间为? ?? π3 +kπ, ? ??5π 6+kπ(k ∈Z),又x ∈[-π,0],所以k =-1,故函数y =2sin ? ????π6-2x (x ∈[-π,0])的单调递增区间为???? ??-2π3,-π6. 4.使函数f(x)=sin(2x +φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A .π4 B .π2 C .π D .3π 2 答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数,则必须满足f(0)=0,即sinφ=0.∴φ=kπ(k ∈Z),故选C. 5.已知函数f(x)=sin ? ????x +π6,其中x ∈??????-π3,a ,若f(x)的值域是??????-12,1,则a 的取值围是( ) A .? ????0,π3 B .??????π3,π2 C .??????π2 ,2π3 D .???? ??π3,π 解析 若-π3≤x ≤a ,则-π6≤x +π6≤a +π6.因为当x +π6=-π 6 或x

三角函数图像变换

三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ (1) 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 (2) sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =(x R ∈)的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度,再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变),得到的图象所表示的函数是 (A )sin(2)3y x π=-,x R ∈ (B )sin()26x y π =+,x R ∈ (C )sin(2)3y x π=+,x R ∈ (D )sin(2)3 2y x π =+,x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A .向左平移 5π 12个长度单位 B .向右平移 5π 12个长度单位 C .向左平移5π 6 个长度单位 D .向右平移5π 6 个长度单位

3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ,的简图是( ) 4、下面有五个命题: ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中,函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数,在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 (写出所言 ) 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? (0ω>)的最小正周期为π. (Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)求函数()f x 在区间2π03?????? ,上的取值范围.

三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

【典型例题】 [例1](1)函数3sin()226 x y π = +的振幅是 ;周期是 ;频率是 ;相位是 ;初相是 . (1) 32; 14π;26x π+;6 π (2)函数2sin(2)3 y x π =- 的对称中心是 ;对称轴方程是 ;单调增区间是 . (2)( ,0),26k k Z ππ+∈;5,212 k x k Z ππ=+∈; ()5,1212k k k z ππππ?? -++∈???? (3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图 象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6 y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- (3)C 提示:将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+,由图象知, 73()1262 πππω+=,所以2ω=. (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像 上所有的点 ( ) (A )向左平移6π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的3 1 倍(纵坐标不变) (B )向右平移6π 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍(纵坐标不变) (C )向左平移6 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) (D )向右平移 6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) (4)C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移 6 π 个单位长度,得到函数2sin(),6 y x x R π =+∈的图象,再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标 不变)得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像

三角恒等变换及三角函数图象性质

三角恒等变换及三角函数图象性质 一例题讲解 1.快速写出下列各式的值: (1)? ? ? ? -43cos 13sin 13cos 43sin (2)? ? ? ? -26cos 56sin 64cos 56cos (3)2sin15cos15??=_________; (4)2 2 cos 15sin 15?-?=_________; (5)2 2sin 151?-=_________; (6)2 2 sin 15cos 15?+?=________ (7)) 15tan(1195tan 1?? -++ (8) 2cos 6sin x x -=________ 2化简:(1)4221 2cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+ -+;(2)(1sin cos )(sin cos )22(0)22cos θθθθθπθ++-<<+.3 设4cos()5αβ-=-,12cos()13αβ+=,且(,)2παβπ-∈,3(,2)2 π αβπ+∈,求c o s 2α,cos 2β. 4若3cos()45x π +=,177124x ππ<<,求2sin 22sin 1tan x x x +-的值. 5已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+. (Ⅰ)用五点法画出函数在区间,22ππ??-???? 上的图象,长度为一个周期; (Ⅱ)说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到. 6为得到)6 2sin(π - =x y 的图象,可以将x y 2cos =的图象向右平移____个单位长度. 7已知正弦函数sin()y A x ω?=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示. (1)求此函数的解析式1()f x ; (2)求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ; -2 2 2 x =8 x y O

三角函数图像的平移、变换练习题

三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像,只需把函数sin(2)6y x π=+的图像( ) (A )向左平移4π个长度单位 (B )向右平移4 π个长度单位 (C )向左平移2π个长度单位 (D )向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是 (A )sin(2)10y x π=- (B )sin(2)5 y x π =- (C )1sin()210y x π=- (D )1sin()220y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数(+)()在区间-,上的图象,为了得到这个 函数的图象,只要将y sin x x R =∈()的图象上所有的( ) (A)向左平移 3π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍,纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后,与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合,则ω的最小值为( ) A .16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π,为了得到函数 ()cos g x x ?=的图象,只要将()y f x =的图象( )

三角函数题型及解法

高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查,而重点转移对三角函数的图象与性质的考查,对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时,也直接考查了三角函数的性质及图象的变换,降低了对三角函数恒等变形的要求,加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格,尽管命题的背景上有所变化,但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后,新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容,它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1(10全I 卷理2)记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解:Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o , ∴tan100tan80?=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o 。故选B 评注:本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2(10全1卷文1)cos300?=(A)32-(B)-12(C)12 (D)32 解:()1cos300cos 36060cos602 ?=?-?=?= 评注:本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用,变形运用和、差、倍角公式和诱导公式,进行化简、求值. 例3(10重文数15)如题(15)图,图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ,各段弧所在的圆经过同一点P (点P 不在C 上)且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=,则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解: 又Θ1232αααπ++=,∴123 1cos 32 ααα++=- 评注:本题以过同一点的三段圆弧为背景,考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技 巧,将已知与求解合理转化,从而达到有效地求解目的. 例4(10全1理数14)已知α为第三象限的角,3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解:Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k

三角函数图像变换

三角函数y A x =+sin()ω?的图像变换 1结合具体实例,理解y=Asin )(?ω+x 的实际意义,会用“五点法”画出函数y=Asin )(?ω+x 的简图。会用计算机画 图,观察并研究参数?ω,,A ,进一步明确?ω,,A 对函数图象的影响。 2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin )(?ω+x 的图象。 3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。 1、函数图象的左右平移变换 如在同一坐标系下,作出函数)3sin(π +=x y 和)4 sin(π -=x y 的简图, 并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析:函数)3 sin(π +=x y 的周期为2π,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简 图。 设Z x =+ 3π,那么Z x sin )3sin(=+π,3 π -=Z x 当Z 取0、ππππ2232,,,时,x 取-πππππ3 6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ,?? ? ???-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。 列表: x - π 3 π 6 23π 76π 53π x + π3 π 2 π 32π 2π sin()x + π 3 1 -1 类似地,对于函数)4sin(π - =x y ,可列出下表: x π 4 34 π 54π 74π 94π x - π 4 π 2 π 32π 2π sin()x - π 4 1 -1 描点作图(如下)

利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出)3 sin(π +=x y ,x R ∈及 )4 sin(π -=x y ,x R ∈的简图(图略) 。 由图可以看出,)3 sin(π + =x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动 π 3个单位而得到的,)4 sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动 π 4个单位得到的。 注意:一般地,函数y x =+≠sin()()??0的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点 向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有: 将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。 2、函数图象的横向伸缩变换 如作函数y x =sin2及 y x =sin 12的简图,并指出它们与y x =sin 图象间的关系。 解析:函数y x =sin2的周期T ==22ππ ,我们来作x ∈[]0,π时函数的简图。 设2x Z =,那么sin sin 2x Z =,当Z 取0、ππ ππ22 32,,,时,所对应的五点是函数 y Z Z =∈sin [],,02π图象上起关键作用的五点,这里x Z =2,所以当x 取0、π4、πππ 234、、时,所对应的五点是函数y x x =∈sin []20,,π的图象上起关键作用的五点。 列表:

三角函数的图像和变换以及经典习题和标准答案

三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

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3.4函数sin()y A x ω?=+的图象与变换 【知识网络】1.函数sin()y A x ω?=+的实际意义; 2.函数sin()y A x ω?=+图象的变换(平移平换与伸缩变换) 【典型例题】 [例1](1)函数3sin()226 x y π = +的振幅是 ;周期是 ;频率是 ;相位是 ;初相是 . (1) 32; 14π;26x π+;6 π (2)函数2sin(2)3 y x π =- 的对称中心是 ;对称轴方程是 ;单调增区间是 . (2)( ,0),26k k Z ππ+∈;5,212 k x k Z ππ=+∈; ()5,1212k k k z ππππ?? -++∈???? (3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量 ,06a π?? =- ??? r 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图 象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6 y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- (3)C 提示:将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π??=- ??? r 平移,平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x π ω=+,由图象知, 73()1262 πππ ω+=,所以2ω=. (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6 3sin(2π 的图像,只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像 上所有的点 ( ) (A )向左平移 6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍(纵坐标不变) (B )向右平移6π个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的31 倍(纵坐标不变) (C )向左平移6 π 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)

三角函数图像变换顺序详解全面

三角函数图像变换顺序详 解全面 Prepared on 21 November 2021

《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m,其间经过4种变换: 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来,这4种变换谁先谁后都没关系,都能达到目标,只是在不同的变换顺序中,“变换量”可不尽相同,解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例,讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到 【解法1】第1步,横向平移: 将y = sin x向右平移,得 第2步,横向伸缩: 将的横坐标缩短倍,得 第3步:纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 第4步:纵向平移: 将向上平移1,得 【解法2】第1步,横向伸缩:

将y = sin x的横坐标缩短倍,得y = sin 2x 第2步,横向平移: 将y = sin 2x向右平移,得 第3步,纵向平移: 将向上平移,得 第4步,纵向伸缩: 将的纵坐标扩大3倍,得 【说明】解法1的“变换量”(如右移)与参数值()对应,而解法2 中有的变换量(如右移)与参数值()不对应,因此解法1的“可靠性”大,而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换,提出如下疑问: (1)在两种不同的变换顺序中,为什么“伸缩量”不变,而“平移量”有变 (2)在横向平移和纵向平移中,为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移(增方向),而m < 0时对应下移(减方向)(3)在横向伸缩和纵向伸缩中,为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”,而| A | >1时,对应着“扩” 【答疑】对于(2),(3)两道疑问的回答是:这是因为在函数表达式y = A f ()+m中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f (),则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了.

三角函数图像变换教案

三角函数图像变换教案 【篇一:三角函数的图像变换教学设计】 (第一课时) 【教学目标】 2、过程与方法目标:培养学生的观察能力和探索问题的能力,数形 结合的思想;达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标:通过学习过程培养学生探索与协作的精神,提高合作学习的意识。【教学重点与难点】 杂问题分解为若干简单问题的方法. 1、物理中简谐振动中平衡位置的位移y随时间x的变化关系图象: 2、交流电的电流y随时间x变化的图象: 观察它们的图象与正弦曲 线有什么关系? 二、建构数学自主探究: 探究一:探索?对y=sin(x+?),x∈r的图象的影响。问题1:观察 函数y=sin(x+ 3 )和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系?那么函数 y=sin(x- 4 )和函数y=sinx的图像又有怎样的关系呢?你会得到那些结论? 问题2:函数y=sin(x+?)和函数y=sinx的图象之间又有着怎样的关系? 结论:函数y=sin(x+?)的图象,可以看作是将函数y=sinx上所有 的点_______ (当?0时)或______________(当?0时)平行移动个单位长度而 得到. 巩固训练1: 2.要得到函数y=sin(x+)的图像,只需将y=sinx的图像向平移单位。 121.函数y=sinx向右平移 3 )和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系?那么函数 y=sin(x+)与y=sinx的图像又有什么样的关系呢?你会得到那些结论? 23

巩固训练2 1.将函数y=sin(x-)的图像上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2 6 倍得到的函数解析式是。 2.要得到函数y=sin3x的图像,只需将函数y=sinx图像上的所有的点纵坐标不 变,横坐标为原来的倍。 问题5:观察函数y=3sin(2x+数y= 3 )和函数y=sinx的图象之间有着怎样的关系?那么函 sin(2x+)与y=sinx的图像又有着怎样的关系?你会得到那些结论?33 变式训练3.1.将函数y=sin(2x+ 6 )的图像上所有点的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2倍得到的函数解析式是。 2. 要得到函数y= sin(x+)的图像,只需将函数y=sin(x+)图像上的所有255 如何由y=sinx得到y=2sin(x-)的图像呢? 36 3 )的图像呢? y=sinx y=sin(x- 3 ) y=sin(x- 13 6 ) y=2sin(x- 13 6 ) 四、课堂小结 由y=sin2x的图像如何得到y=sin(2x+)图象?思考:1. 3 五、板书设计 教学反思

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