空间直角坐标系专题学案含答案解析

第九讲 空间直角坐标系

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年 月 日 刘老师 学生签名：

一、 兴趣导入

二、 学前测试

要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系

考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。

2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。

考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。

2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。

例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =，

90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。

(1)求证：FH ∥平面EDB ；

(2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。

【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。

【规范解答】

E F

B

C D

H

G

X Y

Z

,,//,,,,,,,

.

ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB

BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥四边形为正方形，又且，

平面又为中点，且平面

H HB GH HF 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系，

1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则

(1)

(0,0,1),(0,0,1),////HF HF

GE HF HF ∴==∴??∴设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又

GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB

(2)

(2,2,0),(0,0,1),0,.AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD.

(3)

1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0).

010,10,

220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==???∴=-1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，）

2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1).

00,01,

10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==?

?==-??-+==???∴=2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 12

1212121

cos ,,2||||

2,60,n n n n n n n n ∴<>=

=

=∴<>=即二面角B-DE-C 为60。

【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行；

2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直；

3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。

4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问

题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用

要点考向2：利用空间向量求线线角、线面角

考情聚焦：1．线线角、线面角是高考命题的重点内容，几乎每年都考。

2．在各类题型中均可出现，特别以解答题为主，属于低、中档题。

考向链接：1．利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:

（1）异面直线所成角

设分别为异面直线的方向向量，则

（2）线面角

设是直线l的方向向量，n是平面的法向量，则

2．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：

（1）建立恰当的空间直角坐标。（2）求出相关点的坐标。（3）写出向量坐标。（4）结合公式进行论证、计算。（5）转化为几何结论。

例2：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=1

2

AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为

PB,BC的中点.

（Ⅰ）证明：CM⊥SN；

（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

【命题立意】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直、线面角的求解以及几何体

的计算问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。

【思路点拨】建系，写出有关点坐标、向量的坐标，

（I）计算CM SN

、的数量积，写出答案；

（II）求平面CMN的法向量，求线面角的余弦，求线面角，写出答案。

【规范解答】

设PA＝1，以A为原点，射线AB、AC、AP分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，如图。

则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0, 1

2

)，N(

1

2

,0,0)，S(1,

1

2

,0)

（I）

111

(1,1,),(,,0),

222

11

00

22

1

(II)

(,1,0),

2

(,,)CMN 022,(2,1,2)

1021

-1-

22|cos |=

22

32

SN CMN CM SN CM SN CM SN

NC a x y z z x y x a x y a SN =-=--=-++=⊥=-=?-+=??==-??-+=??<>=?

因为所以设为平面的一个法向量，则令得因为所与平面所成的o

45角为

【方法技巧】（1）空间中证明线线，线面垂直，经常用向量法。

（2）求线面角往往转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角问题来解决。

（3）线面角的范围是0°～90°，因此直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦是非负的，

要取绝对值。

要点考向3：利用空间向量求二面角

考情聚焦：1．二面角是高考命题的重点内容，是年年必考的知识点。 2．常以解答题的形式出现，属中档题或高档题。

考向链接：求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

其计算公式为：设

分别为平面

的法向量，则θ与

互补或相等，

例3： 如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 证明AF ⊥平面

1A ED

（3） 求二面角1A ED F --的正弦值。

【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。 【思路点拨】建立空间直角坐标系或常规方法处理问题。

【规范解答】方法一：以A 为坐标原点，AB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴建立空间直角坐标系（如

图所示），设1AB =,依题意得(0,2,0)D ,(1,2,1)F ,1(0,0,4)A ,

31,

,02E ??

???

（1） 易得10,,12EF ?

?= ???

,1(0,2,4)A D =-，于是

1113cos ,5EF A D

EF A D EF A D

==-，

所以异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值为

3

5

。 （2） 证明：已知(1,2,1)AF =,131,,42EA ??=--

??

?,11,,02ED ?

?=- ??

? 于是AF ·1EA =0，AF ·ED =0.因此，1AF EA ⊥,AF ED ⊥,又1EA ED E ?= 所以AF ⊥平面1A ED

(3)解：设平面EFD 的法向量(,,)u x y z =，则00u EF u

ED ?=??

=??,即1

0210

2

y z x y ?+=????-+=??

不妨令X=1,可得

(1,21u →

=-）

。由（2）可知，AF →

为平面1

A ED 的一个法向量。 于是2cos

,==3

||AF AF |AF|

u u u →

→

→

→

→

→

?，从而5sin ,=

AF u →

→

所以二面角1A -ED-F 的正弦值为

53

要点考向4：利用空间向量解决探索性问题

考情聚焦：立体几何中已知结论寻求结论成立的条件（或是否存在问题），能较好地考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，是今后考查的重点，也能很好地体现新课标高考的特点。

例4： 如图，圆柱OO 1内有一个三棱柱ABC-A 1B 1C 1,三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB 是圆O 的直径。

（I ）证明：平面A 1ACC 1⊥平面B 1BCC 1；

（II ）设AB ＝AA 1,在圆柱OO 1内随机选取一点，记该点取自三棱柱ABC-A 1B 1C 1内的概率为p 。

（i ）当点C 在圆周上运动时，求p 的最大值；

（ii ）记平面A 1ACC 1与平面B 1OC 所成的角为θ（0

090θ<≤）。当p 取最大值时，求cos θ的值。

【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。

【思路点拨】第一步先由线线垂直得到线面垂直，再由线面垂直得到面面垂直；第二步首先求出长方体的体积，并求解三棱柱的体积的最大值，利用体积比计算出几何概率。立体几何中我们可以利用向量处理角度问题，立体几何中涉及的角：有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等。关于角的计算，

均可归结为两个向量的夹角。对于空间向量b a

,，有|

|||,cos b a b a b a

?>=<，利用这一结论，我们可以较

方便地处理立体几何中的角的问题。 【规范解答】 （I ）

1⊥A A 平面ABC ，?BC 平面ABC ，1∴⊥A A BC ，又AB 是O 的直径，

∴⊥BC AB ，又1∴?=AC AA A ，∴⊥BC 平面11A ACC ，

而?BC 平面11B BCC ，所以平面11A ACC ⊥

平面11B BCC ；

（II ）（i ）设圆柱的底面半径为r ，则12==AB AA r ，故圆柱的体积为23

22=π?=πV r r r ，设三棱柱

ABC-A 1B 1C 1,的体积为1V ，所以1

=

V P V

，所以当1V 取得最大值时P 取得最大值。又因为点C 在圆周上运动，所以当⊥OC AB 时，?ABC 的面积最大，进而，三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积1V 最大，且其最大值为

312222???=r r r r ，故P 的最大值为1

π

； （ii ）由（i ）知，P 取最大值时，⊥OC AB ，于是，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系-O xyz ，则()()()1,0,0,0,,0,0,,2,

C r B r B r r ⊥BC 平面

11A ACC ，(),,0∴=-BC r r 是平面11A ACC 的一个法向量，设平面1B OC 的法

向量为(),,=n x y z ，由于1

?⊥??⊥??n OC

n OB ，020=?∴?+=?rx ry rz ，

所以平面1B OC 的一个法向量为()0,2,1=-n ，

00090<≤θ，10

cos cos ,5

∴θ==

n BC 。 【方法技巧】立体几何中我们可以利用空间向量处理常见的问题，本题的（II ）（i ）也可以采用向量法进行证明：以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系-O xyz ，设圆柱的底面半径为r ， ()cos ,sin ,0C r r θθ，

则12==AB AA r ，故圆柱的体积为2322=π?=πV r r r ，设三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积为1V ，所以1

=

V P V

，所以当1V 取得最大值时P 取得最大值。21

2cos cos 2

ABC S r r r ?=

??θ=θ，所以当cos 1θ=时的ABC ?的面积最大，进而，三棱柱ABC-A 1B 1C 1,的体积1V 最大，且其最大值为3

12222???=r r r r ，故P 的最大值为1π

；

【高考真题探究】

1.若向量a =（1,1,x ）, b =(1,2,1), c =(1,1,1),满足条件()(2)c a b -?=-2,则x = . 【命题立意】本题考察空间向量的坐标运算及向量的数量积运算.

【思路点拨】 先算出c a -、2b ，再由向量的数量积列出方程，从而求出.x 【规范解答】c a -(0,0,1)x =-，2(2,4,2)b =，由()(2)c a b -?2=- 得(0,0,1)(2,4,2)2x -?=-，即2(1)2x -=-，解得 2.x =【答案】2

2.如图， 在矩形ABCD 中，点,E F 分别在线段

,AB AD 上，

2

43

AE EB AF FD ====.沿直线EF 将 AEF 翻折成

'A EF ，使平面

'A EF BEF ⊥平面.

（Ⅰ）求二面角'

A FD C --的余弦值；

（Ⅱ）点,M N 分别在线段,FD BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与'A 重合，求线段FM 的长。

【命题立意】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。

【思路点拨】方法一利用相应的垂直关系建立空间直角坐标系，利用空间向量解决问题；方法二利用

几何法解决求二面角问题和翻折问题。

【规范解答】方法一：（Ⅰ）取线段EF 的中点H ，连结'

A H ，因为'A E ='A F 及H 是EF 的中点，所以'A H EF ⊥,又因为平面'

A EF ⊥平面BEF .

如图建立空间直角坐标系A-xyz ，则'

A （2，2，22），C （10，8，

0），F （4，0，0），D （10，0，0）. 故'FA →

=（-2，2，22），

FD →=（6，0，0）.设n →

=（x,y,z ）为平面'

A FD 的一个法向量，所

以22220

60

x y z x ?-++=??

=??。

取2z =

，则(0,2,2)n =-。

又平面BEF 的一个法向量(0,0,1)m =，故3

cos ,3

n m n m n m ??=

=。

所以二面角的余弦值为

33

（Ⅱ）设,FM x =BN a =，则(4,0,0)M x +，(,8,0)N a ， 因为翻折后，C 与'A 重合，所以'CM A M =，'CN A N =，

故， 222222

2222(6)80=2222(10)(2)6(22)x x a a ?-++--++

??-=-++??（）（），得214x =，134a =，

所以21

4

FM =。

3. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面ABCD ，AP =AB=2， BC =22，E ，F 分别是AD ,PC 的中点.

（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BEF ；

（Ⅱ）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。

【命题立意】本题考查了空间几何体的的线线、线面垂直、以及二面角的求解问题，考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力以及利用空间向量解决立体几何问题的方法与技巧。 【思路点拨】思路一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求解；思路二：利用几何法求解.

【规范解答】解法一 （Ⅰ）如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.∵AP =AB=2， BC =22，四边形ABCD 是矩形.

∴A ，B ，C ，D 的坐标为A(0,0,0),B(2,0,0),C(2, 22,0)，D(0，22，0)，P(0,0,2) 又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，∴E(0，2，0),F(1，2，1). ∴PC =（2，22，-2）BF =（-1，2，1）EF =（1,0,1）， ∴PC ·BF =-2+4-2=0，PC ·EF =2+0-2=0，

∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，∴PC ⊥BF,PC ⊥EF,BF EF F = ,∴PC ⊥平面BEF

（II ）由（I ）知平面BEF 的法向量1(2,22,2),n PC ==-平面BAP 的法向量

2(0,22,0),n AD ==128,n n ∴=

设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ，则121212

82

cos cos ,,2422

n n n n n n θ==

=

=? ∴0

45θ=， ∴ 平面BEF 与平面BAP 的夹角为0

45

4.如题图，四棱锥P ABCD -中，

底面ABCD 为矩形，PA ABCD ⊥底面，2PA AB ==，

点E 是棱PB 的中点.

（I ）证明：AE PBC ⊥平面；

（II ）若1AD =，求二面角B EC D --的平面角的余弦值.

【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，

考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查化归与转化的思想.

【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（II ）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.

【规范解答】（I ）以A 为坐标原点，

射线,,AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.如图所示.

设设(0,,0)D a ，则B ,0,0)2(，

C ,0)a ，P )2(0,0,，E )2

2

,0,22(

。于

是2AE (

22

=，BC (0,,0)a =

，PC (2,,a =，则0,0AE BC AE PC ?=?=， 所以,AE BC AE PC ⊥⊥，故AE PBC ⊥平面.

（II ）设平面BEC 的法向量为1n

，由（Ⅰ）知，AE BEC ⊥平面，故可取1n EA 022

==

-（，）.设平面DEC 的法向量2222,,n x y z =（）

，则220,0n DC n DF ?=?=，，由AD 1=，得D ）,1,00（，G ）,1,02（， 从而）,0,02（DC =

，2DE =

（-

，故22220

0x x y z =?-+=，所以

20x =，22z =，可取

21y =，则2n =（，从而121212

3

cos ,3

n n n n n n <>==-

. 【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（

2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.

5. 如图，BCD ?与MCD ?都是边长为2的正三角形，

平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小； （2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.

【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空

间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、划归转化能力和运算求解能力。

【思路点拨】本题主要有两种方法，法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；

（2）对二面角的求法思路， 一般是分三步①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证” 是难点.法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.

【规范解答】取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ，又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面

BCD .

D

M

C

B

A

以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.OB =OM =3，则各点坐标分别为O （0，0，0），C （1，0，0），M （0，

0，3），B （0，-3，0），A （0，-3，23），

（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.

因AM =（0，3，3-），平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =.则有

32

sin cos ,26

AM n AM n AM n

α?==

=

=?，所以45α=. （2）(1,0,3)CM =-，(1,3,23)CA =--.

设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =，由11n CM n CA

?⊥??⊥??得30

3230x z x y z ?-+=??--+=??.

解得3x z =，y z =，取1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， 则111cos ,5n n n n n n

?<>==

?设所求二面角为θ，则2125

sin 1()55

θ=-=

. 6.

已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1，点M 是棱AA '的中点，点O 是对角线BD '的中点. （Ⅰ）求证：OM 为异面直线AA '和BD '的公垂线； （Ⅱ）求二面角M BC B -'-'的大小； （Ⅲ）求三棱锥M OBC -的体积.

【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、

二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.

【思路点拨】方法一：几何法 问题（Ⅰ），分别证明OM AA '⊥，OM BD '⊥即可.

问题（II ）首先利用三垂线定理，作出二面角M BC B -'-'的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.

问题（Ⅲ）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，OBC ?和OA D ''?都在平面BCD A ''内，且

y

x

M

C

B

O

A z

OBC OA D S S ''??=，故M OBC M OA D O MA D V V V ''''---==，利用三棱锥的体积公式很快求出O MA D V ''-.

方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.

【规范解答】(方法一)：（I ）连结AC .取AC 的中点K ，则K 为BD 的中点，连结OK .

∵点M 是棱AA '的中点，点O 是BD '的中点，

由AA AK '⊥，得OM AA '⊥.

∵,AK BD AK BB '⊥⊥，∴AK BDD B ''⊥平面. ∴AK BD '⊥.∴OM BD '⊥. 又∵OM 与异面直线AA '和BD '都相交， 故OM 为异面直线AA '和

BD '的公垂线，

（II ）取BB '的中点N ，连结MN ，则MN BCC B ''⊥平面， 过点 过点N 作NH BC '⊥于H ，连结MH ，则由三垂线 定理得，BC MH '⊥.

∴MHN ∠为二面角M BC B ''--的平面角.

1221,sin 45224

MN NH BN ===?=.

在Rt MNH ?中.tan 222

MN MHN NH =

==故二面角M BC B ''--的大小为arctan 22. （III ）易知，OBC OA D S S ''??=,且OBC ?和OA D ''?都在平面BCD A ''内，点O 到平面MA D ''的距离

12h =

，∴11324

M OBC M OA D O MA D MA D V V V S h ''''''---?====. (方法二)：以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,0)C ，(1,0,1)A '，(0,1,1)C '，(0,0,1)D ' （I ） ∵点M 是棱AA '的中点，点O 是BD '的中点，

∴1

(1,0,)2M , 111(,,)222O ，11(,,0)22

OM =-,

(0,0,1)AA '= ,(1,1,1)BD '=--.

0OM AA '?= ,11

0022

OM BD '?=-++=,

∴OM AA '⊥,OM BD '⊥,

又∵MO 与异面直线AA '和BD '都相交，

故MO 为异面直线AA '和BD '的公垂线，

（II ）设平面BMC '的一个法向量为1(,,)n x y z =，1(0,1,)2

BM =-，(1,0,1)BC '=-.

110,0.n BM n BC ??=??

'?=??即10,

20.

y z x z ?-+=???-+=? 取2z =，则2,1x y ==.1(2,1,2)n =. 取平面BC B ''的一个法向量2(0,1,0)n =.

121212

1

cos ,3

9n n n n n n ?<>=

=

=，由图可知，二面角M BC B '

'--的平面角为锐角，

故二面角M BC B ''--的大小为1arccos

3

. （III ）易知，111444

OBC BCD A S S ''?=

=?=四边形，设平面OBC 的一个法向量为3111(,,)n x y z =， 1(1,1,1)BD =--,(1,0,0)BC =-, 3130,0.n BD n BC ??=???=??即11110,

0.

x y z x --+=??-=?

取11z =，则11y =，从而3(0,1

,1)n =.

点M 到平面OBC 的距离3

3

1

2BM

n d n ?=

==.1113324M OBC OBC V S d -?=?==.

【跟踪模拟训练】

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.已知点A （-3,1,-4），则点A 关于x 轴的对称点的坐标为( ) (A)（-3,-1,4）(B)(-3,-1,-4)(C)(3,1,4)(D)(3,-1,-4)

2.在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AB 1⊥BC 1，则平面DBC 1与平面CBC 1所成的角为( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90

°

3. 设动直线x a =与函数2

()2sin (

)4

f x x π

=+

和()2g x x

=的图象分别交于M 、N 两点，则

||MN 的最大值为（ ）

A B ．2 D ．3

4. 在直角坐标系中，设(3,2)A ，(2,3)B --，沿y 轴把坐标平面折成120o

的二面角后，AB 的长为（ ）

A ．6

B ．42

C ．23

D ．211

5. 矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）

A ．π

12125

B ．π

9125

C ．π

6125

D ．π

3125

6. 如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若a AB =，b AD =，c AA

=1则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）

（A ） c b a ++-2121 （B ）c b a ++2121（C ）c b a +--2121 （D ）c

b a +-21

21

二、填空题（每小题6分，共18分）

7．OX ，OY ，OZ 是空间交于同一点O 的互相垂直的三条直线，点P 到这三条直线的距离分别为

10,a ,b ，则OP 37=,则22a b +=_ _。

8．平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=2，AD=1，且AB 、AD 、AA1两两之间夹角均为600，则1AC ?1BD =

9．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角后，有下列四个结论：

（1）BD AC ⊥； （2）ACD ?是等边三角形；（3）AB 与平面BCD 成60° ；（4）AB 与CD 所成的角为60°．其中正确结论的序号为_________（填上所有正确结论的序号）． 三、解答题（共46分）

10. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面是边长为 2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC 与BD 相交于点O ，

3=PO ,E 、F 分别是BC 、AP 的中点．

（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）求二面角A —BP —D 的余弦值．

11. 某组合体由直三棱柱111C B A ABC -与正三棱锥ACD B -组成，如图所示，其中，B C AB ⊥．它的正视图、侧视图、俯视图的面积分别为22+1，1，22+1．

（1）求直线1CA 与平面ACD 所成角的正弦；

（2）在线段1AC 上是否存在点P ，使⊥P B 1平面ACD ，若存在，确定点P 的位置；若不存在，说明理由．

12. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 面ABC ，

AC BC ⊥,2==AC BC ，31=AA ，D 为AC 的中点。

(I)求证：//1AB 面1BDC ；

(Ⅱ)求二面角C BD C --1的余弦值

参考答案

1．【解析】选A.∵点A 关于x 轴对称点的规律是在x 轴上的坐标不变，在y 轴，z 轴上的坐标分别变为相反数，∴点A （-3，1，-4）关于x 轴的对称点的坐标为（-3,-1,4）.

2．【解析】选B.以A 为坐标原点，AC 、AA 1分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.设底面边长为2a.侧棱长为

2b.

3．D 4．D 5．C 6．A 7．64 8． 3 9．（1）（2）（4）

10．解：（1）证明：取PD 的中点G ，连接FG 、CG ∵FG 是△PAD 的中卫县，∴FG AD 21

，

在菱形ABCD 中，AD BC ，又E 为BC 的中点，∴CE

FG ，∴四边形EFGC 是平行四边形，

∴EF ∥CG

又EF ?面PCD ，CG ?面PCD ，∴EF ∥面PCD

（2）法1：以O 为原点，OB ，OC ，OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如 图所示的空间直角坐标系。 则0（0，0，0），A （0，3-，0），B （1，0，0）P （0，0，3）

=（1，3，0）=（0，3，3）

设面ABP 的发向量为),,(z y x n =，则

?????=?=?00n n ，即?????=+=+0330

3z y y x 即??

?-=-=y z y x 3

取)1,1,3(-=n 又0=?，0=?，∴OA ⊥面PBD ，∴为面PBD 的发向量，

∴=（0，3-，0）

5

5

3

53|

|||,cos =

?=

>=

法2：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，

∵OP ⊥面ABCD ，AC ?面ABCD ，∴AC ⊥OP ，OP BD=0，∴AC ⊥面PBD ，AC ⊥BP ，

在面PBD 中，过O 作ON ⊥PB ，连AN ，PB ⊥面AON ，则AN ⊥PB 。

即∠ANO 为所求二面角的平面角

AO=ABcos30°=3在Rt △POB 中，

23=?=

BP OB OP ON ，∴215

22=+=ON OA AN

∴cos ∠55

21523

=

==AN ON ANO 。所以所求二面角的余弦值为55

11．【解析】

122,112121

2

BA BC BD a BB b ab a a b a ====?

+=??=?????

=???=??解：（1）设由条件

111111(0,(0,2,0),2,0),(0,2,3

333332

(2,2,

2),cos ,B BC BB BA x y z A C D B C A ACD G a BG ACD CA a CA ???-∴=- ??

??-

=

-

=以点为原点，分别以

、、为轴、

轴、轴建立空间直角坐标系,则的重心

=为平面的法向量.

又则6

=∴

(

)(

)

111(2)2,2,22,22,223223.

AP mAC m m m

B P B A AP m m m a

m P λλ==-=+=

--==??

∴-=∴??

=∴令无解

不存在满足条件的点

12．解：（1）连接B1C ，交BC1于点O ，则O 为B1C 的中点， ∵D 为AC 中点 ∴OD ∥B1A

又B1A ?平面BDC1，OD ?平面BDC1 ∴B1A ∥平面BDC1

（2）∵AA1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，AA1∥CC1 ∴CC1⊥面ABC 则BC ⊥平面AC1，CC1⊥AC 如图以C 为坐标原点，CA 所在直线为X 轴，CB 所在直线为Y 轴，1

CC 所在直线为Z 轴建立空间直

角坐标系 则C1(0,0,3) B(0,2,0) D(1,0,0) C(0,0,0) ∴设平面

1C DB

的法向量为)z ,y ,x (n = 由

11,n C D n C B ⊥⊥得

30,230x z y z -=-=，取2z =， 则n (6,3,

2)=

又平面BDC 的法向量为

1CC (0,0,3)= cos

7

2|

n ||C C |n C C n ,C C 111==

??

∴二面角C1—BD —C 的余弦值为2

7

【备课资源】

1.已知两条异面直线a 、b 所成的角为40°，直线l 与a 、b 所成的角都等于θ，则θ的取值范围是( ) (A)［20°,90°］

(B)［20°,90°) (C)(20°,40°］

(D)［70°,90°］

【解析】选A.

取空间任一点O ，将直线a,b,l 平移到过O 点后分别为a ′,b ′,l ′，则l ′与a ′,b ′所成的角即为l 与a,b 所成的角.当l ′与a ′,b ′共面时θ最小为20°.当l ′与a ′,b ′确定的平面垂直时，θ最大为90°.故θ的取值范围为［20°,90°］.

最新空间直角坐标系专题学案(含答案解析)

第九讲 空间直角坐标系 时间： 年 月 日 刘老师 学生签名： 一、 兴趣导入 二、 学前测试 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考情聚焦：1．平行与垂直是空间关系中最重要的位置关系，也是每年的必考内容，利用空间向量判断空间位置关系更是近几年高考题的新亮点。 2．题型灵活多样，难度为中档题，且常考常新。 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ，EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=?，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【命题立意】本题主要考查了空间几何体的线面平行、线面垂直的证明、二面角的求解的问题，考查了考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。 【思路点拨】可以采用综合法证明，亦可采用向量法证明。 【规范解答】 E F B C D H G X Y Z

,,//,,,,,,,. ABCD AB BC EF FB EF AB AB FB BC FB B AB FBC AB FH BF FC H BC FH BC AB BC B FH ABC ∴⊥⊥∴⊥=∴⊥∴⊥=∴⊥=∴⊥Q Q I I 四边形为正方形，又且，平面又为中点，且平面 H HB GH HF u u u r u u u r u u u r 如图，以为坐标原点，分别以、、的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 1,(1,2,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(0,1,1),(0,0,1).BH A B C D E F =-----令则 (1) (0,0,1), (0,0,1),////HF HF GE HF HF ∴==∴??∴u u r u u u r u u r u u u r Q 设AC 与BD 的交点为G ，连接GE 、GH,则G （0,-1,0），GE 又GE 平面EDB,平面EDB,平面EDB (2) (2,2,0),(0,0,1),0,. AC AC AC AC AC =-=∴=∴⊥⊥∴⊥u u u r u u r u u u r u u r Q g I GE GE GE 又BD,且GE BD=G ，平面EBD. (3) 1111111(1,,),(1,1,1),(2,2,0). 010,10,220011,0y z BE BD BE y z y z y BD ==--=--?=--+=??=-=??--==? ??∴=-u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 1111设平面BDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 2222222(1,,),(0,2,0),(1,1,1). 00,01,10010,-1y z CD CE CD y y z y z CE ==-=-?==??==-??-+==? ??∴=u u r u u u r u u u r Q u u u r u u r g u u u r u u r g u u r 2222设平面CDE 的法向量为n n 由即，得，n n （，） 121212121 cos ,,2||||,60,n n n n n n n n ∴<>===∴<>=o o u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u r 即二面角B-DE-C 为60。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问

青岛版数学七年级下册平面直角坐标系学案

平面直角坐标系 班级：小组：姓名：组内评价：教师评价： 一、学习目标： 1、认识并能正确画出直角坐标系，理解平面内点的横坐标和纵坐标的意义 2、在给定的直角坐标系中会根据点的坐标找出它的位置、由点的位置写出它的坐标； 3、经历画坐标系、描点、连线、看图以及由点找坐标等过程，丰富活动经验，培养合作交流意识，体会数形结合的思想. 二、尝试练习： （一）、情境导入： 1、复习 （1）什么叫数轴？在直线上规定了、和就构成了数轴 （2）写出数轴上A，B，C，D，E各点所表示的数． 数轴上的点可以用一个数来表示，这个数叫做这个点的坐标.例如上面的点A在数轴上的坐标是3.5，点B在数轴上的坐标是-4;反过来知道数轴一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了（3）在数轴上分别标出坐标为-1，4，2.5，0，-1.5，-3.5的点. 2、自学课本第49页，完成下列填空： 在平面内画两条，并且有O的数轴，通常其中一条画成水平，叫轴（或轴），规定向右的方向为正方向，另一条画成铅直，叫轴（或轴），规定向上的方向为正方向，这样就建立了，简称。两坐标轴的公共原点O叫做该直角坐标系 的,简称. 这个平面叫。 3、概括平面直角坐标系具有的特征： 在同一平面内两条数轴：①②③通常取为正方向④一般取相同的 4、自学课本第50页例1上面的部分，然后完成下列两 个问题： 两坐标轴把坐标平面分成几个区域？分别叫什么？对坐 标轴上的点做的怎样的规定？ 例1，写出图1中各点的坐标。

例2，在平面内描出各点的位置。A （3,0）B （0,2）C（-3,2）D（4，-1）E（-2，-3）F（1,3） （三）、学以致用： 1、画平面直角坐标系，并在图中描出坐标是：（2，3）、（2-，3）、（3，2-）的点Q、S、R. （1）Q（2，3）与P（3，2）是同一点吗？S（2-，3）与R（3，2-）是同一点吗？ （2）：从（1）中，对于平面直角坐标系上的点和有序数对来说，你有什么发现吗？ 2、在点A（-2，-4）、B（-2，4）、C（3，-4）、D（3，4）、E（-1，0）、F（0，8）、G（2，-4）、H （0，-5）中属于第三象限的点是，属于第四象限的是，在X轴上的点是，在Y轴上的点是。 3、通过对上题的解答，结合前边的学习，根据点 所在位置，用“+”“-”或“0” 填表： 3、在平面直角坐标系中，将点（2，-5）向右平移 3个单位长度，可以得到对应点坐标（，）；将点（-2，-5）向左平移3个单位长度可得到对应点（，）；将点（2，5）向上平移3单位长度可得对应点（，）；将点（-2, 5）向下平 移3单位长度可得对应点（，）。 （四）、达标测评： 1、如果点P（a，b）在第二象限，那么a是数，b是数？如果a＞0，b＜0，那么点P（a，b）在第象限，点Q（-a，b）在第象限。 2、如果点（a，b）在第四象限，那么点（-a，b）和点（b，a）分别在象限。 3、请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：

空间直角坐标系

4.3 空间直角坐标系 重点难点 教学重点：在空间直角坐标系中确定点的坐标. 教学难点：通过建立适当的直角坐标系确定空间点的坐标,以及相关应用. 新知探究: ①在初中,我们学过数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线.决定数轴的因素有原点、正方向和单位长度.这是数轴的三要素.数轴上的点可用与这个点对应的实数x来表示. ②在初中,我们学过平面直角坐标系,平面直角坐标系是以一点为原点O,过原点O分别作两条互相垂直的数轴Ox和Oy,xOy称平面直角坐标系,平面直角坐标系具有以下特征：两条数轴：①互相垂直;②原点重合;③通常取向右、向上为正方向;④单位长度一般取相同的.平面直角坐标系上的点用它对应的横、纵坐标表示,括号里横坐标写在纵坐标的前面,它们是一对有序实数(x,y). ③在空间,我们也可以类比平面直角坐标系建立一个坐标系,即空间直角坐标系,空间中的任意一点也可用对应的有序实数组表示出来. ④观察图2,OABC—D′A′B′C′是单位正方体,我们类比平面直角坐标系的建立来建立一个坐标系即空间直角坐标系,以O为原点,分别以射线OA,OC,OD′的方向为正方向,以线段OA,OC,OD′的长为单位长度,建立三条数轴Ox,Oy,Oz称为x轴、y轴和z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系O—xyz,其中O叫坐标原点,x轴、y轴和z轴叫坐标轴.如果我们把通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,我们又得到三个坐标平面xOy平面,yOz平面,zOx 平面. 由此我们知道,确定空间直角坐标系必须有三个要素,即原点、坐标轴方向、单位长. 图1 图1表示的空间直角坐标系也可以用右手来确定.用右手握住z轴,当右手的四个手指从x 轴正向以90°的角度转向y轴的正向时,大拇指的指向就是z轴的正向.我们称这种坐标系为右手直角坐标系.如无特别说明,我们课本上建立的坐标系都是右手直角坐标系.

高中数学必修二《空间直角坐标系》优秀教学设计

4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 教材分析 本节课内容是数学必修2 第四章圆与方程的最后一节的第一小节。 课本之所以把“空间直角坐标系”的内容放在必修2的最后即第四章的最后，原因有三：一、“空间直角坐标系”的内容为以后选修中用空间向量解决空间中的平行、垂直以及空间中的夹角与距离问题打基础，做好准备；二、必修2第三、四章是平面解析几何的基础内容，本节“空间直角坐标系”的内容是空间解析几何的基础，与平面解析几何的内容共同体现了“用代数方法解决几何问题”的解析几何思想；三、本套教材从整体上体现了“螺旋式上升”的思想，本节内容安排“空间直角坐标系”，为以后的学习作铺垫，正是很好地体现了这一思想。 本小节内容主要包含空间直角坐标系的建立、空间中由点的位置确定点的坐标以及由点的坐标确定点的位置等问题。结合图形、联系长方体和正方体是学好本小节的关键。 课时分配 本小节内容用1课时的时间完成，主要讲解空间直角坐标系的建立以及空间中的点与坐标之间的联系。 教学目标 重点：空间直角坐标系，空间中点的坐标及空间坐标对应的点。 难点：右手直角坐标系的理解，空间中的点与坐标的一一对应。 知识点：空间直角坐标系的相关概念，空间中点的坐标以及空间坐标对应的点。 能力点：理解空间直角坐标系的建立过程，以及空间中的点与坐标的一一对应。 教育点：通过空间直角坐标系的建立，体会由二维空间到三维空间的拓展和推广，让学生建立发展的观点；通过空间点与坐标的对应关系，进一步加强学生对“数形结合”思想方法的认识。 自主探究点：如何由空间中点的坐标确定点的位置。 考试点：空间中点的确定及坐标表示。 易错易混点：空间中的点与平面内的点以及它们的坐标之间的联系与区别；空间直角坐标系中x轴上单位长度的选取。 拓展点：不同空间直角坐标系下点的坐标的不同；空间中线段的中点坐标公式。 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式师生互动、小组评分以及兵带兵的课堂模式。 一、引入新课 由数轴上的点和平面直角坐标系内的点的表示引入空间中点的表示。 ,x y 数轴Ox上的点M,可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面内的点M可以用一对有序实数()表示。类似于数轴和平面直角坐标系（一维坐标系和二维坐标系），当我们建立空间直角坐标系（三维坐 x y z表示。 标系）后，空间中任意一点可用有序实数组(,,)

2014年中考数学第一轮复习导学案：平面直角坐标系与函数的概念

平面直角坐标系与函数的概念 ◆【课前热身】 1.如图，把图①中的⊙A 经过平移得到⊙O(如图②)，如果图①中⊙A 上一点P 的坐标为(m ，n)，那么平移后在图②中的对应点P ’的坐标为（ ）． A ．(m ＋2，n ＋1) B ．(m －2，n －1) C ．(m －2，n ＋1) D ．(m ＋2，n －1) 2.菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，45AOC OC ∠==° ，，则点B 的坐标为（ ） A ． B ． C ．11)， D ．1) 3.点(35)p ，-关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ． (3,5)-- B ． (5,3) C ．(3,5)- D ． (3,5) 4. 函数y = x 的取值范围是（ ） A ．2x >- B ．2x -≥ C ．2x ≠- D ．2x -≤ 5.在函数1 31y x = -中，自变量x 的取值范围是（ ） A.13x < B. 13x ≠- C. 13x ≠ D. 13 x > 【参考答案】 1. D 2. C 3. D （第2题）

4. B 【解析】本题考查含二次根式的函数中中自变量的取值范围，a 的 范围是0a ≥；∴y =x 的范围由20x +≥得2x ≥-. 5. C ◆【考点聚焦】 〖知识点〗 平面直角坐标系、常量与变量、函数与自变量、函数表示方法 〖大纲要求〗 1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标； 2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图象. 〖考查重点与常见题型〗 1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题； 2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题； 3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，重点考查的是含有二次根式的函数式中自变量的取值范围，题型多为填空题； 4．函数自变量的取值范围. ◆【备考兵法】 1.理解函数的概念和平面直角坐标系中某些点的坐标特点. 2.要进行自变量与因变量之间的变化图象识别的训练，真正理解图象与变量的关系. 3.平面直角坐标系： ①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；

空间直角坐标系》教学设计

《空间直角坐标系》教学设计 （一）教学目标1．知识与技能 （1）使学生深刻感受到空间直角坐标系的建立的背景（2）使学生理解掌握空间中点的坐标表示 2．过程与方法建立空间直角坐标系的方法与空间点的坐标表示 3．情态与价值观通过数轴与数、平面直角坐标系与一对有序实数，引申出建立空间直角坐标系的必要性，培养学生类比和数形结合的思想. （二）教学重点和难点空间直角坐标系中点的坐标表示. （三）教学手段多媒体 （四）教学设计 教学 环节 教学内容师生互动设计意图 复习引入问题情景1 对于直线上的点，我们可以通过数 轴来确定点的位置，数轴上的任意一 点M都可用对应一个实数x表示；对 于平面上的点，我们可以通过平面直 角坐标系来确定点的位置，平面上任 意一点M都可用对应一对有序实数 (x，y)表示；对于空间中的点，我们也 希望建立适当的坐标系来确定点的位 置. 因此，如何在空间中建立坐标系， 就成为我们需要研究的课题. 师：启发学生联想思 考，生：感觉可以 师：我们不能仅凭感 觉，我们要对它的认 识从感性化提升到理 性化. 让学生体 会到点与 数（有序数 组）的对应 关系.培养 学生类比 的思想.

那么假设我们建立一个空间直角坐标系后，空间中的任意一点是否可用对应的有序实数组(x，y，z)表示出来呢 概念形成问题情景2 空间直角坐标系该如何建立呢 O x X 一维坐标 二维坐标 三维坐标（图） 师：引导学生看 图，单位正方体OABC –D′A′B′C′，让学生认 识该空间直角系O –xyz中，什么是坐标 原点，坐标轴以及坐标 平面. 师：该空间直角坐 标系我们称为右手直 角坐标系. 让学生通过 对一维坐 标、二维坐 标的认识， 体会空间直 角坐标系的 建立过程. 问题情景3 建立了空间直角坐标系以后，空间中 任意一点M如何用坐标表示呢 师：引导学生观察 图， 生：点M对应着 唯一确定的有序实数 组(x，y，z)，x、y、z 分别是P、Q、R在x、 通过幻灯片 展示横坐 标、纵坐标、 竖坐标产生 过程，让 学生从图中

空间直角坐标系练习题含详细答案

空间直角坐标系（11月21日） 一、选择题 1、有下列叙述： ①在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是（0，b，c）； ②在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定是（0，b，c）； ③在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作（0，0，c）； ④在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是（a，0，c）。 其中正确的个数是（C ） A、1 B、2 C、3 D、4 2、已知点A（-3，1，4），则点A关于原点的对称点的坐标为（C ） A、（1，-3，-4） B、（-4，1，-3） C、（3，-1，4） D、（4，-1，3） 3、已知点A（-3，1，-4），点A关于x轴的对称点的坐标为（A ） A、（-3，-1，4） B、（-3，-1，-4） C、（3，1，4） D、（3，-1，-4） 4、点（1，1，1）关于z轴的对称点为（A ） A、（-1，-1，1） B、（1，-1，-1） C、（-1，1，-1） D、（-1，-1，-1） 5、点（2，3，4）关于xoz平面的对称点为（C ） A、（2，3，-4） B、（-2，3，4） C、（2，-3，4） D、（-2，-3，4） 6、点P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在(C) A．y轴上B．xOy平面上C．xOz平面上D．x轴上 7、以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（C ） A、（1 2 ，1，1）B、（1， 1 2 ，1）C、（1，1， 1 2 ）D、（ 1 2 ， 1 2 ，1） 8、点P( 2 2， 3 3，－ 6 6)到原点的距离是(B) A.30 6B．1 C. 33 6 D. 35 6 9、点M(4，－3,5)到x轴的距离为(B) A．4 B.34 C．5 2 D.41 10、在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为(D) A．(0，2，0) B．(0，2，3) C．(1,0，3) D．(1，2，0) 11、点M(－2,1,2)在x轴上的射影的坐标为(B) A．(－2,0,2) B．(－2,0,0) C．(0,1,2) D．(－2,1,0) 12、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为(B) A．9 B.29 C．5 D．2 6 二、填空题 1、在空间直角坐标系中, 点P的坐标为(1, 3 2，),过点P作yOz平面的垂线PQ, 则垂足Q 的坐标是________________． 2、已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________． 3、已知空间三点的坐标为A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（p，3，q+2），若A、B、C三点共线，则p =_________，q=__________． 4、已知点A(-2, 3, 4), 在y轴上求一点B , 使|AB|=7 , 则点B的坐标为________________．

平面直角坐标系(第3课时)教学设计

第三章位置与坐标 2．平面直角坐标系（第三课时） 西安高新第一中学雒萍 一、学生起点分析 学生的基础知识：学生在前两节的学习中已对平面直角坐标系的定义、特点有了清楚的认识，尤其是能准确地在平面直角坐标系中描点、连线、画图，体会到了数形结合的美妙，所以具备了建立和应用直角坐标系的基本能力。学生的活动经验：在前面的学习中，学生能在给定的坐标系中描点、连线，积累了一定的画图能力。 二、学生任务分析 教科书基于学生对平面直角坐标系的定义，以及在平面直角坐标系中描点、画图的基础上，提出本节的具体学习任务：建立适当的直角坐标系表示点的坐标，为此本节课的教学目标是： 【知识目标】 1、能结合所给图形的特点，建立适当的坐标系，写出点的坐标； 2、能根据一些特殊点的坐标复原坐标系； 3、经历建立坐标系描述图形的过程，进一步发展数形结合意识。 【能力目标】 通过多角度的探索，灵活选取简便易懂的方法解决问题，拓宽学生的思维，提高学生解决问题的能力。 【情感目标】 1．通过学习建立直角坐标系的多种方法，让学生体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强学生的数学应用意识。 2．通过确定旅游景点的位置，让学生认识数学与人类生活的密切联系，提高他们学习数学的兴趣。 教学重点：根据实际问题建立适当的坐标系，并能写出各点的坐标。 教学难点：根据一些特殊点的坐标复原坐标系； 教学方法：探究式学习 教具准备：方格纸若干张。 三、教学过程设计 第一环节：探究

建立平面直角坐标系，描述图形 1.如图，矩形ABCD的长与宽分别是6，4，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标。 『师』：在没有直角坐标系的情况下不能写出各个顶点的坐标，所以应先建立直角坐标系，那么应如何选取直角坐标系呢？请大家思考。 『生1』：如下图所示，以点C为坐标原点，分别以CD，CB所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系。 由CD的长为6，CB长为4，可得A，B，C，D的坐标分别为A（6，4），B（0，4），C（0，0），D（6，0）。 『生2』：如下图所示，以点D为坐标原点，分别以CD，AD所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系。 『师』：这两位同学选取坐标系的方式都是以矩形的某一个顶点为坐标原点，矩形的相邻两边所在直线分别作为x轴、y轴，建立直角坐标系的。这样建立直角坐标系的方式还有两种，即以A，B为原点，矩形两邻边分别为x轴、y轴建立直角坐标系。除此之外，还有其他方式吗？ 『生3』：有，如下图所示，以矩形的中心（即对角线的交点）为坐标原点，平行于矩形相邻两边的直线为x轴、y轴建立直角坐标系，则A，B，C，D的坐标分别为A（3，2），

建立空间直角坐标系的几个常见思路

建立空间直角坐标系的几种常见思路 坐标法是利用空间向量的坐标运算解答立体几何问题的重要方法，运用坐标法解题往往需要建立空间直角坐标系．依据空间几何图形的结构特征，充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系，是运用坐标法解题的关键．下面举例说明几种常见的空间直角坐标系的构建策略． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3 π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1（０，2，０）、3102c ??- ? ??? ，，、133022C ?? ? ?? ?，，． 设302E a ?? ? ??? ，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，，

第6章平面直角坐标系学案

七年级数学（下）教学教案（人教版） 课题：6.1.1有序数对 【学习目标】 1 .知道有序数对的意义，感受有序数对在确定点的位置中的作用; 2. 会用有序数对表示实际生活中的物体的位置。 【活动过程】 活动一认识有序数对 自学课本P39-40页，回答下列问题： 进入电影院看电影你是怎么找到自己的座位的？ 如果把座位表中的“ 3排5列”简记作（3, 5），你能确定自己的座位和其他同学的座位的 （3） 把（3，5）中的两个数据的位置调换一下，是否还指原来的位置呢？你发现了什么? （4）什么叫有序数对； ___________________ 2. 小组内交流用有序数对表示点要注意哪些问题? 活动二感受平面内的点与有序数对之间的一一对应关系 1. 完成课本P40页的练习，然后小组交流； 2. 下表中无序排列的汉字，小明拿到一张写有密码的字条，你能帮忙破译吗？（约定：字条上面 括号中的两个数，前面的表示所在列，后面的表示所在行。 内容是: 完成后展示你的成果。 3. 如图，如马所处的位置表示为（2, 3）. （1） 你能表示出象的位置吗？ （2） 写出马的下一步可以到达的位置。（小组内讨论，并展示结果） 1. （2） 记法吗? 主线的是奚药驸 S 以4 3 华品i 上觑止 其色多 一 比 五 为刼在一 地同-和 團?血民 音设1 著I 将丈导格 充嘿 适当月 和’主'产不迪 中国你能以发了一 妇于忆「册.或毎E 丸 从朋佔’堂/亍昌辛 荚:莎TF 谦］加、爱［ 6 7 B 9 10 11 12

1.为什么要用有序数对表示点的位置，没有顺序可以吗? 2.小组交流学习体会或收获. 【检测反馈】 1.将电影票上的“ 7排6座”记作(7, 6),那么 (1) 10排8座可以表示为 (2) ( 12, 4)表示的意义是 2.用数字1.2.3可以组成 __________ 对有序数对。 3 ?如图所示，是某城市植物园周围街巷的示意图， A 点表示经1路与纬2?路的十字路口， B 点表示 经 3 路与纬 5 路的十字路口，如果用(1 , 2) (2, 2)7( 3, 2) ( 3, 3) ^( 3, 4) ^( 3, 5)表示由A 到B 的一条路径，那么你能用同样的方式写出由 A 到B?的尽可能近的其他几条路径 吗？ 课堂小结: 4 2

空间直角坐标系整理

2．3．1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方 向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z 轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ， y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。 二、题型解析： 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)， 可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐 标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到 点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位，就可以得到点M （如图）。 法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2 的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可 直接在坐标轴上作出此点； （2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐 标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 （3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三 种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之 建立空间直角坐标系的方法及技巧 ． 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1 已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值． 解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则C 1（０，1，2）、B （2，4，０）， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-， ，． 设1BC 与CD 所成的角为θ， 则11317cos 17 BC CD BC CD θ==． 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．已知2AB = ，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值． 解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3 π， ∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B （０，０，０）、A （０，０，2）、B 1 （０，2，０）、3102c ??- ? ???，，、13302C ?? ? ??? ，，．

设302E a ?? ? ???，，且1322a -<<， 由EA ⊥EB 1，得10EA EB =， 即3322022a a ????---- ? ? ? ???? ，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ????--= ? ???? ?， 即12a =或32a =（舍去）．故3102E ?? ? ??? ，，． 由已知有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角． 因11(002)B A BA ==，，，31222EA ? ?=-- ? ??，， 故11112cos 3 EA B A EA B A θ= =，即2tan 2θ= 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值． 解析：（1）取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系． 设AD ＝2，则A （1，０，０）、D （－1，０，０）、B （1，2，０）、 V （０，０，3），∴AB ＝（０，2，０），VA ＝（1，０，－3）． 由(020)(103)0AB VA =-=， ，，，，得

6.12平面直角坐标系学案

学习课题：§6.1.2平面直角坐标系① 活动一、知识回顾： 1．指出数轴上A、B、C、D、E各点分别表示什么数： 解：A点表示______，B点表示______，C点表示______，D点表示______，E点表示______. 总结：数轴上的点都可以用一个数来表示，这个数叫做这个点的_______________ 2、数轴上的点可以用一个来表示，这个数叫做这个点的。反过来， 知道数轴上的一个点的坐标，这个点在数轴上的位置也就确定了。 3、“有序数对”记作（a，b）。有序：是指________与________是两个不同的数对； 数对：是指必须由______个数才能确定． 活动二、探索新知： 1.如何表示平面内的点的位置？ （1）如右图，在平面内画两条互相、的 数轴，组成。 （2）水平的数轴称为横轴或，习惯上取向方向为 正方向。 （3）竖直的数轴称为纵轴或，习惯上取向方向为 正方向。 （4）两坐标轴的交点为平面直角坐标系的。 11．直线上的点我们都可以用数轴上的数表示它的位置，但如果是平面上有不在同一直线上的A、B、C三个点，你怎么表示它的位置呢（如图1）？ 2．有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一个有序数对来表示了，这个有序数对叫做这个点的_______. 图2中A、B、C三点坐标分别为A（，）。图3中A、B、C三点坐标分别为。（一）由点求坐标 例1通过作图，求出下图中各点的坐标 归纳：在坐标系中求P点的坐标，①横坐标：过P向_____作垂线，垂足在___轴上的坐标； ②纵坐标：过P向_____作垂线，垂足在___轴上的坐标。（二）由坐标定点 例2 （1）在下图中描出一下各点看看这些点有什么关系？ A（-4，4）；B（-2，2）；C（-3，3）；D（0，0）；E（2，-2）；F（5，-5） （2）在空白处画平面直角坐标系，再在平面直角坐标系中描出下列各点。 A（3，4）；B （ -1，2）；C（-3，-2）；D（2，-2） 归纳：在坐标系中描点P(a,b):①在x轴上找到表示____的点，过这点作x轴的垂线； ②在y轴上找到表示____的点，过这点作y轴的垂线；③两 垂线的交点即是点_ __. （三）点到坐标轴的距离 例3.描点说明：A1（4，3）到x轴的距离是____ , 到y轴的距 离是_____；A2（-4，-3）到x轴的距离是_____ , 到y轴的距离是____； 归纳：P(a,b)到x轴的距离________ , 到y轴的距离______。 图1 图2 图3

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧

空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧 、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系 例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中，AA= 2,底面ABCD是直角梯形，/ A为直角，AB// CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值. 解析：如图1, 以D为坐标原点，分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角 1 , 2)、B(2, 4, 0), ?- BC =(-2,3,2) , CD =(0, -1,0). 坐标系，则C （0, 设BC i与CD所成的角为v CD 3 '17 17 二、利用线面垂直关系构建直角坐标系 例2 如图2，在三棱柱ABC- ABC中，AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点, EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值. 3 解析：如图2，以B为原点，分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴，过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系. 由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2，/ BCG=—, 3 ???在三棱柱ABC- ABC 中，有（0, 0, 0）、（0, 0, C 1 第3 / —,—,0 . I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄

BA 丄EB ，故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角. 訳=BA = （0,0八 2） , EA 二 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形，平面 VAD 丄底面ABCD AB 丄 VA 又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直，二 (2)设E 为DV 的中点，则 J-1显1 I 2 2丿 即「2，一皿］ X ,2—aJ < 2 丿 +a （a —2）=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 | 4 I 2丿 3 4 即-2或a =| (舍去).故 E 佇，,0 . ■ 3i 3 去（3,0,_Q ,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿 ，DV =（1,0, 3）. 由已知有EA _ EB i , 故 COS V = 灵晁^，即ta —子 EA'B 1A 1 (1)证明 AE 丄平面VAD (2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值. 解析：(1) 取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系. 设 AD= 2，则 A （1，0，0）、D （— 1，0，0）、B （ 1，2，0）、 V （0，0，爲），二 AB =（0， 2， 0） ， VA =（ 1，0， — V 3 ）. 由 ABVA = （0,2,0壯1,0, - . 3） = 0，得 AB 丄平面VAD

§3.3平面直角坐标系导学案

子洲三中 “双主”高效课堂 导学案 2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 §3.3轴对称与坐标变化 乔智 一、教学目标： 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系． 2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。 二、教学过程 有了坐标系，图像上的点就对应着坐标了，反过来坐标就可以反应点了。相应地，点的运动变化自然导致坐标的变化，坐标的变化也可以从数量的角度反应图形的变化。不妨先研究我们熟悉的轴对称。 活动1：探索两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系 1.在如图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗。 两面小旗之间有怎样的位置关系？对应点A 与A 1的坐标又有什么特点？其它对应的点也有这个特点吗？ 2.在右边的坐标系内，任取一点，做出这个点关于y 轴对称的点，看看两个点的坐标有什么样的位置关系，说说其中的道理。 变式。发展 3.如果关于x 轴对称呢？ 在这个坐标系里作出小旗ABCD 关于x 轴的对称图形，它的各个顶点的坐标与原来的点的坐标有什么关系？ 归纳。概括 4.关于x 轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 ； 关于y 轴对称的两点，它们的横坐标 ，纵坐标 。 运用。巩固 5.已知点P(2a-3，3)，点A （－1，3b+2）， （1）如果点P 与点A 关于x 轴对称，那么a+b= ； （2）如果点P 与点A 关于y 轴对称，那么a+b= 。 活动2：探索坐标变化引起的图形变化 反过来，坐标具有上述关系的点，一定关于坐标轴对称吗？我们先做几个具体的，找找经验。 １（1）在平面直角坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，-1）， （3，0），（4，-2），（0，0），你得到了一个怎样的图案？ （2）将所得图案的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以-1，顺次连接这些点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案又有怎样的位置关系呢？ 变式。拓展 2.如果1（1）中所得图案的各个顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的-1倍，顺次连接所得的点，你会得到怎样的图案？这个图案与原图案有怎样的位置关系呢？ *3。如果纵坐标、横坐标都分别变为原来的-1倍，得到的图形与原来的图形又有怎样的关系呢？说说你的判断和理由。

高中数学人教版必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

4.3空间直角坐标系 4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式 1．在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2．空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3．空间中两点间的距离公式是什么？ [新知初探] 1．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O -xyz . (2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面． 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 3．空间一点的坐标 空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标． [点睛] 空间直角坐标系的画法 (1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)． (2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的1 2. 4．空间两点间的距离公式 (1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2 ＋y 2 ＋z 2 . 预习课本P134～137，思考并完成以下问题

(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝ x 1－x 2 2 ＋y 1－y 2 2 ＋z 1－z 2 2 . [点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． (2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ? ????x 1＋x 22 ，y 1＋y 22，z 1＋z 22. [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( ) (2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对 解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P 1P 2|＝－2 2 ＋02＋22 ＝2 2. 答案：2 2 空间中点的坐标的求法 [典例] 在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝1 4 CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标． [解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而 E 为DD 1的中点，故其坐标为? ?? ??0，0，12. 由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ， 由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝1 2 ，