三角函数图像变换

三角函数y A x =+sin()ω?的图像变换

1结合具体实例，理解y=Asin ）（?ω+x 的实际意义，会用“五点法”画出函数y=Asin ）（?ω+x 的简图。会用计算机画

图，观察并研究参数?ω,,A ，进一步明确?ω,,A 对函数图象的影响。

2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin ）（?ω+x 的图象。

3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

1、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下，作出函数)3sin(π

+=x y 和)4

sin(π

-=x y 的简图，

并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析：函数)3

sin(π

+=x y 的周期为2π，我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简

图。 设Z x =+

3π，那么Z x sin )3sin(=+π，3

π

-=Z x

当Z 取0、ππππ2232，，，时，x 取-πππππ3

6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ，??

?

???-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。

列表：

x

-

π

3

π

6

23π

76π

53π x +

π3

π

2

π

32π

2π

sin()x +

π

3

1

－1

类似地，对于函数)4sin(π

-

=x y ，可列出下表：

x

π

4

34

π

54π

74π

94π x -

π

4

π

2

π

32π

2π

sin()x -

π

4

1

－1

描点作图（如下）

利用这类函数的周期性，可把所得到的简图向左、右扩展，得出)3

sin(π

+=x y ，x R ∈及

)4

sin(π

-=x y ，x R ∈的简图（图略）

。

由图可以看出，)3

sin(π

+

=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动

π

3个单位而得到的，)4

sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动

π

4个单位得到的。

注意：一般地，函数y x =+≠sin()()??0的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点

向左（当?>0时）或向右（当?<0时）平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有：

将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移，当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

如作函数y x =sin2及

y x

=sin 12的简图，并指出它们与y x =sin 图象间的关系。 解析：函数y x =sin2的周期T ==22ππ

，我们来作x ∈[]0，π时函数的简图。

设2x Z =，那么sin sin 2x Z =，当Z 取0、ππ

ππ22

32，，，时，所对应的五点是函数

y Z Z =∈sin []，，02π图象上起关键作用的五点，这里x Z =2，所以当x 取0、π4、πππ

234、、时，所对应的五点是函数y x x =∈sin []20，，π的图象上起关键作用的五点。

列表：

x 0 π

4

π

2

34π

π

2x

0 π

2

π

32π

2π

sin 2x

1

－1

函数x y 2

1sin =的周期ππ42

12==T ，我们来作x ∈[]04，π时函数的简图。

列表：

x 0 π 2π

3π 4π 12x 0 π2

π

32

π

2π

sin 12

x 0

1

－1

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面的简图向左、右扩展，得出y x =sin2，x R ∈及

x y 2

1

sin

=，x R ∈的简图（图略）

。 从上图可以看出，在函数x y 2sin =的图象上横坐标为

2

0x （x R 0∈）的点的纵坐标同y x =sin 上横坐标为x 0的点的纵坐标相同（例如，当x 02=π时，sin()sin 2221

0?==x π

，

sin sin

x 021

==π

）。因此，y x =sin2的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍（纵坐标不变）而得到的。

类似地，

y x

=sin 12的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）而得到的。

注意：一般地，函数y x =>≠sin ()ωωω01且的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上所有

点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当01<<ω时）到原来的1

ω倍（纵坐标不变）而得到的。

推广到一般有：

函数y f x =>≠()()ωωω01，的图象，可以看作是把函数y f x =()的图象上的点的横坐标

缩短（当ω>1）或伸长（当01<<ω）到原来的1

ω倍（纵坐标不变）而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出x y sin 2=及x y sin 2

1

=的简图，并指出它们的图象与y x =sin 的关系。

解析：函数y x =2sin 及x y sin 2

1

=的周期T =2π，我们先来作x ∈[]02，π时函数的简图。

列表：

x 0 π

2

π

32π

2π

sinx 0 1

0 －1 0 2sinx

0 2 0 －2 0 1

2

sin x 0

12

-12

描点作图，如图：

利用这类函数的周期性，我们可以把上图的简图向左、向右扩展，得到y x x R =∈2sin ，及

y x x R =

∈1

2sin ，的简图（图略）。

从上图可以看出，对于同一个x 值，y x =2sin 的图象上点的纵坐标等于y x =sin 的图象上点的纵坐标的两倍（横坐标不变），从而y x x R =∈2sin ，的值域为［－2，2］，最大值为2，最小值为－2。

类似地，x y sin 2

1

=

的图象，

可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变）而得到的，从而R x x y ∈=，sin 2

1

的值域是［-21，21］，最大值为21，最小值

为-

12。

注意：对于函数y A x =sin （A>0且A ≠1）的图象，可以看作是把y x =sin 的图象上所有点

的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

y A x x R =∈sin ，的值域为［－A ，A ］，最大值为A ，最小值为－A 。

推广到一般有：

函数y Af x =()（A>0且A ≠1）的图象，可以看作是把函数y f x =()图象上的点的纵坐标伸长（当A>1）或缩短（当0

4、函数y A x =+sin()ω?的图象

作函数y A x =+sin()ω?的图象主要有以下两种方法：

（1）用“五点法”作图

用“五点法”作y A x =+sin()ω?的简图，主要是通过变量代换，设z x =+ω?，由z 取0，

2π，π，2

3π

，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象。 （2）由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象，有两种主要途径：“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一：先平移后伸缩 y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00

横坐标变为原来的

倍

纵坐标不变

1

ωω??→??????

?=+y x sin()

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变A y A x ?→???????=+sin()

ω?

法二：先伸缩后平移

y x =?→??????

?sin 横坐标变为原来的

倍

纵坐标不变

1ω

y x y x =?→???????=+>

()()||ωω????

ω向左或向右平移个单位

00

纵坐标变为原来的倍横坐标不变

A y A x ?→???????=+sin()

ω?

可以看出，前者平移||?个单位，后者平移|

|

?

ω个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对

变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序，否则必然会出现错误。 当函数y A x =+sin()ω?（A>0，ω>0，x ∈+∞[)0，）表示一个振动量时，A 就表示这个

量振动时离开平衡位置的最大距离，通常把它叫做这个振动的振幅；往复振动一次所需要的时间

T =

2π

ω，它叫做振动的周期；单位时间内往复振动的次数f T =

=

12ω

π，它叫做振动的频率；

ω?x +叫做相位，?叫做初相（即当x ＝0时的相位）。

例1. 用两种方法将函数y x =sin 的图象变换为函数y x =+

sin()

23π

的图象。

分析1：x x x x →→+

=+

226

23()π

π

解法1：

y x

=?→

???????sin 横坐标缩短到原来的

纵坐标不变12 y x =?→

?????sin 26向左平移个单位π

y x x =+

=+

sin[()]sin()

26

23π

π

分析2：

x x x →+

→+

π

π

3

23

解法2：y x =?→?????sin 向左平移个单位

π

3

y x =+

?→???????

sin()

π

3

12横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

y x =+

sin()

23π

点评：在解法1中，先伸缩，后平移；在解法2中，先平移，后伸缩，表面上看来，两种变换

方法中的平移是不同的（即6π和3π

），但由于平移时平移的对象已有所变化，所以得到的结果是一

致的。 练习：

∴应选D

x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x 轴交点中最

的图象．∴选D

例2. 用五点法作出函数)3

2sin(2π

+

=x y 的图象，并指出函数的单调区间。

分析：按五点作图法的要求找出五个点来，然后作图。 解析：（1）列表

列表时3

2π

+

x 取值为0、

2π、π、2

3π、2π，再求出相应的x 值和y 值。

（2）描点

x

-

π

6

π

12

π

3

712π 56π 23

x +

π

0 π

2

π

32

π

2π

y

2

-2

（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：

利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到)3

2sin(2π

+

=x y ，

x R ∈的简图（图略）。

可见在一个周期内，函数在［

12π，12

7π

］上递减，又因函数的周期为π，所以函数的递减区间为）（Z k k k ∈??

???

?++,127,12

ππππ。同理，增区间为）（

Z k k k ∈??

???

?+,12,12

5-ππππ。 点评：五点法作图，要抓住要害，即抓住五个关键点，使函数式中的ω?x +取0、2π

、π、

2

3π、2π，然后求出相应的x ，y 值。

例3. 如图是函数y A x =+sin()ω?的图象，确定A 、ω、?的值。

解析：显然A ＝2

T =--=566ππ

π

() ∴===ωπππ222

T

∴=+y x 22sin()?

解法1：由图知当

x =-

π

6时，y ＝0

故有2260x +=?-+=?π?()，

∴=

?π

3 ∴所求函数解析式为

y x =+

223sin()

π

解法2：由图象可知将y x =22sin 的图象向左移π

6

即得

y x =+226sin ()

π，即y x =+223sin()π

∴=

?π

3

点评：求函数y A x =+sin()ω?的解析式难点在于确定初相?，一般可利用图象变换

例:4．试述如何由y =31

sin （2x +3π）的图象得到y =sin x 的图象。

解析：y =3

1

sin （2x +3π）

）

（纵坐标不变倍

横坐标扩大为原来的3

πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313π

=????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移

x y sin 3=?????????→?横坐标不变

倍

纵坐标扩大到原来的

另法答案：

（1）先将y =31sin （2x +3π）的图象向右平移6π个单位，得y =3

1

sin2x 的图象；

（2）再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得y =31

sin x 的图象；

（3）再将y =3

1

sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y =sin x 的

图象。

例5： 函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15，试依图指出

(1)f(x)的最小正周期；

(2)使f(x)=0的x 的取值集合； (3)使f(x)＜0的x 的取值集合；

(4)f(x)的单调递增区间和递减区间； (5)求使f(x)取最小值的x 的集合； (6)图象的对称轴方程； (7)图象的对称中心．

解析： 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题，本身就是数形结合思想的体现，它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx 的图象的关系得出．

注：得出函数f(x)的最小正周期之后，研究f(x)的其他性质，总是先在包含锐角在内的一个周期中研究，再延伸到整个定义域中．

注：实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x 0，而其中x 0使f(x 0)=1或f(x 0)=-1

注：f(x)的图象的对称中心为(x 0，0)，其中x 0使f(x 0)=0

【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题，其中有两点要注意反思：①周期性在研究中的化简作用，②三角函数的“多对一”性．

练习：1．(13分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π

2)的部分

图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；

(2)如何由函数y ＝2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图

象， 试写出变换过程． 解 (1)由图象知A ＝2.

f (x )的最小正周期T ＝4×???

?5π12－π6＝π，故ω＝2πT ＝2.

将点????π6，2代入f (x )的解析式，得sin ???

?π3＋φ＝1.

又|φ|<π2，∴φ＝π6.

故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ???

?2x ＋π6.

(2)方法一 y ＝2sin x 6

??????

→π

向左平移个坐标

y ＝2sin ????x ＋π61

2???????→横坐标缩短为原来的纵坐标不变y ＝2sin ????2x ＋π6. 方法二 y ＝2sin x 1

2

???????→横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

y ＝2sin 2x 2．(14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π

2，x ∈R )

的图象

的一部分如图所示 (1)求函数f (x )的解析式；

(2)当x ∈???

?－6，－23时，求函数y ＝f (x )＋f (x ＋2)的最大值与最小值 及相应

的x 的值．

解 (1)由图象知A ＝2，T ＝8，

∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π

4.

又图象过点(－1,0)，∴2sin ???

?－π4＋φ＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π4.∴f (x )＝2sin ???

?π4x ＋π4.

(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)

＝2sin ????π4x ＋π4＋2sin ???

?π4x ＋π2＋π4

＝22sin ????π4x ＋π2＝22cos π4x . ∵x ∈?

???－6，－23，∴－3π2≤π4x ≤－π6. ∴当π4x ＝－π6，即x ＝－2

3时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6； 当π

4x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－2 2.

易错分析 y ＝f (x )＋f (x ＋2)化简错误，化简公式和方法不熟致误． 12

??????→π

向左平移个坐标

y ＝2sin ???

?2x ＋π6. 3．(14分)函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0，|φ|<π

2)

的一段

图象如图所示．

(1)求函数y ＝f (x )的解析式；

(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π

4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y ＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标． 解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2π

T ＝2，

将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度， 得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．

于是φ＝2×π12＝π6，∴f (x )＝2sin ???

?2x ＋π6.

(2)依题意得g (x )＝2sin ????2

????x －π4＋π6 ＝－2cos ???

?2x ＋π6.

故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ????2x ＋π6－2cos ???

?2x ＋π6

＝22sin ???

?2x －π12.

由22sin ????2x －π12＝6，得sin ????2x －π12＝32. ∵0

12. ∴2x －π12＝π3或2x －π12＝2π

3， ∴x ＝524π或x ＝38π，

∴所求交点坐标为????5π24，6或???

?3π8，6.

易错分析 f (x )向右平移π4个单位得g (x )＝2sin ?? 2???

?x －π4

?

?＋π

6，学生易错为

g (x )＝2sin ???

?2x －π4＋π6，忽略了x 的系数2的作用．

一、选择题

1．将函数y ＝sin(x －π

3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π

3个单位，得到图象的解析式是( )

A ．y ＝sin(2x ＋π

3) B ．y ＝sin(12x －π

2) C ．y ＝sin(12x －π

6) D ．y ＝sin(2x －π

6)

[答案] C

[解析] 将函数y ＝sin(x －π

3)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(x 2－π3)的图象，再将所得函数图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin[12(x ＋π3)－π3]＝sin(x 2－π

6)的图象，故选C.

2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为( )

A ．y ＝2sin(2x ＋2π

3) B ．y ＝2sin(2x ＋π

3) C ．y ＝2sin(x 2－π

3) D ．y ＝2sin(2x －π

3)

[答案] A

[解析] 由图象可知，A ＝2，T ＝2[5π12－(－π

12)]＝π，∴ω＝2.∴y ＝2sin(2x ＋φ)， 又∵2×(－π12)＋φ＝π

2， ∴φ＝2π3，∴y ＝2sin(2x ＋2π3)． 3．函数y ＝sin|x |的图象是( )

[答案] B

[解析] 令f (x )＝sin|x |，x ∈R ， ∴f (－x )＝sin|－x |＝sin|x |＝f (x )， ∴函数f (x )＝sin|x |为偶函数，排除A ； 又当x ＝π2时，y ＝sin|π2|＝sin π

2＝1，排除D ；

当x ＝3π2时，y ＝sin|3π2|＝sin 3π

2＝－1，排除C ，故选B.

4．为了得到函数y ＝2sin ???

?x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点( )

A ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变) B ．向右平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变)

C ．向左平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D ．向右平移π

6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) [答案] C

[解析] 将y ＝2sin x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝2sin ????x ＋π6的图象，将y ＝2sin ???

?x ＋π6图象上

各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，

则得到y ＝2sin ???

?13x ＋π6的图象，故选C.

二、填空题

5．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是2π7，初相是π

6，则这个函数的解析式为________．

[答案] y ＝3sin(7x ＋π

6)

[解析] 由题意，知A ＝3，ω＝2πT ＝2π2π7

＝7，φ＝π

6，

∴y ＝3sin(7x ＋π

6)．

6．函数f (x )＝3sin ???

?2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①图象C 关于直线x ＝11π

12对称；

②图象C 关于点???

?2π3，0对称； ③函数f (x )在区间???

?－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度可以得到图象C . [答案] ①②③

[解析] f ???

?11π12＝3sin 3π2＝－3，①正确；

f ???

?2π3＝3sinπ＝0，②正确； f (x )的增区间为????k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )，令k ＝0得增区间????－π12，5π12，③正确； 由y ＝3sin2x 的图象向右平移π

6个单位长度可以得到图象C ，④错误． 三、解答题

7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π

2)的图象的一个最高点为(2,22)，由这个最高点到相邻最低点，图象与x 轴交于点(6,0)，试求这个函数的解析式．

[解析] 已知函数最高点为 (2,22)，∴A ＝2 2.

又由题意知从最高点到相邻最低点，图象与x 轴相交于点(6,0)，而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为14个周期长度，∴T

4＝6－2＝4，即T ＝16.

∴ω＝2πT ＝π8.

∴y ＝22sin(π

8x ＋φ)．

将点(6,0)的坐标代入，有22(π

8×6＋φ)＝0， ∴sin(3π

4＋φ)＝0， 又∵|φ|<π2，∴φ＝π

4.

∴函数的解析式为y ＝22sin(π8x ＋π

4)．

8．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π

6)＋a ＋1(其中a 为常数)． (1)求f (x )的单调区间；

(2)若x ∈[0，π

2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值； (3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． [解析] (1)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π

2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π3＋k π≤x ≤π

6＋k π(k ∈Z )．

∴函数f (x )的单调增区间为[－π3＋k π，π

6＋k π](k ∈Z )． 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π

2＋2k π，k ∈Z ， 解得π6＋k π≤x ≤2π

3＋k π，k ∈Z .

∴函数f (x )的单调减区间为[π6＋k π，2π

3＋k π](k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π2，∴π6≤2x ＋π6≤7π

6， ∴－12≤sin(2x ＋π

6)≤1，

∴f (x )的最大值为2＋a ＋1＝4，

(3)当f (x )取最大值时，2x ＋π6＝π

2＋2k π，k ∈Z ， ∴2x ＝π

3＋2k π，k ∈Z ∴x ＝π

6＋k π，k ∈Z . ∴当f (x )取最大值时，

x 的取值集合是{x |x ＝π

6＋k π，k ∈Z }．

9．(2014·北京文，16)函数f (x )＝3sin(2x ＋π

6)的部分图象如图所示．

(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值； (2)求f (x )在区间[－π2，－π

12]上的最大值和最小值． [解析] (1)f (x )的最小正周期为2π

2＝π. ∵(x 0，y 0)是最大值点，

令2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，结合图象得x 0＝7π

6，y 0＝3. (2)因为x ∈[－π2，－π

12]， 所以2x ＋π6∈[－5π

6，0]．

于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π

12时，f (x )取得最大值0； 当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π

3时，f (x )取得最小值－3.

基础巩固

一、选择题

1．函数y ＝|cos x |的周期为( ) A ．2π B ．π C ．π2

D ．π4

[解析] 作出函数y ＝|cos x |的简图，

由图象可知，函数y ＝|cos x |的周期为π.

2．(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g (x )＝cos x 的图象，只需将f (x )＝cos(x －π

4)的图象( )

A ．向右平移π

8个单位长度 B ．向左平移π

8个单位长度 C ．向右平移π

4个单位长度 D ．向左平移π

4个单位长度

[答案] D

[解析] 将f (x )＝cos(x －π4)的图象向左平移π4个单位长度得到g (x )＝cos[(x ＋π4)－π

4]＝cos x ，故选D. 3．(2014·山东济南一中高一月考)函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．关于直线x ＝－π

4对称 B ．关于直线x ＝－π

2对称 C ．关于直线x ＝π

8对称 D ．关于直线x ＝5π

4对称 [答案] B

[解析] 令2x ＝k π(k ∈Z )， 则x ＝k π

2，k ∈Z .

当k ＝－1时，x ＝－π

2，故选B.

4．已知函数y ＝2cos(ωx ＋φ)???

?0<φ<π2在一个周期内如图所示．设其周期为T ，则有( )

A ．T ＝6π5，φ＝π

4 B ．T ＝3π2，φ＝π

4 C ．T ＝3π，φ＝－π

4 D ．T ＝3π，φ＝π

4

[答案] A

[解析] T 2＝3π4－3π20＝12π20＝3π5，T ＝6π

5.

5．要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移1

2个单位 D ．向右平移1

2个单位

[答案] C

[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题．

∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos2(x ＋12)，所以只须将y ＝cos2x 图象向左平移1

2个单位即可得到y ＝cos(2x ＋1)的图象．注意图象平移是对“x ”而言的．

6．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2的函数，若f (x )＝?????

cos x ????－π2≤x ≤0sin x 0

A ．1

B ．22

C ．0

D ．－2

2

【答案】 B

【解析】 f ????－154π＝f ????3π

2×－3＋3π4

＝f ????3π4＝sin 3π4＝22.

二、填空题

7．函数y ＝cos x

1＋sin x 的定义域为________．

[答案] (－π2＋2k π，π

2＋2k π](k ∈Z )

[解析] 由已知得，?

????

1＋sin x ≠0?sin x ≠－1

cos x ≥0，

结合正、余弦函数图象可知， －π2＋2k π

2＋2k π(k ∈Z )．

8．(2014·江西九江外国语高一月考)函数f (x )＝cos(2x －π

6)＋1的对称中心坐标为________． [答案] (π3＋k π

2，1)k ∈Z

[解析] 令2x －π6＝π

2＋k π(k ∈Z )，

则x ＝π3＋k π

2，k ∈Z .

故函数f (x )＝cos(2x －π6)＋1的对称中心坐标为(π3＋k π

2，1)k ∈Z . 三、解答题

9．已知函数y ＝a －b cos x 的最大值是32，最小值是－1

2，求函数y ＝－4b sin ax 的最大值、最小值及最小正周期．

[解析] －1≤cos x ≤1，由题意知b ≠0. 当b >0时，－b ≤－b cos x ≤b ， ∴a －b ≤a －b cos x ≤a ＋b .

∴??? a ＋b ＝3

2a －b ＝－1

2

，解得?????

a ＝12

b ＝1

.

∴y ＝－4b sin ax ＝－4sin 1

2x ，

最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π. 当b <0时，b ≤－b cos x ≤－b ， ∴a ＋b ≤a －b cos x ≤a －b .

∴???

a －

b ＝32

a ＋

b ＝－1

2

，解得?????

a ＝12

b ＝－1

.

∴y ＝－4b sin ax ＝4sin 1

2x ，最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π.

能力拓展

一、选择题

1．函数y ＝lncos x (－π2

2)的图象是( )

[答案] A

[解析] 由y ＝lncos x (－π2

2<0，故选A. 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图所示，则常数A 、ω、φ、b 的取值是( )

A ．A ＝6，ω＝12，φ＝π

3，b ＝－2 B ．A ＝－4，ω＝12，φ＝π

3，b ＝－2 C ．A ＝4，ω＝2，φ＝π

3，b ＝2 D ．A ＝4，ω＝12，φ＝π

3，b ＝2

[答案] D

[解析] ∵最大值与最小值的差＝6－(－2)＝8， ∴A ＝4.又∵周期T ＝10π3－????

－2π3＝4π，

∴ω＝2πT ＝2π4π＝1

2，且b ＝6＋－22

＝2， ∴y ＝4sin ???

?12x ＋φ＋2. 由题意知A 、B 、C 、D 四个选项中φ都等于π

3，故选D.

3．已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0