搜档网
当前位置:搜档网 > 三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数y A x =+sin()ω?的图像变换

三角函数图像变换

1结合具体实例,理解y=Asin )(?ω+x 的实际意义,会用“五点法”画出函数y=Asin )(?ω+x 的简图。会用计算机画

图,观察并研究参数?ω,,A ,进一步明确?ω,,A 对函数图象的影响。

2能由正弦曲线通过平移、伸缩变换得到y=Asin )(?ω+x 的图象。

3教学过程中体现由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。

三角函数图像变换

1、函数图象的左右平移变换

如在同一坐标系下,作出函数)3sin(π

+=x y 和)4

sin(π

-=x y 的简图,

并指出它们与y x =sin 图象之间的关系。 解析:函数)3

sin(π

+=x y 的周期为2π,我们来作这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简

图。 设Z x =+

3π,那么Z x sin )3sin(=+π,3

π

-=Z x

当Z 取0、ππππ2232,,,时,x 取-πππππ3

6237653、、、、。所对应的五点是函数)3sin(π+=x y ,??

?

???-∈35,3ππx 图象上起关键作用的点。

列表:

x

-

π

3

π

6

23π

76π

53π x +

π3

π

2

π

32π

sin()x +

π

3

1

-1

类似地,对于函数)4sin(π

-

=x y ,可列出下表:

x

π

4

34

π

54π

74π

94π x -

π

4

π

2

π

32π

sin()x -

π

4

1

-1

描点作图(如下)

三角函数图像变换

利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出)3

sin(π

+=x y ,x R ∈及

)4

sin(π

-=x y ,x R ∈的简图(图略)

由图可以看出,)3

sin(π

+

=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向左平行移动

π

3个单位而得到的,)4

sin(π-=x y 的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点向右平行移动

π

4个单位得到的。

注意:一般地,函数y x =+≠sin()()??0的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有的点

向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动||?个单位而得到的。 推广到一般有:

将函数y f x =()的图象沿x 轴方向平移||a 个单位后得到函数y f x a a =+≠()()0的图象。当a>0时向左平移,当a<0时向右平移。

2、函数图象的横向伸缩变换

如作函数y x =sin2及

y x

=sin 12的简图,并指出它们与y x =sin 图象间的关系。 解析:函数y x =sin2的周期T ==22ππ

,我们来作x ∈[]0,π时函数的简图。

设2x Z =,那么sin sin 2x Z =,当Z 取0、ππ

ππ22

32,,,时,所对应的五点是函数

y Z Z =∈sin [],,02π图象上起关键作用的五点,这里x Z =2,所以当x 取0、π4、πππ

234、、时,所对应的五点是函数y x x =∈sin []20,,π的图象上起关键作用的五点。

列表:

x 0 π

4

π

2

34π

π

2x

0 π

2

π

32π

sin 2x

1

-1

函数x y 2

1sin =的周期ππ42

12==T ,我们来作x ∈[]04,π时函数的简图。

列表:

x 0 π 2π

3π 4π 12x 0 π2

π

32

π

sin 12

x 0

1

-1

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出y x =sin2,x R ∈及

x y 2

1

sin

=,x R ∈的简图(图略)

。 从上图可以看出,在函数x y 2sin =的图象上横坐标为

2

0x (x R 0∈)的点的纵坐标同y x =sin 上横坐标为x 0的点的纵坐标相同(例如,当x 02=π时,sin()sin 2221

0?==x π

sin sin

x 021

==π

)。因此,y x =sin2的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1

2倍(纵坐标不变)而得到的。

类似地,

y x

=sin 12的图象可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的。

注意:一般地,函数y x =>≠sin ()ωωω01且的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有

点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当01<<ω时)到原来的1

ω倍(纵坐标不变)而得到的。

推广到一般有:

函数y f x =>≠()()ωωω01,的图象,可以看作是把函数y f x =()的图象上的点的横坐标

缩短(当ω>1)或伸长(当01<<ω)到原来的1

ω倍(纵坐标不变)而得到。

3、函数图象的纵向伸缩变换

如在同一坐标系中作出x y sin 2=及x y sin 2

1

=的简图,并指出它们的图象与y x =sin 的关系。

解析:函数y x =2sin 及x y sin 2

1

=的周期T =2π,我们先来作x ∈[]02,π时函数的简图。

列表:

x 0 π

2

π

32π

sinx 0 1

0 -1 0 2sinx

0 2 0 -2 0 1

2

sin x 0

12

-12

描点作图,如图:

利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到y x x R =∈2sin ,及

y x x R =

∈1

2sin ,的简图(图略)。

从上图可以看出,对于同一个x 值,y x =2sin 的图象上点的纵坐标等于y x =sin 的图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变),从而y x x R =∈2sin ,的值域为[-2,2],最大值为2,最小值为-2。

类似地,x y sin 2

1

=

的图象,

可以看作是把y x =sin 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的21倍(横坐标不变)而得到的,从而R x x y ∈=,sin 2

1

的值域是[-21,21],最大值为21,最小值

为-

12。

注意:对于函数y A x =sin (A>0且A ≠1)的图象,可以看作是把y x =sin 的图象上所有点

的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

y A x x R =∈sin ,的值域为[-A ,A ],最大值为A ,最小值为-A 。

推广到一般有:

函数y Af x =()(A>0且A ≠1)的图象,可以看作是把函数y f x =()图象上的点的纵坐标伸长(当A>1)或缩短(当0

4、函数y A x =+sin()ω?的图象

作函数y A x =+sin()ω?的图象主要有以下两种方法:

(1)用“五点法”作图

用“五点法”作y A x =+sin()ω?的简图,主要是通过变量代换,设z x =+ω?,由z 取0,

2π,π,2

,2π来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象。 (2)由函数y x =sin 的图象通过变换得到y A x =+sin()ω?的图象,有两种主要途径:“先

平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。 法一:先平移后伸缩 y x y x =?→???????=+>

()()

||向左或向右平移个单位

????00

横坐标变为原来的

纵坐标不变

1

ωω??→??????

?=+y x sin()

纵坐标变为原来的倍

横坐标不变A y A x ?→???????=+sin()

ω?

法二:先伸缩后平移

y x =?→??????

?sin 横坐标变为原来的

纵坐标不变

y x y x =?→???????=+>

()()||ωω????

ω向左或向右平移个单位

00

纵坐标变为原来的倍横坐标不变

A y A x ?→???????=+sin()

ω?

可以看出,前者平移||?个单位,后者平移|

|

?

ω个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对

变量x 而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则必然会出现错误。 当函数y A x =+sin()ω?(A>0,ω>0,x ∈+∞[)0,)表示一个振动量时,A 就表示这个

量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次所需要的时间

T =

ω,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数f T =

=

12ω

π,它叫做振动的频率;

ω?x +叫做相位,?叫做初相(即当x =0时的相位)。

三角函数图像变换

例1. 用两种方法将函数y x =sin 的图象变换为函数y x =+

sin()

23π

的图象。

分析1:x x x x →→+

=+

226

23()π

π

解法1:

y x

=?→

???????sin 横坐标缩短到原来的

纵坐标不变12 y x =?→

?????sin 26向左平移个单位π

y x x =+

=+

sin[()]sin()

26

23π

π

分析2:

x x x →+

→+

π

π

3

23

解法2:y x =?→?????sin 向左平移个单位

π

3

y x =+

?→???????

sin()

π

3

12横坐标缩短到原来的

纵坐标不变

y x =+

sin()

23π

点评:在解法1中,先伸缩,后平移;在解法2中,先平移,后伸缩,表面上看来,两种变换

方法中的平移是不同的(即6π和3π

),但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一

致的。 练习:

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

∴应选D

三角函数图像变换

x 轴交点中在原点右边最接近原点的交点,而在原点左边与x 轴交点中最

三角函数图像变换

三角函数图像变换

的图象.∴选D

例2. 用五点法作出函数)3

2sin(2π

+

=x y 的图象,并指出函数的单调区间。

分析:按五点作图法的要求找出五个点来,然后作图。 解析:(1)列表

列表时3

+

x 取值为0、

2π、π、2

3π、2π,再求出相应的x 值和y 值。

(2)描点

x

-

π

6

π

12

π

3

712π 56π 23

x +

π

0 π

2

π

32

π

y

2

-2

(3)用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示:

利用这类函数的周期性,我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展,得到)3

2sin(2π

+

=x y ,

x R ∈的简图(图略)。

可见在一个周期内,函数在[

12π,12

]上递减,又因函数的周期为π,所以函数的递减区间为)(Z k k k ∈??

???

?++,127,12

ππππ。同理,增区间为)(

Z k k k ∈??

???

?+,12,12

5-ππππ。 点评:五点法作图,要抓住要害,即抓住五个关键点,使函数式中的ω?x +取0、2π

、π、

2

3π、2π,然后求出相应的x ,y 值。

例3. 如图是函数y A x =+sin()ω?的图象,确定A 、ω、?的值。

解析:显然A =2

T =--=566ππ

π

() ∴===ωπππ222

T

∴=+y x 22sin()?

解法1:由图知当

x =-

π

6时,y =0

故有2260x +=?-+=?π?(),

∴=

3 ∴所求函数解析式为

y x =+

223sin()

π

解法2:由图象可知将y x =22sin 的图象向左移π

6

即得

y x =+226sin ()

π,即y x =+223sin()π

∴=

3

点评:求函数y A x =+sin()ω?的解析式难点在于确定初相?,一般可利用图象变换

例:4.试述如何由y =31

sin (2x +3π)的图象得到y =sin x 的图象。

解析:y =3

1

sin (2x +3π)

(纵坐标不变倍

横坐标扩大为原来的3

πsin 312+=?????????→?x y x y sin 313π

=????????→?纵坐标不变个单位图象向右平移

x y sin 3=?????????→?横坐标不变

纵坐标扩大到原来的

另法答案:

(1)先将y =31sin (2x +3π)的图象向右平移6π个单位,得y =3

1

sin2x 的图象;

(2)再将y =31sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y =31

sin x 的图象;

(3)再将y =3

1

sin x 图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到y =sin x 的

图象。

例5: 函数f(x)=Asin(ωx+)的图象如图2-15,试依图指出

三角函数图像变换

(1)f(x)的最小正周期;

(2)使f(x)=0的x 的取值集合; (3)使f(x)<0的x 的取值集合;

(4)f(x)的单调递增区间和递减区间; (5)求使f(x)取最小值的x 的集合; (6)图象的对称轴方程; (7)图象的对称中心.

解析: 这是一道依图象读出相应函数性质的典型例题,本身就是数形结合思想的体现,它根据f(x)=Asin(ωx+)的图象与函数y=sinx 的图象的关系得出.

三角函数图像变换

注:得出函数f(x)的最小正周期之后,研究f(x)的其他性质,总是先在包含锐角在内的一个周期中研究,再延伸到整个定义域中.

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

三角函数图像变换

注:实际上f(x)图象的对称轴方程为x=x 0,而其中x 0使f(x 0)=1或f(x 0)=-1

三角函数图像变换

注:f(x)的图象的对称中心为(x 0,0),其中x 0使f(x 0)=0

【说明】 这种依图读性的问题是提高数形结合能力的重要训练题,其中有两点要注意反思:①周期性在研究中的化简作用,②三角函数的“多对一”性.

练习:1.(13分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2)的部分

图象如图所示. (1)求函数f (x )的解析式;

(2)如何由函数y =2sin x 的图象通过适当的变换得到函数f (x )的图

象, 试写出变换过程. 解 (1)由图象知A =2.

f (x )的最小正周期T =4×???

?5π12-π6=π,故ω=2πT =2.

将点????π6,2代入f (x )的解析式,得sin ???

?π3+φ=1.

又|φ|<π2,∴φ=π6.

故函数f (x )的解析式为f (x )=2sin ???

?2x +π6.

(2)方法一 y =2sin x 6

??????

→π

向左平移个坐标

y =2sin ????x +π61

2???????→横坐标缩短为原来的纵坐标不变y =2sin ????2x +π6. 方法二 y =2sin x 1

2

???????→横坐标缩短为原来的

纵坐标不变

y =2sin 2x 2.(14分)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2,x ∈R )

的图象

的一部分如图所示 (1)求函数f (x )的解析式;

(2)当x ∈???

?-6,-23时,求函数y =f (x )+f (x +2)的最大值与最小值 及相应

的x 的值.

解 (1)由图象知A =2,T =8,

∵T =2πω=8,∴ω=π

4.

又图象过点(-1,0),∴2sin ???

?-π4+φ=0. ∵|φ|<π2,∴φ=π4.∴f (x )=2sin ???

?π4x +π4.

(2)y =f (x )+f (x +2)

=2sin ????π4x +π4+2sin ???

?π4x +π2+π4

=22sin ????π4x +π2=22cos π4x . ∵x ∈?

???-6,-23,∴-3π2≤π4x ≤-π6. ∴当π4x =-π6,即x =-2

3时,y =f (x )+f (x +2)取得最大值6; 当π

4x =-π,即x =-4时,y =f (x )+f (x +2)取得最小值-2 2.

易错分析 y =f (x )+f (x +2)化简错误,化简公式和方法不熟致误. 12

??????→π

向左平移个坐标

y =2sin ???

?2x +π6. 3.(14分)函数y =A sin(ωx +φ) (A >0,ω>0,|φ|<π

2)

的一段

图象如图所示.

(1)求函数y =f (x )的解析式;

(2)将函数y =f (x )的图象向右平移π

4个单位,得到y =g (x )的图象,求直线y =6与函数y =f (x )+g (x )的图象在(0,π)内所有交点的坐标. 解 (1)由题图知A =2,T =π,于是ω=2π

T =2,

将y =2sin 2x 的图象向左平移π

12个单位长度, 得y =2sin(2x +φ)的图象.

于是φ=2×π12=π6,∴f (x )=2sin ???

?2x +π6.

(2)依题意得g (x )=2sin ????2

????x -π4+π6 =-2cos ???

?2x +π6.

故y =f (x )+g (x )=2sin ????2x +π6-2cos ???

?2x +π6

=22sin ???

?2x -π12.

由22sin ????2x -π12=6,得sin ????2x -π12=32. ∵0

12. ∴2x -π12=π3或2x -π12=2π

3, ∴x =524π或x =38π,

∴所求交点坐标为????5π24,6或???

?3π8,6.

易错分析 f (x )向右平移π4个单位得g (x )=2sin ?? 2???

?x -π4

?

?+π

6,学生易错为

g (x )=2sin ???

?2x -π4+π6,忽略了x 的系数2的作用.

三角函数图像变换

一、选择题

1.将函数y =sin(x -π

3)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移π

3个单位,得到图象的解析式是( )

A .y =sin(2x +π

3) B .y =sin(12x -π

2) C .y =sin(12x -π

6) D .y =sin(2x -π

6)

[答案] C

[解析] 将函数y =sin(x -π

3)图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =sin(x 2-π3)的图象,再将所得函数图象向左平移π3个单位,得到函数y =sin[12(x +π3)-π3]=sin(x 2-π

6)的图象,故选C.

2.函数y =A sin(ωx +φ)在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为( )

三角函数图像变换

A .y =2sin(2x +2π

3) B .y =2sin(2x +π

3) C .y =2sin(x 2-π

3) D .y =2sin(2x -π

3)

[答案] A

[解析] 由图象可知,A =2,T =2[5π12-(-π

12)]=π,∴ω=2.∴y =2sin(2x +φ), 又∵2×(-π12)+φ=π

2, ∴φ=2π3,∴y =2sin(2x +2π3). 3.函数y =sin|x |的图象是( )

三角函数图像变换

[答案] B

[解析] 令f (x )=sin|x |,x ∈R , ∴f (-x )=sin|-x |=sin|x |=f (x ), ∴函数f (x )=sin|x |为偶函数,排除A ; 又当x =π2时,y =sin|π2|=sin π

2=1,排除D ;

当x =3π2时,y =sin|3π2|=sin 3π

2=-1,排除C ,故选B.

4.为了得到函数y =2sin ???

?x 3+π6,x ∈R 的图象,只需把函数y =2sin x ,x ∈R 的图象上所有的点( )

A .向左平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变) B .向右平移π6个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的1

3倍(纵坐标不变)

C .向左平移π

6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) D .向右平移π

6个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变) [答案] C

[解析] 将y =2sin x 的图象向左平移π6个单位得到y =2sin ????x +π6的图象,将y =2sin ???

?x +π6图象上

各点横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变),

则得到y =2sin ???

?13x +π6的图象,故选C.

二、填空题

5.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的最大值为3,最小正周期是2π7,初相是π

6,则这个函数的解析式为________.

[答案] y =3sin(7x +π

6)

[解析] 由题意,知A =3,ω=2πT =2π2π7

=7,φ=π

6,

∴y =3sin(7x +π

6).

6.函数f (x )=3sin ???

?2x -π3的图象为C ,如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).

①图象C 关于直线x =11π

12对称;

②图象C 关于点???

?2π3,0对称; ③函数f (x )在区间???

?-π12,5π12内是增函数; ④由y =3sin2x 的图象向右平移π

3个单位长度可以得到图象C . [答案] ①②③

[解析] f ???

?11π12=3sin 3π2=-3,①正确;

f ???

?2π3=3sinπ=0,②正确; f (x )的增区间为????k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ),令k =0得增区间????-π12,5π12,③正确; 由y =3sin2x 的图象向右平移π

6个单位长度可以得到图象C ,④错误. 三、解答题

7.已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π

2)的图象的一个最高点为(2,22),由这个最高点到相邻最低点,图象与x 轴交于点(6,0),试求这个函数的解析式.

[解析] 已知函数最高点为 (2,22),∴A =2 2.

又由题意知从最高点到相邻最低点,图象与x 轴相交于点(6,0),而最高点与此交点沿横轴方向的距离正好为14个周期长度,∴T

4=6-2=4,即T =16.

∴ω=2πT =π8.

∴y =22sin(π

8x +φ).

将点(6,0)的坐标代入,有22(π

8×6+φ)=0, ∴sin(3π

4+φ)=0, 又∵|φ|<π2,∴φ=π

4.

∴函数的解析式为y =22sin(π8x +π

4).

8.已知函数f (x )=2sin(2x +π

6)+a +1(其中a 为常数). (1)求f (x )的单调区间;

(2)若x ∈[0,π

2]时,f (x )的最大值为4,求a 的值; (3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合. [解析] (1)由-π2+2k π≤2x +π6≤π

2+2k π(k ∈Z ), 解得-π3+k π≤x ≤π

6+k π(k ∈Z ).

∴函数f (x )的单调增区间为[-π3+k π,π

6+k π](k ∈Z ). 由π2+2k π≤2x +π6≤3π

2+2k π,k ∈Z , 解得π6+k π≤x ≤2π

3+k π,k ∈Z .

∴函数f (x )的单调减区间为[π6+k π,2π

3+k π](k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π2,∴π6≤2x +π6≤7π

6, ∴-12≤sin(2x +π

6)≤1,

∴f (x )的最大值为2+a +1=4,

(3)当f (x )取最大值时,2x +π6=π

2+2k π,k ∈Z , ∴2x =π

3+2k π,k ∈Z ∴x =π

6+k π,k ∈Z . ∴当f (x )取最大值时,

x 的取值集合是{x |x =π

6+k π,k ∈Z }.

9.(2014·北京文,16)函数f (x )=3sin(2x +π

6)的部分图象如图所示.

三角函数图像变换

(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0、y 0的值; (2)求f (x )在区间[-π2,-π

12]上的最大值和最小值. [解析] (1)f (x )的最小正周期为2π

2=π. ∵(x 0,y 0)是最大值点,

令2x +π6=π2+2k π,k ∈Z ,结合图象得x 0=7π

6,y 0=3. (2)因为x ∈[-π2,-π

12], 所以2x +π6∈[-5π

6,0].

于是,当2x +π6=0,即x =-π

12时,f (x )取得最大值0; 当2x +π6=-π2,即x =-π

3时,f (x )取得最小值-3.

基础巩固

一、选择题

1.函数y =|cos x |的周期为( ) A .2π B .π C .π2

D .π4

[解析] 作出函数y =|cos x |的简图,

三角函数图像变换

由图象可知,函数y =|cos x |的周期为π.

2.(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)要得到函数g (x )=cos x 的图象,只需将f (x )=cos(x -π

4)的图象( )

A .向右平移π

8个单位长度 B .向左平移π

8个单位长度 C .向右平移π

4个单位长度 D .向左平移π

4个单位长度

[答案] D

[解析] 将f (x )=cos(x -π4)的图象向左平移π4个单位长度得到g (x )=cos[(x +π4)-π

4]=cos x ,故选D. 3.(2014·山东济南一中高一月考)函数y =cos2x 的图象( ) A .关于直线x =-π

4对称 B .关于直线x =-π

2对称 C .关于直线x =π

8对称 D .关于直线x =5π

4对称 [答案] B

[解析] 令2x =k π(k ∈Z ), 则x =k π

2,k ∈Z .

当k =-1时,x =-π

2,故选B.

4.已知函数y =2cos(ωx +φ)???

?0<φ<π2在一个周期内如图所示.设其周期为T ,则有( )

三角函数图像变换

A .T =6π5,φ=π

4 B .T =3π2,φ=π

4 C .T =3π,φ=-π

4 D .T =3π,φ=π

4

[答案] A

[解析] T 2=3π4-3π20=12π20=3π5,T =6π

5.

5.要得到函数y =cos(2x +1)的图象,只要将函数y =cos2x 的图象( ) A .向左平移1个单位 B .向右平移1个单位 C .向左平移1

2个单位 D .向右平移1

2个单位

[答案] C

[解析] 本题考查三角函数(余弦型函数)图象的平移问题.

∵y =cos(2x +1)=cos2(x +12),所以只须将y =cos2x 图象向左平移1

2个单位即可得到y =cos(2x +1)的图象.注意图象平移是对“x ”而言的.

6.设f (x )是定义域为R ,最小正周期为3π2的函数,若f (x )=?????

cos x ????-π2≤x ≤0sin x 0

A .1

B .22

C .0

D .-2

2

【答案】 B

【解析】 f ????-154π=f ????3π

2×-3+3π4

=f ????3π4=sin 3π4=22.

二、填空题

7.函数y =cos x

1+sin x 的定义域为________.

[答案] (-π2+2k π,π

2+2k π](k ∈Z )

[解析] 由已知得,?

????

1+sin x ≠0?sin x ≠-1

cos x ≥0,

结合正、余弦函数图象可知, -π2+2k π

2+2k π(k ∈Z ).

8.(2014·江西九江外国语高一月考)函数f (x )=cos(2x -π

6)+1的对称中心坐标为________. [答案] (π3+k π

2,1)k ∈Z

[解析] 令2x -π6=π

2+k π(k ∈Z ),

则x =π3+k π

2,k ∈Z .

故函数f (x )=cos(2x -π6)+1的对称中心坐标为(π3+k π

2,1)k ∈Z . 三、解答题

9.已知函数y =a -b cos x 的最大值是32,最小值是-1

2,求函数y =-4b sin ax 的最大值、最小值及最小正周期.

[解析] -1≤cos x ≤1,由题意知b ≠0. 当b >0时,-b ≤-b cos x ≤b , ∴a -b ≤a -b cos x ≤a +b .

∴??? a +b =3

2a -b =-1

2

,解得?????

a =12

b =1

.

∴y =-4b sin ax =-4sin 1

2x ,

最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π. 当b <0时,b ≤-b cos x ≤-b , ∴a +b ≤a -b cos x ≤a -b .

∴???

a -

b =32

a +

b =-1

2

,解得?????

a =12

b =-1

.

∴y =-4b sin ax =4sin 1

2x ,最大值为4,最小值为-4,最小正周期为4π.

能力拓展

一、选择题

1.函数y =lncos x (-π2

2)的图象是( )

三角函数图像变换

[答案] A

[解析] 由y =lncos x (-π2

2<0,故选A. 2.已知函数y =A sin(ωx +φ)+b 的图象如图所示,则常数A 、ω、φ、b 的取值是( )

三角函数图像变换

A .A =6,ω=12,φ=π

3,b =-2 B .A =-4,ω=12,φ=π

3,b =-2 C .A =4,ω=2,φ=π

3,b =2 D .A =4,ω=12,φ=π

3,b =2

[答案] D

[解析] ∵最大值与最小值的差=6-(-2)=8, ∴A =4.又∵周期T =10π3-????

-2π3=4π,

∴ω=2πT =2π4π=1

2,且b =6+-22

=2, ∴y =4sin ???

?12x +φ+2. 由题意知A 、B 、C 、D 四个选项中φ都等于π

3,故选D.

3.已知f (x )是定义在(-3,3)上的奇函数,当0

相关文档
  • 三角函数图像三种变换

  • 三角函数图像变换

  • 三角函数图像及其变换