2018年中国东南地区数学奥林匹克试题及参考答案

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克竞赛

高一（第一天）

高一（第二天）

2018年第15届中国东南地区数学奥林匹克竞赛

高二（第一天）

高二（第二天）

历届东南数学奥林匹克试题

目录 2004年东南数学奥林匹克 (2) 2005年东南数学奥林匹克 (4) 2006年东南数学奥林匹克 (6) 2007年东南数学奥林匹克 (9) 2008年东南数学奥林匹克 (11) 2009年东南数学奥林匹克 (14) 2010年东南数学奥林匹克 (16) 2011年东南数学奥林匹克 (18) 2012年东南数学奥林匹克 (20)

2004年东南数学奥林匹克 1.设实数a、b、c满足a2+2b2+3c2=32，求证：3?a+9?b+27?c≥1. 2.设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作 一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N.如果DE=DF，求证：DM=DN. 3.(1)是否存在正整数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. (2)是否存在正无理数的无穷数列{a n}，使得对任意的正整数n都有 a n+12≥2a n a n+2. 4.给定大于2004的正整数n，将1,2,3,?,n2分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数.如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”.求棋盘中“优格”个数的最大值. 5.已知不等式√2(2a+3)ccc(θ?π4)+6ssnθ+ccsθ?2csn2θ<3a+ 6对于θ∈?0,π2?恒成立，求a的取值范围. 6.设点D为等腰△ABC的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的 圆在△ABC内的弧上一点，过B、D、F三点的元与边AB交于点E.求证：CD?EE+DE?AE=AD?AE. 7.N支球队要矩形主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有 一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进

第十届中国东南地区数学奥林匹克试题解答

第十届东南数学奥林匹克解答 第一天 (2013年7月27日 上午8：00－12：00) 江西 鹰潭 1. 实数,a b 使得方程3 2 0x ax bx a -+-=有三个正实根．求32331 a a b a b -++的 最小值． （杨晓鸣提供） 解 设方程320x ax bx a -+-=的三个正实根分别为123,,x x x ，则由根与系数的关系可得 123122313123,,x x x a x x x x x x b x x x a ++=++==， 故0,0a b >>． 由2123122313()3()x x x x x x x x x ++≥++知：23a b ≥． 又由123a x x x =++≥= a ≥ 32331a ab a b -++23(3)31 a a b a a b -++= +332333113 a a a a a a b ++≥≥=≥++ 当9a b == 综上所述，所求的最小值为． 2. 如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆I 与BC 边切于点D ，AD 交内切圆I 于另一点E ，圆I 的切线EP 交BC 的延长线于点P ，CF 平行PE 交AD 于点 F ，直线BF 交圆I 于点,M N ，点M 在线段BF 上，线段PM 与圆I 交于另一 点Q ．证明：ENP ENQ ∠=∠． （张鹏程提供） 证法1 设圆I 与,AC AB 分别切于点,S T 联结,,ST AI IT ，设ST 与AI 交 于点G ，则,I T A T T G A I ⊥⊥，从而有2AG AI AT AD AE ?==?，所以,,,I G E D 四点共圆． 又,IE PE ID PD ⊥⊥，所以,,,I E P D 四点共圆，从而,,,,I G E P D 五点共圆． 所以90IGP IEP ∠=∠=，即IG PG ⊥ ，

2004年首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛考试试题

首届中国东南地区数学奥林匹克竞赛试题 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一年级试题答案及评析

1．求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有2()(1)(1)a b ab b kab +++≥． 2．如图，两圆1Γ，2Γ交于A ，B 两点，C ，D 为1Γ上两点，E ，F 为2Γ上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交．设CF 与1Γ，2Γ分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1Γ，2Γ分别交于点()M D ≠，()N E ≠． 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等． 3．函数**:f →N N 满足：对任意正整数a ，b ，均有()f ab 整除(){} max ,f a b ．是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论． 4．将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示． 现有一个固定放置的918?方格表．若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由．

5．称集合{1928,1929,1930,,1949}S =的一个子集M 为“红色”的子集，若M 中任意两个不同的元素之和均不被4整除．用x ，y 分别表示S 的红色的四元子集的个数，红色的五元子集的个数．试比较x ，y 的大小，并说明理由． 6．设a ，b ，c 为给定的三角形的三边长．若正实数x ，y ，y 满足1x y z ++=，求axy byz czx ++的最大值． 7．设ABCD 为平面内给定的凸四边形．证明：存在一条直线上的四个不同的点P ，Q ，R ，S 和一个正方形A B C D ''''，使得点P 在直线AB 与A B ''上，点Q 在直线BC 与B C ''上，点R 在直线CD 与C D ''上，点S 在直线DA 与D A ''上． 8．对于正整数1x >，定义集合()(){},,,mod 2x p S p p x p x v x αααα=≡为的素因子为非负数且，其中()p v x 表示x 的标准分解式中素因子p 的次数，并记()f x 为x S 中所有元素之和．约定()11f =． 今给定正整数m ．设正整数数列1a ，2a ，，n a ，满足：对任意整数n m >，()()(){}11max ,1,,n n n n m a f a f a f a m +??=++． （1）证明：存在常数A ，B ()01A <<， 使得当正整数x 有至少两个不同的素因子时，必有()f x Ax B <+； （2）证明：存在正整数Q ，使得对所有*n ∈N ，n a Q <． 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 参考答案 1．原不等式 ()() 2221(1)a b b a b b kab ?++++≥ ()221(1)b ab b b kb a ???++++≥ ?? ? 单独考虑左边，左边可以看成是一个a 的函数、b 为参数，那么关于a 取最小值的时候有 ()()2231(1)1(1)(1)b ab b b b b b a ????++++≥++=+ ? ? ????? 于是我们只需要取32(1)k b b ?≤+即可．

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

2009第六届中国东南地区数学奥林匹克试题及解答

第六届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2009年7月28日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 1. 试求满足方程2221262009x xy y -+=的所有整数对(,)x y 。 2. 在凸五边形ABCDE 中，已知AB =DE 、BC =EA 、AB EA ≠，且B 、C 、D 、E 四点共圆。证明：A 、B 、C 、D 四点共圆的充分必要条件是AC =AD 。 3. 设,,x y z R +∈，222(), (), ()a x y z b y z x c z x y =-=-=-。求证： 2222()a b c ab bc ca ++≥++。 4. 在一个圆周上给定十二个红点；求n 的最小值，使得存在以红点为顶点的n 个三角形，满足：以红点为端点的每条弦，都是其中某个三角形的一条边。 第二天 （2009年7月29日 上午8：00－12：00） 江西·南昌 5. 设1、2、3、…、9的所有排列129(,,,)X x x x = 的集合为A ；X A ?∈，记 1239()239f X x x x x =++++ ，{()}M f X X A =∈；求M 。(其中M 表示集合M 的元素个数) 6. 已知O 、I 分别是ABC ?的外接圆和内切圆。证明：过O 上的任意一点D ，都可以作一个三角形DEF ，使得O 、I 分别是DEF ?的外接圆和内切圆。 7. 设(2)(2)(2) (,,)131313x y z y z x z x y f x y z x y y z z x ---= ++++++++， 其中,,0x y z ≥ ，且 1x y z ++=。求(,,)f x y z 的最大值和最小值。 8. 在8×8方格表中，最少需要挖去几个小方格，才能使得无法从剩余的方格表中裁剪出一片形状如下完整的T 型五方连块？ F E I O B C A D

首届中国东南地区数学奥林匹克(有答案)

首届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州） 一、设实数a 、b 、c 满足2 2 2 3232 a b c ++= ，求证：39271a b c ---++≥ 二、设D 是ABC ?的边BC 上的一点，点P 在线段AD 上，过点D 作一直线分别与线段AB 、 PB 交于点M 、E ，与线段AC 、PC 的延长线交于点F 、N 。如果DE=DF ， 求证：DM=DN 三、（1）是否存在正整数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2 122n n n a a a ++≥。 （2）是否存在正无理数的无穷数列{}n a ，使得对任意的正整数n 都有2122n n n a a a ++≥。 四、给定大于2004的正整数n ，将1、2、3、…、2 n 分别填入n ×n 棋盘（由n 行n 列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。 第二天 （2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州） 五、已知不等式63)cos()2sin 2364 sin cos a a π θθθθ+- + -<++对于0,2πθ?? ∈?? ?? 恒成立，求a 的取值范围。 六、设点D 为等腰ABC ?的底边BC 上一点，F 为过A 、D 、C 三点的圆在ABC ?内的弧上一点，过B 、D 、F 三点的圆与边AB 交于点E 。求证：CD EF DF AE BD AF ?+?=? 七、n 支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n 的最大值。 注：A 、B 两队在A 方场地举行的比赛，称为A 的主场比赛，B 的客场比赛。 八、求满足 0x y y z z u x y y z z u ---++>+++，且110x y z u ≤≤、、、的所有四元有序整数组（,,,x y z u ）的个数。

2018年第十五届东南地区数学奥林匹克试题

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第一天（2018年7月30日8:00-12:00） 高一年级试卷 1. 设c 是实数,若存在[]1,2x ∈,使得max ,25c c x x x x ? ?+++≥???? ．求c 的取值范围．这里{}max ,a b 表示实数a 、b 中的较大者． 2. 在平面直角坐标系中,若某点的横坐标与纵坐标均为有理数,则称该点为有理点,否则称之为无理点．在平面直角坐标系中任作一个五边形,在它的五个顶点中,有理点和无理点哪个多？请证明你的结论． 3. 锐角ABC △内接于⊙O ()AB AC <,BAC ∠的平分线于BC 相交于点T ,AT 的中点是M ,点P 在ABC △内,满足PB PC ⊥．过P 作AP 的垂线,D 、E 是该垂线上不同于P 的两点,满足BD BP =,CE CP =．若直线AO 平分线段DE ．证明：直线AO 与AMP △的外接圆相切． 4. 是否存在集合*A N ?,使得对每个正整数n ,{},2,3,,15A n n n n ?恰含有一个元素？证明你的结论．

The 15th China Southeast Mathematical Olympiad 福建，泉州 第二天（2018年7月31日8:00-12:00） 高一年级试卷 5. 设{}n a 为非负实数列．定义21k k i i X a ==∑,212k k k i i Y a i =??=???? ∑,1,2, k =．证明：对任意正整数n ,有100n n n n i i i i X Y Y X ?==≤? ≤∑∑．这里,[]x 表示不超过实数x 的最大整数． 6. 在ABC △中,AB AC =,⊙O 的圆心是边BC 的中点,且与AB 、AC 分别相切于点E 、F ．点G 在⊙O 上,使得AG EG ⊥,过G 作⊙O 的切线,与AC 相交于点K ．证明：直线BK 平分线段EF ． 7. 一次会议共有24人参加,每两人之间或者握手一次,或者不握手．会议结束后发现,总共出现了216次握手,且任意握过手的两个人P 、Q ,在剩下的22人中,恰与P 、Q 之一握过手的不超过10人．一个朋友圈指的是会议中3个两两之间握过手的人所构成的集合．求这24个人中朋友圈个数的最小可能值． 8. 设m 为给定的正整数,对正整数l ,记()()()()4142451m l A l l l =+?+? ?+．证明：存在无穷多个正整数l ,使得55 m l l A 且515m l +不整除l A ．并求出满足条件的l 的最小值．

2019年第十六届中国东南地区数学奥林匹克高一试题

第十六届中国东南地区数学奥林匹克 1. 求最大的实数k ，使得对任意正数a ，b ，均有()()()2 11a b ab b kab +++≥. 2. 如图，两圆1P ，2P 交于A ，B 两点，C ，D 为1P 上两点，E ，F 为2P 上两点，满足A ，B 分别在线段CE ，DF 内，且线段CE ，DF 不相交.设CF 与1P ，2P 分别交于点()K C ≠，()L F ≠，DE 与1P ，2P 分别交于点()M D ≠，()N E ≠. 证明：若ALM ?的外接圆与BKN ?的外接圆相切，则这两个外接圆的半径相等. 3. 函数:f N N **→满足：对任意正整数a ，b 均有()f ab 整除(){} max ,f a b .是否一定存在无穷多个正整数k ；使得()1f k =？证明你的结论. 4. 将一个25?方格表按照水平方向或者竖直方向放置，然后去掉其四个角上的任意一个小方格，剩下由9个小方格组成的八种不同图形皆称为“五四旌旗”，或“八一旌旗”，简称为“旌旗”，如图所示. 现有一个固定放置的918?方格表.若用18面上述旌旗将其完全覆盖，问共有多少种不同的覆盖方案？说明理由. 第十六届中国东南地区数学奥林匹克 江西g 吉安 高二年级 第一天

2019年7月30日 上午8:00-12:00 1. 对任意实数a ，用[]a 表示不超过a 的最大整数，记{}[] a a a =-.是否存在正整数m ，n 及1n +个实数0x ，1x ，…，n x ，使得0428x =，1928n x =， 110105k k k x x x m +????=++???????? (0k =，1，…，1n -)成立？证明你的结论. 2. 如图，在平行四边形中ABCD ，90BAD ∠≠?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E ，F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD ，CD 的延长线分别相交于点M ，N ，直线EN ，FM 相交于点G ，直线AG ，ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点()P N ≠，直线MF 与圆B 相交于点()Q F ≠.证明：G ，P ，T ，Q 四点共圆. 3. 今有n 人排成一行，自左至右按1，2，…，n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再次按1，2，3，…的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用()f n 表示最后一个退出队伍的人在最初报数时的序号.求()f n 的表达式(用n 表示)；特别地，给出()2019f 的值. 4. 在55?矩阵X 中，每个元素为0或1.用,i j x 表示中第行第列的元素(，，…，).考虑的所有行、列及对角线上的元有序数组(共个数组)： （,1i x ，,2i x ，...，,5i x ），（,5i x ，,4i x ，...，,1i x ，）（1i =，2， (5) （1,j x ，2,j x ，...，5,j x ），（5,j x ，4,j x ，...，1,j x ）（1j =，2， (5) （1,1x ，2,2x ，…，5,5x ，），（5,5x ，4,4x ，…，1,1x ）， （1,5x ，2,4x ，…，5,1x ），（5,1x ，4,2x ，…，1,5x ）. 若这些数组两两不同，求矩阵X 中所有元素之和的可能值.

2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第2届中国东南地区数学奥林匹克 第1天 （2005年7月13日8：00～12：00 福州） 1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都 落在一条抛物在线。 （2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根的取 值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。 3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一 个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。 4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。 第2天 （2005年7月14日8：00～12：00福州） 5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。 6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ， （12...()n a a a P A n +++=）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B 是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。 （2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+1n a += 12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2 π αβγ<< ，且3 3 3 s i n s i n s i n 1αβγ+ += ， 求证：2 2 2 tan tan tan 2 αβγ++≥

历届数学奥林匹克参赛名单

1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计 国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。 我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。 2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名） 陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、 佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中） --------------------------------------------------------- 历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为： 年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数 1959 1 罗马尼亚罗马尼亚7 1960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克5 1961 3 匈牙利匈牙利 6 1962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利7 1963 5 波兰前苏联8 1964 6 前苏联前苏联9 1965 7 前东德前苏联8 1966 8 保加利亚前苏联9 1967 9 前南斯拉夫前苏联13 1968 10 前苏联前东德12 1969 11 罗马尼亚匈牙利14 1970 12 匈牙利匈牙利14 1971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利15 1972 14 波兰前苏联14 1973 15 前苏联前苏联16 1974 16 前东德前苏联18 1975 17 保加利亚匈牙利17 1976 18 澳大利亚前苏联19

第十六届东南地区数学奥林匹克(高二年级)

第一天 1.对任意实数a ，用[a ]表示不超过a 的最大整数，记{a }=a ?[a ]. 是否存在正整数m,n 及n +1个实数x 0,x 1,...,x n ，使得 x 0=428,x n =1928,x k +110=[x k 10]+m +{x k 5 }(k =0,1,···,n ?1)成立？证明你的结论. 2.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD =90?，以B 为圆心，BA 为半径的圆与AB ，CB 的延长线分别相交于点E,F ，以D 为圆心，DA 为半径的圆与AD,CD 的延长线交于点M,N ，直线EN,F M 相交于点G ，直线AG,ME 相交于点T ，直线EN 与圆D 相交于点P (=N )，直线MF 与圆B 相交于点Q (=F )，证明：G,P,T,Q 四点共圆. 3.今有n 人排成一行，自左至右按1,2,···,n 的顺序报数，凡序号为平方数者退出队伍；剩下的人自左至右再按1,2,3,···的顺序重新报数，凡序号为平方数者退出队伍；如此继续.在此过程中，每个人都将先后从队伍中退出. 用f (n )表示最后一个退出队伍的人在最初报数是的序号.求f (n )的表达式（用n 表示）；特别地，给出f (2019)的值. 4.在5×5矩阵X 中,每个元素为0或1.用x i,j 表示X 中第i 行第j 列的元素(i,j =1,2,···,5).考虑X 的所有行、列及对角线上的五元有序数组(共24个数组)： (x i,1,x i,2,...,x i,5),(x i,5,x i,4,...,x i,1)(i =1,2, (5) (x 1,j ,x 2,j ,...,x 5,j ),(x 5,j ,x 4,j ,...,x 1,j )(j =1,2, (5) (x 1,1,x 2,2,···,x 5,5),(x 5,5,x 4,4,···,x 1,1) (x 1,5,x 2,4,···,x 5,1),(x 5,1,x 4,2,···,x 1,5) 若这些数组两两不同，求矩阵X 所有元素之和的可能值.

2007年第4届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第四届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2007年7月27日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 一、 试求实数a 的个数，使得对于每个a ，关于x 的三次方程31x ax a =++都 有满足1000x <的偶数根。 二、 如图，设C 、D 是以O 为圆心、AB 为直 径的半圆上的任意两点，过点B 作O e 的切线交直线CD 交于P ，直线PO 与直线CA 、AD 分别交于点E 、F 。证明：OE =OF 。 三、 设*min i i a k k N k ?? =+∈???? ，试求 [][]2212n n S a a a ??=+++??L 的值，其中 []2, n x ≥表示不超过x 的最大整数。 四、 求最小的正整数n ，使得对于满足条件1 2007n i i a ==∑的任一具有n 项的正整 数数列12,,,n a a a L ，其中必有连续的若干项之和等于30。 第 二 天 （2007年7月28日， 8：00－12：00， 浙江g 镇海） 五、 设函数()f x 满足：()()121f x f x x +-=+(x R ∈)，且当[]0,1x ∈时有 ()1f x ≤，证明：当x R ∈时，有()22f x x ≤+。 六、 如图，直角三角形ABC 中，D 是斜边AB 的 中点，MB AB ⊥，MD 交AC 于N ；MC 的延长线交AB 于E 。证明：DBN BCE ∠=∠。 七、 试求满足下列条件的三元数组(a , b , c )： (i) a

2011第八届中国东南地区数学奥林匹克解答

第八届中国东南地区数学奥林匹克 （试题参考解答 宁波·北仑2011年7月） 第一天 1. 已知31 min 2 2=++∈x b ax R x . （1）求b 的取值范围； （2）对给定的b ,求a ． （卢兴江供题） 解法1 记1 )(2 2++= x b ax x f . 由b f =)0(知，3≥b ，且易知0>a . （i ）当02≥-a b 时， 3)(21 11 )(2 22 2=-≥+-+ +=++= a b a x a b x a x b ax x f 等号当1 122 +-=+x a b x a 时，即a a b x 2-± =时取到 此时，a =3=b 时，23=a （ii ）当02<-a b 时，令)1(12≥=+t t x t a b at t g x f -+ ==)()( 当1≥t 时单调增加，所以 min ()(1)3x R f x g a b a b ∈==+-==，此时23 >a 综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞ （2）当3=b 时，23≥a ；当3>b 时，a = 解法2 设1 )(2 2++= x b ax x f . 因为31 min 2 2=++∈x b ax R x ，且b f =)0(，所以3≥b 易知0>a ，2 /322) 1()2()('+-- = x a a b x ax x f ，

（i ）当02≤-a b 时，令0)('=x f 得00=x ，且有 0x 时，'()0f x >。所以(0)f b =为最小值 所以3=b 即○13=b ，○22 b a ≥ （ii ）当02>-a b 时，令0)('=x f 得00=x ，a a b x 22,1-± = 此时易知b f =)0(不是最小值3>?b ，)(2,1x f 为最小值 3122)(2,1=+-+-? = a a b b a a b a x f 3)(2=-?a b a ?0492 =+-ab a ?a = 即○13>b ，○ 22 b a = 综上所述：（1）b 的取值范围是),3[+∞ （2）当3=b 时，23≥a ；当3>b 时，2 b a -= 2. 已知,,a b c 为两两互质的正整数，且)(,)(,)(3 32332332b a c c a b c b a +++， 求,,a b c 的值． （杨晓鸣供题） 解答 由题设可得到：)(,)(,)(3 33233323332c b a c c b a b c b a a ++++++，又因 为,,a b c 两两互质，所以)(3 33222c b a c b a ++。 不妨设c b a ≥≥，所以 3 32 22 22 3 3 3 3 c b a c b a c b a a ≥?≥++≥

第二届中国东南地区数学奥林匹克

第二届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2005年7月10日8：00－12：00福州） 一、（1）设R a ∈，求证抛物线()1222 +-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都落在一条抛物线上. （2）若关于x 的方程()01222 =+-++a x a x 有两个不等的实根，求其较大根的取值范围.（吴伟朝供题） 二、如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作l OP ⊥，P 为垂足.设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条不同的切线QA 和QB ，A 和B 为切点， AB 与OP 相交于点K .过点P 作QB PM ⊥， QA PN ⊥，M 和N 为垂足. 求证：直线MN 平分线段KP .（裘宗沪供题）

三、设n 是正整数，集合{}n M 2,,2,1???=.求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一个k 元子集， 其中必有4个互不相同的元素之和等于14+n .（张鹏程，李迅供题） 四、试求满足20052 22=++c b a ，且c b a ≤≤的所有三元正整数组()c b a ,,.（陶平生供题）

第二天 （2005年7月11日，8：00－12：00，福州） 五、已知直线l 与单位圆S 相切于点P ， 点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的 距离为)2(>h h ，从点A 作S 的两条 切线，分别与l 交于C B ,两点.求线 段PB 与线段PC 的长度之乘积. （冷岗松，司林供题） 六、将数集},...,,{21n a a a A =中所有元素的算术平均值记为)(A P ，（n a a a A P n +++=...)(21）.若B 是A 的非空子集，且)()(A P B P =，则称B 是A 的一个“均衡子集”. 试求数集}9,8,7,6,5,4,3,2,1{=M 的所有“均衡子集”的个数.（陶平生供题）

中国东南地区数学奥林匹克冬令营赛前培训测试题C

测试题C （陶终生供题） 学校 姓名 营员证号 一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面BCD 切于F ， 证明：∠AEB=∠CFD. 二、如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3分别外切⊙O 于A 1、B 1、C 1，同时前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切. 求证：三条直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点. 三、设实数a ≥b ≥c ≥d ＞0，求函数 )1)(1)(1)(1(),,,(a d b d c a c b d b a c d c b a f ++++++++ =的最小值. 四、n 个白子○A 与n 个黑子○B （n ≥3），依次不留间隙地排成一行：○ A ○A ……○A ○ B ○B ……○B ，现作如下操作：每次将相邻的两子取出（并保持此两子的先后次序），放在其它棋子旁的空位上（仍在同一行）. 证明：通过n 次如此的操作，可使它们排成黑白相间的一行，且不留间隙. （附：当n=3时，操作如图所示） 初始状态 ○A ○A ○A ○B ○B ○B 第一次操作后 ○ A ○ B ○B ○B ○A ○A 第二次操作后 ○A ○B ○B ○A ○B ○A 第三次操作后 ○B ○A ○B ○A ○B ○A

测试题C 解答 （陶终生供题） 学校 姓名 营员证号 一、四面体ABCD ，它的内切球O 与面ABD 切于E ，与面 BCD 切于F ， 证明：∠AEB=∠CFD. 证明：为叙述方便，将内切球 O 在面 ,,,BCD ACD ABD ABC 上的切点分别改记为0000,,,A B C D ，因此，00,E C F A ==，设球O 的半径为r , 棱BD ⊥面00OA C ，设垂足为P ，则 000C P A P C P ===， 因为 00,A P BD C P BD ⊥⊥， 则 00,BA BC = 00DA DC =，故0BA D 0BC D ?，因此 00BA D BC D ∠=∠，即是说，棱BD 关于两相 邻面上切点的张角相等.其它棱的情形与此类似。 在ABD 中，设000,,AC B BC D AC D αβγ∠=∠=∠=，则 0 360αβγ++=○ 1 因此，000,,AD B BA C AB D αβγ∠=∠=∠= 在BCD 中，设0101,CA D BA C αγ∠=∠=，因为 0BA D β∠=，因此 11360αβγ++=，因此 11αγαγ +=+○ 2 在ABC 中，00,AD B AC B α∠=∠=001BD C BA C γ∠=∠=，设 02AD C β∠=， 则 0 21360 αβγ++=○ 3 在ACD 中，02AB C β∠=，010,,CB D AB D αγ∠=∠= 则 0 12360 αβγ++=○ 4 ○ 3+○4得，()()0 1122720αγαγβ++++=，据此及○2得， ()0222720αγβ++=，因此 0 2360αγβ++=○ 5 由 ○1、○5得，2ββ= 故○4式化为 01360αβγ++=……○6

第八届中国东南地区数学奥林匹克试题

第八届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2011年7月27日上午8: 00 —12: 00）宁波?北仑 2 b 一、已知min ax 3 xR TTV 1求b的取值范围 2对给定的b,求a.卢兴江供题 二、已知正整数a、b、c两两互质，且a2b3c3,b2a3c3,c2a3b3,求a、 b、c的值。杨晓鸣供题 三、求所有正整数n,使得集M 1,2,3, ,50的任意一个35元子集，至少存在两个 不同元素a、b,使得a b n或a b n.李胜宏供题 四、如图，过ABC外心O任作直线MN交AB于M、交AC于N。若E、F分别为BN、CM中点, 证明：A EOF 陶平生供题 M N F E

第八届中国东南地区数学奥林匹克 第二天 （2011年7月28日上午8: 00 —12: 00）宁波?北仑 五、△ABC中，A% BB0、CC0是其三条角平分线，分别交BC、CA、AB于代、B。、C。。自A0作A0A//BB0,A0A2〃CC0,A、A2分别在AC、AB上,类似得到 B,、B2?设AA2 BC A3类似地得到B3、C3。证明：人、B3、C3三点共线。 陶平生供题 六、设R i 1,2,..., n为平面上n个顶点，M为此平面内线段AB上任一点，记AB 为平面上A、B两点之间的距离。 n n n 证明：R i M max RA, R i B .金蒙伟供题 i 1 i 1 i 1 七、设数列a n满足：a1a21,a n7a n 1a n 2n 3。 证明：n N , a n 2 a. 1皆为元全平方数。陶平生供题 八、把时钟盘面上的标号为1,2, ,2的12个点染上红、黄、蓝、绿四色，每色三个点，现在以这些点为顶点构作n个凸四边形，使得它们满足： 1每个凸四边形四个顶点颜色各不相同。 2对其中任意三个四边形，都存在某一种颜色，使得染有该颜色的三个点所标数字互不相同。 试求n最大值陶平生供题

2010年东南地区数学奥林匹克

Southeast Mathematical Olympiad 2010 第一天 2010/08/17 08:00-12:00 台湾 彰化 鹿港高中 1. 设a 、b 、c {}0,1,2,,9∈?，若二次方程20ax bx c ++=有有理根，证明：三位数abc 不是素数。 2. 对于集合{}12,,,m A a a a =?，记12()m P A a a a =?。设1A 、2A 、…、99 2010 ()n A n C =是集合{}1,2,,2010?的所有99元子集，求证:1 2011()n i i P A =∑。 3. 如图，已知△ABC 内切圆I 分别与边AB 、BC 相于点F 、D ，直线AD 、CF 分别交圆I 于另一点H 、K 。求证： 3FD HK FH DK ×=×。 4. 设正整数a 、b 满足1100a b ≤<≤，若存在正整数k ，使得()k k ab a b +，则称数对（a , b ）是“好的”。求所有“好的”数对的个数。

Southeast Mathematical Olympiad 2010 第二天 2010/08/18 08:00-12:00 台湾 彰化 鹿港高中 5. 如图，三角形ABC 为直角三角形，90ACB ∠=°。1M 、2M 为△ABC 内任意两点，M 为线段12M M 的中点，直线1BM 、2BM 、BM 与AC 边分别交于点1N 、2N 、N 。求证： 1122122M N M N MN BM BM BM +≥。 6. 设N ?为正整数集合，定义：12a =， 1121111 min{|1,N },1,2,n n a n a a a λλλ ?+=++++<∈=??。 求证：2 11n n n a a a +=?+。 7. 设n 是一个正整数，实数1a 、2a 、…、n a 和1r 、2r 、…、n r 满足：12n a a a ≤≤≤? 和120n r r r ≤≤≤≤?，求证： 11 min(,)0n n i j i j i j a a r r ==≥∑∑。 8. 在一个圆周上给定8个点1A 、2A 、…、8A 。求最小的正整数n ，使得以这8个点为顶点的任意n 个三角形中，必存在两个有公共边的三角形。 M N C B A 1 N 1M 2 N 2M

第七届中国东南地区数学奥林匹克

2010年第12期 第七届中国东南地区数学奥林匹克 中圈分类号：C-424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2010)12—0029—04 第一天 1．设口、b、c∈{0，1，…，9)．若二次方程 a,x2+h+c=0有有理根，证明：三位数abc不 是质数．(张鹏程供题) 2．对于集合A={口。，a2，…，口。)，记 P(A)=口l口2…口。。设A l，A2，…，A。n=c凳l o) 是集合(1，2，…，2010)的所有99元子集． 求证：2011l∑P(A i)．(叶永南供题) 3．如图1，已． 知△A B C内切圆 o，分别与边A B、 B C切于点F、D， 直线A D、C F分别 与O，交于另一点日、K．求证： FD H K，． FH．D K—J‘ 图l (熊斌供题) 4．设正整数a,b满足1≤D