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近世代数 第8讲

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近世代数 第8讲

第8 讲

§5 变换群(Transformation group) (2课时)

本讲的教学目的和要求:在本讲中我们将进一步熟悉另一种重要理论意义的群─变换群。变换群的重要特点在于,一方面可以说它是一种非常具体的群。它的元素都具有明确的具体的意义,从而使得元素之间的运算方法也有相当明确的具体的意义;另一方面,这种非常具体的群具有普遍的意义:它代表了一切可能的群,这一点是靠凯莱定理来完成的。因此,要求:

1、理解什么是变换群;变换群的理论意义。

2、凯莱定理的内容以及定理的证明过程。

本讲的重点和难点:研究一种代数体系就是要解决这种代数体系的下面三个问题:存在问题;数量问题以及结构问题。如果这些问题都得到完满的解答就算达到了目的。关于数量问题,指的是彼此不同构的代数体系的数量,因为同构的代数体系抽象地看可以认为是相同的代数体系。

凯莱定理告诉我们,如果将所有变换群都研究清楚了,也就等于把所有群都研究清楚了,无论是否如此简单,但至少从理论上知道凯莱定理的重要性。故此,本讲中自然以凯来定理为重点,而其难点是有下列二个方面:

(1)通过教材中定理1、定理2的论述对变换以及

有关性质有一个清醒的认识。

(2)撑握凯来定理(定理3)的证明手法。

注意:本讲的教材在对映射的表示形式上有所改变:

)(:x x x ττ= 将改成:.:ττx x x = 也就是说,过去我们的记法 “)(x τ”将变为“τx ”于是要当心:τλλτλττλ)())(())((x x x x =→= 用教材的话是说:当

B A →:τ是映射时,

用“)(a τ”. 当A A →:τ是变换时,使用“τa ”.

一、变换群的概念和基本性质

(1) 集合A 的变换和表示形式

定义1 设A 是一个非空集合,若τ是到A 的任一子映射.:A A →τ那就称τ是A 的一个变换(注:这个定义在第一章中曾出现过).在表示形式方面,若':a a τ,现将')(a a =τ改写为'a a =τ.这样一改,在变换的合成方面,尤其要注意:如果21,ττ都是A 的变换,那么21ττ也显然是的变换,并且这时要注意:":21a a →ττ应该是1212)("ττττa a a ==(而过去是写成:))(()(2121a a ττττ=在合成的表示形式上,要习惯这种改变.

例1. 设=A {1,2}.现取出A 的几个变换

12,21:1 τ (即 12,111

1==ττ ) 22,21:2 τ (即

22,2122==ττ) 22,11:3 τ (即 22,1133==ττ)

12,21:4 τ (即 12,2144==ττ)

可以看出.4321,,,ττττ是A 的全部变换.其中3τ和4τ是双射.并且3τ是恒等变换.习惯上记 .3ετ= (或 A 13=τ)

利用例1.可以换算一下它们的合成(乘积)

21ττ:1 2;2 2.

即 1.212;2122122====ττττττ

这表明 .221τττ= ·同理知442τττ=.利用3τ是恒等变换.则

i i i τττττ==33 ()4,3,2,1=i .这是因为

i i i i i i i i τττττττττττττ=???

???====32)2(21)1(13333 并且又有 i i i i i i i i τττττττττττττ=???

???====32)2(21)1(13333. 定义2.设A 是一个非空集合,而ε是A 的恒等映射,那么,对A 的任一个变换τ,都有 .ττεετ==

二.变换群的概念

设A 是一个非空集合,而A 的一些变换能否形成一个群呢? 就以例1做比方。令:{}421,,,τττε=S 为A 的全部变换组成的集合。对于映射通常的乘积,S 能成为群吗?

能容易知道,S 肯定是一个motroid,那么“逆元”问题能解决吗?

事实上,1τ就没有逆元.因为如果1τ有逆元τ.那么必有εττ=1且εττ=1.但我们会发现:

()11111==ττττ 而 ()12211==ττττ

这说明εττ≠1即S 不能成为群。(同理可知,2τ也没有逆元)

上面的S 所以不能成为群,主要是1τ和2τ不是双射(∴ 它们没有逆元)因此,我们有

定理1 设G 是A 的一些变换作成的集合,并且G ∈ε,若G 能成为群.那么G 只能包含A 的双射。

证明:

任取G ∈τ.经证τ是满射又是单射.首先,因为G ∈ε.由于群G 中的单位元唯一.由定义2?ε必是G 中的单位元.

τ是满射: A a G G A a ∈∴∈?∈∈?--11.τττ 于是

()ε

εττττ===--a a a 11.这说明1-τa 是a 的原象. τ ∴是满射.

τ是单射:设.,A b a ∈.如果, ..ττ

b a = 那么 ()()b a b a b a

=?=?=--εεττττ11 ∴ τ是单射

由上分析知.τ是个双射.

定义3 一个集合A 的若干个双射做成的群叫做A 的一个变换群. 结论:设G 是集合A 的一个变换群.证明:G 的单位元必是恒等变换ε.

【证明】 :设e 是G 的单位元.?欲证.ε=e 只需说明A a ∈?都有a a e =即可.事实上,.G ∈?τ故τττ==e e . 由于τ是双射. 对于a 而言 必存在A b ∈ 使

a b =τ(∴ τ是满射) 所以, ().ετττ==?====e a a a b b b a e e e e 即

定义3 只告诉我们什么是变换群,但对于集合A 来说,A 的

变换是否一定存在呢?下面的定理将解答这个问题. 定理 2 设A 为非空集合,由A 的全部一一变换(双射)必定能够构成A 的一个变换群.

【证明】 设 {}的一切一一变换A G = ,须证G 满足群第0定义.

(1) .,21G ∈?ττ.因为21,ττ都是双射.由第一章知21ττ必是也是双射.即 G ∈21ττ.(封闭性)

(2) 凡是映射都满足结合律?G 中的元素必也满足结合律.

(3) 因为恒等变换εε?∈G 就是G 的单位元.(由结论)

(4).G ∈?τ ∴ τ是双射,由第一章知 τ 必有逆映射1-τ使εττττ==--11.故逆映射1-τ就是τ在群G 中的逆元.

由(1)-(4)? G 是一个变换群.(注:由于G 含的全部一一变换,所以习惯上称G 为A 的完全变换群,并且记为E (A )).

例如2. 在例1中,取出A 的全部一一变换{}43,τετ==G .那么

G 就是A 的完全变换群,即(){

}43,ττ=A E . . 注意: 集合A 的完全变换群是A 的所有变换群中“最大”的,也就是说千万不认为,一谈到A 的变换群.就只想到A 的完全变换群.事实上还有许多非完全变换群的其他变换群.

例 3. 设R A = ,现考虑R 的一种变换群G : R b a ∈?, ,其中0≠a . 令()b a f , :R R →, 其中,()().,,R x b ax x f b a ∈?+=

将R 的所有这样的变换组成一个集合

()0,,,≠∈?=a R b a f G b a .每一个这样的变换都是一一变换: 就

()b a f ,而言:

R y ∈?.取 ()()().1

,1y b b y b y a b ax x f R y x a b a b a a b a =+-=+-=+=∴∈-= ,

∴ x 是y 的原象()b a f ,?

是满射. 设R y x ∈,.如果()()()()y x b ay b ax y f x f b a b a =?+=+?=

,,.

∴ ()b a f , 是单射. 由上可知,G 中每个()b a f ,都是一一变换.

下面须证G 满足群的第0定义:

(1)(封闭性) ()(),,,,R x G f f d c b a ∈?∈? 我们有:

()()()()()()()

()().,,,,x f b ad acx b d cx a d cx f x f f b ad ac b a d c b a +=++=++=+=

由于00,0≠?≠≠ac c a

∴ ()G G b ad ac f ?∈+,中元素是封闭的.

(2)(结合律)凡是映射的合成都满足结合律.故G 中的元素也满足结合律.

(3)(单位元)显然()G f ∈0,1是R 的恒等变换ε,由定义2知()0,1f 必是G 的单位元.

(4)(逆元)()G f b a ∈?, 那么001

≠?≠a a 故()G f a

b a ∈-1

并且()()()()ε==--b a b a f f f f a

b a a b a ,,11 . (这个等式可以验证)故知 ()()()b a b a f f f a

b a ,1,1--=.

由上述()()(){}0,,41,≠∈?=?-a R b a f G b a 是一个R 的变换群.显然,G 并没有包含R 的全部一一变换.故G 不是R 的完全变换

群.

注意:从上例3中取()3,2f 和()5,4f ,那么()()()2925,43,2=f f .而()()()()()()()3,25,45,43,23,25,4332f f f f f f ≠?=.这个现象表明:变换群可能是非交换群.

下面将讨论本讲的重点内容 凯莱定理.

定理3(凯莱定理)任一个群都能同某个变换群同构.

【证明】 设 {} c b a G ,,= 是任意一个群,G x ∈?,利用x ,我们规定G 的一个变换G G x →:τ,其中 G g gx g x ∈?=,τ

,这种变换是一个一一变换,事实上:

,,1-=∈??gx g G g 令 若那么 ()

y x yx gx g x ===-1τ

∴x τ是满射. ? 若 G y 、y ∈21,且 212121g g x g x g g g x x =?=?=τ

τ

∴ x τ是单射.

综合上述知.我们得到由G 中元素确定的G 的变换集合 {} c b a G τττ,,=其中每个这种变换都为一一变换.

其次作G G →:?,其中()G x x x ∈?=τ?现须证?是同构映射. ? ?是满射: ,G x ∈?τ则 ()x x τ?=,∴ x 是x τ的原象??是满射.

? ?是单射: G y x ∈?, 如果 ()(),y x y x ττ??=?= 那么 G g ∈?有 gy gx g g y x =?=ττ, 由消去律知y x = ∴ ?是单射

? ?保运算:由于G g ∈?.我们有:

()()()()y x y x y xy g g gx y gx xy g g ττττττ=====

这说明()()()y x xy y x xy ??τττ?=== ∴ ?保运算 于是知G G ?

?,而G 是群?G 必是群.

群论基本知识小结

一. 群的定义.

设G 是一个非空集合.而G 有一个叫作乘法的代数运算. (Ⅰ).G 对于这个乘法是封闭的.

(Ⅱ).G 对于这个乘法满足结合律:G c b a ∈?,,

()()c ab bc a =

(Ⅲ).G b a ∈?,下面二种方程在G 中总是有解:

.,b ya b ax ==

(Ⅳ)G 中必有单位元e ,使a ae ea G a ==∈?,.

(Ⅴ)G a ∈?在G 中必存在a 的逆元e a a aa a =---111:.

(Ⅳ)ˊ G 中必有左单位元:L e 使 .,a a e G a L =∈?

(Ⅴ)ˊG a ∈?,a 在G 中必有左逆元.:11L L L e a a a =-- (Ⅳ)〞G 中必有右单位元.,:a ae G a e R R =∈?

(Ⅴ)〞G a ∈?,a 在G 中必有右逆元R R R

e ae a =--11:

(注:若G 只有(Ⅰ)和(Ⅱ)则称G 是个半群)

提出问题:对于上述的G 如果满足(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅳ)ˊ(Ⅴ)〞

能说G 一定是个群吗?

二. 群的性质.

设G 是一个群,那么G 必然有:

(1) G 满足结合律:()()c ab bc a G c b a =∈?,..,,.

(2) G 满足消去律:

G c b a ∈?,,,只要c b ac ab =?= 只要c b ca ba =?=.

(3) G 中有单位元 e ,且e 是唯一的.

(4) G a ∈?,a 在G 中必有逆元1-a ,且1-a 是唯一的群G 可 能发生的状况:

(1) G 中的元素是有限的,此时称G 是有限群.

(2) G 中的元素个数是无限的,此时称G 是无限群.

(3) 如果.,G b a ∈? 都有ba ab =,此时称G 是交换群.

(4) 一个有限的半群G 能成为群?G 中满足消去律.

三. 群的阶和群元素的阶,以及这二个阶的联系.

(1) 群G 的阶=群G 中含元素的个数G =.

(2) 设G a ∈.那么:a 的阶=使“e a k

=”成立的最小自然数.

记为 a 注:如果满足上等式的自然数不存在,则称a 的阶是无限的.

(3) 若G a G ∈??+∞ ,则+∞ a .或者说:有限群的元素都是有限阶的. 问题:无限群的元素的阶是是怎样的?

解:? 每个群都有有限阶的元素.譬如单位元()1=e e .

? 无限群G 中除e 外,也许还有其他有限阶元素,譬如?

???????,R —由非零实数和通常乘法构成的群.除了单位元1外,-1也是有限阶元.

?无限群G 中除e 外,其他元也可能都是无限阶的.譬如{}+,Z —整数集和通常加数构成的群.除了单位元o 外,其他元素是无限阶的.

?无限群G 中可能每个元素都是有限阶的,譬如

N

n x x G n ∈?==.1---对每个自然数.n 方程1''=x 的单位根,组成的G .由于n 是任意的自然数G ?是无限的。但每个元素显然是有限阶的.

(4) 若+∞= n G ,那么a G a ?∈?︱()G a G ∴.

即 在有限群G 中,G 中每个元素a 的阶都是G 的因子.

(5) 12-=?≤a a a . ()31≥?≠∴-a a a

(6)若G a ∈?,都有G e a ?

2.?=必是交换群. 问题:若G 是变换群e a G a =∈??2

?. .

四. 群元素阶的性质: (1) 设,+∞= n G 2=∈=a G a A , 3 a G a B ∈= .

理由

(2)元素a 的阶k 的有关问题:设()e a k a k ==即 . ? k 是自然数,且是使等式“e a k =”成立的最小者. ? 如果有自然数(整数)m 使.m k e a m ≤?=且k m 反之也成立:若k m e a m =?.

? 元素120,,,,-=k a a a e a 是k 个两两不等的元. ? 如果?=k r a a s r k -

? 1=?=k e a

? 1-=a a

? ()1--=r r k a a (即:1220,,,,--k k a a a a a )

若m 是奇数且k e a m

?=必是奇数.

问题 ①当m 是偶数对k ?必是偶数?

②当k 是奇数(偶数)对,m 的奇偶性如何? ? ba ab G b a =?∈?.,.

? 由上性质.,,G c b a ∈??则 bca cab abc == 问题:由上二,三个元素乘积的阶具有的性质,推出()3 s s 个元素乘积的阶相应的性质:

i s i i s a a a a a a a a a a 2121321++==.

? 设p 是素数,且p a e a p =?= (当 e a ≠ 时) ? 有关“元素的幂”的问题.

任取一个整数t ,都必唯一存在一个整数k r r ≤≤0: 使 r t a a =

理由: 由整数的带余除法知,存在唯一的一对

r g ,使 ()k r r kg t ≤+=0. 

∴ ()r r g r g

k r kg r kg t a a e a a a a a a =====+

即 .r t a a =

由上说明,今后读到“a 的幂”时,都可假设指数r 为整数

.0k r ≤

? a 的幂r a 的阶与k 有什么关系?

解: k a r

设 .l a r = 但 ()()e e a a r r

k k r === l ?k . ? 若k 是奇数.那么 , .2k a =

理由: 设 l a =2.由上l ?︱k 但另一方面.由k e a l ?=2l 2

由题设知 ()k k ?=12,l ∴ k =l . 问题:上问题可否进行推广:

当12+=m k 时,??????=∈?=?k

a N r k a s r s 2,,都有都有偶数 ? 若l a sl a s =?=

? 一般地: ()()????

??????=??= 其它当当k m k k

m m

k k m k a ,.1. 例: 设.12=a 问: 8a ,9a ,10a ,3-a ,17a 使 e a t

=8 成立的最小自然数=t _______.

? 设sr a =,又有e a lr =,那么l 与s 有何关系? ? 设 ba ab =,且()ab b a ?=1,ba =. ? 设G ={}n a a a e ,,,,21 是变换群.那么

(ⅰ) ()e a a a n =221 .

(ⅱ) 如果G 中没有二阶元素,则()e a a a n = 21. (ⅲ) 如果G 中只有一个二阶元素g ,那么 n a a a g 21=.

(3) 元素a 的阶是无限对的有关问题:设+∞=a . ? ..e a Z m m ≠∈? (除非 0=m ). ? 设Z n m ∈,,则 m n a a m n =?= ? 由a 可得到无限个幂的形式:

,,,,,,,32123a a a e a a a ---

上述元素是两两不等.

五、n 个重要的群的例子.

(1) 整数加群{}{} ,3,2,1,0,1,2,3,---=+Z

(2) 数字乘群{}{

}{}???,,,,,***C R Q . (3) 模n 剩余类加群.

[][][][]{}12,1,0-=n Z n ,其中 [][][]j i j i +=+. 练习: 设G 是一个幺半群.( G 是一个有单位元的半群) 那么G 中所有有逆元的元作成的集合H 必是群. 证: 设 {}e a a aa G a G a H ==∈∈=---111,使存在

(1) H b a ∈?,,那么a 有逆元1-a ,b 有逆元1-b 使 ()()()e aa a bb a a b ab ===-----11111. ∴ ab 有逆元H G a b ?∈--.11是封闭的.

(2) H 满足结合律(由条件)

(3) e 显然可逆H e ∈?.

(4) H a ∈?.a 有逆元1-a ,而1-a 也有逆元a . ∴.1H a ∈-

由(1)~ (4)G ?是群.

六、群同态.

定义:设{}?,A 与{} ,A 是两个代数系统.如果映射 A A →:? 满

足: ()()()..A y x y x y x ∈??=???? 那么称?是一个同态映射.

如果是?满射,则称?是同态满射,此时称A 与A 同态.

设为A ~A .如果?是双射,则称A 与A 同构,记 A ?A . 若A ?~A 是群,则A 必也是群.

而且在?之下: e e , ()a a a a ,11-- 如果A 是变换群?A 也是变换群. 问题: ? 若A ?~A ,当A 是群时,能保证A 也是群吗? ? 对两个群A 和A ,若A ~A ,A 中哪些性质不能“传递”给A ?

(群的阶和元素的阶)

七、变换群.

在映射,:B A →τ ()b a =τ中,本教材将记法“()a τ”记为

“τa ”.

由此,若 C B A ?→??→?λτ c b a ?→??→?

过去: ()()()()()c b a a ===λτλλτ. 现在: ()c b a a ===λλ

ττλ. 定义:集合A 到自身的任一个映射τ:→A A ,叫作A 的一个变换.

如果τ是恒等映射,则称τ为恒等变换. A 的一些变换组成的集合能否成为一个群呢? ? 集合A 的某些变换如果能构成一个群,那么这些变换必定是一一变换(即双射),这个群中的单位元必定是恒等变换.

上述的群叫做A的变换群.

?A的变换群的存在性: A的全部一一变换做成的集合必是能成为变换群(称为A的完全变换群)

? (凯莱定理) 任何一个群都能与某个变换群同构.

近世代数第四章 环与域题解讲解

第四章环与域 §1 环的定义 一、主要内容 1.环与子环的定义和例子。在例子中,持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环,以及集M的幂集环. 2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件: 二、释疑解难 1.设R是一个关于 代数运算十,·作成的环.应注意两个代数运算的地位是不平等的,是要讲究次序的.所以有时把这个环记为(R,十,·)(或者就直接说“R对十,·作成一个环”).但不能记为R,·,十).因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同.我们知道,环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为 ,⊕,又R对 作成一个交换群,对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律,即 就是说,在环的定义里要留意两个代数运算的顺序. 2.设R对二代数运算十,·作成一个环.那么,R对“十”作成一个加群,这个加群记为(R,十);又R对“·”作成一个半群,这个乍群记为(R,·).再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R,十.·).

1. 2.

3. 4. 5.

6. 7. 8.证明:循环环必是交换环,并且其子环也是循环环. §4.2 环的零因子和特征 一、主要内容 1.环的左、右零因子和特征的定义与例子. 2.若环R 无零因子且阶大于1,则R 中所有非零元素对加法有相同的阶.而且这个相同的阶不是无限就是一个素数. 这就是说,阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数. 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶. 3.整环(无零因子的交换环)的定义和例子. 二、释疑解难 1.由教材关于零因子定义直接可知,如果环有左零因子,则R 也必然有右零因子.反之亦然. 但是应注意,环中一个元素如果是一个左零因子,则它不一定是一个右零因子.例如,教材例l 中的元素??? ? ??0001就是一个例子.反之,一个右零因子也不一定是一个左零因子.例如,设置为由一切方阵 ),(00Q y x y x ∈???? ? ??

近世代数 第17讲

第17 讲 §交换律、单位元、零因子、整环. (Commutatine Law,unity,divisor of zero and integral domain) 讲本讲教学目的和要求:由环的定义,环{}?+,,R是在某集合R上定义了两种代数运算,而这二个运算是通过分配律建立了彼此的联系.很明显,环中的这两种运算立法机关的要求是很不平衡的.特别是环中的乘法只要求满足半群—乘法封闭和结合律.所以为环在乘法方面留下了很大的余地,一旦某些乘法方面再满期点头其它一些条件,则变成了一些特殊的类型的环.本节主要介绍交换环有单位元的环,没有零因子的环和整环,扩大环论的知识面.在学习方面要求掌握: 1、交换环仅是对乘法而言,可交换的一种环.由此可得到什么新结果. 2、有单位元的环(习惯上称心内幺元)具有的一些重要性质. 3、零因子的概念以及没有零因子与满足消去律的等价性. 4、什么是整环,什么是除环和域,它们之间的差别和联系. 本讲的重点和难点:零因子是一个新的概念,要真正了解并掌握它不是件易事.而”没有零因子”与”有消去律”之间的等价性的证明是难点. 一.交换环

设},;{?+R 为环,已知R 关于加法”+”而言,已可以交换,至于对于乘法”·”,R 也有满足交换律的可能(比如数环,多项式环等),所以我们有 定义1.如果环},;{?+R 关于乘法满足交换律:R b a ∈?, 都有ba ab =,那么称此环是交换环. 例1.易知,在§1中所介绍的所有数环,一元多项式][x F ,和剩余类环m Z 都分别是变换环.但n 价矩阵环)(F M n 不是变换环. 例2.设环},;{?+R 的加法群是循环群,那么环F 必是变换环. 证明: };{+R 是循环群,即}|{)(R n na a R ∈== ∴,,,ma y na x R y x ==?∈? ∴))((ma na xy = 22][)]([nma ma n ma a n ===, 而 ))((na ma yx = 222][)]([nma mna na m na a m ==== ∴yx xy =. 明示1.在第二章中已知:每个阶5≤的群必是交换群.而一旦环R 中元素个数3≤,那么R 必是变换环. 交换环的性质:设R 是交换环.R b a ∈?,.那么 (1)n n n b a ab N n =∈?)(, (2) R 中满足:222 2)(b ab a b a +±=±,))((22b a b a b a -+=- ))(()(2233b ab a b a b a +±=± (3) R 中满足二项式公式: n n n n n n n n n n b ab C b a C b a C a b a +++++=+----1122211)( 二. 无零因子环

近世代数9

题 号 一 二 三 四 五 六 是否缺考 题 分 15 20 15 10 20 20 得 分 《近世代数》试卷 一、填空题(每空2分,共20分) 1、设G =)(a 是15阶循环群,则G 的子群的个数为_________. 2、整数加群Z 是一个循环群,它有且仅有两个生成元是______和_____. 3、4次对称群4S 的阶是___,在4S 中,(134)(12)=_______,(1324)1 =_______,元素(1234)的阶 是______. 4、在剩余类环18Z 中,[11]+[8]=_______,[5][6]=_______. 5、整数环Z 上的一元多项式环][x Z 中的理想_______不是一个主理想. 6、_______是整数环Z 的一个商域. 二、判断题(对打“√”,错打“×”,不说明理由,每小题2分,共20分) 1、( )一个阶是13的群只有两个子群。 2、( )交换群的子群是不变子群。 3、( )全体整数的集合对于普通减法构成一个群。 4、( )无零因子环的特征不可能是2007。 5、( )群G 的指数是2的子群一定是不变子群。 6、( )模15的剩余类环15Z 是域。 7、( )在一个环中,若左消去律成立,则右消去律成立。 得分 评卷人 复查人 得分 评卷人 复查人

8、( )除环的中心是域。 9、( )欧氏环一定是主理想整环。 10、( )无零因子环的同态象无零因子。 三、解答题(第1题15分,第2,3题各10分,共35分) 1、设)}13(),1{( H 是3次对称群3S 的子群,求H 的所有左陪集和右陪集,试问H 是否是 3S 的不变子群?为什么? 得分 评卷人 复查人

近世代数第一章练习题

近世代数试题 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填 在题干的括号内。每小题3分,共15分) 1.设A=R(实数域),B=R+(正实数域) φ:a→10a?a∈A 则φ是从A到B的( )。 A.满射而非单射 B.单射而非满射 C.一一映射 D.既非单射也非满射 2.设A={所有实数x},A的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A到A的一个子集A的同态满射的是( )。 A.x→10x B.x→2x C.x→|x| D.x→-x 3.设S3={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( )。 A.1 B.2 C.3 D.4 4.整数环Z中,可逆元的个数是( )。 A.1个 B.2个 C.4个 D.无限个 5.剩余类加群Z18的子群有( )。 A.3个 B.6个 C.9个 D.12个 二、填空题(每空3分,共27分) 1.设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个. 2.n次对称群S n的阶是____________. 3.一个有限非可换群至少含有____________个元素. 4.设G是p阶群,(p是素数),则G的生成元有____________个. 5.除环的理想共有____________个. 6.剩余类环Z6的子环S={[0],[2],[4]},则S的单位元是____________. 7.设I是唯一分解环,则I[x]与唯一分解环的关系是____________. 8.在2, i+3, π2, e-3中,____________是有理数域Q上的代数元. 9.2+ 3在Q上的极小多项式是____________. 三、解答题(第1、2小题各12分,第3小题10分,共34分) 1.设G是6阶循环群,找出G的全部生成元,并找出G的所有子群. 2.求剩余类环Z6的所有子环,这些子环是不是Z6的理想? 3.设Z是整数环,则(2)∩(3)、(2,3)是Z的怎样一个理想?(2)∪(3)是Z的理想吗?为什么?

近世代数复习

一、选择题(每题2分,共16分) 1.若(),G a ord a n ==,()则下列说法正确的是 2.假定φ是A 与()A A A =Φ间的一一映射,A a ∈,则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 3.若G 是群,,()18,a G ord a ∈=则8()ord a = 4.指出下列那些运算是二元运算 5.设12,,,n A A A 和D 都是非空集合,而f 是12n A A A ???到D 的一个映射,那么 6.设是正整数集合N +上的二元运算,其中max(,)a b a b =,那么在Z 中 7.在群G 中,G b a ∈,,则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 8.设H 是群G 的子群,且G 有左陪集分类{,,,}H aH bH cH .如果[:]6G H =,那么G = 9.设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。 10.设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的 11.设Z 15是以15为模的剩余类加群,那么,Z 15的子群共有( )个。 12、G 是12阶的有限群,H 是G 的子群,则H 的阶可能是 13、下面的集合与运算构成群的是 14、关于整环的叙述,下列正确的是 15、关于理想的叙述,下列不正确的是 16.整数环Z 中,可逆元的个数是 17. 设M 2(R)=????????? ??d c b a a,b,c,d ∈R ,R 为实数域??? 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环,那么这个方阵环是 18. 设Z 是整数集,σ(a)=?????+为奇数时当为偶数时 当a ,2 1a a ,2a ,Z a ∈,则σ是R 的 19、设A={所有实数x},A 的代数运算是普通乘法,则以下映射作成A 到A 的一个子集 的 同态满射的是( ). 20、设 是正整数集Z 上的二元运算,其中{}max ,a b a b =(即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) 21.设3S ={(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则3S 中与元(1 2 3)不能交换的元的个数是( ) 22、设(),G 为群,其中G 是实数集,而乘法:a b a b k =++,这里k 为G 中固定的常数。那么群(),G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是( ) 23、设H 是有限群G 的子群,且G 有左陪集分类{},,,H aH bH cH 。如果H =6,那么G 的阶G = 16.整数环Z 中,可逆元的个数是( ). 24、设12:f R R →是环同态满射,()f a b =,那么下列错误的结论为( )

近世代数基础习题课答案到第二章9题

第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b 都满足222()ab a b =, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有abab aabb =. 由消去律有ab ba =. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2a e =,则G 是交换群. 证明: 对任意,a b G ∈有222()ab e a b ==. 由上题即得. □ 3. 设G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bc ab c =, 任意,,a b c G ∈. (2) 若ab ac =则b c =. (3) 若ac bc =则a b =. 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取a G ∈, 考虑2{,,,}a a G ??. 由于||G <∞必然存在最 小的i +∈ 使得i a a =. 如果对任意a G ∈, 上述i 都是1, 即, 对任意x G ∈都有2x x =, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a b G ∈, 此时有: ()()()ab ab a ba b ab ==, 由消去律, 2bab b b ==; 2ab b b ==, 再由消去律, 得到a b =, 从而证明了此时G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 i a a =的最小正整数i 有1i >. 定义e G ∈为1i e a -=, 往证e

为一个单位元. 事实上, 对任意b G ∈, 由||G <∞, 存在 最小的k +∈ 使得k ba ba =. 由消去律和i 的定义知k i =: i ba ba =, 即be b =. 最后, 对任意x G ∈, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得k x x =. 如果1k =, 则2x x xe ==, 由消去律有x e = 从而22x e e ==, 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k >, 则11k k k x x xe xx x x --====, 此时x 也有逆: 1k x -. □ 注: 也可以用下面的第4题来证明. 4. 设G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a b G ∈, 方程ax b =和ya b =在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定a G ∈. 记ax a =的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意b G ∈, 取ya b =的一个解c G ∈: ca b =. 于是: ()()be ca e c ae ca b ====. 得证. 对任意g G ∈, 由gx e =即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x y S ∈使得222()xy x y =/. 解: 取(12)x =, (13)y =. □ 6. 对于整数2n >, 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群n D . □ 7. 设G 是一个群. 如果,a b G ∈满足1r a ba b -=, 其中r 是正整数, 证 明: i i i r a ba b -=, i 是非负整数.

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)

近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1,??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数1

第一章 §1.1集合 §1.2映射与变换 教学内容:集合,子集,集合相等的概念 集合关系及运算的定义和性质 映射,单射,满射,双射,逆映射的定义及例子 变换,置换等的定义及例子 映射的象及逆象的定义,映射的乘法 教学重点:集合的关系及运算,映射变换的定义,映射的乘法在很多课程中都学过有关集合的知识,一些基本的概念和结论不再重复,这里,只复习一下不太熟悉的知识,并在符号上做一个统一的规定。 1、用Z表示整集合,Z*表示非零整数集,用ψ表示有理数集,ψ*表示非零有理数数集等。 Z+ ,ψ+…R,C… 2、AB表示A是B的子集,A=B或AB AB表示A是B的真子集,即B中有不存在A的元素 AB表示A不是B的子集 AB表示A不是B的真子集 A=BAB且BA 3、如果集合A含有无穷多个元素,则记为=,如果A含有n个元素,则记为=n。(A的阶),有+=+ 4、称集合A-B={aaA, aB}为集合A与B的差集。易知有A-B=A 5、集合A有很多子集,将A的所有子集放在一起(包括空集)也组成一个集合,称为A的幂集,记作P(A)。=(=n) 映射是函数的推广,函数的定义中要求有两个数集,而映射中,是一般的集合 6、定义:设A,B是两个集合,如果有一个法则,他对于A中每个元素,在B中都有一个唯一确定的元素y与它对应,则称为从A到B的映射。这种关系常表示为 :AB 或:xy 或y=(x) xy 且称y为x在之下的像,称x为y在之下的原像或逆像。 由定义可知,映射必须满足三个条件: ①A中每个元素都有像,②A中元素的像是唯一的,③A中元素的像在B里。 例:P6例1-6

例1.不是映射,不满足①例2.不是映射,不满足②例3.不是映射,不满足③ 例4.是映射,不单不满例4.是映射,不单,满例6.是映射, 单不满 7、映射是函数概念的推广,是对应法则,A是定义域,B包含值域,根据B是否与值域相等,可将映射区分为是否是满射。A中不同元 素的像可能相同,也可能不同,据此可区分映射是否为单射。 定义:设为A到B的一个映射,如果B中每个元素在A中都有逆 像,则称为A到B的一个满射。如果A 中不同的元素在B中的像也不同,则称是从A到B的一个单射。如果既是满射又是单射,则称是从A到B的一个双射,或一一映射。 例:P7,例 4-8 例7,双射,例8,满射,不单。 8、设有映射:AB,A,B.用()表示中所有元素在之下的像的全体组成的集合,称为在之下的像,()B。用()表示中所有元素在之下的逆像全体组成的集合,称为在之下的逆像,()A。 易知:是满射(A)=B. 9、设:AB是双射,(思考,为什么?),则:BA 也是一个映射,且为双射(为什么?), xy=(x) yx 称为的逆映射。 注意:双射才有逆映射。 定理:设A,B是两个有限集合,且=,是A到B的一个映射,则是单射是满射是双射 证明:略。 10、设б与都是A到B的映射,如果xA,都有б(x)=(x),则称б与相等,记作б= 11、设:AB б:C 则AC x(x) y(y), x(x)((x)) 是一个A到C的映射,记为,即:AC 并称为与的合成或乘积。 x((x)) 12、集合A 到自身的映射,叫做集合A的一个变换,类似可定义单变换,满变换,双射变换(一一变换)等。 将集合A每个元素映为自身的变换,称为A的恒等变换,:AB 它是一个一一变换。 xx,

近世代数讲义(电子教案)

《近世代数》课程教案 第一章 基本概念 教学目的与教学要求:掌握集合元素、子集、真子集。集合的交、并、积概念;掌握映射的定义及应注意的几点问题,象,原象的定义;理解映射的相同的定义;掌握代数运算的应用;掌握代数运算的一般结合运算,理解几个元素作代数运算的特点;理解代数运算的结合律;掌握并能应用分配律与结合律的综合应用;掌握满射,单射,一一映射及逆映射的定义。理解满射,单射,一一映射及逆映射的定义;掌握同态映射、同态满射的定义及应用;掌握同构映射与自同构的定义;掌握等价关系的定义,理解模n 的剩余类。 教学重点:映射的定义及象与原象的定义,映射相同的定义;代数运算的应用,对代数运算的理解;代数运算的结合律;对定理的理解与证明;同态映射,同态映射的定义;同构映射的定义以及在比较集合时的效果;等价关系,模n 的剩余类。 教学难点:元素与集合的关系(属于),集合与集合的关系(包含);映射定义,应用该定义应注意几点;代数运算符号与映射合成运算符号的区别;结合率的推广及满足结合律的代数运算的定义;两种分配律与⊕的结合律的综合应用;满射,单射,一一映射及逆映射的定义;同态映射在比较两个集合时的结果;模n 的剩余类。 教学措施:网络远程。 教学时数:8学时。 教学过程: §1 集合 定义:若干个(有限或无限多个)固定事物的全体叫做一个集合(简称集)。集 合中的每个事物叫做这个集合的元素(简称元)。 定义:一个没有元素的集合叫做空集,记为?,且?是任一集合的子集。 (1)集合的要素:确定性、相异性、无序性。 (2)集合表示: 习惯上用大写拉丁字母A ,B ,C …表示集合, 习惯上用小写拉丁字母a ,b ,c …表示集合中的元素。 若a 是集合A 中的元素,则记为A a A a ?∈否则记为,。 表示集合通常有三种方法: 1、枚举法(列举法): 例:A ={1,2,3,4},B ={1,2,3,…,100}。 2、描述法:{})(,)(x p x p x A =—元素x 具有的性质。 例:{}41≤≤∈=a Z a a A 且。显然例6中的A 就是例5的A 。 3、绘图法:用文氏图(Diagram Venn )可形象地表现出集合的特征及集合之

近世代数习题解答

近世代数习题解答 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{100,3,2,1,??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c b b c a a a a a

c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? 解? d d c = , a c d = a b c a a b c b b c a c c a b

近世代数 第11讲

第11 讲 §8 子群(Subgroups) 本讲教学目的和要求:对于群这个新的教对象,应该如何入手,从哪几个方面去研究它,这一直是我们所关心的问题。概括些说,对群的研究,可分为互相联系的两个方面:群的结构和群的表示。与集合比较,群就是多了一个运送(正是这个运算才给群带来了生命力),所以群论研究的初步可以仿照集合论去讨论,只是关系群的一切讨论都要围绕这个运送展开,子群是非常重要的概念,了解子群是了解群的结构的一个重要渠道,本讲中要求: 1、能判断子群的构成和掌握彼此等价的判断条件 2、有限群的判断定理 3、子群(集)的乘积和生成子群的概念 4、循环群的子群所具有的特性 本讲的重点和难点:为了更好的学习下一讲内容,本讲中增添了部分内容(也都是群论中最基本的内容)。循环群的子群的性质;子群之积的性质,…都是本讲中的要点和难点,通过这方面的训练可使我们对子群有一个更深入的了解。生成子群的概念在本教材中谈的很少,本讲中也作了适当地加强。结合高等代数中生成子空间的理论,会使我们有一种温故而知新的感觉。此外,本讲中还引入了中心,中心化子,正规化子等概念,以便拓宽知识量。

一、 子群的定义及判定条件 定义1、设G 是一个群,而φ≠?H G H ,,如果H 关于G 中的运算本身也能作成群,则称H 是G 的一个子群记为 例 1 设G 为任意一个群,那么由G 的单位元组成子集}{e ,自然有G e ≤}{,另外G 本身也有G G ≤,所以G 一般有两个子群,统称它们为的G 平凡子群。如果G 除了平凡子群外还有其他子群,那就称为G 的真子群,记为G H <。 例2 Z 是整数加群,而一切偶数构成的集合为Z 2,其中: },4,2,0,2,4,{2 --=Z ,那么关于整数的加法有Z Z ≤2 明示1:任取一个整数m ,那么}|{Z n n m mZ ∈??=为一切m 的倍数构成的集合,可知Z mZ ≤. 例3 设}0|||)({≠∈=A R M A L n 表示一切可逆n 阶方阵组成的集合,用 矩阵通常的乘法可知: ? L 中方阵对乘法封闭(任二个n 阶可逆阵之积仍可逆) ? L 中方阵满足乘法结合律 ?单位元为E ?A L A ?∈.的逆元为A A —1-的逆阵 所以L 是个群。 若????? ???????= k k k kE 令为L 中的n 阶数乘阵,那么}0,|{≠∈?=k R k kE K 是L 的非空子集,且必有L K ≤。 例4 设)}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S 为三次对称群,令)} 12(),1{(=H

2.3近世代数

§2.3循环群和生成群、群的同构 §2.3.1 循环群和生成群 设G 是群,,令 G a ∈ H ={ | } k a Z k ∈此时,称H 为由a 在G 中生成的子群。 注:1°易验证H 确实为G 的子群,1 2 1()k k a a H ?∈。 2°记H =< a >,a 称为它的生成元;若G =< a >,则称群G 为循环群。 定义1 (生成子群)设S 是群G 中的一个非空子集,G 的含有S 的最小子群称为由S 生成的子群,记为< S >,S 称为它的生成元集。 注:1°< S >可表示为 < S >={ …| 2 1 21ε εa a k k a εZ S a i i ∈∈ε,, k=1,2,3…} 这个表达式是合理的:设右式为H ,易见H ?S ,并且H ≤G ;要证明任何包含S 的子群K 必然包含H 。由于S K ,而K 为群G 的子群,所以;这也就是说H =< S >。 ?K a k i i i ∈∏=1 ε 2)如果群G =< S >,且K S ??,>≠,它的极

小生成元集为{a , b }。 (2) (Z ,+)=<1>=<-1>,它是可由1或-1生成的无限阶的循 环群。 (3) (,+)≌,它们都为n 阶循环群。 n Z n U (,+)=< [1] >;= < n Z n U ξ >。 (4) 二面体群>=<0,πρn D =ρ ???????1...22110n ??? ??????11 (2211) 0n n n n=6时: 不难证明,()2k i k n i π=+? (mod n ) k π, 上下均模n 。 l k l ?=ρπ较复杂的例子: P56 例1、设??????=?∈? ? ????=1,,,,)(2bc ad Z d c b a d b c a Z SL 证明: >?? ? ?????????=<1011,1101)(2Z SL 证明: , ??????=1101A ?? ? ???=1011B 有: ,,??????=101k A k ?? ????=101k B k Z k ∈ ? ? ?????=??????????????=????????????????????==??011010110111101111011011 11AB B Q

近世代数第一章基本概念自测练习答案

自测练习参考答案 一、判断题 1.(× ) 2. (√ ) 3.(× )解释:同时还要适合结合律 4. (√ ) 5. (√ ) 6. (√ ) 7.(× ): 二、选择题 1. (D ) 2. (D ) 3. (C ) 4. (B )解释:和第9节课后习题1完全类似,但也是大家作业中出现问题最多的一道题。详细答案如下:(按解答题格式写) 解:首先,A 的一一变换有3!=6个,具体为 :,,?→→→1112233 :,,?→→→2122331 :,,?→→→3133221 :,,?→→→4122133 :,,?→→→5112332 :,,?→→→6132231 其次,如果是的自同构,则必保持运算即.A ??,,()()(),x y A x y x y ???∈= 也即(这是是自同构的必要条件) ().??=11.可见,只有和??15满足此条件. 说明和??15可能为的自同构.A 经验证,和的确是的自同构.A ??15 5. (C ) 三、简答题 1.105,84,63;42;21:1→→→→→Φ 105,84,63,42,01:2→→→→→Φ则1Φ,2Φ是X 到Y 的两个单射。

2. A a a a a a a ∈→Φ212121,},,min{),(:,就是一个A A ?到A 的一个满射。 3. 设Z 为整数集,2Z 为偶数集,x x 2:1→Φ, )1(2:2+→Φx x ,其中Z x ∈,则1Φ,2Φ就是Z 到2Z 的两个不同的映射。 4. (1) ()2,f x x x Z =?∈;(2),2(),21k x k f x k x k =?=?=+? (3) ()1,f x x x Z =+?∈ 5. 解:1R 不是等价关系,因为1),(R c c ?,即不具有反身性,尽管具有对称性、传递性; 2R 是等价关系,因为具有反身性、对称性、传递性; 3R 不是等价关系,因为3),(R c a ?,即不具有传递性,尽管具有反身性、对称性; 4R 不是等价关系,因为4),(R b c ?,即不具有对称性,尽管具有反身性、传递性.

近世代数第3讲

第 3 讲 §7—9 一一映射,同态及同构(2课时) (Bijection Homomorphism and Osomorphism ) 本讲教学目的和要求:通过了解双射,同态及同构的理论,为后继课程中学习群同态,群同构(群第一、二同构定理)环同态,环同构理论做准备。具体要求: 1、在第一讲的基础上,对各类映射再做深入的研究。 2、充分了解双射(一一映射)的特性以及由此引导出的逆映射。 3、两个代数系统的同态的概念,尤其是同态的满射所具有的性质。 4、掌握同构映射的实质,为以后教学内容奠定基础, 本讲的重点和难点:本讲的重点在于对同态映射定义的了解;由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌握。而对双射及自身的逆映射之间的关系学生不易把握,需要认真对待。 本讲的教法和教具:在多媒体教室使用投影仪。在教学活动中安排时间让学生展开讨论。 本讲思考题及作业:本讲思考题将随教学内容而适当地展开。作业布置在本讲结束之后。 一、一一映射 在第1讲中,已对各类映射作了系列性的介绍,这里只对重要的

一一映射作重点的讨论。 定义1、设?是集合A 到A 的映射,且?既是单的又是满的,则称?是一个一一映射(双射)。 例1:},4,2,0,2,4,{2},2,1,0,1,2,{: --=→--=Z Z ?, 其中Z n n n ∈?=,2)(?,可知?显然是一个双射。 注意:Z 与偶数集Z 2之间存在双射,这表明:Z 与它的一个真子集Z 2一样“大”。 思考题:从例1中得知:一个无限集与其的某个真子集一样“大”。这是否可作为无限集都有的特性?即我们是否有如下的结论:A 为无限集的充要条件是A 与其某个真子集之间存在双射。 定理1:设?是A 到A 的一个双射,那么由?可诱导出(可确定出)A 到A 的一个双射1-?(通常称1-?是?的逆映射) 证明:由于?是A 到A 的双射,那么就A 中任一个元素a ,它在A 中都有逆象a ,并且这个逆象a 是唯一的。利用?的这一特点,则可确定由A 到A 的映射1-?: a a A a A A =∈?→--)(,,:11??,如果a a =)(?,由上述说明,易知1-?是映射。 1-?是满射:A a ∈?,因?是映射a a A a =∈??)(,?使,再由1-?的定义知a a =-)(1?,这恰说明,a 是a 在1-?下的逆象。由a 的任意性,知1-?是满射。 1-?是单射:2121,,a a A a a ≠∈?若由?是满射21a a 及?的逆象分别是 22111121)(,)(,a a a a a a ==--??即及,又?是单射21a a ≠?,

近世代数 读书报告

题目1:设群G 中每个非幺元的阶都是2,证明G 为Abel 群. 题目1出处:南开大学资源共享课《抽象代数》 题目1的解答:?a≠e 且a∈G,a 2=e,所以1a -=a,b=1b -,a 2b 2=e 4=b 2a 2=e,另一方面,由于ab 1b -1a -=ba 1a -1b -,,所以abba=baab=e,即ab=(ab)1-=ba=b 1-a 1-,所以ba=ab,由a、b 的任意性,群G 满足交换律,为Abel 群. 选题目1的理由:老师上课提到此题,是群论部分Abel 群的经典例题. 题目2:(1)(群的单边定义)设G 为一个半群,如果: (a)G 中含左(右)幺元e,即?a∈G,ea=a; (b)G 中每个元有左(右)逆元1a -,使1a -a(a 1a -)=e. (2)(群的除法定义)设G 为半群,若?a、b∈G,方程xa=b 及ay=b 在G 内有解,则G 为群. (3)(有限群的另一定义)设G 为有限半群,如果在G 内左、右消去律均成立,则G 为群.题目2出处:冯克勤章璞《近世代数三百题》 题目2的解答:(1)?a∈G,设(a 1-)1-为a 1-的左逆元,则aa 1-=e (aa 1-)=(a 1-)1-a 1-aa 1-=(a 1-)1-ea 1-=(a 1-)1-a 1-=e,说明a 的左逆元也满足aa 1-=e,故a 1-为a 的逆元.而ae=a (a 1-a)=ea=a,故左幺元e 也是G 的右幺元,即为G 的单位元,所以G 为群. (2)由于G 非空,所以a∈G,则xa=a 有解e,?b∈G,存在y∈G 使得ay=b.于是eb=eay=ay=b,所以e 为G 左单位元,而xb=e 有解则意味着b 有左逆元,所以由b 的任意性及(1)可知G 为群. (3)设G={1a ,…n a },由消去律可知,{1a i a ,…,n a i a }={i a 1a ,…,i a n a },?i a ∈G,故存在e∈G 使得i a =e i a .于是?j a ∈G,存在k a ∈G 使得j a =i a k a .从而e j a =e i a k a =i a k a =j a .这说明e 为左单位元,又因为e ∈G=G j a ,以j a 有左逆元,因此由j a 的任意性知,G 为群. 选题目2的理由:此处将群的几种定义方式进行总结,在不同条件下可以利用群的不同定义.题目3:令b a ,?:x ax+b(a、b ∈R 且a ≠0)为实直线上的一个仿射变换,将它们的集合记为1A (R ),在1A (R )中定义乘法b a ,?d c ,?=b ad ac +,?,证明1A (R )为一个群.又设1H (R )={b 1,?:x x+b,b ∈R },证明它是1A (R )的一个子群,并证明1A (R )/1H (R )~{*R ;·}.题目3出处:柯斯特利金《代数学引论(第1卷)》第4章习题 题目3的解答:显然,任一伸缩和平移仿射变换都在1A (R )中,即对于上面定义的乘法,1A (R )是封闭的,可以验证01,?为1A (R )的幺元.?b a ,?∈1A (R ),当a≠0时,其上述定义下的逆元为a b a 1 -,?,综上所述,1A (R )为群. 显然01,?∈1H (R ),故1H (R )中有幺元,?b 1,?∈1H (R ),其上述定义下的逆元为b 1-,?,所以1H (R )<1A (R ). 1A (R )/1H (R )={0a ,?:x ax,a ∈R 且a ≠0},设双射f:1A (R )/1H (R )→*R , 由于a ∈*R 且遍历*R 内所有元素,所以1A (R )/1H (R )与* R 之间的f 可定义为1A (R )/1H

近世代数第一章小结

第一章小结 本章主要研究群的有关问题:定义性质、子群及不变子群、三类重要的群——变换群、置换群、循环群、同态与同构,主要内容有: 一、 基本概念 ?????????????????????????????????????????????????子集--相等集合交集集合集合运算并集积集(笛卡儿积)单射映射满射预备知识双射映射变换代数运算 等价关系与分类 ),,,,) Abel a b G ab ba a b G ab ba G G n G G n ??∈=????∈≠????=????=∞?????????????交换群(阿贝尔群(有)非交换群(,使群定义有限群—阶无限群—阶子群子群正规子群群陪集--商群变换群——由一个非空集合的若干一一变换构成的群三种重要群置换群——由元有限集合的若干一一变换(置换)构成的群循环群——每个元素都是某个元的幂同态存在保运算的映射两个群的关系同构存在???????????????????????? 保运算的一一映射 单位元、逆元、元素的阶、子群在群中的指数 .

二、主要结论 1.群的基本性质: 1)——5),定理1. 2.1,1.2.2; 2.元素阶的性质:定理1.2.3---1.2.4 3.子群的判别条件(重点) 为群的非空子集. 则为的子群的充分必要条件是: (1) 任给, 有,任给, 有. (2)任给, 有. (3)任给, 有(只适合有限子集) 子群的性质:子群的交集仍是子群 4.陪集、商群性质 设是的子群, 则 (1)aH=Ha=H当且仅当 a∈H (2)当且仅当, ; (3)当且仅当, ; (4)的任何两个左(右)陪集或者完全相同, 或者无公共元素. 因此可以表示成一些不相交的左(右)陪集之并. (5)(拉格朗日定理)有限群的任一子群的阶数是群的阶数的因子.且|G|=|H|[G:H](6)有限群的任一元素a 的阶都是群的阶数的因子.即|a|||G| (7)设为有限群. , 则对任意的, . 5. 正规(不变)子群的判别条件 N是群的子群,则N是G的不变子群的充要条件是 (1)任意的, 都有 aN=Na (2), ; (3), , . 6. 变换群、置换群、循环群的结论 (1)一个集合A的所有一一变换作成一个变换群。 (2)(凯莱定理) 任一群都同构于一个变换群.

近世代数第一章基本概念自测练习

第一章 基本概念-自测练习 一、判断题 1.Φ是集合n A A A ??? 21到集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同.( ) 2.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射.( ) 3.假如一个集合A 的代数运算 适合交换律,那么在n a a a a 123 里)(A a i ∈,元的次序可以交换.( ) 4.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律.( ) 5.集合A 的一个等价关系决定A 的一个分类.( ) 6. 若代数系统与同构,(,)(,)A A 则与也同构.(,)(,)A A ( ) 7. 若代数系统与同态,(,)(,)A A 则与也同态.(,)(,)A A ( ) 二、选择题 1. 设},,{},3,2,1{c b a B A ==,则A 到B 的映射个数有( )。 A. 9 B. 6 C. 12 D. 27 2. 指出下列哪些运算是二元运算( )。 A .在整数集Z 上,ab b a b a += B. 在有理数集Q 上,ab b a = C.在正实数集+R 上,b a b a ln = D.在集合{} 0≥∈n Z n 上,b a b a -= 3. 设正整数集+ Z 的二元运算 为:{}b a ax b a ,m = ,则( ). A. 不适合交换律 B. 不适合结合律 C. 既适合交换律也适合结合律 D. 适合交换律但不适合结合律 4. 设{,,}A =123,约定A 的二元运算 为:x ,,y x y A =?∈1 ,则对 来说,A 的自同 构 有( )个. A. 1 B.2 C.3 D.6 5. 设Z 为整数集,则以下关系中,哪个是Z 的元间的等价关系? ( ) A. a ~b ?a 2+b 2=0 B.a ~b ?b a ≥ C. a ~b ?b a |2+ D.a ~b ?b |a

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