2018年第34届中国数学奥林匹克获奖名单

第34届中国数学奥林匹克获奖名单

一等奖（124人）

编号姓名性别年级省市学校

M18001 潘至璇男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18002 袁祉祯男高二湖北省武钢三中

M18003 骆晗男高三浙江省镇海中学

M18004 钱一程男高二江苏省江苏省锡山高级中学

M18005 邓明扬男高一北京市中国人民大学附属中学M18006 金及凯男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18007 黄轶之男高三四川省成都七中

M18008 戴宇轩男高三浙江省杭州学军中学

M18009 胡航男高三四川省四川省绵阳中学

M18010 周鼎昌男高三北京市人大附中

M18011 胡百川男高三江西省江西师范大学附属中学M18012 吴浩然男高二江苏省江苏省扬州中学

M18013 陈博洋男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校M18014 杜航男高三四川省成都七中

M18015 赵文浩男高二上海市上海市上海中学

M18016 姚缘男高二上海市上海市上海中学

M18017 卓景彬男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18018 胡苏麟男高二广东省华南师范大学附属中学M18019 陈子云男高二湖南省长沙市雅礼中学

M18020 梁敬勋男高二浙江省杭州学军中学

M18021 何凯辰男高二湖南省长沙市雅礼中学

M18022 罗云千男高三湖北省湖北省黄冈中学

M18023 谢柏庭男高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18024 俞然枫男高二江苏省江苏南京师范大学附属中学M18025 杨铮男高二上海市上海市上海中学

M18026 许福临男高二福建省福建厦门大学附属中学M18027 葛宇驰男高三安徽省安徽省含山中学

M18028 谷肇兴男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学

M18029 熊诺亚男高二重庆市重庆市巴蜀中学

M18030 黄嘉俊男高一上海市上海市上海中学

M18031 杜俊辰男高三陕西省西北工业大学附属中学M18032 韩新淼男高二浙江省浙江省乐清市知临中学M18033 朱天明男高二湖北省武汉二中

M18034 常弋阳男高三河南省郑州一中

M18035 贾镐铮男高二河北省石家庄市二中

M18036 傅浩桐男高二山西省山西大学附属中学

M18037 夏一航男高二江苏省扬州中学

M18038 饶睿男高一广东省华南师范大学附属中学

M18039 刘元凯男高三浙江省宁波中学

M18040 宛彦明男高三广东省深圳中学

M18041 马晓阳男高三安徽省安徽省合肥市第一中学M18042 李逸凡男高一上海市上海市上海中学

M18043 王祯安男高一山东省山东实验中学

M18044 徐苇杭男高三四川省成都七中

M18045 陈正男男高三广东省深圳中学

M18046 尹顺男高二湖南省湖南师大附中

M18047 陈凡男高三福建省福建省厦门双十中学M18048 姜昕澎男高三辽宁省东北育才学校

M18049 朱容宇男高三安徽省安徽省马鞍山第二中学M18050 傅增男高二上海市复旦大学附属中学

M18051 涂雅欣女高三湖北省武汉外国语学校

M18052 胡宇轩男高三北京市北京市第八中学

M18053 李洲子男高三上海市上海市上海中学

M18054 葛程男高三上海市上海市上海中学

M18055 陈锐男高二湖北省武汉市第二中学

M18056 温凯越男高二广东省深圳中学

M18057 刘明扬男高二广东省华南师范大学附属中学M18058 罗煜翔男高一浙江省浙江省镇海中学

M18059 王义寅男高一广东省广州市执信中学

M18060 冯时男高三湖北省武汉市第二中学

M18061 宋子萌男高三北京市清华附中

M18062 方星竹男高一天津市天津市南开中学

M18063 解尧平男高三天津市天津市实验中学

M18064 李朴恒男高三上海市上海市上海中学

M18065 曲殊同男高三黑龙江省大庆第一中学

M18066 王旌男高三安徽省东至县第二中学

M18067 黄金阳男高三湖南省长沙市雅礼中学

M18068 陈乐恒男高三浙江省浙江省温州中学

M18069 杜天祺男高二广东省深圳中学

M18070 陈泰杰男高三河南省郑州外国语学校

M18071 宋典毅男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学校M18072 陈泉霖男高一北京市中国人民大学附属中学M18073 张昊宸男高三湖南省长沙市雅礼中学

M18074 唐艺铭男高三四川省成都七中嘉祥外国语学校M18075 贺思凯男高二北京市中国人民大学附属中学M18076 林湛然男高三广东省华南师范大学附属中学M18077 陈豪男高三湖北省武汉市武钢三中

M18078 邓皓文男高三重庆市重庆市巴蜀中学校

M18079 江山男高三江西省江西科技学院附属中学M18080 宇占浩男高三河北省邯郸市第一中学

M18081 张亦杨男高三陕西省西安市铁一中学

M18082 厉晨宁男高三浙江省浙江金华第一中学

M18083 陈博文男高三江苏省徐州市第一中学

M18084 杨诚远男高二北京市中国人民大学附属中学M18085 王天祺男高三天津市天津南开中学

M18086 王本宇男高三黑龙江省哈尔滨市第三中学校

M18087 张展维男高二北京市北京四中

M18088 邹思聪男高二重庆市巴蜀中学

M18089 费雨缪男高一上海市华东师范大学第二附属中学M18090 刘皓玮男高三陕西省西安市铁一中学

M18091 杨启志男高三陕西省西安高新一中

M18092 景虹皓男高二四川省成都七中

M18093 杨子熠女高一浙江省浙江省宁波市镇海中学M18094 胡景源男高三河南省河南省实验中学

M18095 谢子辰男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18096 梁思威男高三上海市华东师范大学第二附属中学M18097 蒋天泽男高二上海市上海市上海中学

M18098 戎昉杰男高三上海市上海市上海中学

M18099 王仲恺男高三湖南省长沙雅礼中学

M18100 肖博文男高二湖北省华中师范大学第一附属中学M18101 施宙蚺男高三上海市华东师范大学第二附属中学M18102 欧阳成龙男高三湖南省湖南省长沙市第一中学M18103 何振宇男高三湖北省华中师范大学第一附属中学M18104 吴雨桐男高二江苏省江苏省苏州中学

M18105 廖子龙男高三湖南省长沙市第一中学

M18106 邵凯诚男高三上海市上海市上海中学

M18107 郑植男高二重庆市重庆市南开中学校

M18108 熊立言男高二湖北省华中师范大学第一附属中学M18109 荣星睿男高二北京市人大附中

M18110 林鸿斌男高三福建省福建省永定第一中学

M18111 周弘毅男高二广西自治区南宁三中

M18112 张晨晔男高三河北省石家庄二中

M18113 叶夏汐女高三四川省成都七中

M18114 苏海杰男高三广东省华南师范大学附属中学M18115 范哲睿男高三江苏省江苏省镇江第一中学

M18116 魏泽人男高三广东省华南师范大学附属中学M18117 蔡子熙男高一广东省深圳外国语学校

M18118 朱戎博男高二湖北省武汉市第二中学

M18119 张遂初男高三四川省成都七中

M18120 滕沐坤男高三山西省山西大学附属中学校

M18121 杨尚卿男高二北京市北京十一学校

M18122 董一航男高二江西省江西师范大学附属中学M18123 欧瑜男高一山东省济南市历城二中

M18124 何世航男高二湖北省华中师范大学第一附属中学

二等奖（156人）

编号姓名性别年级省市学校

M18125 庾辰炜男高三湖南省长沙麓山国际实验学校M18126 孙中天男高一四川省成都七中嘉祥外国语学校M18127 李骁然男高二湖北省襄阳五中

M18128 陈泓睿男高三重庆市重庆市巴蜀中学

M18129 李咏璋男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18130 董佳林男高三黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学M18131 李欣雨男高三重庆市重庆南开中学校

M18132 王宇航男高三重庆市重庆市育才中学

M18133 刘子宁男高二上海市华东师范大学第二附属中学M18134 周书涵男高二上海市上海市上海中学

M18135 颜天明男高三安徽省合肥一六八中学

M18136 鹿恩溥男高三辽宁省东北育才学校

M18137 杨雨鑫男高三河南省河南省实验中学

M18138 胡浩宇男高三广东省华南师范大学附属中学M18139 闫子垚男高二北京市中国人民大学附属中学M18140 卞诗瑞男高三重庆市重庆市第一中学校

M18141 何志凡男高三浙江省浙江省杭州第二中学

M18142 王然男高三江苏省南京外国语学校

M18143 徐启恒男高一上海市上海市上海中学

M18144 史庭潇男高三浙江省杭州学军中学

M18145 郭璎庆女高三湖南省湖南省长沙雅礼中学

M18146 申峻旭男高三山西省山西大学附属中学

M18147 段钦瀚男高三湖南省雅礼中学

M18148 郎柏鸣男高三吉林省东北师大附中

M18149 吴家茂男高三河南省郑州外国语学校

M18150 臧佳境男高三河南省郑州市第一中学

M18151 朱笑辰男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18152 庄雅琪女高三浙江省杭州学军中学

M18153 石恺宁男高二湖南省湖南师大附中

M18154 郭鸿儒男高三山西省山西大学附属中学校

M18155 郝传欣女高三广东省深圳中学

M18156 葛明坤男高三江苏省江苏省淮阴中学

M18157 刘帅男高三天津市天津市第一中学

M18158 丁家成男高三江苏省江苏省通州高级中学

M18159 崔一淇男高三安徽省安徽省合肥168中学

M18160 周好女高三湖北省武钢三中

M18161 王楚惟男高三北京市人大附中

M18162 闫正邦男高三黑龙江省哈尔滨市第三中学

M18163 郭箫男高三黑龙江省齐市实验中学

M18164 牛文龙男高三湖北省湖北省襄阳四中

M18165 高囯荃男高三北京市北京五中

M18166 周海刚男高三湖南省长沙市雅礼中学

M18167 刘子为男高三江西省江西省景德镇一中

M18168 李昊臻男高三陕西省西安高新第一中学

M18169 刘思睿男高三黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学

M18170 李东晨男高三山西省山西大学附属中学

M18171 张传哲男高三安徽省安徽合肥一中

M18172 岳新鹏男高三河南省郑州市第一中学

M18173 邵泽磊女高三河北省邯郸市第一中学

M18174 柳杨男高三浙江省浙江省杭州第二中学

M18175 殷世琦男高三河北省石家庄市第二中学

M18176 陈思成男高一吉林省东北师范大学附属中学

M18177 朱子清男高三辽宁省东北育才学校

M18178 高文磊男高三北京市北京市十一学校

M18179 袁也男高三天津市天津市耀华中学

M18180 杨宇铭男高二上海市上海市上海中学

M18181 包文龙男高三吉林省东北师大附中

M18182 詹德邻男高三湖北省华中师范大学第一附属中学M18183 路子平男高三天津市天津市第一中学

M18184 黄之易男高三重庆市重庆南开中学校

M18185 周瑞松男高三福建省福建省福州第一中学

M18186 吴寒羽男高三北京市北京师范大学附属实验中学M18187 刘枭男男高二黑龙江省哈尔滨市第三中学校

M18188 赵维见男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18189 范易扬男高二上海市上海市上海中学

M18190 左骏驰男高一上海市华东师范大学第二附属中学M18191 梁耀鸣男高三广东省华南师范大学附属中学

M18192 薛嘉伟男高三陕西省西安交通大学附属中学

M18193 梁睿琦男高三河北省河北省石家庄市二中

M18194 郝子航男高三河北省邯郸市第一中学

M18195 李兆祥男高三天津市静海第一中学

M18196 姜昆男高三四川省成都树德中学(宁夏校区) M18197 周欣颖女高三重庆市重庆市第八中学校

M18198 吴昊宸男高三江苏省江苏省天一中学

M18199 龚宇昊男高三江西省上饶县中学

M18200 耿若晗男高三河南省郑州一中

M18201 周亮男高二重庆市重庆市第八中学校

M18202 叶龙翔男高三安徽省安徽省安庆市第一中学

M18203 王鹤澄男高三辽宁省东北育才超常教育实验部

M18204 雷纯熙男高二重庆市重庆市巴蜀中学

M18205 郑立瑜男高三浙江省浙江省乐清市知临中学

M18206 晏国凯男高三湖南省湖南师大附中

M18207 苗中博男高三北京市北京师范大学附属实验中学

M18208 周冉升男高三福建省福州一中

M18209 吴闻道男高一北京市人大附中

M18210 孙博浩男高一安徽省马鞍山二中

M18211 胡子晗女高三浙江省浙江省乐清市知临中学M18212 梁世泽男高三广西自治区柳州高级中学

M18213 王泽阳男高三黑龙江省绥化市第一中学

M18214 周元辉男高三湖北省湖北省黄冈中学

M18215 张益嘉男高三湖北省华中师大一附中

M18216 刘浩宇男高三浙江省浙江省杭州第二中学M18217 周立男高三湖南省雅礼中学

M18218 刘明昊男高二吉林省东北师大附中

M18219 敖睿成男高三四川省成都七中

M18220 吴思颖女高三辽宁省东北育才学校

M18221 鲁妍女高三北京市人大附中

M18222 罗松岩男高三河北省石家庄市第二中学M18223 郭鹏男高三四川省成都外国语学校

M18224 徐正博男高三辽宁省东北育才学校

M18225 郭家成男高三天津市天津市耀华中学

M18226 李浩然男高一四川省成都七中（林荫校区）M18227 蔡沛豪男高三河南省郑州外国语学校

M18228 李盛石男高三北京市北京市一零一中学M18229 张蔚峻男高二广东省华南师范大学附属中学M18230 梁思恒男高二天津市天津市新华中学

M18231 王瑞辰男高二上海市上海市上海中学

M18232 彭逸飞男高三湖南省长郡中学

M18233 王渭臻男高三湖南省长沙市一中

M18234 王钧涵男高三甘肃省西北师大附中

M18235 李悦铭男高三贵州省遵义市南白中学

M18236 鲁桐君男高三重庆市重庆市第十一中学校M18237 蒲俊凯男高三海南省海南中学

M18238 鄢继鑫男高二福建省福建省福州第一中学M18239 郭语涵男高一河南省郑州一中

M18240 户皓男高三四川省四川省绵阳中学

M18241 徐晏辰男高三上海市复旦大学附属中学M18242 上官修远男高三山东省临沂第一中学

M18243 吴佳昱男高三陕西省西北工业大学附中M18244 闫国玮男高三天津市耀华中学

M18245 程天倚男高三江西省江西省景德镇二中M18246 易睿哲女高三北京市北师大附属实验中学M18247 严彬玮女高二江苏省南京师范大学附属中学M18248 姜政彤男高三贵州省贵阳市第一中学

M18249 刘向益男高二吉林省东北师大附中

M18250 陈晓楠男高三山西省山西省实验中学

M18251 潘逸声男高一海南省海南中学

M18252 杜士泽男高三河北省石家庄市二中

M18253 钟梁骏男高二四川省成都七中

M18254 谢子辰男高二辽宁省东北育才学校

M18255 李子维男高三安徽省宣城中学

M18256 张堡森男高三河北省衡水第一中学

M18257 肖振宇男高三广东省深圳中学

M18258 李军男高三山东省山东省泰安第一中学

M18259 张馨月女高二湖南省湖南师大附中

M18260 王业成男高二内蒙古自治区通辽第五中学

M18261 熊茳楠男高二重庆市重庆一中

M18262 樊喆羽男高三江西省江西科技学院附属中学

M18263 张泽灏男高三内蒙古自治区海拉尔第二中学

M18264 曾楷尧男高三福建省福建省龙岩第一中学

M18265 丁佳翌男高一湖北省华中师范大学附属第一中学M18266 夏楚惟男高三湖南省长沙市第一中学

M18267 叶宇涵男高一广东省深圳中学

M18268 刘方霁男高三宁夏自治区银川二中

M18269 郑文迅男高三浙江省浙江省江山中学

M18270 胡小龙男高三北京市中国人民大学附属中学

M18271 陶涛男高三广西自治区南宁三中

M18272 艾一夫男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18273 张逸尘男高二天津市天津市第一中学

M18274 刘泽熙男高一陕西省西安高新一中

M18275 王煜然男高二山东省青岛二中

M18276 赵子娴女高三浙江省浙江省乐清市知临中学

M18277 李心宇男高一江苏省南京师范大学附属中学

M18278 谢长啸男高二辽宁省大连育明高中

M18279 姚硕资男高一上海市华东师范大学第二附属中学M18280 陆苏扬男高二江苏省南京外国语学校

三等奖（87人）

编号姓名性别年级省市学校

M18281 吴行雨男高二山东省青岛二中

M18282 易晨男高三湖北省湖北省华师一附中

M18283 李郝添男高三四川省成都树德中学（宁夏校区）M18284 杨朝栋男高三辽宁省辽宁省实验中学

M18285 葛佳鑫女高二北京市人大附中

M18286 英乃文女高三河北省石家庄二中

M18287 游灏溢男高三江西省江西师范大学附属中学

M18288 钟蕙颖女高二湖南省长郡中学

M18289 滕博男高三吉林省东北师范大学附属中学

M18290 徐铭锐男高二福建省福建师大附中

M18291 王孜睿女高三河南省郑州外国语学校

M18292 周佳茗男高三江苏省江苏省天一中学

M18293 冯心雨女高三陕西省西安交通大学附属中学

M18294 李子豪男高三河北省石家庄市第二中学

M18295 刘湛男高二江苏省南京外国语学校

M18296 李德江男高三山西省山西大学附属中学

M18297 张海涵男高三吉林省东北师大附中

M18298 张博洋男高一上海市上海市上海中学

M18299 蒋若曦男高三陕西省西安铁一中学

M18300 陈苇远女高二广东省深圳中学

M18301 李明骏男高三重庆市重庆市巴蜀中学校

M18302 郭海杰男高三山东省莒县第一中学

M18303 龚森炜男高三湖北省湖北省荆州中学

M18304 曾柯淏男高三北京市北京市十一学校

M18305 姚骏奕男高二贵州省贵阳市第一中学

M18306 李新鹏男高三湖南省湖南省长沙市长郡中学

M18307 郭尧昱女高一北京市中国人民大学附属中学

M18308 林可馨女高三福建省福建省莆田第一中学

M18309 荆越骞男高三北京市北京师范大学附属实验中学M18310 宁梓豪男高三山东省山东省烟台第一中学

M18311 左博伟男高三湖南省长沙市雅礼中学

M18312 余不悔男高二江西省江西师范大学附属中学

M18313 孟星舟男高三辽宁省大连育明高中

M18314 许一多男高三广东省深圳市高级中学

M18315 陈建达男高三海南省海口中学

M18316 张原铭男高三江西省赣州市第三中学

M18317 张益山男高三宁夏自治区宁夏银川一中

M18318 薄仁轩男高三甘肃省西北师大附中

M18319 杨梓平男高三辽宁省大连市第二十四中学

M18320 龙炳辰男高三河北省衡水第一中学

M18321 张展硕男高三吉林省东北师大附中

M18322 张益玮男高三山东省山东省烟台第二中学

M18323 高天伟男高三北京市北京市第四中学

M18324 汪季轩男高三湖北省湖北省随州市第一高级中学M18325 马康哲男高二广西自治区广西师范大学附属外国语学校M18326 韩林基男高三辽宁省大连第24中学

M18327 李柄辉男高三陕西省西北工业大学附属中学

M18328 郭昊男高三内蒙古自治区赤峰平煤高中

M18329 周威男高三湖南省长沙市一中

M18330 王运泽男高三吉林省吉林市第一中学

M18331 王秉鑫男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校

M18332 黄易男高三内蒙古自治区通辽第五中学

M18333 高乐耘男高三云南省云南师大附中

M18334 张翔宇男高一吉林省吉林省长春市吉大附中实验学校M18335 邓杰男高二湖北省武汉市第二中学

M18336 刘禹希男高三陕西省西北工业大学附属中学

M18337 唐星宇女高三新疆自治区乌鲁木齐市第一中学

M18338 侯程钧男高三天津市天津市耀华中学

M18339 林冠儒男高二福建省福建省泉州第五中学

M18340 宋含章男高三甘肃省甘肃省兰州第一中学

M18341 杨碧茹女高三云南省云南师大附中

M18342 马越男高三新疆自治区新疆石河子市第一中学

M18343 黄彬男高三广西自治区南宁市第二中学

M18344 赵怡玮男高三宁夏自治区银川一中

M18345 孔浩铭男高三河南省郑州外国语学校

M18346 程硕男高三江西省江西省九江第一中学

M18347 白宇鹏男高二山西省山西省实验中学

M18348 王曦来女高三云南省云南师大附中

M18349 高宇豪男高二重庆市重庆南开中学

M18350 李梓硕男高三西藏自治区拉萨江苏实验中学

M18351 邓皓男高三江西省江西师范大学附属中学

M18352 苏立同男高三宁夏自治区宁夏银川一中

M18353 李心婧女高三西藏自治区西藏自治区林芝一中

M18354 保昱冰男高三云南省云南省曲靖市第一中学

M18355 姚泊先男高三宁夏自治区银川一中

M18356 王宇珩男高三青海省青海湟川中学

M18357 陈炜男高二广东省华南师范大学附属中学

M18358 归昱欣女高三青海省青海湟川中学

M18359 陈思明男高三新疆自治区乌鲁木齐第一中学

M18360 侯雅玥女高三青海省青海湟川中学

M18361 胡宁远男高二贵州省贵州省贵阳市第一中学

M18362 王海焜男高二海南省海口中学

M18363 李韬男高三青海省青海湟川中学

M18364 罗浩洋男高三甘肃省甘肃省兰州第一中学

M18365 孙汉琪男高三新疆自治区克拉玛依市第一中学

M18366 郑明轩男高三甘肃省西北师大附中

M18367 陈娴女高三西藏自治区西藏自治区林芝一中

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于，定义为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得为3的倍数，但不是5的倍数？ ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图，⊙与⊙相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ，B ，点P 在⊙的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在 ⊙的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证： 的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ，b ，c 满足3a b c ++=．求证： 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8：00－12：00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形，满足以下条件：最短边长为2007，且最大的角等于最小角的两倍？ 六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ，满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明：存在连续个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L ．

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖（116人，按省市自治区排列） 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ： （1） 对每个正整数i ，有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也 不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

中国数学奥林匹克(CMO)试题和详细解答word版

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明：2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. （1）若存在()1k k n ≤≤，使得()2 2 1p k +，则221p n ≤+. 于是，2p n ≤ <. （2）若对任意的()1k k n ≤≤，( ) 2 2 1p k +?，由条件，知存在1j k n ≤≠≤，使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是，|()()p k j k j -+. 当|()p k j -，则12p k j n n ≤-≤-<；当|()p k j +，则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<， 综上，2p n <. 2、已知n 为正整数，使得存在正整数12,,,n x x x 满足：()12 12100n n x x x x x x n +++=，求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702， 显然：由已知等式得 1n i i x n =≥∑，所以：1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立，则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====，可使上式等号成立

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1．设m 为正整数，如果存在某个正整数n ，使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数（包括1和自身）的商，则称m 是“好数”。求证： （1）1，2，…，17都是好数； （2）18不是好数。 2．设△ABC 是锐角三角形，点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证：△ABC 是等腰三角形。 3．设整数)3(>n n ，非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4．平面内)3(≥n n 个点组成集合S ，P 是此平面内m 条直线组成的集合，满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证：n m ≤，并问等号何时成立？ 第二天 5．设D 是△ABC 内的一点，满足∠DAC=∠DCA=30°，∠DBA=60°，E 是边BC 的中 点， F 是边AC 的三等分点，满足AF=2FC 。求证：DE ⊥EF 。 6．已知a 、b 、c ≥0，.1=++c b a 求证： .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7．给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ，三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根？

8．n 个棋手参加象棋比赛，每两个棋手比赛一局。规定：胜者得1分，负者得0分，平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手，也有一个棋手输给了其余m —1个棋手，就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ，求n 的最小值)(m f ，使得对具有性质)(m P 的任何赛况，都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上，最少取出11枚棋子，才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数，则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2， .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ，设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知，对5,4,3,2,1=i ，满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而，).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此，对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

2013中国数学奥林匹克成绩

2013中国数学奥林匹克成绩 名次姓名性别学校总分1张灵夫男四川绵阳中学126 2宋杰傲男上海中学126 3刘宇韬男上海中学126 4肖非依男华中师范大学一附中126 5夏剑桥男郑州外国语学校126 6陈嘉杰男华南师范大学附属中学126 7高奕博男人大附中126 8胥晓宇男人大附中126 9柳何园男上海中学123 10杨赛超男石家庄二中南校123 11孟 涛男北京四中123 12刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校120 13李大为男复旦大学附属中学120 14郝晨杰男江苏省启东中学120 15马玉聪男武汉二中120 16余张逸航男华中师范大学一附中120 17王 翔男深圳中学120 18刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校117 19宋一凡男石家庄二中117 20饶家鼎男深圳市第三高级中学117 21段柏延男人大附中117 22陈凯文男鄞州中学114 23顾 超男格致中学114 24沈 澈男人大附中114 25金 辉男镇海中学111 26涂瀚宇男四川南充高中108 27李辰星男郑州一中108 28周韫坤男深圳中学108 29陈 成男镇海中学105 30朱晶泽男华东师范大学第二附属中学105 31邓杨肯迪男湖南师大附中105 32廖宇轩男郑州外国语学校105 33任卓涵男郑州一中105 34李 爽男育才中学105 35高继杨男上海华育中学102 36李 笑男湖南师大附中102 37颜公望男武汉六中102 38黄 开男华中师范大学一附中102 39田方泽男中山纪念中学102 40占 玮男合肥一中102 41黄 迪男四川自贡蜀光中学99 42杨卓熠男成都七中99 43杨承业男成都七中99 44丁允梓男上海中学99

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 （2016年8月12‐8月13日） 1、整数3n ≥，将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子，每个盒子各有n 张。其后允许操作如下：每次选其中两个盒子，在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明：总是可以通过有限次操作，使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===，ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P （不同于,B C ），满足 PA PB PC =+，求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点，证明：若AP 过BC 的中点， 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++，已知11S =，对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明：对于任意正整数n ，都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ，使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ，每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行，这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心，AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心，,AO BC 交于L ，AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ，D 是I 在BC 上的投影，求：BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数，在坐标平面上，对于任意整数m ，定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ，定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ，使得对于任意直线l ，均存在与l 有关的实数()l β，满足：对于l 上任意两点,M N ，都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

第五届中国数学奥林匹克 (1990年)

第五届中国数学奥林匹克(1990年) 1.如下图，在凸四边形ABCD中，AB与CD不平行，圆O1过A、B且与 边CD相切于P，圆O2过C，D且与边AB相切于Q，圆O1与O2相交于 E、F。求证：EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。 2.设x是一个自然数，若一串自然数x0=1,x2, ... , x n=x满足x i-10有定义，且满足条件： i.对任何x、y≧0，f(x)f(y)≦x2 f(x/2) +y2 f(y/x)； ii.存在常数M>0，当0≦x≦1时，| f(x) | ≦M。 求证：f(x)≦x2。 4.设a是给定的正整数，A和B是两个实数，试确定方程组： x2 +y2 +z2 =(13a)2，x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3 有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示，并予以证明)。 5.设X是一个有限集合，法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成 的子集)都对应一个实数f(E)，满足条件：

a.存在一个偶子集D，使得f(D)>1990； b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B，有f(A∪ B)=f(A)+f(B)-1990。 求证：存在X的子集P、Q，满足 iii.P∩Q是空集，P∪Q=X； iv.对P的任何非空偶子集S，有f(S)>1990 v.对Q的任何偶子集T，有f(T)≦1990。 6.凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分 图。求证：当且仅当3|n时，存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发，经过图中各线段恰一次，最后回到出发点)。

2017年第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析

B B 第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班） 1.已知数列{}n a 满足()3 1221211 ,,2,,k k k n n n a e a e e a a a n n Z k R -++-++===≥∈∈，求2017 1 i i a =∏ 解：对12211k k k n n n e a a a -++-=两边同时取对数得 ()()()()1 1 11 12l n l n 2l n 1l n 21l n 21l n n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+?+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+?=+-≥ ()()11222n n n n b b k b b n +-?-=-≥ 又21 1121ln 1ln 2,1ln 2n n n n b a e b a a e -=+=+==+=?= 记()2017 2017 201820191 1 21i s i i i S a e e -===-?==∑∏ 2.在ABC ?中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =， 证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+?∠=∠ 证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ， 延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN 一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+?= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ??≌ 所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠ 又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠?∠=∠ 由正弦定理 得sin sin sin sin EM DE DF FN MDE DME DNF NDF ===∠∠∠∠ 所以：EM FN AE AF BE CF =?+=+

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00～12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的，不仅仅是为了数学而数学，其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手，因而提高数学，也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图，设点P 在△ABC 的外接圆上，直线CP 和AC 相交于点E ，直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ，边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证： 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体，它共有8个顶点，12条棱和6 个面，并且其中有4个面，每两个面都有公共棱？ 4.求出所有的正实数a ，使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ，2A ，…，n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ，而且对于每个i A 中的任意两数b >c ，都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00～12∶00 长春 数学竞赛，它对牢固基础知识、发展智力，培养拔尖人才，是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ，y 满足3 x +3y =x -y ,求证： .1422＜y x + 6.设正整数n ≥3，如果在平面上有n 个格点，，，?21P P n P 满足：当j i P P 为有理数时，存在k P ，使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时，存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数，那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数； (2)问：2018是否为好数？ 7.设m ，n 是整数，m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数，求证： .11121m n m a a a n ++?++＜ 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界)，问正方形的 边至少为多长？

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ，求证： () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑． 证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ，则 k k a a =， 1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L ， 把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L ． 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑， 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑． 二、正整数122006,,,a a a L （可以有相同的）使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15：30——19：30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中，连续多年取得很好的成绩，这项竞赛是高中程度，不 包括微积分，但题目需要思考，我相信我是考不过这些小孩子的，因此有人觉得，好的数学家未必长于这种考试，竞赛胜利者也未必是将来的数学家，这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的；匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a ＞0，函数 f : （0，＋∞） → R 满足f （a ）＝1．如果对任意正实数x ，y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ，①求证： f （x ）为常数． 证明： 在①中令x ＝y ＝1，得 f 2（1）＋f 2（a ）＝2 f （1）， （f （1）－1）2 ＝0， ∴ f （1）＝1。 在①中令y ＝1，得 f （x ）f （1）＋f （a x ）f （a ）＝2 f （x ）， f （x ）＝f （ a x ），x ＞0。 ② 在①中取y ＝a x ，得 f （x ）f （a x ）＋f （a x ）f （x ）＝2 f （a ）， f （x ）f （ a x ）＝1。 ③ 由②，③得：f 2（x ）＝1，x ＞0。 在①中取x ＝y ，得 f 2 ）＋f 2 ）＝2 f （t ）， ∴ f （t ）＞0。 故f （x ）＝1，x ＞0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点．△OAD ，△OBC 的外接圆交于O ，M 两点，直线 OM 分别交△OAB ，△OCD 的外接圆于T ，S 两点．求证：M 是线段TS 的中点． 证法1： 如图，连接BT ，CS ，MA ，MB ，MC ，MD 。 ∵ ∠BTO ＝∠BAO ，∠BCO ＝∠BMO ，

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克（广西南宁，11月10日） 第一天 11月10日 上午8：00－12：00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 二、如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N ．O 是△ABC 的外心．求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆． 三、设实数a ，b ，c 满足 3a b c ++=．求证： 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+． 四、设O 是△ABC 内部一点．证明：存在正整数p ，q ，r ，使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ，使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,，满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点，AP ，BP ，CP 分别交边BC ，CA ，AB 于点D ，E ，F ，已知△DEF ∽△ABC ，求证：P 是△ABC 的重心． 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上．从某个白子起，按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L ．再从某个黑子起，按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明：存在连续n 个棋子（不计黑白）， 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L ． 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =，对于,A T A ?≠?，定义()S A 为A 中所有元素之和，问：T 有多少个非空子集A ，使得()S A 为3的倍数，但不是5的倍数？ 解 对于空集?，定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?，令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ，则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-， 因此，3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况： 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-＝87. 若3()S A ，5()S A ，则15()S A . 由于()36S T =，故满足3()S A ，5()S A 的()S A 的可能值为15，30.而 15＝8＋7＝8＋6＋1＝8＋5＋2＝8＋4＋3＝8＋4＋2＋1 ＝7＋6＋2＝7＋5＋3＝7＋5＋2＋1＝7＋4＋3＋1 ＝6＋5＋4＝6＋5＋3+1＝6＋4＋3＋2 ＝5＋4＋3＋2＋1， 36－30＝6＝5＋1＝4＋2＝3＋2＋1. 故满足3()S A ，5()S A ，A ≠?的A 的个数为17. 所以，所求的A 的个数为87－17＝70.

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n，使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n（n是正整数）位女同学参加，每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时，发现这3n位女同学中的任何两位，在同一天担任执勤工作恰好是一次. （1）问：当n=3时，是否存在满足题意的安排？证明你的结论；（2）求证：n是奇数. 3.试求出所有的正整数k，使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线，交⊙O2于另一点A，连结AB，交⊙O1于另一点E，连结CE并延长，交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点，连结HE并延长，交⊙O1于点G，连结BG并延长，与AC的延长线交于点D.求证：AA AH=AA AC. 5.设P1，P2，?，P n(n≥2)是1，2，?，n的任意一个排列.求证： 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y)，满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证：△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1，A2，?，A8是平面上任意取定的8个点，对平面上任意取定的一条有向直线l，设A1，A2，?，A8在该直线上的摄影分别是

2011年中国西部数学奥林匹克试题

2011年中国西部数学奥林匹克试题 江西 玉山 第一天 10月29日 上午 8:00~12:00 每题15分 1、已知0,1x y <<，求 (1) ()(1)(1) xy x y x y x y --+--的最大值． 2、设集合{1,2,,2011}M ?，满足：在M 的任意三个元素中，都可以找到两个元 素,a b 使得|a b 或|b a ．求||M 的最大值（其中||M 表示集合M 的元素个数）． 3、给定整数2n ≥， （I ）求证：可以将集合{1,2, ,}n 的所有子集适当地排列为122,, ,n A A A ，使得i A 与 1i A +的元素个数恰相差1，其中1,2,3, ,2n i =，且121n A A +=; (II)对于满足（I ）中条件的子集122,, ,n A A A ，求21 (1)()n i i i S A =-∑的所有可能值，其中 ()i i x A S A x ∈=∑，()0S ?=. 4、如图，线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦，AB 与CD 的交点为E ，⊙I 内切⊙O 于点F ，且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H ．过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ，使得EP EQ =．直线EF 与直线l 交于点M ，求证：过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线．

第二天 10月30日 上午 8:00~12:00 每题15分 5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,, ,n p p p ，使得 111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数？请证明你的结论． 6、设,,0a b c >，求证：2222 222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c ----++≥++++++++． 7、如图，在ABC ?中，AB AC >，内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点，AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L . 求证：,,,M L H K 四点共圆． 8、求所有的整数对(,)a b ，使得对任意正整数n ，都有1 |()n n n a b ++．

中国女子数学奥林匹克(CGMO)第10届(2011)解答

2011女子数学奥林匹克 2011年8月1日 上午8:00 ~ 12:00广东 深圳市第三高级中学 1．求出所有的正整数n ，使得关于,x y 的方程 111x y n += 恰有2011组满足x y ≤的正整数解(,)x y ． 解：由题设，20()()xy nx ny x n y n n --=?--=．所以，除了x=y=2n 外，x n -取2n 的小于n 的正约数，就可得一组满足条件的正整数解(x , y )．故2n 的小于n 的正约数恰好为2010． 设1 1k k n p p α α= ，其中1,,k p p 是互不相同的素数，1,,k αα 是非负整数．故2n 的 小于n 的正约数个数为 1(21)(21)1 2 k αα++- ， 故1(21)(21)4021k αα++= ． 由于4021是素数，所以1k =，1214021α+=，12010α=． 所以，2010n p =，其中p 是素数．

2．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，边AB、CD的中垂线相交于点F，点M、N分别为边AB、CD的中点，直线EF分别与边BC、AD相交于点P、Q．若M F C D N F AB ?=?且DQ BP AQ CP ?=?，求证：PQ BC ⊥． 证明：连接AF、BF、CF、DF．由题目条件可知△AFB和△CFD都是等腰三角形，FM 和FN分别为这两个等腰三角形底边上的高．由M F C D N F AB ?=?，知△AFB∽△DFC，从而∠AFB=∠CFD，∠FAB=∠FDC． 由∠AFB=∠CFD可得∠BFD=∠CFA，又因FB=FA，FD=FC，所以△BFD≌△AFC．由此可得∠FAC=∠FBD，∠FCA=∠FDB．从而A、B、F、E四点共圆，C、D、E、F四点共圆． 由上可得∠FEB=∠FAB=∠FDC=∠FEC，即直线EP是∠BEC的角平分线，从而EB/EC=BP/CP．同理，ED/EA=QD/AQ．由于DQ BP AQ CP ?=?，所以EB ED EC EA ?=?．由此可得ABCD为圆内接四边形，且点F为其外接圆的圆心．这时，因为 ∠EBC=1 2∠DFC=1 2 ∠AFB=∠ECB，所以E P B C ⊥． Q P M N F E D C B A A B C D E F N M P Q