人教版七年级数学培优班暑期讲义

七年级数学培优班暑期讲义

第一章有理数

§1.有理数的相关概念

整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.

只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5

-互为相反数,即2.5是2.5

-的相反数； 2.5

-是2.5的相反数.

在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5

-的点与原点的距离是5,所以5

-的绝对值是5,记作|5|5

-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.

这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.

例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4

-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）

A. 4 C

B. 8 C

C. 12 C

D. 16 C

例2.下列说法正确的是（）

A. 一个有理数不是整数就是分数

B. 正整数和负整数统称整数

C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数

D. 0不是有理数

例3．数,,

x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）

A. 0

x y z

>>> B. 0

y x z

>>>

C. 0

y x z

<<< D. 0

x y z

<<<

例4.说出下列各数的相反数：

16,－3,0,

1

2007

-,0.001,m,n-,m n

-.

例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）

练习一

1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整

数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2. 下列说服中正确的是（ ） A. 正整数和负整数统称为整数 B. 正数和负数统称为有理数 C. 整数和分数统称为有理数 D. 自然数和负数统称为有理数

3. 以下四个判断中不正确的是

A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数

B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称

C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等

D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等

4. 下面四个命题中,正确的是( ) A. 一切有理数的倒数还是有理数

B. 一切正有理数的相反数必是负有理数

C. 一切有理数的绝对值必是正有理数

D. 一切有理数的平方是正有理数

5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）

A. 1989

B. 1999

C. 2013

D. 2023

6. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.

7. 下列说法中错误的是（ ）

A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.

B. 数轴上原点表示数0.

C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.

D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.

8. 下列说法正确的是（ ）

A. 有最大的整数

B. 有最小的负数

C. 有最大的正数

D. 有最小的正整数

练习二

1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的

图73

210

x 0－1－2－3－4－5

A. 相反数

B. 倒数

C. 绝对值

D. 平方

2. If we have 0,0<-

a

.and a+6>O,then the points in real number

axis,given by a and b,can be represented as( )

(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)

3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是 A. a+b+c>0 B. c>|a+b| C. |a-c|=|a|+c D. |b-c|>|c-a

4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是 A. a,b 是正数,c<0 B. a,c 是正数,b<0 C. b,c 是正数,a<0 D. a,c 是负数,b>0

5. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是 A. 0ab > B. 0ab ≥ C. 0ab < D. 0ab ≤

6. a 为有理数,下列说法中正确的是

A. 21()2007a +为正数

B. 2

1()2007a --为负数

C. 21()2007a +为正数

D. 21

2007

a +

为正数

7. 若a

A. a+b+c+d 一定是正数．

B. d+c-a-b 可能是负数．

C. d-c-b-a 一定是正数．

D. c-d-b-a 一定是正数．

8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.

9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.

10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.

§2. 有理数的运算

－、知识提要

1. 整数和分数统称为有理数.

2. 有理数还可以这样定义：

形如p

m

(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数.

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数. 3. 有理数可以用数轴上的点表示.

4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.

5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.

6. 有理数的运算法则： (1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.

(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.

(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.

乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a . (4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数. 整数的运算律对有理数的运算也适合.

二、例题与练习

例1. 2243(43)-?--?=____________. 例2. 13

117(

0.125)( 1.2)(1)3213

-?-÷-?-=____________ .

实践练习：

1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25?+÷+?.

2. 计算：78(0.125)8-?.

例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .

例4. 314151617181

()()()()()()4556677889910

++++++++++-=_________.

实践练习：

1. 计算：9999999999991999999?+=__________ .

2. 计算：112123

()()233444++++++

1234124849

()()555550505050+++++++++=________ .

3. 计算：11111

(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000

-----=________ .

例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )

(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.

例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足1

0a b

+=,则必有 ( )

(A)210n n

a b ??+= ???. (B)21

210n n a b +??

+= ?

??

.

(C)3210n

n a b ??+= ???. (D)21

2110n n a b ++??

+= ?

??

.

实践练习：

1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( ) (A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数. (C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.

2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( ) (A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.

练习三

1. 计算：211(455)365455211545545365?-+?-?+?=________ .

2. 计算：200120082008200820012000?-?=_________ .

3. 计算：374841

(0.625)()8(1)54

-???-.

4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.

5. 20(0.300.310.320.69)÷+++

+的值的整数部分是_______ .

6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .

7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.

8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?

§3. 有理数的巧算

知识要点：

整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n

m

的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.

有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．

四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.

有理数计算中常用到的一些等式如下：

（1）

11

m n mn m n

+=+；

（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m =-++ （4）()()2

2

a b a b a b +=+-；（5）()11232

n n n ++++

+=；

（6）()()

22221211236

n n n n ++++++=

例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷?-?+?-?????

实践练习： 1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255??

?÷÷?? ???

2、计算：()()()4318

8431 2.524242641515??????----÷+?-÷-?? ?????????

3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050??

+- ????

??÷+ ?????

?-- ???

例2.（1）计算：

1111

122334

19992000

++++

????

（2）计算：

1111

132435

19982000

++++

????

实践练习： 1、计算：1111

599131317

101105

++++

????

2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56

15

3、计算： 22222

2227191111

9917191111

991

++++++++----

例3.计算：2222222123499100101-+-++-+

实践练习：

1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+

2、计算：222222222468101298100-+-+-++-

3、计算：

()()

2

22222222

4610013599123891098321

+++

+-+++++++++++++

+++

练习四

1、计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118

?-?-÷+?+÷

2、计算：137153163127255

248163264128256

+++++++

3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56

15

4、计算：3112122911532140.25534335????

-++-++ ? ?????

5、计算：11111111

1357911131517612203042567290

++++++++

6、计算：2222222213579114951-+-+-++-

7、计算： 1111

166111116

5156

++++

????

8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的1

4

,…,依此类推,一直减去余下的1

1999

,那么最后剩下的数是多少?

第二章 整式

§1．单项式：

1.单项式的概念

由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.

判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.

2.单项式系数和次数

单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式3

1

a 2h,2

πr,a bc,－m 的系数和次数.

例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.

①x ＋1； ②x

1； ③πr 2； ④－2

3a 2b.

例2.下面各题的判断是否正确?

①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥3

1πr 2h 的系数是3

1.

注意：

①圆周率π是常数；

②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.

§2．多项式

1．列代数式：

(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；

(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；

(3)图中阴影部分的面积为_________；

(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.

2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .

几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式

5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.

一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.

单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：

(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.

例1.判断：

①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.

例2.指出下列多项式的项和次数：

(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.

例3.指出下列多项式是几次几项式.

(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.

例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.

课堂练习： ①填空：－4

5a 2b －3

4a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项

为 ,常数项为 ,写出所有的项 .

②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.

§3．多项式的升(降)幂排列

请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?

1．升幂排列与降幂排列：

有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.

例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.

若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.

例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：

按x 降幂排列：

例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.

例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.

(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.

想一想：

观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?

例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.

例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列

.

(1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： .

小结：

对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:

(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；

(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.

§4.同类项

创设问题情境

⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=

观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2,

83, 9a , －3

2

xy , 0, 0.4mn 2

, 9

5

,2xy 2

我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－

3

2xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一

类,还有8

3、0与9

5也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32

xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.

像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的8

3、0与9

5也是同

类项.

例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )

(3)3x 2y 与－3

1yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( )

(5)23与32是同类项. ( )

例2.指出下列多项式中的同类项：

(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋3

1xy 2－2

3yx 2.

例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?

例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)3

1(s ＋t)－5

1(s －t)－4

3(s ＋t)＋6

1(s －t)；

(2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.

课堂练习：

1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?

2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______

§5.整式的加减

为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：

①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?

②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?

可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x ＋25y)元.

由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则：

把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.

例1.找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5种的同类项,并合并同类项.

例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.

(1)2x 2＋3x 2=5x 4； (2)3x ＋2y=5xy ； (3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9b a 2=0.

例3.合并下列多项式中的同类项：

(1) 2a 2b －3a 2b ＋0.5a 2b ； (2)a 3－a 2b ＋a b 2＋a 2b －a b 2＋b 3；

(3)5(x ＋y)3－2(x －y)4－2(x ＋y)3＋(y －x)4.

例4.求多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1的值,其中x=－3.

试一试：把x ＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?

例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a －b ）； （2）（5a －3b ）－3（a 2－2b ）．

(2)计算：5xy 2－[3xy 2－（4xy 2－2x 2y ）]+2x 2y －xy 2． [5xy 2] 小结

去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．

学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.

不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：

（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.

练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.

例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).

例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.

复习题

1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.

3

z

y x ++,4xy,a

1,22

n m ,x 2+x+x

1,0,

x

x 212

-,m,―2.01×105

2.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,5

3xy 5,3

5

3z

y x

-.

3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?

4.化简,并将结果按x 的降幂排列：

(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+2

1)］―(x ―1)；

(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+

2

1(2x 2―xy ―2y 2).

5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+2

1a b)］―5a b 2,其中a =2

1,b=―3

2.

6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―

2

1,y=2

1时,这个多项式的值.

7．如果关于

x 的两个多项式42142

ax x +-

与35b

x

x +的次数相同,求

3

212342

b b b -+-的值.

第三章 一元一次方程

§1.一元一次方程

1. 定义：

方程：含有未知数的等式称为方程.

一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.

解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.

2. 等式的性质：

性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.

性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a b

c c

=. 3. 同解方程和方程的同解原理：

(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.

(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.

方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.

方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ?=与()0f x =或()0g x =是同解方程.

4. 解一元一次方程的一般步骤：

(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数.

解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.

5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解b

x a

=

； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.

例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352

a

--=.

例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.

实践练习：

1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31

342

x x -=+.

2. 解方程：2007122334

20072008

x x x

x

++++

=????.

列简易方程解决问题

例3. 根据下列条件列方程

（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的2

3

比它的相反数小5.

实践练习：

1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.

（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?

（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?

练习一

1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.251

0.0240.0180.012

x x x --+=-

.

2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.

3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.

4. 若关于x 的方程332

x

a x -=+的解是4,求22a a -的值.

5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.

此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.

6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?

例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?

例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?

实践练习：

1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人?

2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?

例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.

实践练习：

1. 已知::2:3:4

a b c

--的值.

a b c

a b c=,27

++=,求22

2. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.

例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?

实践练习：

1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?

例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?