线性代数性质公式整理
线性代数第一章行列式
一、相关概念
1.行列式——n阶行列式a11a12 (1)
a21a22 (2)
············
a n1a n2···a nn
是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积
a1j
1
a2j
2
···a nj
n
的代数和，这里j1j2···j n是1，2，···n的一个排列。当j1j2···j n是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2···j n是奇排列时，该项的前面带负号，即
a11a12 (1)
a21a22 (2)
············a n1a n2···a nn =(?1)τj1j2···j n
j1j2···j n
a1j
1
a2j
2
···a nj
n
(1.1)
这里j
1j2···j n
表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。
2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2···j n表示排列j1j2···j n的逆序数。
3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。
4.2阶与3阶行列式的展开——a b
c d
=ad?bc，
a11a12a13
a21a22a23
a31a32a33
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32?a13a22a31?a12a21a33?a11a23a32
5.余子式与代数余子式——在n阶行列式a11a12 (1)
a21a22 (2)
············
a n1a n2···a nn
中划去a ij所在的第i行，第j
列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式a11...a1,j?1a1,j+1 (1)
··················
a i?1,1···a i?1,j?1a i?1,j+1···a i?1,n
a i+1,1···a i+1,j?1a i+1,j+1···a i+1,n
··················
a n1···a n,j?1a n,j+1···a nn
称为a ij的余子式，记为M ij；称(?1)i+j M ij为a ij的代数余子式，记为A ij，即A ij=(?1)i+j M ij。
6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如A11A21···A n1
A12A22···A n2············
A1n A2n···A nn
，
称为A的伴随矩阵，记作A?。
二、行列式的性质
1.经过转置行列式的值不变，即A T=A→行列式行的性质与列的性质是对等的。
2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.
3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。
4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： a 1+b 1a 2+b 2a 3+b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3
= a 1a 2a 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3 + b 1b 2b 3c 1c 2c 3d 1d 2d 3 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变： a 1
a 2a 3
b 1b 2b 3
c 1c 2c 3 = a 1a 2a 3b 1+ka 1b 2+ka 2b 3+ka 3c 1c 2
c 3 6.代数余子式的性质——行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0
三、行列式展开公式
n 阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 A =a i1A i1+a i2A i2+···+a in A in = a ik A ik n k=1 |A|按i 行展开的展开式
A =a 1j A 1j +a 2j A 2j +···+a nj A nj = a kj A kj n k=1 |A|按j 列展开的展开式
四、行列式的公式
1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；
2.关于副对角线的n 阶行列式的值 A =(?1)n (n ?1)2a 1n a 2,n ?1···a n1
3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A 和B 分别是m 阶和n 阶矩阵，则
A ?O
B = A O ?B
= A · B O A B ? = O A B ?
=(?1)mn A · B 4.范德蒙行列式 11···1x 1x 2···x n x 12x 22···x n 2······ ···x 1n ?1x 2n ?1···x n
n ?1 = (x i ?x j )1≤j ≤i ≤n 5.抽象n 阶方阵行列式公式 (矩阵)
若A 、B 都是n 阶矩阵，A ?是A 的伴随矩阵，若A 可逆，λi (i =1,2…,n)是A 的特征值：
A T = A ； kA =k n A ； |AB|=|A||B|； A 2 = A 2； A ? = A n ?1 A ?1 =1
A ； A = λi n i=1； 若A ~
B ，则 A = B ，且特征值相同。
AA ?=A ?A = A E
一般情况下：|A ±B |≠|A |±|B | 五、行列式的计算
1.数字型行列式
将行列式化为上下三角，再按行或列展开；
化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)k i 倍都加到同一列(行)。
②逐行(或逐列)相加
③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式
数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k 时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。 ②验证n=1和n=2时命题都正确，假设n 2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k 、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。 ☆利用单位矩阵 E =AA ?1=A ?1A 恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。 3.行列式|A|是否为0的判定 若A=[α否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k ≠1时也能得出|A|=0 4.代数余子式求和 ①按定义直接计算求和； ②用行列式的按行或列展开的公式。由于A ij 的值与a ij 的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20 ③利用行列式 任一行元素 与 另一行元素的代数余子式 乘积之和为0的性质 ④根据伴随矩阵A ?的定义，通过求A ?再来求和。 第二章 矩阵 一、矩阵的概念及运算 矩阵——m ×n 个数排成如下m 行n 列的一个表格 a 11a 12···a 1n a 21a 22···a 2n ············a m1a m2···a mn 称为是一个m ×n 矩阵，当m=n 时，矩阵A 称为n 阶矩阵或n 阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O 。 两个矩阵A =[a ij ]m×n ，B = b ij s×t ，如果m=s ，n=t ，则称A 与B 是同型矩阵 两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A 与B 相等，记作A=B 。 矩阵A 是一个表格，而行列式|A|是一个数。 二、矩阵的运算 1.(加法) 设A 、B 是同型矩阵，则A +B =[a ij ]m×n + b ij m×n =[a ij +b ij ]m×n 2.(数乘) kA =k[a ij ]m×n =[ka ij ]m×n 3.(乘法) 若A 为m ×s 矩阵，B 为s ×n 矩阵，则A 、B 可乘，且乘积AB 是一个m ×n 矩阵。记成C =AB =[c ij ]m×n ，其中 c ij = a ik b kj s k=1=a i1b 1j +a i2b 2j +· ··+a is b sj 4.转置 将矩阵A 的行列互换得到矩阵A 的转置矩阵A T 三、矩阵的运算规则 ABC 为同型矩阵，则 1.加法——A +B =B +A ； A +B +C =A + B +C ；A +O =A ；A +(?A)=O 2.数乘——k mA = km A =m kA ； k +m A =kA +mA ； k A +B =kA +kB ； 1A =A ；0A =O 3.乘法 ABC 满足可乘条件 AB C =A BC ；A B +C =AB +AC ；(B +C)A =BA +CA 注意一般情况下AB≠BA AB=O不能推出A=O或B=O AB=B且B≠O，不能推出A=E 对角矩阵AB=a100 0a20 00a3 = b100 0b20 00b3 = a1b200 0a2b20 00a3b3 对角矩阵的逆矩阵a1 a2 a3 ?1 = 1 a1 1 a2 1 a3 4.转置——(A+B)T=A T+B T；(kA)T=kA T；(AB)T=B T；A T T=A 5.伴随矩阵——A?=|A|A?1；AA?=A?A=|A|E； A??1=A?1?=1 A A (|A|≠0)； A?T=A T?；kA?=k n?1A?；A?=|A|n?1； A??=|A|n?2A (n≥2) 6.方阵的幂——(A k)l=A kl， A k A l=A k+l 注意(AB)k=AB AB···(AB)≠A k B k (A+B)k=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2 A+B A?B=A2?AB+BA?B2≠A2?B2 7.特殊方阵的幂(求A n)—— ①若秩r A=1，则A可以分解为两个矩阵的乘积，有A2=lA，从而A n=l n?1A 例如P218 ②特殊的二项式展开(E+B)n ③分块矩阵B O O C n =B n O O C n ④特征值、特征向量、相似 ⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。 四、特殊矩阵 设A是n阶矩阵： ①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成E n或I n ②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。 ③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成Λ。Λ=diag[a1，a2，···，a n] ④上(下)三角阵：当i>j i ⑤对称阵：满足 A T=A，即a ij=a ji的矩阵称为对称阵 ⑥反对称阵：满足 A T=?A，即a ij=?a ji，a ii=0的对称阵称为反对称阵。 ⑦正交阵：A T A=AA T=E的矩阵称为正交阵，即A T=A?1 ⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。 ⑨伴随矩阵：见(一.1.6) A?=A·A?1 五、可逆矩阵 1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。 2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E成立，则称A是可逆矩阵 或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A?1=B 3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E ②|A|≠0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关 ③齐次方程组Ax=0只有零解 ④矩阵A的特征值不全为0 4.逆矩阵的运算性质——若k≠0，则(kA)?1=1 k A?1 若A，B可逆，则(AB)?1=A?1B?1；特别地A2?1=A?12 若 A T可逆，则( A T)?1=( A?1)T；( A?1)?1=A； A?1=1 |A|注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A+B)?1≠ A?1+ B?1 5.求逆矩阵的方法——①若A≠0，则 A?1=1 |A| A? ②初等变换A E行初等变换(E|A?1) ③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且A?1=B ④分块矩阵，设B,C都可逆，则 B O O C ?1 =B?1O O C?1 ；O B C O ?1 =O C?1 B?1O 六、初等变换、初等矩阵 1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。 2.初等变换——设A是m×n矩阵，(倍乘)用某个非零常数k k≠0乘A的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变换。 3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵 倍乘初等矩阵E2k=100 0k0 001 互换初等矩阵E12=010 100 001 倍加初等矩阵E31k=100 010 k01 4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成A?B。若A?E r O O O ，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。) 5.初等矩阵与初等变换的性质—— ①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵； ②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵 E i?1k=E i1 k ，E ij?1=E ij，E ij?1k=E ij?k ③P1AP2左行右列 ④当A时可逆矩阵时，则A可作一系列初等行变换成单位矩阵，即存在初等矩阵P1，P2，···，P N，使得P N···P2P1A=E 七、矩阵的秩 1.求秩的主要方法：经过初等变换矩阵的秩不变；如果A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B) 2.矩阵的秩——设A是m×n矩阵，若A中存在r阶子式不等于0，且所有r+1阶子式均为0，则称矩阵A的秩为r，记成r(A)，零矩阵的秩规定为0。 3.矩阵的秩的性质—— r(A)=r?矩阵A中非零子式的最高阶数是r r(A) r(A)≥r?A中有r阶子式不为0 特别地，r A=0?A=O；A≠O?r(A)≥1 若A是n阶矩阵，r(A)=n?|A|≠0?A可逆 r A 若A是m×n矩阵，则r(A≤min m,n) 4.矩阵的秩的公式—— r A=r(A T)；r A T A=r(A) 当k≠0时，r kA=r(A)；r A+B≤r A+r B r AB≤min r A,r B；若A可逆，则r(AB)=r(B)，r(BA)=r(B) 若A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，则r A+r B≤n 分块矩阵r A O O B =r A+r B。 八、分块矩阵 1.概念——将矩阵用若干纵线和横线分成许多小块，每一小块称为原矩阵的子矩阵(或子块)，把子块看成原矩阵的一个元素，则原矩阵叫分块矩阵。 由于不同的需要，同一个矩阵有不同的方法分块，可以行分块，以列分块等。 2.分块矩阵的运算——对矩阵适当地分块处理(要保证相对应子块的运算能够合理进行)，就有如下运算法则： A1A2 A3A4+B1B2 B3B4= A1+B1A2+B2 A3+B3A4+B4 A B C D X Y Z W =AX+BZ AY+BW CX+DZ CY+DW A B C D T =A T C T B T D T 若B,C分别是m阶与s阶矩阵，则B O O C n =B n O O C n ， 若B,C分别是m阶与s阶可逆矩阵，则B O O C ?1 =B?1O O C?1 ，O B C O ?1 =O C?1 B?1O 若A是m×n矩阵，B是n×S矩阵且AB=O，对B和O矩阵按列分块有AB=Aβ1,β2,...,βs=Aβ1,Aβ2,...,Aβs=[0,0, 0 Aβi=0 (i=1,2,···,s)即B的列向量是齐次方程组Ax=0的解。 线性表出P214 第三章、向量 一、n维向量的概念与运算 1.n维向量——n个有序数组a1,a2,···,a n所构成的一个有序数组成为n维向量，记成a1,a2,···,a n或a1,a2,···,a n T，分别称为n维行向量或n维列向量，数a i称为向量的第i个分量。 2.零向量——所有分量都是0的向量称为零向量，记为0 3.相等——n维向量α=(a1,a2,···,a n)T 与n维向量β=(b1,b2,···,b n)T 相等，即 α=β?a1=b1,a2=b2,···,a n=b n 4.运算——n维向量α=(a1,a2,···,a n)T 与β=(b1,b2,···,b n)T (加法)α+β=(a1+b1,a2+b2,···,a n+b n)T α+β=β+α，α+β+γ=α+β+γ，α+0=0+α=α (数乘) kα=ka1,ka2,···,ka n T 1·α=α，k lα=(kl)α，k+lα=kα+lα，kα+β=kα+kβ(内积) α,β=a1b1+a2b2+···+a n b n=αTβ=βTα α,α=a12+a22+···+a n2=αTα，称a12+a22+···+a n2为向量α的长度。 α,β=β,αkα,β=kα,β=α,kβ α+β,γ=α,γ+β,γ，α,α≥0，等号成立当且仅当α=0。 特别地，如α,β=0，则称α与β正交 二、线性表出、线性相关 1.线性组合——m个n维向量a1,a2,···,a m及m个数k1,k2,···,k m所构成的向量 k1a1+k2a2+···+k m a m 称为向量组a1,a2,···,a m的一个线性组合，数k1,k2,···,k m称为组合系数。 2.线性表出—— ①对n维向量a1,a2,···,a s和β，如果存在实数k1,k2,···,k s，使得 k1a1+k2a2+···+k s a s=β 则称向量β是向量a1,a2,···,a s的线性组合，或者说向量β可由a1,a2,···,a s线性表出。 ②设有两个n维向量组(Ⅰ)a1,a2,···,a s；(Ⅱ)β1,β2,···,βt；如果(Ⅰ)中每个向量a i都可由(Ⅱ)中的向量β1,β2,···,βt线性表出，则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出。 如果(Ⅰ) 、(Ⅱ)这两个向量组可以互相线性表出，则称这两个向量组等价。 等价向量组具有传逆性、对称性、反身性。 向量组和它的极大线性无关组是等价向量组。 向量组的任意两个极大无关组是等价向量组。 等价的向量组有相同的秩，但秩相等的向量组不一定等价。 3.线性相关、无关——对于n维向量a1,a2,···,a s，如果存在不全为零的数k1,k2,···,k s，使得 k1a1+k2a2+···+k s a s=0 则称向量组a1,a2,···,a s线性相关，否则称它线性无关。 关于线性无关，只要k1,k2,···,k s不全为零，必有k1a1+k2a2+···+k s a s≠0，或者，当且仅当k1=k2=···=k s=0时，才有k1a1+k2a2+···+k s a s=0 显然，含有：零向量，相等向量，坐标成比例的向量组都是线性相关的，而阶梯形向量组一定是线性无关的。 证明：证明线性无关通常的思路是：用定义法(同乘或拆项重组)，用秩(秩等于向量个数则线性无关)，齐次方程组只有零解或反证法。 4.重要定理—— ①n维向量组a1,a2,···,a s线性相关?齐次方程组a1,a2,···,a s x1 x2 ··· x s =0有非零解 ?秩r(a1,a2,···,a s) ②n个n维向量a1,a2,···,a n线性相关?行列式a1,a2,···,a s=0 ③n+1个n维向量必线性相关。 ④如果a1,a2,···,a r线性相关，则a1,a2,···,a r,a r+1,···,,a s必线性相关。 ⑤如果n维向量组a1,a2,···,a s线性无关，则它的延伸组a1 β1, a2 β2,···, a s βs必线性无关。 ⑥n维向量β可由a1,a2,···,a s线性表出?非齐次方程组a1,a2,···,a m x1 x2 ··· x m =β有解 ?秩r a1,a2,···,a m=r a1,a2,···,a m,β ⑦向量组a1,a2,···,a s线性相关?至少有一个向量a i由其余s-1个向量线性表出。 ⑧向量组a1,a2,···,a s线性无关，而向量组向量组a1,a2,···,a s,β线性相关，则向量β可由a1,a2,···,a s线性表出，且表示方法唯一。 ⑨设有两个n维向量组(Ⅰ)a1,a2,···,a s；(Ⅱ)β1,β2,···,βt，如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出，且s>t，则a1,a2,···,a s必线性相关。 若n维向量组a1,a2,···,a s可由β1,β2,···,βt线性表出，且a1,a2,···,a s线性无关，则s≤t 三、极大线性无关组、秩 1.概念——设向量组a1,a2,···,a s中，有一个部分组a i1,a i2,···,a i r(1≤r≤s)，满足条件 ①a i 1,a i 2 ,···,a i r 线性无关； ②再添加任一向量a j(1≤j≤s)，向量组a i1,a i2,···,a i r必线性相关；(向量组a1,a2,···,a s中 任何一个向量a j必可由a i 1,a i 2 ,···,a i r 线性表出) 则称向量组a i 1,a i 2 ,···,a i r 是向量组a1,a2,···,a s的一个极大线性无关组。 注：只有一个零向量构成的向量组没有极大线性无关组。 一个线性无关的向量组的极大线性无关组是该向量组本身。 向量组的极大线性无关组一般不唯一,但其极大线性无关组的向量个数是一样的。 2.秩——向量a1,a2,···,a s的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩。记为r a1,a2,···,a s=r。(r a1,a2,···,a s≤r a1,a2,···,a s+1) 如果向量组(Ⅰ)a1,a2,···,a s可由(Ⅱ)β1,β2,···,βs线性表出，则rⅠ≤rⅡ 3.注意——求向量组的极大无关组时，只能都作行变换(或都做列变换)，不能混合行列变换。 如果只是求向量组的秩，则可以混合行列变化。 四、施密特正交化、正交矩阵 1.正交矩阵——设A是n阶矩阵，满足AA T=A T A=E，则A是正交矩阵。 A是正交矩阵?A T=A?1 ?A的向量组是正交规范向量组，如A是正交矩阵，则行列式A=1或?1。 2.施密特正交化——设向量组α1,α2,α3线性无关，其正交规范化方法步骤如下： 令β1=α1 β2=α2?(α2,β1) (β1,β1) β1 β3=α3?(α3,β1) (β1,β1)β1?(α3,β2) (β2,β2) β2， 则β1，β2，β3两两正交。 再将β1，β2，β3单位化，取γ1=β1 β1，γ2=β2 β2 ，γ3=β3 β3 则γ1，γ2，γ3是正交规范向量组(即两两正交且均是单位向量) 第四章线性方程组一、克拉默法则 1.概念——若n个方程n个未知量构成的非齐次线性方程组a11x1+a12x2+···+a1n x n=b1 a21x1+a22x2+···+a2n x n=b2 ··· a n1x1+a n2x2+···+a nn x n= b n 的系数行列式A≠0，则方程组有唯一解，且x i=A i A ，i=1,2,…n。其中A i是A中的第i 列元素(即x i的系数)替换成方程组右端的常数项b1,b2,…,b n所构成的行列式。 2.推论——若包含n个方程n个未知量的奇次线性方程组a11x1+a12x2+···+a1n x n=0 a21x1+a22x2+···+a2n x n=0 ··· a n1x1+a n2x2+···+a nn x n=0 的 系数行列式A≠0的充要条件是方程组有唯一解，反之，齐次线性方程组有非零解的充要条件是A=0。 二、齐次线性方程组 1.形式——n个未知量m个方程组成的方程组 向量形式：α1x1+α2x2+···+αn x n=0其中αj=a1j,a2j,···,a mj T 矩阵形式：A m?n X=0 2.齐次线性方程组的解——若将有序数组c1,c2,···,c n代入方程组的未知量x1,x2,···,x n，使每个方程等式成立，则称c1,c2,···,c n T为方程组的一个解(或解向量)，记成ξ=c1,c2,···,c n T 3.齐次线性方程组的基础解系—— 设ξ1,ξ2,···,ξn?r是AX=0的解向量，若满足 ①ξ1,ξ2,···,ξn?r线性无关； ②AX=0的任一解向量ξ均可由ξ1,ξ2,···,ξn?r线性表出。等价于： (加入任一解向量ξ，使得ξ1,ξ2,···,ξn?r线性相关) (r(A)=r，即线性无关解向量的个数为n?r，满足r(A)+线性无关解的个数=n) 则称向量ξ1,ξ2,···,ξn?r是AX=0的基础解系。 4.AX=0的解的性质——若ξ1,ξ2是齐次线性方程组AX=0的解，则kξ1,k1ξ1+k2ξ2仍是AX=0的解，其中k1,，k2是任意常数。推广到多个解 5.AX=0有解的条件——齐次线性方程AX=0一定有解，至少有非零解。 AX=0只有零解?方程组的列向量组线性无关? r a1,a2,···,a n=n AX=0有非零解?方程组的列向量组线性相关? r a1,a2,···,a n 6.基础解系向量个数与秩的关系——若A是m×n矩阵，r(A)=r 基础解系向量个数+r A=n (未知量个数) 7.AX=0的通解——设ξ1,ξ2,···,ξn?r是AX=0的基础解系，则k1ξ1+k2ξ2+···+k n?rξn?r是AX=0的通解，其中k i是任意常数。 8.基础解系和通解的求法——初等行变换 三、非齐次线性方程组 1.形式——n 个未知量m 个方程组成的方程组 向量形式：α1x 1+α2x 2+···+αn x n =b 其中αj = a 1j ,a 2j ,···,a mj T 矩阵形式：A m?n X =b b = b 1,b 2,···,b m T 2.AX=b 的解的性质——设η1,η2是AX=b 的两个解，ξ是对应齐次方程AX=0的解，则 A η1?η2 =0，A η1+k ξ =b 3.AX=b 有解的条件—— AX=b 无解?b 不能由A 的列向量组α1,α2,···,αn 线性表出 ?r(A)≠r(A|b) r A +1=r(A|b) AX=b 有解? b 可以由A 的列向量组α1,α2,···,αn 线性表出 ?r(A)=r(A|b) ? α1,α2,···,αn ? α1,α2,···,αn ,b AX=b 有唯一解?r α1,α2,···,αn =r (α1,α2,···,αn ,b )=n ?α1,α2,···,αn 线性无关，α1,α2,···,αn ,b 线性相关 ? b 可以由A 的列向量组α1,α2,···,αn 线性表出且表示唯一。 AX=b 有无穷解? r α1,α2,···,αn =r (α1,α2,···,αn ,b )=r ?α1,α2,···,αn 线性相关，b 可由α1,α2,···,αn 线性表出且表示不唯一。 4.AX=b 的通解结构——对应的齐次通解+非齐次的一个特解。 5.AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A —— 齐次线性方程组有解β= b 1,b 2,···,b n ，故AX=0的系数行向量αi 和解向量β有如下关系： αi βT =0，故A 的行向量与AX=0的解向量是正交向量； βαi T =0，即将解向量作齐次方程组的行向量时，A 的行向量既是该方程组的解向量。 6. AX=0的系数列向量和解向量的关系——P260 7.两个方程组的公共解—— 方程组AX =0和BX =0的公共解是满足方程组 A B X =0的解。P263 8.同解方程组——若A 是m ×n 实矩阵，AX =0和A T AX =0是同解方程组，有r A =r A T A =r AA T 第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 一、特征值、特征向量 1. 特征值——A 是n 阶方阵，如果对于数λ，存在非零向量α，使得A α=λα (α≠0)，成立，则称λ是A 的特征值，α是A 的对应于λ的特征向量。 2.特征多项式—— λE ?A α=0，因α≠0，故 λE ?A =0，此为特征多项式，矩阵λE ?A 称为特征矩阵。 3.特征值的性质——设A = a ij n×n ,λi (i =1,2,…,n)是A 的特征值，则 ① λi n i=1= a ii n i=1； ② λi n i=1= A 4.求特征值、特征向量的方法—— 方法一：设A = a ij n×n ，则由 λE ?A =0求出A 的全部特征值λ，再有齐次线性方程 组λi E?A X=0求出A的对应于特征值λi的特征向量。基础解系即是A的对应于λi的线性无关特征向量，通解即是A的对应于λi的全体特征向量。(除0向量) 方法二：利用定义，凡满足关系式Aα=λα (α≠0)的数即是A的特征值，α即是A对应于λ的特征向量。一般用于抽象矩阵，或元素为文字的矩阵。P269 二、相似矩阵、矩阵的相似对角化 1.相似矩阵——设A、B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得P?1AP=B，则称A相似于B，记成A~B。若A~Λ，其中Λ是对角阵，则称A可相似化。Λ是A的相似标准型。 2.矩阵可相似对角化的充要条件—— ①n阶矩阵A可对角化?A有n个线性无关的特征向量。 ②λ1≠λ2是A的特征值→A的对应于λ1,λ2的特征向量α1,α2线性无关。 ③n阶矩阵A有n个互不相同的特征值λ1≠λ2≠···≠λn， →A有n个线性无关特征向量α1,α2,…,αn ?A可相似于对角阵。 ④λi是n阶矩阵A的r i重特征值，则其对应的线性无关特征向量个数≤r i个 ⑤n阶矩阵A可相似对角化?A的每一个r i重特征值对应的线性无关特征向量个数等于该特征值的重数r i ⑥当A的r i重特征值λi对应的线性无关特征向量个数少于特征值的重数r i时，A不能相似于对角阵。 3.性质——A~A反身性A~B→B~A 对称性若A~B，B~C→A~C 传递性 4.两个矩阵相似的必要条件 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90o ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==-g ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中，是一个函数，其定义域为的矩阵，取值为一个标量，写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说，在维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如： ），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行 列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵： A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a ， 行列式也写作，或明确的写作： A= i h g f e d c b a ， 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。 ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????;(主对角分块) ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ;(副对角分块) ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ;(拉普拉斯) ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ;(拉普拉斯) 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ,总可经过初等变换化为标准形,其标准形就是唯 一确定的:r m n E O F O O ??? = ???; 等价类:所有与A 等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵; 对于同型矩阵A 、B ,若()()r A r B A B = ? :; 2. 行最简形矩阵: ①、只能通过初等行变换获得; ②、每行首个非0元素必须为1; ③、每行首个非0元素所在列的其她元素必须为0; 3. 初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换) ①、 若(,)(,)r A E E X :,则A 可逆,且1 X A -=; ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化,当A 变为E 时,B 就变成1 A B -, 即:1 (,)(,) c A B E A B - ~ ; ③、求解线形方程组:对于n 个未知数n 个方程Ax b =,如果(,)(,)r A b E x :,则A 可逆,且1 x A b -=; 4. 初等矩阵与对角矩阵的概念: ①、初等矩阵就是行变换还就是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵; 线性代数性质公式整 的乘积 的代数和，这里帘汀?是1, 2,?n ?的一个排列。当? 是偶排列时，该项的 前面带正号；当 是奇排列时，该项的前面带负号，即 | 釦1 a l2 V 这里. 表示对所有n 阶排列求和。式（1.1）称为n 阶行列式的完全展开式 2. 逆序与逆序数 ——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这 两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列 '的逆序数。 3. 偶排列与奇排列一一如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排 列，否则称为奇排列 忖h 4.2阶与3阶行列式的展开一 |匚d =ad - he a 21 a 22 也 3 对1 日32 ^33 =^^22333 + ^12a 23^31 + a 13a 21a 32 _ a 13a 22a 31 ~ 312^21^33 _ a ll a 23 a 32 、相关概念 1?行列式 线性代数 第一章行列式 町1 31? a 22 … di ?1!| ? |i gi f di f ■ ■1 P ? a n i 鈿.2 a t]n 是所有取自不同行不同列的 n 阶行列式 n 个元素 行，第j 列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 n-1阶的行列式 6.伴随矩阵一一由矩阵A 的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 、行列式的性质 1. 经过转置行列式的值不变，即I ：l A l'k 行列式行的性质与列的性质是对等 的。 2. 两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同 （或两行成比例），行列式 的值为0. 3. 某行如有公因子k ,则可把k 提出行列式记号外。 4. 如果行列式某行（或列）是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和: 5.把某行的k 倍加到另一行，行列式的值不变: pi 岂为 a l 旳 b ］帕 b :t =b t + 斶 b? + kaj b$ + 1“巳5 1 c i “ 卬 6.代数余子式的性质一一行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积 5.余子式与代数余子式——在n 阶行列式 日12… ^22 … 屯】】 4)-| * || || * 甲章■ ■1 p III 釘2 … a t ］n an - 日］』1 1 … … … … a i - 14 …a i -1J- 1 邳Li 丰 a i + u …+ i,j -1 a i + 1.| + *** *** … 2［订 … ^ll,j -1 a IIJ +1 （-1）2叫为％的代数余子式，记为 ?1 - Ln + Im Aij 称为呦的余子式，记为 ，即A 产（-1严叫 ii ；称 A 】 】 A12 A21 … A 22 ...A (2) A lllv ,称为A 的伴随矩阵，记作… 中划去所在的第i 线性代数公式 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 8. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1) (1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1 (1) n n D D -=-；(1) 2 2 (1) n n D D -=- 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4 D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明 A =的方法： ①、 A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关 于 副 对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 线性代数公式必记 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1)n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； 考研数学线性代数常用公式 数学考研考前必背常考公式集锦。希望对考生在暑期的复习中有所帮助。本文内容为线性代数的常考公式汇总。 1、行列式的展开定理 行列式的值等于其任何一行（或列）所有元素与其对应的代数余子式乘积之 和，即 C 的 3、设A 为n 阶方阵，*A 为它的伴随矩阵则有**==AA A A A E . 设A 为n 阶方阵，那么当AB =E 或BA =E 时，有1-B =A 4、 对单位矩阵实施一次初等变换得到的矩阵称之为初等矩阵.由于初等变换有三种，初等矩阵也就有三种： 第一种：交换单位矩阵的第i 行和第j 行得到的初等矩阵记作ij E ，该矩阵也 可以看做交换单位矩阵的第i 列和第j 列得到的.如1,3001010100?? ?= ? ?? ?E . 第二种：将一个非零数k 乘到单位矩阵的第i 行得到的初等矩阵记作()i k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵第i 列乘以非零数k 得到的.如 2100(5)050001?? ?-=- ? ?? ?E . 第三种：将单位矩阵的第i 行的k 倍加到第j 行上得到的初等矩阵记作()ij k E ；该矩阵也可以看做将单位矩阵的第j 列的k 倍加到第i 列上得到的.如 3,2100(2)012001?? ?-=- ? ??? E . 注： 1）初等矩阵都只能是单位矩阵一次初等变换之后得到的. 2）对每个初等矩阵，都要从行和列的两个角度来理解它，这在上面的定义中已经说明了.尤其需要注意初等矩阵()ij k E 看做列变换是将单位矩阵第j 列的k 倍加到第i 列，这一点考生比较容易犯错. 5、矩阵A 最高阶非零子式的阶数称之为矩阵A 的秩，记为()r A . 1）()()(),0r r r k k ==≠T A A A ； 2）()1r ≠?≥A O A ； 3）()1r =?≠A A O 且A 各行元素成比例； 4）设A 为n 阶矩阵，则()0r n =?≠A A . 6、线性表出 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，12,,...m k k k 是m 个常数，则称1122...m m k k k ααα+++为向量组12,,...,m ααα的一个线性组合. 设12,,...,m ααα是m 个n 维向量，β是一个n 维向量，如果β为向量组 线性代数公式大全 1、行列式 1. n 行列式共有2 n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式：A O A C A B C B O B ==、(1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 6. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：* * AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1* *1 11**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== * * * 1 1 1 ()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 若12 s A A A A ?? ? ?= ? ?? ? ，则： Ⅰ、12s A A A A = ； Ⅱ、1 1112 1s A A A A ----?? ? ?= ? ? ?? ? ； ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ????? ；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ??= ? ? ???? ；（副对角分块） ④、1 1111A C A A CB O B O B -----?? -?? = ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、1 111 1A O A O C B B CA B -----?? ?? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：r m n E O F O O ???= ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： 概念、性质、定理、公式必须清楚，解法必须熟练，计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ????? ?? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○注：全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间. ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a^的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：M ij （ 1）i j A ij A ij （ 1）i j M ij 4. 设n行列式D : n（n 1）n（n 1）将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D!，则U （ 1）F D；D2 （ 1L D 将D顺时针或逆时针旋转90o，所得行列式为D2，贝U； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3 D ； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4 D ； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； n（n 1） ②、副对角行列式：副对角元素的乘积（1）h ； ③、上、下三角行列式（、i ）:主对角元素的乘积; n （n 1） ④、匚和丄：副对角元素的乘积（1）F ； ⑤、拉普拉斯展开式: A||B、(1)mgn A B ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； n 6. 对于n阶行列式A，恒有：E A n（1）W nk，其中S k为k阶主子式; k 1 7. 证明A 0的方法： ①、A A ； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax 0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r（A） n ; ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A是n阶可逆矩阵： A 0 （是非奇异矩阵）； r（A） n （是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax 0有非零解； b R n，Ax b总有唯一解； 概率论公式大全（2010版） 1．随机事件及其概率 吸收律：A AB A A A A =?=??Ω=Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)( )(AB A B A B A -==- 反演律：B A B A =? B A AB ?= n i i n i i A A 11=== n i i n i i A A 11=== 2．概率的定义及其计算 )(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式：对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )()1()()()()(2111111n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++- =∑∑∑ 3．条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑==n i i AB P A P 1)()( )()(1i n i i B A P B P ?=∑= Bayes 公式 )(A B P k )()(A P AB P k = ∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()()()( 4．随机变量及其分布 分布函数计算 ) ()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0,)1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0!)1(l i m ==---∞→k k e p p C k k n n k n k n n λλ (3) Poisson 分布 )(λP ,2,1,0,!)(===-k k e k X P k λλ 线性代数重点公式 目录 1 行列式 (1) 2 矩阵 (2) 3 矩阵的初等变换与线性方程组 (3) 4 向量组的线性相关性 (6) 5 相似矩阵和二次型 (9) 1 行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1)2 1(1) n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D ，则(1)2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1) i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D ： 将D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D ，则(1) 2 1(1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90 ，所得行列式为2D ，则(1) 2 2(1) n n D D -=-； 将D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D ，则3D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4D ，则4D D =； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1) 2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1) 2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1) m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ -=-=+ -∑，其中k S 为k 阶主子式； 7. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0 Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ? 齐次方程组0 Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； 概念、性质、定理、公式必须清楚,解法必须熟练,计算必须准确 (),n T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==??≠≠≠??∈=?可逆 的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ， 0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i A p p p p n B AB E AB E ?? ??? ??????? ??=????==?? 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 ○ 注:全体n 维实向量构成的集合n R 叫做n 维向量空间、 ()A r A n A A A Ax A ολ<=?==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的?? ?? ?????特征向量 ○ 注 ()()a b r aE bA n aE bA aE bA x οολ+ 1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= =-∑ L L L L L M M M L 1 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式的乘积之与、 推论:行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之与等于零、 ②若A B 与都就是方阵(不必同阶),则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==**=-1(拉普拉斯展开式) ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积、 ④关于副对角线: (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 (即:所有取自不同行不同 列的n 个元素的乘积的代数与) ⑤范德蒙德行列式:()1 2 2 22 12 11 1 1 12n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 由m n ?个数排成的m 行n 列的表111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵、记作:()ij m n A a ?=或m n A ? () 1121112 222* 12n T n ij n n nn A A A A A A A A A A A ?? ? ? == ? ??? L L M M M L ,ij A 为A 中各个元素的代数余子式、 √ 逆矩阵的求法: ① 1 A A A * -= ○注: 1 a b d b c d c a ad bc --????= ? ? --?? ??1 L L 主换位副变号 1. n 行列式共有2 n 个元素,展开后有!n 项，可分解为2n 行列式; 2. 代数余子式的性质: ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行(列）的元素乘以其它行（列)元素的代数余子式为０； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 设n 行列式D : 将D 上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D ,则(1)2 1 (1)n n D D -=-； 将D 顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2 D ，则(1)2 2 (1) n n D D -=-; 将D 主对角线翻转后（转置)，所得行列式为3 D ，则3 D D =； 将D 主副角线翻转后，所得行列式为4 D ,则4 D D =; 5. 行列式的重要公式: ①、主对角行列式:主对角元素的乘积; ②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢:副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -; ⑤、拉普拉斯展开式 : A O A C A B C B O B = =、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n 阶行列式A ,恒有：1 (1) n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子 式； 7. 证明0A =的方法: ①、A A =-; ②、反证法; 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 n A B s A ?? 2 s A A ；12 A - ②、1 11A O A O O B O B ---?? ?? = ? ?????；（主对角分块） ③、1 11O A O B B O A O ---?? ?? = ? ? ???? ；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B O B -----?? -??= ? ????? ；（拉普拉斯） ⑤、 11111A O A O C B B CA B -----???? = ? ?-???? ；（拉普拉斯） 3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m n ?矩阵A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一 确定的：r m n E O F O O ??? = ???； 等价类：所有与A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A 、B ，若()()r A r B A B = ? ； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ①、 若(,)(,)r A E E X ，则A 可逆，且1 X A -=； ②、对矩阵(,)A B 做初等行变化，当A 变为E 时，B 就变成1 A B -，即： 1(,)(,) c A B E A B - ~ ； ③、求解线形方程组：对于n 个未知数n 个方程Ax b =，如果(,)(,) r A b E x ， 则A 可逆，且1 x A b -=； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 线性代数性质公式整 理 线性代数 第一章行列式 一、相关概念 1.行列式——n阶行列式是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里是1，2，···n的一个排列。当是偶排列时，该项的前面带正号；当是奇排列时，该项的前面带负号，即 (1.1) 这里表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。 2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用 表示排列的逆序数。 3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。 4.2阶与3阶行列式的展开——， 5.余子式与代数余子式——在n阶行列式中划去所在的第i 行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式 称为的余子式，记为；称 为的代数余子式，记为，即。 6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如 ，称为A的伴随矩阵，记作。 二、行列式的性质 1.经过转置行列式的值不变，即→行列式行的性质与列的性质是对等的。 2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0. 3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。 4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和： 5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变： 6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0 三、行列式展开公式 n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即 |A|按i行展开的展开式 |A|按j列展开的展开式 四、行列式的公式 1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积； 2.关于副对角线的n阶行列式的值 3.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则 4.范德蒙行列式 5.抽象n阶方阵行列式公式 (矩阵) 若A、B都是n阶矩阵，是A的伴随矩阵，若A可逆，是A的特征值： ；； |AB|=|A||B|；； ；；若，则，且特征值相同。 一般情况下：线性代数性质公式
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