搜档网
当前位置:搜档网 › 七年级数学暑假班讲义:第15讲 整式的乘除法综合(教师版)

七年级数学暑假班讲义:第15讲 整式的乘除法综合(教师版)

七年级数学暑假班讲义:第15讲 整式的乘除法综合(教师版)
七年级数学暑假班讲义:第15讲 整式的乘除法综合(教师版)

1 / 19

在整式及其加减运算后,进一步学习整式的乘除,是对整式运算的延展和补充.整式的乘除法的基础是同底数幂的乘法和除法,幂的乘方和积的乘方,单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘,单项式除以单项式、多项式除以单项式等运算.

通过这节课的学习,一方面加强对整式乘除运算的进一步理解,另一方面也为后期学习分式的运算奠定基础.

1、单项式与单项式相乘的法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式,其余字母连同它的指数不变,也作为积的因式.

注:单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算,应按”先乘方、再乘法”的顺序进行.例如:()()()22224245234312xy x y x y x y x y ?-=?-=-.

2、单项式与多项式相乘法则:单项式与多项式相乘,用单项式乘以多项式的每一项.再把所得的积相加.例如:()m a b c ?++=ma mb mc ++.

3、多项式乘以多项式法则:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.

用公式表示为:()()()()m n a b m n a m n b ma na mb nb ++=+++=+++.

4、同底数幂的除法法则:

同底数幂相除,底数不变,指数相减.

用式子表示为:m n m n a a a -÷=(m 、n 都是正整数且m n >,0a ≠).

整式的乘除法综合 知识结构

知识精讲 内容分析

5、规定()010a a =≠;1p p a a

-=(0a ≠,p 是正整数). 6、单项式除以单项式的法则:

两个单项式相除,把系数、同底数幂分别相除作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.

7、多项式除以单项式的法则:

多项式除以单项式,先把多项式的每一项除以单项式,再把所得的商相加.

(1)多项式除以单项式,商式与被除式的项数相同,不可丢项.

(2)要求学生说出式子每步变形的依据.

(3)让学生养成检验的习惯,利用乘除逆运算,检验除的对不对.

一、选择题

1. 下列运算中结果正确的是( ).

A 、336x x x ?=;

B 、224325x x x +=;

C 、()325x x =;

D 、()2

22x y x y +=+. 【难度】★

【答案】A 【解析】B 正确答案为:222325x x x +=;

C 正确答案为()3

26x x =; D 正确答案为()2222y xy x y x ++=+. 【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.

2. 在下列的计算中正确的是(

). A 、255x y xy +=

B 、()()2224a a a +-=+

C 、23a ab a b ?=

D 、()22369x x x -=++ 【难度】★

【答案】C

【解析】A 的两个单项式不能合并;

B 正确答案为()()2224a a a +-=-;

D 正确答案为()22369x x x -=-+. 【总结】本题主要考查对整式的运算法则的理解和运用.

3. 下列运算中正确的是(

).

A 、()()632632x x x ÷=

B 、()()826842x x x ÷=

C 、()()233xy x y ÷=

D 、()()2

22x y xy xy ÷= 【难度】★

【答案】B

【解析】A 正确答案为()()

633632x x x ÷=; C 正确答案为()()22333xy x xy ÷=; D 正确答案为()

()2221x y xy ÷=. 【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.

4. 计算()()()224a b a b ab ??+--÷??的结果是( ).

A 、4a b +

B 、4a b -

C 、1

D 、2ab 【难度】★

【答案】C

【解析】原式=()[]()()1444222222=÷=÷-+-++ab ab ab ab b a ab b a .

【总结】本题属于混合运算,计算时注意对相关运算法则的准确运用.

5. 如果()24343a ab M a b -÷=-+,那么单项式M 等于(

). A 、ab B .ab - C .a - D .b -

【难度】★

【答案】C

【解析】∵()()b a a b a a ab a 3434342+--=-=-, ∴a M -=.

【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.

4/ 19 6. 设M 是一个多项式,且22453232

M x y x y x ÷=-+,那么M 等于( ). A 、454369510x y x y -+

B 、36552y xy -+

C 、45310532x y x y -+

D 、45310532

x y x y - 【难度】★★

【答案】C

【解析】242242245335535105222332332M x y x x y x y x y x x y x y x y ????=-+?=-?+?=-+ ? ?????

. 【总结】本题主要考查对整式的除法则的理解和运用.

7. 已知2264x kxy y -+是一个完全平方式,则k 的值是(

).

A 、8

B 、±8

C 、16

D 、±16 【难度】★★

【答案】D

【解析】()()()222222648=288x kxy y x kxy y x xy y -+=-+±-?±+±.

【总结】本题主要考查对完全平方公式的理解和运用.

8. 如下图(1),边长为a 的大正方形中一个边长为b 的小正方形,小明将图(1)的阴影

部分拼成了一个矩形,如图(2).这一过程可以验证( ).

A 、()2222a b ab a b -=-+

B 、()2222a b ab a b ++=+;

C 、()()22232a ab b a b a b +=---

D 、()()22a b a b a b =-+- 【难度】★★

【答案】D

【解析】图1中,阴影部分的面积为22b a -,

图2中,阴影部分为长方形,长为()b a +,宽为()b a -,

面积为()()b a b a +-.

【总结】本题通过图形面积的转化加强对平方差公式的理解.

最新北师大版七年级数学下整式的乘除练习题

第一章 整式的乘除 §13.1幂的运算 §13.1.1同底数幂的乘法 一、填空题 1.计算:103×105= 2.计算:(a -b )3·(a -b )5= 3.计算:a·a 5·a 7= 4. 计算:a (____)·a 4=a 20(在括号内填数) 二、选择题 1.32x x ?的计算结果是( ) A.5x B.6x C.8x D.9x 2.下列各式正确的是( ) A .3a 2·5a 3=15a 6 B.-3x 4·(-2x 2)=-6x 6 C .x 3·x 4=x 12 D.(-b )3·(-b )5=b 8 3.下列各式中,①824x x x =?,②6332x x x =?,③734a a a =?,④1275a a a =+,⑤734)()(a a a =-?- 正确的式子的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.若1621=+x ,则x 等于( ) A.7 B.4 C.3 D.2. 三、解答题 1、计算: (1)、25)32()32(y x y x +?+ (2)、32)()(a b b a -?- (3)、6 2753m m m m m m ?+?+?

2、已知8=m a ,32=n a ,求n m a +的值. §13.1.2幂的乘方 一、选择题 1.计算 23x )(的结果是( ) A .5x B .6x C .8x D .9 x 2.下列计算错误的是( ) A .32a a a =? B . 222a b a b ?=)( C .5 32a a =)( D .-a+2a=a 3.计算32)(y x 的结果是( ) A .y x 5 B .y x 6 C . y x 32 D .36y x 4.计算 22a 3-)(的结果是( ) A .43a B .43a - C .49a D .49a - 二、填空题 1.43a -)(=_____. 2.若3m x =2,则9m x =_____. 3.若2n a =3,则2 3n 2a )(=____. 三、计算题 1.计算:32x x ?+2 3x )(.

《数学归纳法及其应用举例》教案

《数学归纳法及其应用举例》教案 中卫市第一中学 俞清华 教学目标: 1.认知目标:了解数学归纳法的原理,掌握用数学归纳法证题的方法。 2.能力目标:培养学生理解分析、归纳推理和独立实践的能力。 3.情感目标:激发学生的求知欲,增强学生的学习热情,培养学生辩证唯物主义的世界观 和勇于探索的科学精神。 教学重点: 了解数学归纳法的原理及掌握用数学归纳法证题的方法。 教学难点: 数学归纳法原理的了解及递推思想在解题中的体现。 教学过程: 一.创设情境,回顾引入 师:本节课我们学习《数学归纳法及其应用举例》(板书)。首先给大家讲一个故事:从前有 一个员外的儿子学写字,当老师教他写数字的时候,告诉他一、二、三的写法时,员外儿子很高兴,告诉老师他会写数字了。过了不久,员外要写请帖宴请亲朋好友到家里做客,员外儿子自告奋勇地要写请帖。结果早晨开始写,一直到了晚间也没有写完,请问同学们,这是为什么呢? 生:因为有姓“万”的。 师:对!有姓“万”的。员外儿子万万也没有想到“万”不是一万横,而是这么写的“万”。通过这个故事,你对员外儿子有何评价呢? 生:(学生的评价主要会有两种,一是员外儿子愚蠢,二是员外儿子还是聪明的。) 师:其实员外儿子观察、归纳、猜想的能力还是很不错的,但遗憾的是他猜错了!在数学 上,我们很多时候是通过观察→归纳→猜想,这种思维过程去发现某些结论,它是一种创造性的思维过程。那么,我们在以前的学习过程中,有没有也像员外儿子那样猜想过某些结论呢? 生:有。例如等差数列通项公式的推导。 师:很好。我们是由等差数列前几项满足的规律:d a a 011+=,d a a +=12,d a a 213+=,d a a 314+=,……归纳出了它的通项公式的。其实我们推导等差数列通项公式的方法和员外儿子猜想数字写法的方法都是归纳法。那么你能说说什么是归纳法,归纳法有什么特点吗? 生:由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法。特点:特殊→一般。 师:对。(投影展示有关定义) 像这种由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,通常叫做归纳法。根据推理过程中考察的 对象是涉及事物的一部分还是全部,分为不完全归纳法和完全归纳法。 完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法,又 叫做枚举法。那么,用完全归纳法得出的结论可靠吗? 生:(齐答)可靠。 师:用不完全归纳法得出的结论是不是也是可靠的呢?为什么?

最新北师大版七年级数学下整式的乘除练习题(分课)

第13章 整式的乘除 §13.1幂的运算 §13.1.1同底数幂的乘法 一、填空题 1.计算:103×105= . 2.计算:(a -b )3·(a -b )5= . 3.计算:a·a 5·a 7= . 4. 计算:a (____)·a 4=a 20.(在括号内填数) 二、选择题 1.32x x ?的计算结果是( ) A.5x ; B.6x ; C.8x ; D.9x . 2.下列各式正确的是( ) A .3a 2·5a 3=15a 6; B.-3x 4·(-2x 2)=-6x 6; C .x 3·x 4=x 12; D.(-b )3·(-b )5=b 8. 3.下列各式中,①824x x x =?,②6332x x x =?,③734a a a =?, ④1275a a a =+,⑤734)()(a a a =-?-.正确的式子的个数是( ) A.1个; B.2个; C.3个; D.4个. 4.计算(a 3)2+a 2·a 4的结果为( ) A.2a 9; B.2a 6; C.a 6+a 8; D.a 12. 5.若1621=+x ,则x 等于( ) A.7; B.4; C.3; D.2. 三、解答题 1、计算: (1)、25)32()32(y x y x +?+; (2)、32)()(a b b a -?-;

(3)、22)()()(b a b a b a n n +?+?+(n 是正整数). (4)、62753m m m m m m ?+?+?; (5)、)2(2101100-+. 2、.一台电子计算机每秒可作1010次运算,它工作4103?秒可作运算多少次? . 3、已知8=m a ,32=n a ,求n m a +的值.

数学归纳法及其应用举例1

数学归纳法及其应用举例 【本章学习目标】 人们在研究数量的变化时,常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程,这种无限变化过程就是极限的概念与思想,极限是人们研究许多问题的工具。以刘微的“割圆术”为例,圆内接正n 边形的边数无限增加时,正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。这里的是个有限多项的数列,人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。不论n 取多么大的整数,n P 都是相应的圆周长的近似值,但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中(限n 无限增大)找出圆周长的精确值2πR 。随着n 的增加,n P 在变化,这可以认为是量变(即只要n 是有限数,n P 都是圆内接正多边形的周长);但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。一旦得出2πR ,就是质的变化(即不再是正多边形的周长)。这种从有限中认识无限,从近似中认识精确,从量变中认识质变的思想就是极限的思想。 本章重点内容是: (1)数学归纳法及其应用。 (2)研究性课题:杨辉三角。 (3)数列的极限。 (4)函数的极限。 (5)极限的四则运算。 (6)函数的连续性。 本章难点内容是: (1)数学归纳法的原理及其应用。 (2)极限的概念。 【基础知识导引】 1.了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。 2.理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。 3.掌握数学归纳法的一些简单应用。 【教材内容全解】 1.归纳法

前面我们在学习等差数列时,通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法,叫做归纳法。 对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。 (1)归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。 (2)根据考察的对象是全部还是部分,归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。显然等差数列通项公式,凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的,这些结论是正确的。但并不是所有由不完全归纳法得出的结论都是正确的。这是因为不完全归纳只考察了部分情况,结论不具有普遍性。例如课本62P 数列通项公式22)55(+-=n n a n 就是一个典型。 2.数学归纳法 在生活与生产实践中,像等差数列通项公式这样与正整数有关的命题很多。由于正整数有无限多个,因而不可能对所有正整数一一加以验证。如果只对部分正整数加以验证就得出结论,所得结论又不一定正确,要是找到把所得结论递推下去的根据,就可以把结论推广到所有正整数。这就是数学归纳法的基本思想:即先验证使结论 有意义的最小正整数0n ,如果当0n n =时,命题成立,再假设当 ),(*0N k n k k n ∈≥=时,命题成立(这时命是否成立不是确定的),根据这个假设,如能推出当n=k+1时,命题也成立,那么就可以递推出对所有不小于0n 的正整数命题都成立。 由此可知,用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时,要分两个步骤,且两个步骤缺一不可。 第一步递推的基础,缺少第一步,递推就缺乏正确的基础,一方面,第一步再简单,也不能省略。另一方面,第一步只要考察使结论成立的最小正整数就足够了,一般没有必要再多考察几个正整数。 第二步是递推的根据。仅有这一步而没有第一步,就失去了递推的基础。例如,假设n=k 时,等式 成立,就是。那么, 。这就是说,如果n=k 时等式成立, 那么n=k+1时等式也成立。但仅根据这一步不能得出等式对于任何n ∈N*都成立。因为当n=1时,上式左边=2,右边31112=++=,左边≠右边。这说明了缺少第一步这个基础,第二步的递推也就没有意义了。只有把第一步的结论与第二步的结论结合在一起,才能得出普遍性结论。因此,完成一、二两点后,还要做一个小结。 在证明传递性时,应注意: (1)证n=k+1成立时,必须用n=k 成立的假设,否则就不是数学归纳法。应当指出,n=k 成立是假设的,这一步是证明传递性,正确性由第一步可以保证,有了递推这一步,联系第一步的结论(命题对0n n =成立),就可以知道命题对10+n 也成立,进而再由第二步可知1)1(0++=n n ,即20+=n n 也成立。这样递推下去,就可以知道命题对所有不小于0n 的正整数都成立。 (2)证n=k+1时,可先列出n=k+1成立的数学式子,作为证明的目标。可以作为条件加以运用的有n=k 成立的假设,已知的定义、公式、定理等,不能直接将n=k+1代入命题。 3.这一节课本中共安排了五个例题,例1~例3是用数学归纳法证明等式。其步骤是先证明当0n n =(这里10=n )时等式成立。再假设当n=k 时等式成立,利用这一条件及已知的定义、公式、定理证明当n=k+1时等式也成立。注意n=k+1时的等式是待证明的,不能不利用假设。例如:求证:。

七年级数学整式的乘除练习

整式的乘除 一、知识要点 1.幂的运算法则: ⑴同底数幂的乘除法;⑵幂的乘方;⑶积的乘方. 2.整式乘除法则: ⑴单项式乘单项式;⑵单项式乘多项式;⑶多项式乘多项式;⑷单项式除单项式;⑸多项式除以单项式;⑹多项式除以多项式. 3.乘法公式 ⑴平方差公式:22()()a b a b a b +-=- ⑵完全平方公式:222()2a b a ab b ±=±+ 2222()222a b c a b c a b a c b c ++=+++++ ⑶立方和立方差公式:2233()()a b a ab b a b ±+=± ⑷完全立方公式:33223()33a b a a b ab b ±=±+± 二、例题解析 例1.计算: ⑴2(2)(24)a a a +-+ ⑵22(2)(24)x y x xy y -++ ⑶2(324)x y z -- ⑷3(32)x y - 例2.计算: ⑴242(5)(1025)x x x -++ ⑵3639(1)(1)(1)m m m m +-+- ⑶2233(2)(24)(8)xy x y xy x y +-++ ⑷242126(2)(24)(864)x x x x x -++++ 例3.计算: ⑴423324 223(24)()4 a x a x a x a x -+-÷- ⑵(321)(329)a b a b +--++ ⑶232(925)(43)x x x x ++÷-+ ⑷2(672)(21)x x x ++÷+ ⑸2 (2)(4)82x y y y x x x ??+-+-÷?? ⑹322(295)(43)x x x x ++÷+- 例4.已知多项式3235x x x a -++能被23x x -+整除,求a 的值. 例5.已知2310.x x --=求326751998.x x x +-+的值 例6.当33303.a b c a b c abc ++=++=时,试说明 例7.已知2233449,10,,,.x y xy x y x y x y +==+++求的值

高中数学《数学归纳法及其应用举例》教学设计附反思

课题:数学归纳法及其应用举例 【教学目标】 知识与技能: 1. 了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确,使学生深入认识归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质; 2. 掌握数学归纳法证题的两个步骤;初步会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题(如恒等式等). 3. 培养学生观察、分析、论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力,让学生经历数学归纳法原理的构建过程, 体会类比的数学思想.过程与方法: 1.努力创设和谐融洽的课堂情境,使学生处于积极思考、大胆质疑氛围,提高学生学习的兴趣和课堂效率.让学生体验知识的构建过程, 体会源于生活的数学思想; 2. 通过对数学归纳法的学习、应用,逐步体验观察、归纳、猜想、论证的过程,培养学生由特殊到一般的思维方式和严格规范的论证意识,并初步掌握论证方法; 3. 让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,培养学生创新能力. 情感、态度、价值观: 1. 通过对数学归纳法原理的探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难,勇于探索的精神; 2. 让学生通过对数学归纳法原理和本质的理解,感受数学内在美的震撼力,从而使学生喜欢数学,激发学生的学习热情,使学生初步形成做数学的意识和科学精神; 3. 学生通过置疑与探究,培养学生独立的人格与敢于创新的精神; 4. 持续增进师生互信,生生互助,共创教学相长的教与学的氛围和习惯. 【教学重点】 归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析,初步理解数学归纳法的原理并能简单应用. 【教学难点】 数学归纳法中递推思想的理解,初步明确用数学归纳法证明命题的两个步骤. 【教学方法】师生互动讨论、共同探究的方法 【教学手段】多媒体辅助课堂教学 【教学过程】 一、创设情境,启动思维 情境一、财主儿子学写字的笑话、“小明弟兄三个,大哥叫大毛……”的脑筋急转弯等; 教师总结:财主的儿子很傻很天真,但他懂一样思想方法,是什么?以上都是由特殊情况归纳出一般情况的方法---归纳法,这就是今天的课题. 人们通常

北师大版七年级下册数学第一章整式的乘除(附答案)

七年级数学下册——第一章整式的乘除(复习) 单项式 整式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 第1章整式的乘除单元测试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 1.下列运算正确的是() A. 9 5 4a a a= + B. 3 3 3 33a a a a= ? ? C. 9 5 46 3 2a a a= ? D. ()7 4 3a a= - = ? ? ? ? ? - ? ? ? ? ? ? - 2012 2012 5 3 2 13 5 .2() A. 1 - B. 1 C. 0 D. 1997 3.设()()A b a b a+ - = +2 23 5 3 5,则A=() A. 30ab B. 60ab C. 15ab D. 12ab 4.已知,3 ,5= - = +xy y x则= +2 2y x()

A. 25. B 25- C 19 D 、19- 5.已知,5,3==b a x x 则=-b a x 23( ) A 、 2527 B 、10 9 C 、53 D 、52 6. .如图,甲、乙、丙、丁四位同学给出了四 种表示该长方形面积的多项式: ①(2a +b )(m +n ); ②2a (m +n )+b (m +n ); ③m (2a +b )+n (2a +b ); ④2am +2an +bm +bn , 你认为其中正确的有 A 、①② B 、③④ C 、①②③ D 、①②③④ ( ) 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A 、 –3 B 、3 C 、0 D 、1 8.已知.(a+b)2=9,ab= -112 ,则a 2+b 2 的值等于( ) A 、84 B 、78 C 、12 D 、6 9.计算(a -b )(a+b )(a 2 +b 2 )(a 4 -b 4 )的结果是( ) A .a 8 +2a 4b 4 +b 8 B .a 8 -2a 4b 4 +b 8 C .a 8 +b 8 D .a 8 -b 8 10.已知m m Q m P 15 8 ,11572-=-= (m 为任意实数) ,则P 、Q 的大小关系为 ( ) A 、Q P > B 、Q P = C 、Q P < D 、不能确定 二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 11.设12142 ++mx x 是一个完全平方式,则m =_______。 12.已知51 =+ x x ,那么221x x +=_______。 13.方程()()()()41812523=-+--+x x x x 的解是_______。 14.已知2=+n m ,2-=mn ,则=--)1)(1(n m _______。 15.已知2a =5,2b =10,2c =50,那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是___________. 16.若62 2=-n m ,且3=-n m ,则=+n m . n m

七年级数学整式的乘除测试题及参考答案

第五章 整式的乘除 单元测试卷 一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分) 温馨提示:每小题四个答案中只有一个是正确的,请把正确的答案选出来! 1.下列运算正确的是( ) A. 9 5 4 a a a =+ B. 3 3 3 3 3a a a a =?? A 、①② B 、③④ C 、①②③ D 、①②③④ ( ) 7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项,则m 的值为( ) A 、 –3 B 、3 C 、0 D 、1 8.已知.(a+b)2=9,ab= -11 2 ,则a2+b 2的值等于( ) A 、84 B 、78 C 、12 D 、6

9.计算(a -b )(a+b )(a 2+b 2)(a 4-b 4)的结果是( ) A .a 8+2a 4b 4+b 8 B .a 8-2a 4b 4+b 8 C .a 8+b 8 D .a 8-b 8 10.已知m m Q m P 15 8 ,11572-=-= (m 为任意实数),则P 、Q 的大小关系为 ( ) A 、Q P > B 、Q P = C 、Q P < D 、不能确定 (2)(2)()()()()2 3 3 2 32222x y x xy y x ÷-+-?

(3)()() 222223366m m n m n m -÷-- 18、(本题9分)(1)先化简,再求值:()()()()2 2 1112++++-+--a b a b a b a , 其中2 1 =a , 19、(本题8分)如图所示,长方形ABCD 是“阳光小区”内一块空地,已知AB=2a ,BC=3b ,

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法,人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具,解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想,这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力,这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷,这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路,如用有限维空间代替无限维空间(多项式逼近连续函数)用有限过程代替无限过程(积分和无穷级数用有限项和答题,导数用差分代替)。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来,人们就会想到问题的推广,由特殊到一般、由有限到无限,可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中,古希腊出现了许多悖论,如芝诺悖论,在数列中为了确保结论的正确,则必须考虑无限。还有生活中一些现象,如烽火的传递,鞭炮的燃放等,触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方;刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆,无穷的问题层出不穷,后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明,通过了有限去实现无限,体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推,清晰的步骤确是一件不容易的事,作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆(10世纪末)、凯拉吉(11世纪上叶)、伊本穆思依姆(12世纪末)、伊本班纳(13世纪末)等都使用了归纳推理,这表明数学归纳法使用较普遍,尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进",即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础,递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶,意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年,毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路,成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家,为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献,他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序,并完整地使用数学归纳法,证明了他所发

2017七年级下册数学整式的乘除

2017石板一中七年级下册数学第4周周考 整式乘除 姓名 一.选择题(共10小题,每小题3分) 1.下列运算正确的是() A.a2+a3=a5 B.a2?a3=a6C.(a2)4=a6D.a4÷a2=a2 2.计算(a2)3的结果是() A.a5B.a6C.a8D.3a2 3.计算(﹣2a2b)3的结果是() A.﹣6a6b3B.﹣8a6b3C.8a6b3D.﹣8a5b3 4.下列计算错误的是() A.3a?2b=5ab B.﹣a2?a=﹣a3 C.(﹣x)9÷(﹣x)3=x6D.(﹣2a3)2=4a6 5.下列运算正确的是() A.a2+a3=a5 B.(﹣a3)2=a6 C.ab2?3a2b=3a2b2D.﹣2a6÷a2=﹣2a3 6.下列关系式中,正确的是() A.(a﹣b)2=a2﹣b2B.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 C.(a+b)2=a2+b2D.(a+b)2=a2﹣2ab+b2 7.下列多项式乘法中,可用平方差公式计算的是()A.(2a+b)(2a﹣3b)B.(x+1)(1+x) C.(x﹣2y)(x+2y)D.(﹣x﹣y)(x+y) 8.下列运算正确的是() A.a2?a3=a6B.(x5)2=x7 C.(﹣3c)2=9c2D.(a﹣2b)2=a2﹣2ab+4b2 9.下列运算正确的是() A.(﹣a2)3=﹣a6B.(a﹣b)2=a2﹣b2 C.x2+x2=x4D.3a2?2a2=6a6 10.计算8a3÷(﹣2a)的结果是()

A .4a B .﹣4a C .4a 2 D .﹣4a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二.填空题(共10小题) 11.计算:(x+5)(x ﹣5)= . 12.(x 2)3?x+x 5?x 2= . 13.82009×0.1252009= . 14.计算:a ?a 2= . 15.已知m+n=3,m ﹣n=2,则m 2﹣n 2= . 16.计算:20+()﹣1的值为 . 17.2﹣1等于 . 18.计算(a ﹣2)2的结果是 . 19.已知x+y=﹣5,xy=3,则x 2+y 2= . 20.(1+x )(1﹣x )(1+x 2)(1+x 4)= . 三.解答题(共9小题) 21. 用乘法公式计算 (1)998×1002+4; (2) ()()y x y x 3232-+

北师大版七年级数学下册第一章 整式的乘除练习(含答案)

第一章 整式的乘除 一、单选题 1.已知25a =,22b =,250c =,那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是( ) A .2a b c +> B .2a b c +< C .2a b c += D .无法确定 2.在下列各式中的括号内填入3a 的是( ) A .212) (=a B .312) (=a C .412) (=a D .612) (=a 3.下列式子正确的是( ) A .336a a a += B .()235a a = C .()2224612ab a b = D .65a a a ÷= 4.计算:(5a 2b )?(3a )等于( ) A .15a 3b B .15a 2b C .8a 3b D .8a 2b 5.如图,边长分别为a 和b 的两个正方形拼接在一起,则图中阴影部分的面积为( ) A .22b B .()2b a - C .212b D .22b a - 6.己知关于x 的多项式mx 2-mx -2与3x 2+mx+m 的和是单项式,则代数式m 2-2m+l 的值是( ) A .16 B .-3 C .2 或-3 D .16 或 1 7.长方形的面积为26a 3ab 3a -+,一边长为3a ,则它的周长是( )

A .2a b 1-+ B .5a b 1-+ C .10a 2b 2-+ D .10a 2b - 8.计算()()224x y x y xy ??+--÷?? 的结果为 A .4x y + B .4x y - C .1 D .2xy 9.下列计算错误的有( ) ①222(2)4x y x y +=+;①222(3)9b a b a -=-;①()()22 339b a a b a b ---=-;①222()2x y x xy y --=++;①221()2 x x -=-2x 14+. A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 10.我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中,用如图所示的三角形解释二项式()n a b +的展开式中各项系数的规律,此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算()6a b +的展开式中从左起第四项的系数为( ) A .64 B .20 C .15 D .6 二、填空题 11.已知22139273m ??=,求m =__________. 12.已知(x -1)(x +2)=ax 2+bx +c ,则代数式4a -2b +c 的值为________. 13.()()()22x y x y x y +-+=______. 14.如图1,把一个边长为(a +b )的大正方形切成4个全等的长方形和1个小正方形,大

数学归纳法的七种变式及其应用

数学归纳法的七种变式及其应用

数学归纳法的七种变式及其应用 摘要:数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法,又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题,在实数中也广泛应用,还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法,因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上,给出了数学归纳法的另外五种变式,其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法,并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用,为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词:数学归纳法;七种变式;应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4是证明一个命题对于所有的自然数都是成立的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起,所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支,例如:证明等式、不等式,三角函数,数的整除,在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法,如第一数学归纳法,操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上,又衍生出了第二数学归纳法,反向归纳法,二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足: 1) ()1p 成立(即当1n =时命题成立); 2)只要假设()p k 成立(归纳假设),由此就可证得()1p k +也成立(k 是自然数),就能保证对于任意的自然数n ,命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关,而是从某个自然数a 开始的,因此,将第一类数学归纳法修改为:

七年级数学下册第一章整式的乘除试题(新版)北师大版

第一章整式的乘除 1.逆用幂的运算法则解题 (1)逆用同底数幂相乘的法则解题:同底数幂相乘的法则是a m×a n=a m+n(m,n都是正整数),反过来是 a m+n=a m×a n.逆用同底数幂相乘的法则解题,能使运算简便. 【例】已知a m=2,a n=3,求a m+n的值. 【标准解答】因为a m+n=a m·a n, 把a m=2,a n=3代入a m+n, 得a m+n=2×3=6. (2)逆用幂的乘方的法则解题:幂的乘方法则是(a m)n=a mn(m,n都是正整数),反过来是a mn=(a m)n.逆用幂的乘方的法则解题,能使运算简便. 【例】已知a m=2,求a2m的值. 【标准解答】因为a2m=(a m)2,把a m=2代入a2m,得a2m=22=4. (3)逆用积的乘方的法则解题:积的乘方的法则是(a×b)n=a n×b n(n是正整数).反过来是a n×b n=(a×b)n.逆用积的乘方的法则解题,能使运算简便. 【例】计算:×22016. 【标准解答】×22016 =×2=12015×2 =2. (4)逆用同底数幂相除的法则解题:同底数幂相除的法则是a m÷a n=a m-n(m、n都是正整数),反过来是 a m-n=a m÷a n.逆用同底数幂相除的法则解题,能使运算简便. 【例】已知a m=2,a n=3,求a m-n的值. 【标准解答】因为a m-n=a m÷a n, 把a m=2,a n=3代入a m-n, 得a m-n=2÷3=.

1.已知a m=2,a n=3,求a3m+2n的值. 2.当4x=9时,计算21-2x的值是多少? 3.求(-8)2015×(0.125)2016的值. 2.用图形面积表示整式的乘法法则(公式) (1)用图形面积表示平方差公式: 数形结合是重要的数学思想方法之一,通过两个图形的面积变化来直观的反映平方差公式.

北师大版七年级数学第一章整式的乘除练习题

2016~2017学年度第二学期 七年级数学练习( ) 、选择题. 1. 计算(a) ( a) 3 5 a 的结果是() 9 / 、9 亠 8 8 A. a B. ( a) C. a D. a 2. 计算(F3,结果正确的是 2 () A. 1 3 5 13 6 13! 1 3 5 x y B. X y C. x y D. x y 6 8 6 8 3. 计算(0.25)201742017的结果是() A. 1 B. 1 C. 0.25 4024 D. 4 4. 下列计算正确的是() A. 0 (x 10) 0(x 10) 10 B. x (x4 x 2\ 4 )x / 3 2、5 15 10 “3、2 9 C. (m n ) m n D.(一) 4 16 5. 将 6.18 10 3化为小数是() A. 618 B. 18 C. 8 D 6. 若(X 2 2)(x 1) x mx n 则m n 的值为() A. 1 B. -2 C. -1 D. 2 7. 下列算式不能用平方差公式计算的是( )

A. (x 2y)(2y x) B. ( a b)( a b) C. (2a b)( 2a b) D. (x y z)(x y z) 8?若a 的值使得x 2 4x a (x 2)2 1成立,则a 的值为 二、填空题. 2 18.当x 3, y 1时,代数式(x y )(x y ) y 的值是 19.若4a 2 ka 25是完全平方式,则 k 的值为 A. 5 B. 4 C.3 D.2 9?已知x , y 为任意有理数,则代数式 x 2 y 2 2x 6y 10的值一定为 A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 10.下列算式: ①(6 a 3ab ) (3a) 2a b ; ②(a 2b a 3) a 2 b 2 ③ (5a b 10abc)( 5ab) 2c a A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 11.已知 a m 2 , 2m n 3,则a 12.计算:(1) (m' 2)3 m 4 (2 ) (扩 6 22017 m 2 3 5 13.右 a a a ,贝U m 14.小华的作业本上有一道题被污染了,为 (a 2 )3 ■ 10 =a ,那么被污染的部分 15. 一种病毒的直径约为 025 2米,将025 2用科学记数法表示为 _ 2 16.要使(x ax 1)( 6x 3)的展开式中不含x 4项,则a 17.已知 a b 3, a b 5,则代数式a 2 b 2 =

数学归纳法的七种变式及其应用..

数学归纳法的七种变式及其应用 摘要:数学归纳法是解决与自然有关命题的一种行之有效的方法,又是数学证明 的又一种常用形式.数学归纳法不仅能够证明自然数命题,在实数中也广泛应用,还能对一些数学定理进行证明.在中学时学习了第一数学归纳法和第二数学归纳法,因而对一些命题进行了简单证明.在原有的基础上,给出了数学归纳法的另外五种变式,其中涉及到反向归纳法、二重归纳法、螺旋式归纳法、跳跃归纳法和关于实数的连续归纳法,并简单的举例说明了每种变式在数学各分支的应用.这就突破了数学归纳法仅在自然数中的应用,为今后的数学命题证明提供了一种行之有效的证明方法——数学归纳法. 关键词:数学归纳法;七种变式;应用 1引言 归纳法是由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法,一般性结论的正确性依赖于各个个别论断的正确性。数学归纳法的本质[]4 是证明一个命题对于所有的自然数都是成立 的.由于它在本质上是与数的概念联系在一起,所以数学归纳法可以运用到数学的各个分支,例如:证明等式、不等式,三角函数,数的整除,在几何中的应用等. 数学归纳法的基本思想是用于证明与自然数有关的命题的正确性的证明方法,如第一数学归纳法,操作步骤简单明了.在第一数学归纳法的基础上,又衍生出了第二数学归纳法,反向归纳法,二重归纳法等证明方法.从而可以解决更多的数学命题. 2 数学归纳法的变式及应用 2.1 第一数学归纳法 设()p n 是一个含有正整数n 的命题,如果满足: 1) ()1p 成立(即当1n =时命题成立); 2)只要假设()p k 成立(归纳假设),由此就可证得()1p k +也成立(k 是自然数),就能保证对于任意的自然数n ,命题()p n 都成立. 通常所讨论的命题不都全是与全体自然数有关,而是从某个自然数a 开始的,因此,将第一类数学归纳法修改为: 设()p n 是一个含有正整数n 的命题(n a ≥,*a N ∈), 如果 1)当n =a 时,()p a 成立;

七年级下册数学整式的乘除与因式分解知识点+习题

整式的乘除与因式分解 1、单项式的概念:由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项 式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。 bc a 22-的 系数为 ,次数为 ,单独的一个非零数的次数是 。 2、多项式:几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。 122++-x ab a ,项有 ,二次项为 ,一次项为 ,常数项为 ,各项次数分别为 ,系数分别为 ,叫 次 项式。 3、整式:单项式和多项式统称整式。注意:凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升(降)幂排列: 1223223--+-y xy y x x > 按x 的升幂排列: 按y 的升幂排列: 按x 的降幂排列: 按y 的降幂排列: 5、同底数幂的乘法法则:m n m n a a a +=(n m ,都是正整数) 同底数幂相乘,底数不变,指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。 例1.若6422=-a ,则a= ;若8)3(327-=?n ,则n= . 例2.若125512=+x ,则 x x +-2009) 2(的值为 。 例3 .设4x =8y-1,且9y =27x-1,则x-y 等于 。 6、幂的乘方法则:mn n m a a =)((n m ,都是正整数) < 幂的乘方,底数不变,指数相乘。如:10253 )3(=- 幂的乘方法则可以逆用:即m n n m mn a a a )()(== 如:23326)4()4(4== 7、积的乘方法则:n n n b a ab =)((n 是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。 (5 23)2z y x -= 8、同底数幂的除法法则:n m n m a a a -=÷(n m a ,,0≠都是正整数,且)m n > 同底数幂相除,底数不变,指数相减。如:3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 9、零指数和负指数; 】 10=a ,即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-(p a ,0≠是正整数),即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。 如:8 1)21(233==- 10、单项式的乘法法则:单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里

高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿

说课题目:数学归纳法及其应用举例(第一课时) (选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节) 一、教材分析 1.内容的前后联系、地位和作用 本课是数学归纳法的第一节课。前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的 学习,初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法,即不完全归纳法。不 完全归纳法它是研究数学问题,猜想或发现数学规律的重要手段。但是,由有限多个特 殊事例得出的结论不一定正确,这种推理方法不能作为一种论证方法。因此,在不完全 归纳法的基础上,必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。数学归纳法安 排在数列之后极限之前,是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学 命题,也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题. 2. 教学目标 学生通过数列等相关知识的学习。已基本掌握了不完全归纳法,已经有一定的观察、归纳、猜想能力。通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施,学生已基本习惯于对 已给问题的主动探究,但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。能主动提出问题和敢于 置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。如何让学生主动置疑和提出问题?本课也想在这方面作一些尝试。 根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订 以下教学目标。 【知识目标】 (1)了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。 (2)初步理解数学归纳法原理。 (3)理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。 (4)初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。 【能力目标】 (1)通过对数学归纳法的学习、应用,培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密 的逻辑推理能力。 (2)让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程,培养学生的创新 能力。 【情感目标】 (1)通过对数学归纳法原理的探究,培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困 难,勇于探索的精神。 (2)让学生通过对数学归纳法原理的理解,感受数学内在美的振憾力,从而使学生喜 欢数学。 (3)学生通过置疑与探究,培养学生独立的人格与敢于创新精神。 3.教学重点、难点 【重点】(1)初步理解数学归纳法的原理。 (2)明确用数学归纳法证明命题的两个步骤。 (3)初步会用数学归纳法证明简单的与正整数数学恒等式。 【难点】(1)对数学归纳法原理的理解,即理解数学归纳法证题的严密性与有效性。 (2)假设的利用,即如何利用假设证明当n=k+1时结论正确。 二、教法、学法分析 【教法的选择】

七年级数学(下)第一章 整式的乘除 练习题

七年级数学(下) 第一章 整式的乘除 练习题 班级______________ 姓名_____________ 等次______________ 一、选择题 1.下列计算正确的是( ). A .2x 2·3x 3=6x 3 B .2x 2+3x 3=5x 5 C .(-3x 2)·(-3x 3)=9x 5 D .54x n ·25x m =12 x mn 2.一个多项式加上3y 2-2y -5得到多项式5y 3-4y -6,则原来的多项式为( ). A .5y 3+3y 2+2y -1 B .5y 3-3y 2 -2y -6 C .5y 3+3y 2-2y -1 D .5y 3-3y 2-2y -1 3.下列运算正确的是( ). A .a 2·a 3=a 5 B .(a 2)3=a 5 C .a 6÷a 2=a 3 D .a 6-a 2=a 4 4.下列运算中正确的是( ). A .12a+13a=15a B .3a 2+2a 3=5a 5 C .3x 2y+4yx 2=7 D .-mn+mn=0 5.下列说法中正确的是( ). A .-13 xy 2是单项式 B .xy 2没有系数 C .x -1是单项式 D .0不是单项式 二、填空题 6.-xy 2的系数是______,次数是_______. 7.?一件夹克标价为a?元,?现按标价的7?折出售,则实际售价用代数式 表示为______.

8.(m+n)(______)=n2-m2;(a2)3·(a3)2=______. 9.月球距离地球约为3.84×105千米,一架飞机速度为8×102千米/时,?若坐飞机飞行这么远的距离需_________小时. 10.a2+b2+________=(a+b)2 a2+b2+_______=(a-b)2 (a-b)2+______=(a+b)2 11.若x2-3x+a是完全平方式,则a=_______. 12.多项式5x2-7x-3是____次_______项式. 三、计算题 13.(2x2y-3xy2)-(6x2y-3xy2) 14.(45a3-1 6 a2b+3a)÷(- 1 3 a) 15.(1-3y)(1+3y)(1+9y2)

相关主题