近世代数相关应用

近世代数的应用

1. 幻方一变八----正方形的对称群

我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。

90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。

为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。这些概念和知识都自然而然引入了。

类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。

2．0与1的算术----二元域

许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。我的抽象代数考试每次必考有限域。

小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。

我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。貌似概率题，其实是代数题。将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。归结为二元域上的线性代数题。另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。二元域在信息与计算机科学中至关重要。会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。

为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，

称为理想。D中两个元素a,b的差如果在O中，就将a,b“看成”同一类，得到的同余类组成的集合可以定义加、减、乘运算，这就是商环D/O。特别，当D=Z，O=nZ时，商环D/O 就是整数模n的同余类环Z n 。另一个重要例子：D是在某点c连续的全体全体实函数f(x)组成的环，记Dx=x－c，O(Dx)与o(Dx)分别是当Dx→0时的无穷小量和高阶无穷小量组成的集合，则O(Dx)与o(Dx)都是D的理想，同余式f(x)≡a (mod O(Dx))表示当 x→c时f(x)的极限是a，而f(x)≡a+bDx (mod o(Dx)) 表示b是f(x)在c的导数。

3．从凯撒密码谈起-----整数的同余类

密码的重要性不容置疑，神秘性也令人向往。最早的一种简单密码是凯撒设计的，加密方案是将每个英文字母用它后面第3个字母代替。将26个字母依次用整数模26的各个同余类表示，凯撒密码的加密就可以用最简单的加法函数y = x+3 表示，解密函数为x = y－3。更进一步，可以用Z26上的一次函数y=ax+b加密，其中a可逆，称为仿射密码。例如3×9 =1就说明9=3-1，加密函数y=3x+5的解密函数就是 x=9(y-5)。Z26中的乘法可逆元组成乘法群Z26*，由与26互素的整数所在的同余类组成。更进一步，可以将若干个字母对应的同余类组成列向量X，用矩阵运算Y=AX+B来加密，其中A的行列式在Z26*中。也可以将信息写成二元域Z2上的列向量，用Z2上的矩阵运算Y=AX+B加密。

更一般地，讨论Z n的乘法群Z n*。特别，当n为素数p时，Z p中的p-1个非零元都可逆，组成乘法群Z p*。Z p是有限域，Z p*中的元素都可以写成一个元素的幂，Z p*是循环群。在另一种情形，n = pq是两个素数p,q的乘积，为了讨论Z n及其乘法群Z n*的构造，将每个整数a除以p,q各得到一个余数r,s，将a对应到“坐标”(r,s)，就建立了环同态 Z→Z p×Z q，进而得到环同构 Z n→Z p×Z q，这就引出了中国剩余定理，环同态基本定理，环的直积。进而可以讨论Z n上的幂函数y=x m 是可逆变换的条件，得到RSA公钥密码。

4近世代数与代数方程求解

我们知道，任何一个一元二次代数方程可用根式表示它的两个解。对于一元三次和四次代数方程，古人们经过长期的努力也巧妙地做到了这一点。于是人们自然要问：是否任何次代数方程的根均可用根式表示？许多努力都失败了，但这些努力促使了近世代数的产生，并最终解决了这个问题。19世纪初，法国青年数学家伽罗瓦（Galois）在研究五次代数方程的解法时提出了著名的伽罗瓦理论，成了近世代数的先驱。但他的工作未被当时的数学家所认识，他于21岁就过早地去世了。直到19世纪后期，他的理论才由别的数学家加以进一步的发展和系统的阐述。

这样一门具有悠久历史、充满许多有趣问题和故事的数学分支，在近代又得到了蓬勃发展和广泛应用，出现了许多应用于某一领域的专著，正吸引越来越多的科技人员和学生来学习和掌握它。

5分子结构的问题

设在苯环结构上结合CH3或H或NO2，问有多少种不同的化合物？

这个问题可以分成两种情况老考虑。第一种情况是如果把苯环个连接键看成相同的，则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看成不同，单键和双键交替是，则需要另外考虑。

设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的，在每个碳原子上结合H或CH3或NO2，问可以形成多少种不同的化合物？

解：这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群G，由于两个分子重合时，必须经过旋转后单键与单键重合，双键与双键重合。孤：G={（1），（135）（246），（153）（246），（12）（36）

（45），（14）（23）（56），（16）（25）（34）}同构与D3。

所以N=1/6*3*92=138

即共可以形成138种不同的物质，此数把个项链看作等同时要大，因为不对称性增加了。

2．开关的线路的计算问题：

每个开关的状态，由一个开关的变量来表示，例如用A表示一个开关变量，用0。1表示开关的两种状态，则开关的取值是0或1。

由若干的开关A1。。。。。。AK组成的一个线路称为开关的线路，一个开关线路也有两种状态，接同用一表示。接同用一表示，短开用1表示，他的状态由各个开关的状态决定，因而可用一个函数f(A1….AK)来表示，F的取值是0或1，称F为开关函数，每个开关的对应一个开关函数。S+{0，1}，则开关函数F（A1。。。AK）是S*。。。*S到S的一个映射。不难看出，K 个开关的变量的开关函数共有2（2（K））个当K=2时工有16个函数。

但是不同的开关可能对于于相同的线路，例如图1中的两个开关线路对应两个开关函数，但是着两个开关本质是相同的。因此，我们的问题是由N个开关可以组成多少中本质上下不同的开关线路？

设X={A1。。。。。。AN}，G=SN是X上的对称群，令＃={F1。。。。。。FM}，M=2（2（N））是X上的所有开关函数的集合，定义W∈G对F∈＃的作用为W（F）=FW，对任何AI∈X有W（F）（Ai）=F（W（AI）），则由W（F1）=W（F2），可以得到F（1）=F（2），故G是作用在#上的置换群，F（1），F（2），对应于本质相同的开关线路的冲要条件它们在G的作用下在同一轨道上，因而本质上不同的开关线路的数目就是轨道数。

高等代数与中学数学的联系

目录 摘要................................................................................ I Abstract........................................................................... I 1 引言 (1) 2 知识方面的联系 (1) 2．1多项式理论的应用 (1) 2．2行列式的应用 (2) 2．3柯西不等式的应用 (3) 2．4二次型的应用 (4) 3 思想方面的联系 (4) 3．1符号化思想 (4) 3．2分类思想 (5) 3．3化归与转化思想 (5) 3．4结构思想 (6) 3．5公理化方法 (6) 3．6坐标方法 (6) 3．7构造性方法 (7) 4 观念方面的联系 (7) 结束语 (8) 参考文献 (8)

致谢 (10)

摘要：运用高等代数的理论、方法、思想与观点剖析和阐述中学数学相关内容的若干问题，通过若干典型试题的解析，从知识方面、思想方面以及观念方面研究了高等代数与中学数学的联系，探索高等数学观点对中学数学一些教学内容的理论依据，深化与发展高等代数在中学数学的相关内容，促进高等代数在中学数学领域的应用，探求二者的内在的联系，以便高等代数能与中学数学完美的结合． 关键词：高等代数；中学数学；数学思想方法；应用 Abstract: The problems related to elementary mathematics are analyzed and explained by using the theory，method，thoughts and views of higher algebra．Through analyzing some typical test questions，the relation between higher algebras and elementary mathematics are investigated from the aspects of knowledge、thought and idea. Exploring the higher mathematics view to middle school mathematics some teaching content theory and model，deepening and development in higher algebra in middle school mathematics related content，and promote higher algebra in the middle school mathematics field of application，and to explore the inner link，so that higher algebra can be combined with the middle school closely．Keywords: higher Algebra；middle school mathematics；mathematical thinking；application

近世代数的应用(论文)

近世代数的应用 1．分子结构的问题： 设在苯环结构上结合CH3或H或NO2，问有多少种不同的化合物？ 这个问题可以分成两种情况老考虑。第一种情况是如果把苯环个连接键看成相同的，则分子结构问题就是三种颜色6颗珠子的项链问题第二种情况是如果把苯环的连接键看成不同，单键和双键交替是，则需要另外考虑。 设苯环上碳原子之间是由单键与双键交替连接的，在每个碳原子上结合H或CH3或NO2，问可以形成多少种不同的化合物？ 解：这个问题与项链问题的不同之处就是旋转群G，由于两个分子重合时，必须经过旋转后单键与单键重合，双键与双键重合。孤：G={（1），（135）（246），（153）（246），（12）（36）（45），（14）（23）（56），（16）（25）（34）}同构与D3。 全部有标号的分子数3的6次方。G作用于有标号的分子结构上的不动点数计算如下：

所以N=1/6*3*92=138 即共可以形成138种不同的物质，此数把个项链看作等同时要大，因为不对称性增加了。 2．开关的线路的计算问题： 每个开关的状态，由一个开关的变量来表示，例如用A 表示一个开关变量，用0。1表示开关的两种状态，则开关的取值是0或1。 由若干的开关A1。。。。。。AK组成的一个线路称为开关的线路，一个开关线路也有两种状态，接同用一表示。接同用一表示，短开用1表示，他的状态由各个开关的状态决定，因而可用一个函数f(A1….AK)来表示，F的取值是0或1，称F为开关函数，每个开关的对应一个开关函数。S+{0，1}，则开关函数F（A1。。。AK）是S*。。。*S到S的一个映射。不难看出，K个开关的变量的开关函数共有2（2（K））个当K=2时工有16个函数。

高等代数论文选题

高等代数论文选题 1.关于矩阵的乘积的秩的研究； 2.矩阵相似的若干判定方法； 3.线性变换的命题与矩阵命题的相互转换问题； 4.矩阵的特征值与特征向量的应用； 5.化二次型为标准型的方法； 6.“高等代数”知识在几何中的应用； 7. 矩阵初等变换的应用； 8．“高等代数”中的思想方法； 9.“高等代数”中多项式的值、根的概念及性质的推广； 10.线性变换“可对角化”的条件及“可对角化”方法； 11.行列式的若干应用; 12.行列式的计算技巧； 13.欧式空间与柯西不等式； 14．《高等代数》对中学数学的指导作用； 15.关于多项式的整除问题； 16.虚根成对定理的又一证法及其应用； 17.范德蒙行列式的若干应用； 18.矩阵相似及其应用； 19.矩阵的迹及其应用；

20.关于对称矩阵的若干问题； 21.关于反对称矩阵的性质； 22.关于n阶矩阵的次对角线的若干问题； 23.有理数域上多项式不可约的判定； 24.n阶矩阵可对角化的条件； 25.有理数域上多项式的因式分解; 26.矩阵在解线性方程组中的应用; 27.关于整系数有理根的几个定理及求解方法; 28.代数基本定理的几种证明方法简介； 29.关于线性变换的确定（求法）; 30.线性变换思想在中学数学中的应用; 31.关于矩阵正定的若干判别方法; 32.矩阵可逆的若干判别方法; 33.线性空间与欧式空间; 34.向量组线性相关与线性无关的判定方法; 35.常见线性空间与欧式空间的基与标准正交基的求法; 36.线性变换的内积刻划; 37.线性方程组的推广——从向量到矩阵; 38.幂零矩阵的性质; 39.矩阵可交换的条件; 40.关于幂等矩阵及其性质; 41.矩阵的标准形及其应用；

近世代数学习系列十 中英对照

近世代数中英对照学习 一、字母表 atom：原子 automorphism：自同构 binary operation：二元运算 Boolean algebra：布尔代数 bounded lattice：有界格 center of a group：群的中心 closure：封闭 commutative(Abelian) group：可交换群，阿贝尔群commutative(Abelian) semigroup：可交换半群comparable：可比的 complement：补 concatenation：拼接 congruence relation：同余关系 cycle：周期 cyclic group：循环群 cyclic semigroup：循环半群 determinant：行列式 disjoint：不相交 distributive lattice：分配格 entry：元素 epimorphism：满同态

factor group：商群 free semigroup：自由半群 greatest element：最大元 greatest lower bound：最大下界，下确界group：群 homomorphism：同态 idempotent element：等幂元identity：单位元，么元 identity：单位元，么元 inverse：逆元 isomorphism：同构 join：并 kernel：同态核 lattice：格 least element：最小元 least upper bound：最小上界，上确界left coset：左陪集 lower bound：下界 lower semilattice：下半格 main diagonal：主对角线 maximal element：极大元 meet：交

高等代数论文

代数学从高等代数总的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数、线性代数等。代数学研究的对象，也已不仅是数，还有矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算。虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。比如群、环、域等 多项式是一类最常见、最简单的函数，它的应用非常广泛。多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。 多项式代数所研究的内容，包括整除性理论、最大公因式、重因式等。这些大体上和中学代数里的内容相同。多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，所对应的代数方程就没有解 我们知道一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数就叫做线性代数。在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。 行列式的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是“解行列式问题的方法”，书里对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。德国数学家雅可比于1841年总结并提出了行列式的系统理论。 行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。 因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。矩阵也是由数排成行和列的数表，可以行数和烈数相等也可以不等。 矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。 代数学研究的对象，不仅是数，也可能是矩阵、向量、向量空间的变换等，对于这些对象，都可以进行运算，虽然也叫做加法或乘法，但是关于数的基本运算定律，有时不再保持有效。因此代数学的内容可以概括称为带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合，叫做代数系统。比较重要的代数系统有群论、环论、域论。群论是研究数学和物理现象的对称性规律的有力工具。现在群的概念已成为现代数学中最重要的，具有概括性的一个数学的概念，广泛应用于其他部门。 例1：矩阵A[ 1 , 0] M矩阵 [a ,b] ,A与M矩阵可互换，确定a b c d之间的关系，并写出矩阵M

矩阵及其秩在高等代数中应用论文

矩阵及其秩在高等代数中的应用 玲毓 师高等专科学校数学教育 摘要：在矩阵理论中,矩阵的秩是一个重要的概念。它是矩阵的一个数量特征,而且是初等变换下的不变量。矩阵的秩与矩阵是否可逆、线性方程组的解、极大无关组的情况等都有着密切的联系。通过引用了大量的实例说明了矩阵及其秩是高等代数中的一个重要的概念,希望通过本文的介绍可以让读者对矩阵及其秩有更深的了解。 关键词：矩阵；秩；变换；可逆

1 引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值,它常见于很多科学中,如：线性代数、线 性规划、统计分析、以及组合数学等,而本文主要介绍其在高等代数中的应用。高等代数是用辩证观点和严密的逻辑推理方法来体现的一门课程它常见于很多科学中, 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值对其在高等代数中的应用概括为：求解一般的线性方程组,判定向量组的线性相关性,求极大无关组,化二次型为标准型,求规正交基,对称变换,正交变换的判断,欧氏空间中的积的表示。 这就使矩阵成为数学中一个极其重要而且广泛的工具.本文对矩阵的基本理论及其秩的应用进行具体阐述。 2矩阵的基本理论 定义2.1 矩阵是一简化了的表格,一般地

111212122212 n n m m mn a a a a a a ? ? ? ??? 称为n m ?矩阵,它有m 行、n 列,共n m ?个元素,其中第i 行、第j 列的元素用ij a 表 示.通常我们用大写黑体字母,,A B C 表示矩阵.为了标明矩阵的行数m 和列数n ,可用 m n A ?或() ij m n a ?表示.矩阵既然是一表,就不能像行列式那样算出一个数来. 定义2.2 所有元素均为0的矩阵,称为零矩阵,记作0. 定义2.3 如果矩阵A 的行、列数都是n ,则称A 为n 阶矩阵,或称为n 阶方阵. 定义2.4 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵.若是存在F 上n 阶矩阵B ,使得, AB BA I == 那么A 叫作一个可逆矩阵,而B 叫作A 的逆矩阵.用1 A -来表示. 定义2.5 主对角线上元素全为1的对角矩阵,叫做单位矩阵,记为I ,即 1000100 1I ?? ? ?= ? ??? n ?1矩阵（只有一行）又称为n 维行向量；1?n 矩阵（只有一列）又称为n 维列向量.行向量、列向量统称为向量.向量通常用小写黑体字母a ,b ,x ,y 表示.向量中的元素又称为向量的分量.11?矩阵因只有一个元素,故视之为数量,即()a a =. 定义2.6 把矩阵A 的行与列互换所得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵,记为T A ,即 111212122212 n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ?= ? ? ?? ,11 21 11222212m m T n n mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 若方阵A 满足T A A =,则称A 为对称矩阵. 定义2.7n 阶矩阵有一条从左上角到右下角的主对角线.n 阶矩阵A 的元素按原次序构成的n 阶行列式,称为矩阵A 的行列式,记作A . 定义2.8 设有n 阶方阵 111212122212 n n n n nn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? 的行列式A 有2 n 个代数余子式ij A （j i ,=1,2,…,n ）,将它们按转置排列,得到矩阵

近世代数发展简史

近世代数发展简史 根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。 一、近世代数的定义 代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。 二、近世代数的发展 代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。 域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。另一方面，1843年，哈

高等代数论文 个人 绝对直接可用

重庆三峡学院高等代数论文线性方程组解的判定与求解 系（部）：数学与计算机科学学院 专业：数学与应用数学（师范）学号：200906034243 学生姓名：陈超 指导教师：刘学飞（教授） 2010年12月

线性方程组解的判定与求解 陈超 (重庆三峡学院 数学与计算机科学学院 2009级数学与应用数学（师范2班）) 摘要：线性方程组称为系数矩阵和增广矩阵。若n c c n c x c x ===. ,. 22,11代入所给方程各式 均成立，则称（n c c c ,........2,1）为一个解。若n c c c ,........2,1不全为0，则称（n c c c ,........2,1）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组. 关键词：线性方程组;解的判定;求解;矩阵;初等变换;矩阵的秩 引言 线性方程组求解中，我们要掌握一般线性方程组及其通解的基本概念，同时理解矩阵的初等变换在解线性方程组的作用.判定线性方程组解的情况，要看线性方程组的表示形式和线性方程组有解的判定条件，这样才能对线性方程组的解的情况的判定及求解. 1 线性方程组的解法 我们学习过用Gramer 法则解形如 ?????? ?=++=++=++n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a nn n n n n ............................................. (21212121222212111211) 的线性方程组，也讨论过齐次线组 ?????? ?=++=++=++0......................................... 0....0....221122221211212111n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 事实上,方程组?????? ?=++=++=++n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a nn n n n n ............................................. .......21212121222212111211 （1）

高等代数论文

莆田学院数学与应用数学系 “高等代数选讲”课程论文题目：小论矩阵的对角化 姓名：刘文娟 学号：410401210 莆田学院数学与应用数学系 数学与应用数学专业2004级 2007年6 月22 日

小论矩阵的对角化 刘文娟 042数本 410401210 摘要：对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，这里讨论n 阶矩阵对角化的一些判定条 件（充要条件）及几种常用矩阵的对角化问题。 关键词：可对角化 特征值 特征向量 不变因子 初等因子 最小多项式 矩阵的秩 特征多项式 循环矩阵 定义：数域F 上方阵A ，如果能与一个F 上的对角方阵相似，则A 在F 可对角化。 判定1：A 可对角化的充要条件是：有n 个线性无关的特征向量。 判定2：设n 方阵A 的全部不同的特征根为12,, ,m λλλ而()12,,1,2,i i isi i m ααα=为 ()0i E A X λ-=的一个基础解系（从而是属于i λ的一极大无关特征向量组），A 可对角化的充要条件是： 12m s s s n ++= 判定3：设12,, ,m λλλ为n 方阵A 的全部不同的特征根，且分别为12,, m s s s 重根，A 可 对角化的充要条件是： 对每个()1,2, i i m =都有： ()i i r E A n s λ-=- 证明：充分性 设()i i r E A n s λ-=-， ()1,2, i m = 则齐次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系含()i i n n s s --=个向量， 但由于12,, ,m λλλ分别为12,,m s s s 重根，从而12m s s s n ++= 故A 可对角化。 必要性 设A 必有n 个线性无关的特征向量，但由于12m s s s n ++ =，故每个 次线性方程组()0i E A X λ-=的基础解系必含i s 个向量，从而 ()i i r E A n s λ-=-， ()1,2,i m = 判定4：数域F 上n 方阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式是F 上互素的 一次因式的乘积。 判定5：复数域上矩阵A 与对角矩阵相似的充要条件是：A 的最小多项式没有重根。即A 的 最后一个不变因子无重根。 证明： 假设A 相似与对角矩阵，因为相似矩阵具有相同的最小多项式，我们只要证明对角

高等代数论文

高等代数论文 矩阵在生产生活方面的应用 指导老师李思泽 运输1512 崔粲 15251169 知行1501 徐鹏宇 15291200

目录 【摘要】 (2) 【关键词】 (2) 【Abstract】 (2) 【Key words】..................................... 错误!未定义书签。【实际应用举例】 (3) 1. 计算网络中的流 (3) 1.1 交通流分析 (3) 1.2 程序运行代码 (5) 1.3 程序运行截图 (8) 1.4 程序运行代码（2） (9) 1.5程序运行截图（2） (13) 2.电路分析 (13) 2.2程序运行代码 (15) 2.3 程序运行截图 (18) 【论文总结】...................................... 错误!未定义书签。【参考文献】...................................... 错误!未定义书签。

摘要 近二十年来，随着计算机技术的蓬勃发展，利用计算机的符号计算系统对代数中可计算问题形成了计算代数这个新的方向，本文主要通过对于矩阵的应用实例来说明代数在实际生活中的应用。随着科学技术的发展，数学也越来越贴近我们的生活，可以说是息息相关。我们在学习数学知识的同时，也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习高等代数的过程中，我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中，我们就对代数中的矩阵在交通流量分析，电路分析的应用进行了探究并编写了相关程序。 【关键词】高等代数，矩阵，实际，应用，电路分析，交通流 Abstract In recent twenty years, with the rapid development of computer technology, using computer symbol computing system of algebra computational problems form the computational algebra in this new direction. This paper mainly through the matrix of the application examples to illustrate the application of algebra in real life. With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life, it can be said that it is closely related to the development of science and technology. At the same time, we can not forget to apply mathematical knowledge to life. In the course of learning advanced algebra, we found that the algebra has an indispensable position in life and practice. In this thesis, we study the application of the matrix in the

近世代数中拉格朗日定理应用汇总

毕业论文 （2016届） 题目拉格朗日定理的若干应用 学院数学计算机学院 专业数学与应用数学 年级2012级 学号12012241671 学生姓名苗壮 指导教师王伟 2016年5月8 日

摘要 拉格朗日定理是群论中一个非常重要的定理, 通过这个定理还可以得到许多群论中的数量关系,在近世代数中有着广泛的应用.首先介绍了群与子群的定义,其次介绍了子群的陪集和拉格朗日定理;并对拉格朗日定理用两种方法进行证明. 最后,通过讨论相关例题,总结运用拉格朗日定理证明与子群、阶有关的问题一些基本步骤和方法. 关键词：群子群拉格朗日定理陪集

Abstract Lagrange law is a very important theorem in group theory, many quantitative relationships in group theory can be obtained through it, which is widely utilized in Modern Algebra. The definitions of groups and subgroups are introduced first. Then the coset of subgroup and Lagrange law are introduced and the law are proved on two ways. Finally, by talking about the relevant examples, certain primary methods and steps to use Lagrange law and to prove some problems about subgroups and order are concluded. Key words: group subgroup Lagrange law coset

高等代数论文

高等代数心得 牟景峰 （陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳745000） 【摘要】在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合我对高等代数的学习，谈谈对高等代数一些感悟。 【关键词】内容概念方法 引言 老师曾说过高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具。因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程概念多和知识点杂，许多学生往往觉得学起来很困难。通过目前我对高等代数的学习，下面我谈谈在《高等代数》学习中的一些感悟。 一、尽量与中学数学内容相联系 高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元n次方程根的定义、复数域上一元n次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元n次方程根的特点、有理数一元n次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。高等代数中有n元一次线性方程组的行列式解法（克拉默法则）和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有我们目前还没学的欧式空间和酉空间。 通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。而且高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，我们也不明白这个概念有什么用。这种情况下，我们要提前预习，上课时选择性的、有重点的听老师讲课，这样就可以减轻学习压力，如果还有不懂得就课后继续研究，争取弄懂每一个知识点，因为高等代数的知识点是环环相扣的，不然你落下一个知识点的话会对后面的学习造成影响的。 二、深刻理解概念 高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在学习中，我们要深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的n个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。 俗话说：“书读百遍，其义自见”，所以我们要学会多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。 高等代数中的一些重要内容，例如集合的线性运算、八条运算规则、等价关

高等代数小论文选题

高等代数小论文备选题目 【第一学期】 1 行列式在几何中的应用 （求面积、体积、平面、直线、圆、欧拉四面体……） 2 行列式在中学数学中的应用 3 初等变换在高等代数中的作用 4 矩阵的秩关系式的证明方法 5 矩阵秩的性质研究 *6 可逆矩阵的性质研究 7 伴随矩阵的性质研究 8 分块初等变换的应用 9 矩阵的迹及其应用 10 等价标准形（P190）的应用 11最大公因式的其他求法 *12自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 16周之前交。 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书

高等代数小论文备选题目 【第二学期】 1 正定矩阵的性质研究 2 线性空间的公理化定义研究 3 线性空间研究问题的思路探讨 4 线性空间直和的证明方法 5 线性变换与矩阵的同构关系 6 相似关系下的性质研究 7特征值与特征向量在其他学科的应用 8 哈密尔顿-凯莱定理的应用 9 对角化问题的研究 10 几类标准形的研究 （等价、相似、合同、正交相似） 11 等价分类的思想方法 12 Jordan标准形的应用研究 13 欧氏空间理论在中学数学的应用 14 正交变换的性质研究 15 矩阵的乘积分解问题 16 高等代数中的数学思想 *17 自选题目（一般选题低分起评） 【要求】有自己的观点，3张作业纸以上（可以加例题和教学评议）； 提倡电子文档（用公式编辑器或MathType软件，Email提交，署名) 注：[1]*表示相对简单，起评分也相对低。 [2]查找文献的基本方法： ①江西财经大学—图书馆—数字资源—期刊（维普、知网） ②百度文库搜索 ③参考书

高等代数教学论文

高等代数教学中的几点感悟文宋雪丽摘要在大学数学课程中，高等代数是其中一门十分重要的科目。结合教学实践，谈了一些感悟。关键词内容；概念；方法高等代数是大学数学课程中一门重要的专业基础课程，为后继课程提供必不可少的数学理论基础知识，一般都在大学一年级开设。由于该课程是学习大学后继相关课程的基石，同时也是研究其他学科的工具，许多高等院校都将高等代数列为研究生招生考试课程，因此，该课程在整个专业课程体系中地位很高。由于该课程的抽象性和枯燥性，许多初学者往往觉得学起来很困难。因此，作为高校教师，如何培养学生对高等代数的学习兴趣，提高高等代数的课堂教学质量显得尤为重要。结合多年的教学实践经验，下面我谈谈在《高等代数》教学中的一些感悟。一、尽量与中学数学内容相联系高等代数课程中的许多教学内容与中学数学有着紧密的联系。例如数与数域，中学教材中有整数、有理数、实数及复数。高等代数中介绍了数域的概念；多项式，在中学数学教材中就有多项式的加、减、乘、除四则运算法则。在高等代数中严格定义了多项式的次数及加法、减法、乘法运算，介绍了多项式的整除理论及最大公因式理论；方程，中学教材中有一元一次方程、一元二次方程的求解方法、一元二次方程根与系数的关系。高等代数中介绍一元次方程根的定义、复数域上一元次方程根与系数的关系及根的个数、实系数一元次方程根的特点、有理数一元次方程根的性质及其求法；方程组，中学教材中有二元一次方程组、三元一次方程组的消元解法。

高等代数中有元一次线性方程组的行列式解法克拉默法则和矩阵消元解法、线性方程族解的判定及解与解之间的关系；空间与图形，中学教材中有平面与空间向量的长度与夹角，高等代数中有欧式空间向量的长度和夹角。通过以上分析，高等代数与中学数学在内容上有很多相关联的地方。不同的是中学数学知识比较浅显，面也比较窄，而高等代数将中学数学的内容拓宽了许多，同时也抽象了许多。因此作为老师，要正确地引导学生以较高的观点去认识中学教学内容。例如，通过线性方程组的矩阵解法、有解判别定理以及解的结构所反映的辨证思想，指导学生对中学数学的加减消元法本质的认识。高等代数中有许多概念，有些概念比较抽象，学生也不明白这个概念有什么用。这种情况下，老师在讲课时，可以先不必马上讲出这个概念，可从学生所熟悉的中学知识出发，由具体到抽象，慢慢地转到主题上。二、深刻理解概念高等代数中概念很多，几乎每一章节都涉及到了概念，而且有些概念还很相似，好多题的证明都要通过概念来证明。因此，在教学中，要让学生深刻理解、体会概念。譬如，阶行列式的定义，是由所有位于不同行不同列的个元素乘积的代数和得到的。只有深刻明白了这个定义，才能用行列式的定义来解题。还有多项式中，零多项式与零次多项式的区别，线性空间的同构与欧几里得空间的同构的相似点和区别。俗话说书读百遍，其义自见，要告诫学生多读几遍书，多思考，思考得多了，自然就理解了。只有理解概念了，才能在解题中熟练、灵活地运用这些概念来证明。

近世代数相关应用

近世代数的应用 1. 幻方一变八----正方形的对称群 我在抽象代数考试中考过这样的题：将如下的3阶幻方通过旋转和轴对称变出尽可能多的不同的幻方。 90o,180o,270o得到3个新的幻方，关于第2行、第2列、两条对角线做轴对称得到4个新的幻方，包括原来的幻方在内一共可以得到8个。 为什么只能得到8个而不能得到更多? 通过旋转和轴对称只能将左上角的2变到4个不同的位置(正方形的4个角)。将2固定在每个角不动，只能通过轴对称得到2个不同的幻方，4组总共2×4=8 个。这实际上是说：将正方形变到与自己重合，有8个不同的动作。这8个动作组成的集合对乘法(复合)与求逆运算封闭，组成一个群。其中保持2不动的动作组成一个2阶子群，将2变到同一个位置的动作组成一个陪集。非交换群、子群与陪集、子群的元素个数2是整个群的元素个数8的因子。这些概念和知识都自然而然引入了。 类似地，可以计算正方体的对称群或者旋转群的元素个数，或者任意正多边形和正多面体的对称群的元素个数。特别，正三角形的对称群由三个顶点的所有置换组成，就是元素最少的非交换群S3。 2．0与1的算术----二元域 许多人说有限域是抽象代数最后一节课讲的，最难，没学好情有可原，考试也不应当考。其实有限域最容易讲，最有趣，最有用，最有抽象代数味道，可以在抽象代数课第一节课第一分钟讲。我的抽象代数考试每次必考有限域。 小学生都懂得奇偶数的运算规律：偶+偶=偶，偶+奇=奇，奇+奇=偶; 偶×整数=偶，奇×奇=奇。将偶数用0表示，奇数用1表示，就得到：0+0=0, 0+1=1, 1+1=0; 0×a=0 (a=0或1),1×1=1。按这样的运算公式，两个元素0,1组成的集合Z2就对加、减、乘、除封闭，Z2就是二元域，最简单的有限域。 我的导师曾肯成教授出过一个题：求随机整数组成的n阶行列式为奇数和偶数的概率。貌似概率题，其实是代数题。将行列式中的偶数用0表示，奇数用1表示，行列式为奇数(也就是等于1)就是二元域上可逆矩阵，充分必要条件就是各行线性无关。归结为二元域上的线性代数题。另一个例子是：在二元域上解齐次线性方程组，得到纠错码的一个设计方案。二元域在信息与计算机科学中至关重要。会算1+1=0，就懂了一点真正的抽象代数。 为什么两个整数a,b的和、差、积的奇偶性只与a,b的奇偶性有关而与奇数与偶数的不同取值无关？将a,b分别用它们除以2的余数r,s代表（r,s取值为0或1），写成a=r+偶，b=s+偶的形式，则a±b=(r+偶)±(s+偶)=(r±s)+(偶±偶)，ab=(r+偶)(s+偶)= rs+r×偶+偶×s+偶×偶。不论其中的“偶”取什么偶数值，总有：偶±偶=偶，偶×整数=偶，就好象0±0=0, 0×数=0一样。可以将算式中的“偶”看作0来运算，得到a±b = (r±s)+偶，ab = rs+偶。也就是说：将a,b 替换成与它们奇偶性相同的0或1进行运算，得到的和、差、积的奇偶性不变。这件事可以推广：a,b取值的整数集合Z替换成对合法的加法与乘法封闭的任意集合D，称为环; 偶数集合替换成D中具有类似于0的运算性质O±O=O，D×O=O的子集O，

近世代数中关于集合的划分及其应用研究

近世代数中关于集合的划分及其应用研究 摘要 我们对集合并不陌生，我们所熟知的集合实际上是朴素集合.那么我们为什么要讨论集合的划分呢?因为它在商群、商环、商域等其他方面中有着极其重要的应用.我们要研究集合的划分就必须研究等价关系，因为它们是互相决定的。因此我们先从等价关系开始说起，之后再来探讨集合的划分，然后观察集合的划分在各方面的应用. 第一章 等价关系与等价类 定义1.1：设S 是一个非空集合，R 是关于S 的元素的一个条件.如果对S 中任意一个有序元素对（a ，b ），我们总能确定a 与b 是否满足条件R ，就称R 是S 的一个关系（relation ）.如果a 与b 满足条件R ，则称a 与b 满足条件R ，则称a 与b 有关系R ，记做aRb ;否则称a 与b 无关系R.关系R 也成为二元关系. 定义1.2：设~是集合A 上的一个二元关系，若满足下列性质： （1）自反性：?a ∈A ,a~a; （2）对称性：?a,b ∈A,a~b,则b~a; （3）传递性：?a,b,c ∈A,a~b,b~c,则a~c. 则称~A 上的一个等价关系.当a~b 时，称a 与b 等价. 定义1.3：设一个集合A 分成若干个非空子集，使得A 中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集的全体成为A 的一个分类。每个子集称为一个类.类里任何一个元素称为这个类的一个代表. 由定义可知，A 的非空子集族S={i A |i ∈I } 是A 的一个分类当且仅当其满足下列性质： （1） I i i A ∈=A; （2）当j i ≠时，=j i A A ?，即不同的类互不相交. 定理1.1 设S={i A |i ∈I } 是A 的一个分类，规定~为： a~b ?a 与b 同属于同一个类， 则~是A 上的一个等价关系. 证明：首先由分类的定义，~是A 的一个关系.而且，显然?a ∈A ，a~a ；又?a ，b ∈A ，若a~b ，则a 与b 属于同一个类，从而b~a ；?a ，b ，c ∈A ，若a~b ，b~c ，则a 与b 属于同一个类，b 与c 属于同一个类，于是a 与c 属于同一个类，从而a~c.因此~是A 上的一个等价关系. 定理1.2 设~是A 上的一个等价关系，对于a ∈A ，令 [a]={x|x ∈A,x~a},则A 的子集族 是A 的一个分类. 证明（1）?a ∈A ，因为,a~a ，所以a ∈[a]，从而[a]是一个非空子集，并且 []=∈ A a a A. （2）若[a] [b]≠?,则?c ∈[a] [b]，于是c~a ，c~b ，从而a~b. ?x ∈[a],有x~a ，于是x~b ，所以x ∈[b]，即[a]?[b].同理[b]?[a].这里就得到[a]=[b].所以不同的等价类互不相交. 该定理中所构成的子集[a]称为A 的一个包含a 的~等价类. 定义4：设~是A 上的一个等价关系，由A 的全体不同~等价类所组成的集合族称为A 关于~的商集，记作A/~.

高等代数的应用论文

代数在经济管理 中的应用 班级：思源1102 小组成员：张萌11274034 徐婉琳11274060 杨紫琪11274061 指导老师：李思泽

目录 摘要 (3) 问题提出 (4) 实际应用举例 (4) 论文总结 (10) 参考文献 (11)

【摘要】 科学技术的发展使我们的生活水平有了很大的提高，也促进了整体的经济水平和管理层次的提升。我们所学的知识源于生活，同时这些知识也最终会服务于生活，在高等代数的学习过程中，我们发现代数在经济管理中有着很多用途，为经济管理等方面的计算提供了便利。本篇论文中，我们就对代数在经济学和管理学方面的应用进行了探究。【关键词】 高等代数，经济管理，实际，应用 【Abstract】 The development of science and technology not only make our living standard greatly improved, but also promote the whole economic level and management level. We learned lots of knowledge from life, at the same time this knowledge will eventually serve in life. In the learning process of the advanced algebra, we found that the algebra in economic and management has many uses. It provide Economic and management convenience. In this thesis, we do research on the algebra about the economics and management. 【Key words】