七年级数学下册培优辅导讲义(人教版)
第12讲 与相交有关概念及平行线的判定
考点·方法·破译
1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行.
2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们.
3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系.
经典·考题·赏析
【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】
⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角.
⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两
边的反向延长线.
⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角.
【变式题组】
01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则：
⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角
是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. 问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角.
【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ．
⑴求∠EOF 的度数；
⑵写出∠BOE 的余角及补角.
【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式从而求解；
【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝2
1
∠BOC ，∠FOC ＝
21∠AOC ∴∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝21∠BOC ＋2
1∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21
又∵∠BOC ＋∠AOC ＝180° ∴∠EOF ＝2
1×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠BOE 的补角是：∠AOE .
【变式题组】
01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ）
A ．20°
B ． 40°
C ．50°
D ．80°
02．（杭州）已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝ .
【例３】如图，直线l 1、l 2相交于点O ，A 、B 分别是l 1、l 2上的点，试用三角尺完成下列作图： ⑴经过点A 画直线l 2的垂线. ⑵画出表示点B 到直线l 1的垂线
段.
【解法指导】垂线是一条直线，垂线段是一条线段.
【变式题组】 01．P 为直线l 外一点，A 、B 、C 是直线l 上三点，且PA ＝4cm ，PB ＝5cm ，PC ＝6cm ，则点P 到直线l 的距离为（ ） A ．4cm B ． 5cm C ．不大于4cm D ．不小于6cm
A
B
C D E
F A
B C D
E
F P
Q R
A
B
C
E
F E A A
C
D O （第1题图）
1 4 3
2 （第2题图）
l 2
02 如图，一辆汽车在直线形的公路AB 上由A 向B 行驶，M 、N 为位于公路两侧的村庄； ⑴设汽车行驶到路AB 上点P 的位置时距离村庄M 最近.行驶到AB 上点Q 的位置时，距离村庄N 最近，请在图中的公路上分别画出点P 、Q 的位置. ⑵当汽车从A 出发向B 行驶的过程中，在 的路上距离M 村越来越近..在 的路上距离村庄N 越来越近，而距离村庄Ｍ越来越远. 【例４】如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE ⊥CD ，OF ⊥AB ，∠DOF ＝65°，求∠BOE 和∠AOC 的度数. 【解法指导】图形的定义现可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质，由图可得：∠AOF ＝90°，OF ⊥AB ．
【变式题组】 01．如图，若EO ⊥AB 于O ，直线CD 过点O ，∠EOD ︰∠EOB ＝1︰3，求∠AOC 、∠AOE 的度数. 02．如图，O 为直线AB 上一点，∠BOC ＝3∠AOC ，OC 平分∠AOD ． ⑴求∠AOC 的度数； ⑵试说明OD 与AB 的位置关系.
03．如图，已知AB ⊥BC 于B ，DB ⊥EB 于B ，并且∠CBE ︰∠ABD ＝1︰2，请
作出∠CBE 的对顶角，并求其度数.
【例５】如图，指出下列各组角是哪两条直线被哪一条直线所截而得到的，并说出它们的名称： ∠1和∠2：
∠1和∠3：
∠1和∠6：
∠2和∠6： ∠2和∠4： ∠3和∠5：
∠3和∠4：
【解法指导】正确辩认同位角、内错角、同旁内角的思路是：首先弄清所判断的是哪两个角，其次是找到这两个角公共边所在的直线即截线，其余两条边所在的直线就是被截的两条直线，最后确定它们的名称.
F B A O C
D E C D B A E
O C
D
A B
A E D
C F E B
A
D 1 4 2 3 6 5
【变式题组】
01．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同
旁内角共有（ ）
A ．4对
B ． 8对
C ．12对
D ．16对
02．如图，找出图中标出的各角的同位角、内错角和同旁内角.
03．如图，按各组角的位置判断错误的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠3和∠4是内错角
C ．∠5和∠6是同旁内角
D ．∠5和∠7是同旁内角
【例６】如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由?
⑴∠CBD ＝∠ADB ； ⑵∠BCD ＋∠ADC ＝180°
⑶∠ACD ＝∠BAC
【解法指导】图中有即即有同旁内
角，有“ ”即有内错角.
【解法指导】⑴由∠CBD ＝∠ADB ，可推得AD ∥BC ；根据内错角相等，两
直线平行. ⑵由∠BCD ＋∠ADC ＝180°，可推得AD ∥BC ；根据同旁
内角互补，两直线平行.
⑶由∠ACD ＝∠BAC 可推得AB ∥DC ；根据内错角相等，两
直线平行.
【变式题组】
01．如图，推理填空.
⑴∵∠A ＝∠ （已知） ∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠C ＝∠ （已知）
∴AC ∥ED （ ）
⑶∵∠A ＝∠ （已知） ∴AB ∥DF （ ） 02．如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知） ∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义） 又∵EF 平分∠DEC （已知） ∴ （ ） 又∵∠1＝∠2（已知） ∴ （ ） ∴AB ∥DE （ ） 03．如图，已知AE 平分∠CAB ，CE 平分∠ACD ．∠CAE ＋∠ACE ＝90°，求证：AB ∥CD ． A
B
D
C
H
Ｇ E
F
7 1 5 6 8 4 1 2 乙
丙 3 2 3 4 5
6 1 2 3 4
甲 1 A B C 2 3 4 5
6 7 A B C D
O
A B E F
C
A B
E A B C
D E
F 1 2
04．如图，已知∠ABC＝∠ACB，BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∠EBF＝∠EFB，求证：CD∥EF.
【例７】如图⑴，平面内有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个
角小于31°.
【解法指导】如图⑵，我们可以将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时的图形为图⑵.
证明：假设图⑵中的12个角中的每一个角都不小于31°
则12×31°＝372°＞360°
这与一周角等于360°矛盾
所以这12个角中至少有一个角小于31°
【变式题组】
01．平面内有18条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中至少有一个角小
于11°.
02．在同一平面内有2010条直线a1,a2,…，a2010,如果a1⊥a2,a2∥a3，
a3⊥a4，a4∥a5……那么a1与a2010的位置关系是 .
03．已知n（n＞2）个点P1，P2，P3…Pn.在同一平面内没有任何三
点在同一直线上，设S n表示过这几个点中的任意两个点所作的所有直
线的条数，显然：S2＝1，S3＝3，S4＝6，∴S5＝10…则Sn＝ .
演练巩固·反馈提高
01．如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
02．如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）
A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END
03．下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
04．如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段
AB的长度是点B到AC的距离⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD ＞BD
A．0 B． 2 C．4 D．6
A
B
C
D E
l1l2
l3
l4
l5
l6
图⑴
l1
l2
l3
l4
l5
l6
图⑵
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
05．点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线l的距离是（）
A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm 06．将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC ＝ .
07．如图，矩形ABCD沿EF对折，且∠DEF＝72°，则∠AEG＝ . 08．在同一平面内，若直线a1∥a2,a2⊥a3,a3∥a4,…则a1a10.（a1与a10不重合）
09．如图所示，直线a、b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，
②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝180°，④∠4＝∠7，其中能判断a∥b的条件的
序号是 .
10．在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11．如图，已知BE平分∠ABD，DE平分∠CDB，且∠E＝∠ABE＋∠EDC．试说明AB∥CD？
12．如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1
＝∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？13．如图，推理填空：
⑴∵∠A＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑵∵∠2＝（已知）
∴AC∥ED（）
⑶∵∠A＋＝180°（已知）
∴AB∥FD．
14．如图，请你填上一个适当的条件使AD∥BC．
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c
第6题图第7题图第9题图
1
2
3 4
5
6
7 8
1
A
C D
E
B
A B
E
1
A
B C
D
E
F
第14题图
培优升级·奥赛检测 01．平面图上互不重合的三条直线的交点的个数是（ ） A ．1，3 B ．0，1，3 C ．0，2，3 D ．0，1，2，3 02．平面上有10条直线，其中4条是互相平行的，那么这10条直线最多能把平面分成（ ）部分. A ．60 B ． 55 C ．50 D ．45 03．平面上有六个点，每两点都连成一条直线，问除了原来的6个点之外，这些直线最多还有（ ）个交点. A ．35 B ． 40 C ．45 D ．55 04．如图，图上有6个点，作两两连线时，圆内最多有
__________________交点. 05．如图是某施工队一张破损的图纸，已知a 、b 是一个角的两边，现在要在图纸上画一条与这个角的平分线平行的直线，请你帮助这个施工队画出这条平行线，并证明你的正确性. 06．平面上三条直线相互间的交点的个数是（ ） A ．3 B ．1或3 C ．1或2或3 D ．不一定是1，2，3 07．请你在平面上画出6条直线（没有三条共点）使得它们中的每条直线都恰好与另三条直线相交，并简单说明画法？ 08．平面上有10条直线，无任何三条交于一点，要使它们出现31个交点，怎么安排才能办到？
09．如图，在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB 、AC ，那么两条对角线的夹角等于（ ） A ．60° B ． 75° C ．90°
D ．135° 10．在同一平面内有9条直线如何安排才能满足
下面的两个条件？ ⑴任意两条直线都有交点；
⑵总共有29个交点.
第13讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译
1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判定与性质定理之间的区别和联系； 2．初步了解命题，命题的构成，真假命题、定理； 3．灵活运用平行线的判定和性质解决角的计算与证明，确定两直
线的位置关系，感受转化思想在解决数学问题中的灵活应用.
经典·考题·赏析 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD 求∠C 的度数. 【解法指导】
两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，内错角相等；
两条直线平行，同旁内角互补. 平行线的性质是推导角关系的重要依据之一，必须正确识别图形的特征，看清截线，识别角的关系式关键.
【解】：∵AB ∥CD BC ∥AD ∴∠A ＋∠B ＝180° ∠B ＋∠C ＝180°(两条直线平行，同旁内角互补) ∴∠A ＝∠C ∵∠A ＝38° ∴∠C ＝38°
a b A
B C
【变式题组】
01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC
的度数为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25°
02．（安徽）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ）
A ． 50°
B ． 55°
C ． 60°
D ．65°
03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B
的度数.
【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠EFC ＝45°，求∠BCG 的度数.
【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置.
【解】∵AB ∥CD ∥EF ∴∠B ＝∠BCD ∠F ＝∠FCD (两条直线平行，内错角相等)又∵∠B ＝60° ∠EFC ＝45° ∴∠BCD ＝60° ∠FCD ＝45° 又∵GC ⊥CF ∴∠GCF ＝90°（垂直定理） ∴∠GCD ＝90°－45°＝45° ∴∠BCG ＝60°－45°＝15°
【变式题组】
01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝
_______________
02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点
O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________
03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求
∠NMP 的度数.
【例３】如图，已知∠1＝∠2，∠C ＝∠D ． 求证：∠A ＝∠F . 【解法指导】
因果转化，综合运用.
逆向思维：要证明∠A ＝∠F ，即要证明DF ∥AC ． 要证明DF ∥AC , 即要证明∠D ＋∠DBC ＝180°， 即：∠C ＋∠DBC ＝180°；要证明∠C ＋∠DBC
＝180°即要证明DB ∥EC ． 要证明DB ∥EC 即要
证明∠1＝∠3.
证明：∵∠1＝∠2，∠2＝∠3（对顶角相等）所以∠1＝∠3 ∴
DB ∥EC （同位角相等?两直线平行）∴∠DBC ＋∠C ＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠C ＝∠D ∴∠DBC ＋∠D ＝180° ∴DF ∥AC （同旁内角，互补两直线平行）∴∠A ＝∠F （两直线平行，内错角相等） A
B
C D
O
E F
A
E
B
C （第1题图）
（第2题图）
E A
F G
D
C B B
A
M
C
D
N P （第3题图）
D
E F 2
D
A
2 E
1 B C B F E A
C D 【变式题组】
01．如图，已知AC ∥FG ，∠1＝∠2，求证：DE ∥FG
02．如图，已知∠1＋∠2＝180°，∠3＝∠B ． 求证：∠AED ＝∠ACB
03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光线AO 平行 于β入射到α上，经两次反射后的出射光线O′B 平行 于α，则角θ等于_________. 【例４】如图，已知EG ⊥BC ，AD ⊥BC ，∠1＝∠3. 求证：AD 平分∠BAC ． 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，仔细分析 条件给我们带来的结论，对于不能直接直接得出结论 的条件，要准确把握住这些条件的意图
.（题目中的： ∠1＝∠3） 证明：∵EG ⊥BC ，AD ⊥BC ∴∠EGC ＝∠ADC ＝90° （垂直定义）∴EG ∥AD （同位角相等，两条直线平行） ∵∠1＝∠3 ∴∠3＝∠BAD （两条直线平行，内错角相等） ∴AD 平分∠BAC （角平分线定义） 【变式题组】 01．如图，若AE ⊥BC 于E ，∠1＝∠2，求证：DC ⊥BC ．
02．如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ,DF ⊥AB 于F , AC ∥ED ，CE 平分∠
ACB ． 求证：∠EDF ＝∠BDF .
AB ∥CD ，∠B ＝40°，CN 是∠BCE 的平分线. CM ⊥CN ，求：的度数.
A D M C N E
B G
B 3
C A 1
D 2
E F （第1题图） A
2 C F
3 E D
1
B
（第2题图）
3 1 A
B G D
C E
α P B A ∠P ＝α＋β
3 2 1 α β E B A
F
H F γ D
α β E B C A
F D E
B
C A B C A
A ′ l
B ′
C ′
【例５】已知，如图，AB ∥EF ，求证：∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【解法指导】从考虑360°这个特殊角入手展开联想，分析类比， 联想周角.构造两个“平角”或构造两组“互补”的角. 过点C 作CD ∥AB 即把已知条件AB ∥EF 联系起来，这是关键. 【证明】：过点C 作CD ∥AB ∵CD ∥AB ∴∠1＋∠ABC ＝180° (两直线平行，同旁内角互补) 又∵AB ∥EF ，∴CD ∥EF （平行 于同一条直线的两直线平行） ∴∠2＋∠CFE ＝180°(两直线平行， 同旁内角互补) ∴∠ABC ＋∠1＋∠2＋∠CFE ＝180°＋180°＝360° 即∠ABC ＋∠BCF ＋∠CFE ＝360° 【变式题组】 01．如图，已知，AB ∥CD ，分别探究下面四个图形中∠APC 和∠PAB 、∠PCD 的关系，请你从所得四个关系中选出任意一个，说明你探究的结论的正确性. 结论：⑴____________________________ ⑵____________________________ ⑶____________________________ ⑷____________________________ 【例６】如图，已知，AB ∥CD ，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是 ∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° 【解法指导】基本图形 善于从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律打开思路. 【解】过点E 作EH ∥AB ． 过点F 作FG ∥AB ． ∵AB ∥EH ∴∠α＝∠1（两直线平行，内错角相等）又∵FG ∥AB ∴EH ∥FG （平行于同
一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠3 又∵AB ∥CD ∴FG ∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ψ＋∠4＝180°（两直线平行，同
旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2
＝∠4＋ψ＝180°
【变式题组】 01．如图， AB ∥EF ，∠C ＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（ ）
A ． ∠β＝∠α＋∠γ
B ．∠β＋∠α＋∠γ＝180°
C ． ∠α＋∠β－∠γ＝90°
D ．∠β＋∠γ－∠α＝90° 02．如图，已知，AB ∥CD ，∠AB
E 和∠CDE 的平分线相交于点
F ，∠E ＝140°，求∠BFD 的度数.
【例７】如图，平移三角形ABC ，设点A 移动到点A /，画出平移后的三角形A /B /C /. 【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连. ⑴定：确定平移的方向和距离. ⑵找：找出图形的关键点. ⑶移：过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的对应点. ⑷连: 按原图形顺次连接对应点. 【解】①连接AA / ②过点B 作AA /的平行线l ③在
l 截取BB /＝AA /,则点B /
就是的B 对应点，用同样的方法作出点C 的对应点C /.连接A /B /，B /C /，C /A /就得到平移后的三角形A /B /C /.
B A
P C A C C D A A P C B D P
B
P
D B D ⑴ ⑵ ⑶ ⑷
F E D 2 1 A
B C
西
B 30° A
北
东 南
【变式题组】
01．如图，把四边形ABCD 按箭头所指的方向平移21cm ，作出平移后的图形.
02．如图,三角形ABC 中，∠C ＝90°, BC ＝4，AC ＝
4，现将△ABC 沿CB 方向平移到△A /B /C /
的位置，若平移距离为3, 求△ABC
与△A /B /C /
的重叠部分的面积.
03．原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC 方向平移BE 的
距离，就得到此图形，求阴影部分的面积.（单位：厘米）
演练巩固 反馈提高
01．如图，由A 测B 得方向是（ ）
A ．南偏东30°
B ．南偏东60°
C ．北偏西30°
D ．北偏西60°
02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线
平行；④平行于同一条直线的两直线垂直.其中的真命题的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相
同，两次拐弯的角度可能是（ ） A ．第一次向左拐30°，第二次向右拐30° B ．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°
C ．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°
D ．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°
04．下列命题中，正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ． 同位角相等
C ．内错角相等
D ．同旁内角互补
05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是
通过折一张半透明的纸得到的[如图⑴—⑷]
从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）
①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行. A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
06．在A 、B 两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A 地测得B 地的走向是南
偏东52°.现A 、B 两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B 地所修公路的走向应该是（ ）
A ．北偏东52°
B ．南偏东52°
C ．西偏北52°
D ．北偏西38°
B B /
A
A /
C C /
150°120°
D
B
C
E 湖
07．下列几种运动中属于平移的有（）
①水平运输带上的砖的运动；②笔直的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽略
车轮的转动）；③升降机上下做机械运动；④足球场上足球的运动.
A．1种B．2种C．3种D．4种
08．如图，网格中的房子图案正好处于网格右下角的位置.平移这个图案，使它正好位于左上角的位置（不能出格）
09．观察图，哪个图是由图⑴平移而得到的（）
10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移. 平移方向为射线AD的方向. 平移距离为线段BC的长，则平移得到的三角形是图中（）图的阴影部分.
11．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；
⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.
12．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出命题的真假.
⑴互补的角是邻补角；
⑵两个锐角的和是锐角；
⑶直角都相等.
13．如图，在湖边修一条公路.如果第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠B ＝150°，第三个拐弯处∠C，这时道路CE恰好和道路AD平行，问∠C是多少度？并说明理由.
D
E
A
B C
E D
B C
E D A
B C
E
D A
B C
E
D
A B C
4
3 2 1
A
B
E F C
D 4 P 2
3 1
A B
E
F
C D 14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E 点时，与两岸码头B 、
D 成64°角. 当小船行驶到河中F 点时，看B 点和D 点的视线FB 、FD 恰好有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系. 你能说出此时点F 与码头B 、D 所形成的角∠BFD 的度数吗？
15．如图，AB ∥CD ，∠1＝∠2，试说明∠E 和∠F 的关系.
培优升级·奥赛检测
01．如图，等边△ABC 各边都被分成五等分，这样在△ABC 内能与△DEF 完成重合的小三角形共有
25个，那么在△ABC 内由△DEF 平移得到的三角形共有（ ）个
02．如图，一足球运动员在球场上点A 处看到足球从
B 点沿着BO 方向匀速滚来，运动员立即从A 处
以匀速直线奔跑前去拦截足球.若足球滚动的速度与该运动员奔跑的速度相同，
请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的位置.（运动员奔跑于足球滚动视为点的平移） 03．如图，长方体的长AB ＝4cm ，宽BC ＝3cm ，高AA 1＝2cm . 将AC 平移到A 1C 1的位置上时，平移的距离是___________,平移的方向
是___________. 04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向
的边长均为a ，竖直方向的边长为b ）；将线段A 1A 2向右平移1个单位得到B 1B 2，得到
封闭图形A 1A 2
B 2B 1 [即阴影部分如图⑴];将折现A 1A 2 A 3向右平移1个单位得到B 1B 2B 3，得到封闭图形A 1A 2 A 3B 3B 2B 1
[即阴影部分如图⑵];
⑴在图⑶中，请你类似地画出一条有两个折点的直线，同样的向右平移1个单位，从而得到1个封闭图形，并画出阴影.
⑵请你分别写出上述三个阴影部分的面积S 1＝________, S 2＝________, S 3＝________. ⑶联想与探究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路
（小路在任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分草地面积
是
多少？
⑶
⑷
C
B 1
A
A 1
C 1
D 1
B
D
. A
F E B A C
G D
05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先前进一半，然后原地逆时针旋转α°（0°
＜α°＜180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（ ） A ．720° B ．108°或144° C ．144° D ．720°或144°
06．两条直线a 、b 互相平行，直线a 上顺次有10个点A 1、A 2、…、A 10，直线b
上顺次有10个点B 1、B 2、…、B 9，将a 上每一点与b 上每一点相连可得线段.若没有三条线段相交于同一点，则这些选段的交点个数是（ ） A ．90 B ．1620 C ．6480 D ．2006
07．如图，已知AB ∥CD ，∠B ＝100°，EF 平分∠BEC ，EG ⊥EF . 求∠BEG 和
∠DEG .
08．如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝30°，∠DCE ＝60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． 问：EF 与EG 中有没有与AB 平行的直线？为什么？ 09．如图，已知直线CB ∥OA ，∠C ＝∠OAB ＝100°，E 、F 在CB 上，且满足∠
FOB ＝∠AOB ，OE 平分∠COF . ⑴求∠EOB 的度数；
⑵若平行移动AB ，那么∠OBC ：∠OFC 的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值.
⑶在平行移动AB 的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC ＝∠OBA ？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.
10．平面上有5条直线，其中任意两条都不平行，那么在这5条直线两两相交所
成的角中，至少有一个角不超过36°,请说明理由.
11．如图，正方形ABCD 的边长为5,把它的对角线AC 分成n 段，以每一小段为
对角线作小正方形，这n 个小正方形的周长之和为多少？
12．如图将面积为a 2的小正方形和面积为b 2的大正方形放在一起，用添补法如何求出阴影部分面积？
F E
B A
C G
D 100° F
E B
A
C O A B
C
D
第06讲 实 数
考点·方法·破译 1．平方根与立方根：
若2x ＝a (a ≥0)则x 叫做a 的平方根，记为：a 的平方根为x ＝
a 的平方根为x
a 的算术平方根．
若x 3＝a ，则x 叫做a 的立方根．记为：a 的立方根为x
．
2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上
的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数p
q
（p 、q 是两个互质的整数，且q
≠0）的形式． 3非负数：
实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数．即a >0，2n a ≥0（n 为正整数）
0(a ≥0) ．
经典·考题·赏析
【例1】若2m －4与3m －1是同一个数的平方根，求m 的值． 【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m ?4与3m ?l 是同一个数的平方根，∴2m ?4 ＋3m ?l ＝0，5m ＝5，m ＝l ．
【变式题组】
01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，则这个数是____． 02．已知m
的最大整数，则m 的平方根是____． 03
____．
04．如图，有一个数值转化器，当输入的x 为64时，输出的y 是____．
【例2】（全国竞赛）已知非零实数
a 、b
满足
24242a b a -+++
=，则a ＋b 等于( ) A ．－1 B ． 0 C ．1 D ．2
有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0
a ≥3
∵24242a b a -+++=
∴24242a b a -+++
=
，∴20b +=．
∴()2
2030b a b +=???-=??
，∴32a b =??=-?，故选C ．
【变式题组】
0l
3b +＝0成立，则a b ＝____
． 02()2
30b -=，则
a
b
的平方根是____． 03．（天津）若x 、
y 为实数，且20x +=，则2009
x y ??
?
??
的值为（ ）
A ．1
B ．－1
C ．2
D ．－2
04．已知x
1
x π
-的值是( )
A ．1
1π
-
B ．1
1π
+
C ．
1
1π
- D ．无法确定
【例3】若a 、b
都为有理效，且满足1a b -+=+a ＋b 的平方根．
【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商（除数不为0）不一定是无理数．
∵
1a b -+=+
∴
1a b -=??=
1a b -=??=，∴1312a b =??=?，
a ＋
b ＝12 ＋13＝25．
∴a ＋b
的平方根为：5==±． 【变式题组】
01．（西安市竞赛题）已知m 、n
2）m ＋(3－
n ＋7＝0
求m 、n ．
02．（希望杯试题）设x 、y 都是有理数，且满足方程（
123
π
+）
x ＋（132π+）y ?4?π＝0，则x ?y ＝____．
【例4】若a
?2的整数部分，b ?1是9的平方根，且a b b a -=-，求a ＋b 的值．
【解法指导】
?2＝整数部分＋小数部分．整数部分估算可得2，则小数部分
?2 ?2
?4．∵a ＝2，b ?1
＝±3 ，∴b ＝－2或4
∵a b b a -=-．∴a
01．若3
a ，
b ，则a ＋b 的值为____． 02
a ，小数部分为b
a ）·
b ＝____． 演练巩固 反馈提高 0l ．下列说法正确的是( )
A ．－2是(－2)2的算术平方根
B ．3是－9的算术平方根
C ． 16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3 02
．设a =b ＝ －2
，2
c =-
，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a
A ．－9与81的平方根
B ．4与
C ．4
D ．3
04．在实数1.414
，，0.1?5?
，
π，3.1?4?
( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ． 5个
05．实数a、b在数轴上表示的位置如图所示，则( ) A．b>a B．a b
>
C．－a＜b D．－
b >
a
06．现有四个无理数5，6，7，8，其中在2＋1与3＋1之间的有
( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
07．设m是9的平方根，n＝()23．则m，n的关系是( )
A. m＝±n
B.m＝n C .m＝－n D.m n
≠
08．（烟台）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A
的对称点C，则点C所表示的数为( )
A．－23
-B．－13
-C．－2 ＋3D．l＋3
09．点A在数轴上和原点相距5个单位，点B在数轴上和原点相距3个单位，
且点B在点A左边，则A、B之间的距离为____．
10．用计算器探索：已知按一定规律排列的一组数：1，
2
，
3
…，
19
，
20
．如果从中选出若干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．
11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b＝
a b
+
，如
3※2＝
32
+
＝5．那么12.※4＝____．
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