高中数学必修五全套教案

[探索研究]

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定

义，有

sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c

==, 则sin sin sin a b c c A B C

=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C

==

C a B (图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a

b

A

B

=

， C

同理可得sin sin c

b

C B =

， b a

从而

sin sin a b A B =

sin c

C

=

A c B

(图1．1-3)

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）

sin sin a

b

A B =

sin c

C

=

等价于

sin sin a

b

A

B

=

，

sin sin c

b

C

B

=

，

sin a

A

=

sin c

C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=

； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

例1．在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，

0180()=-+C A B

000180(32.081.8)=-+

066.2=； 根据正弦定理，

00

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；

根据正弦定理，

00

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0

==≈a C c cm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

例2．在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理，

sin 28sin40sin 0.8999.20

==≈b A B a

因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，

00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，

00

sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A

⑵ 当0116≈B 时，

00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，

00

sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A

[补充练习]已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c （答案：1：2：3）

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。

联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A

如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c

()()

2

22

2 2c c c a b a b

a a

b b a b

a b a b

=?=--=?+?-?=+-? C a B

从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5) 同理可证 2222cos a b c bc A =+-

2222cos b a c ac B =+-

于是得到以下定理

余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cos a b c bc A

=+-

2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-

思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：

222

cos 2+-=

b c a A bc 222

cos 2+-=

a c

b B a

c 222

cos 2+-=

b a

c C ba

[理解定理]

从而知余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？

（由学生总结）若?ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 [例题分析]

例1．在?ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A ⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B

=222+-?cos 045

=2121)+- =8

∴=b

求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

⑵解法一：∵cos 2221

,22+-=

b c a A bc ∴060.=A

例2．在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 解：由余弦定理的推论得：

cos 222

2+-=b c a A bc

222

87.8161.7134.6287.8161.7+-=

??

0.5543,≈ 05620'≈A ；

cos 222

2+-=c a b B ca

222

134.6161.787.82134.6161.7+-=

??

0.8398,≈ 03253'≈B ；

0000180()180(56203253)

''=-+≈-+C A B [补充练习]在?ABC 中，若222a b c bc =++，求角A （答案：A=1200）

Ⅳ.课时小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。 [随堂练习1]

（1）在?ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。 （2）在?ABC 中，若1a =，1

2

c =

，040C ∠=，则符合题意的b 的值有_____个。 （3）在?ABC 中，a xcm =，2b cm =，045B ∠=，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x 的取值范围。

（答案：（1）有两解；（2）0；（3

）2x <<）

2．在?ABC 中，已知7a =，5b =，3c =，判断?ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知

222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+???>+???<+??ABC 是锐角三角形

? （注意：是锐角A ?ABC 是锐角三角形?）

解：222753>+，即222a b c >+，

∴ABC 是钝角三角形?。 [随堂练习2]

（1）在?ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断?ABC 的类型。 （2）已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断?ABC 的类型。

（答案：（1

）ABC 是钝角三角形?；（2）?ABC 是等腰或直角三角形） 2.在?ABC 中，060A =，1b =，求sin sin sin a b c A B C ++++的值 分析：可利用三角形面积定理111

sin sin sin 222

S ab C ac B bc A ===以及正弦定理

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

=

sin sin sin a b c

A B C

++++

解：由13

sin 2S bc A ==得2c =，

则2222cos a b c bc A =+-=3，即3a =， 从而

sin sin sin a b c A B C ++++2sin a

A

==

Ⅲ.课堂练习

（1）在?ABC 中，若55a =，16b =，且此三角形的面积2203S =，求角C （2）在?ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积222

4

a b c S +-=，求角C

（答案：（1）060或0120；（2）045）

Ⅳ.课时小结

（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。

Ⅴ.课后作业

（1）在?ABC 中，已知4b =，10c =，030B =，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。 （3）在?ABC 中，060A =，1a =，2b c +=，判断?ABC 的形状。

（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程25760x x --=的根， 求这个三角形的面积。

例1、如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东75?的方向航行67.5 n mile 后到达海岛B,然后从B 出发,沿北偏东32?的方向航行54.0 n mile 后达到海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1?,距离精确到0.01n mile)

解：在?ABC 中，∠ABC=180?- 75?+ 32?=137?，根据余弦定理，

AC=ABC BC AB BC AB ∠??-+cos 222 =????-+137cos 0.545.6720.545.6722 ≈113.15 根据正弦定理,

CAB

BC ∠sin = ABC AC ∠sin

sin ∠CAB = AC

ABC BC ∠sin = 15

.113137sin 0.54?

≈0.3255, 所以 ∠CAB =19.0?, 75?- ∠CAB =56.0?

答:此船应该沿北偏东56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile

补充例2、某巡逻艇在A 处发现北偏东45?相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75?的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

解：如图，设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB=10x, AB=14x,AC=9,

∠ACB=?75+?45=?120

∴(14x) 2= 92+ (10x) 2 -2?9?10xcos ?120

∴化简得32x 2-30x-27=0，即x=

23,或x=-16

9(舍去)

所以BC = 10x =15,AB =14x =21,

又因为sin ∠BAC =AB BC ?120sin =21

15?23=1435 ∴∠BAC =3831'?,或∠BAC =14174'?（钝角不合题意，舍去），

∴3831'?+?45=8331'?

答：巡逻艇应该沿北偏东8331'?方向去追，经过1.4小时才追赶上该走私船.

评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 Ⅳ.课时小结

解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。

例7、在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?; （2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;

（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 解：（1）应用S=2

1

acsinB ，得 S=

2

1

?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm 2) (2)根据正弦定理，

B

b sin =

C

c sin c = B

C b sin sin

S =

21bcsinA = 21

b 2B

A C sin sin sin A = 180?-(

B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

S = 21

?3.162??

?

?7

.62sin 5.51sin 8.65sin ≈4.0(cm 2) (3)根据余弦定理的推论，得

cosB =ca

b a

c 22

22-+

=4

.417.3823.274.417.382

22??-+

≈0.7697

sinB = B 2cos 1-≈27697.01-≈0.6384 应用S=

2

1

acsinB ，得

S ≈

2

1

?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm 2) 例3、在?ABC 中，求证：

（1）;sin sin sin 2

22222C

B A c b a +=+ （2）2a +2b +2c =2（bccosA+cacosB+abcos

C ） 证明：（1）根据正弦定理，可设

A

a sin = B

b sin = C

c sin = k

显然 k ≠0，所以

左边=C k B

k A k c b a 222222222sin sin sin +=+ =C

B

A 222sin sin sin +=右边

（2）根据余弦定理的推论，

右边=2(bc bc a c b 2222-++ca ca

b a

c 22

22-++ab ab c b a 2222-+)

=(b 2+c 2- a 2)+(c 2+a 2-b 2)+(a 2+b 2-c 2)

=a 2+b 2+c 2=左边

变式练习1：已知在?ABC 中，∠B=30?,b=6,c=63,求a 及?ABC 的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=93;a=12,S=183

Ⅳ.课时小结

利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。

⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.

注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；

⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….

例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.

⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“

3

1

”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：

项 1 51

413121

↓ ↓ ↓ ↓ ↓

序号 1 2 3 4 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n

a n 1

=

来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；

⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式

可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|2

1

cos

|π+=n a n . ⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的

一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项． 5.数列与函数的关系

数列可以看成以正整数集N *

（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，

当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。

反过来，对于函数y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，…

6．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分：

有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6。是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列 2）根据数列项的大小分：

递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。

摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [补充练习]：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2)

32, 154, 356, 638, 99

10, ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；

解：(1) n a ＝2n ＋1； (2) n a ＝)

12)(12(2+-n n n ； (3) n a ＝2)1(1n

-+；

(4) 将数列变形为1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……,

∴n a ＝n ＋2

)1(1n

-+；

1、 通项公式法

如果数列{}n a 的第n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 如数列

的通项公式为 ；

的通项公式为

；

的通项公式为 ；

2、 图象法

启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形．具体方法是以项数 为横坐标，相应的项

为纵坐标，即以

为坐标在平面直角坐标系中做出点（以前面提到的数列

为例，做出一个数列的图象），所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横

坐标为正整数，所以这些点都在

轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数．从图象中可

以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势． 3、 递推公式法

知识都来源于实践，最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题．

观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型． 模型一：自上而下：

第1层钢管数为4；即：1?4＝1+3 第2层钢管数为5；即：2?5＝2+3 第3层钢管数为6；即：3?6＝3+3 第4层钢管数为7；即：4?7＝4+3 第5层钢管数为8；即：5?8＝5+3 第6层钢管数为9；即：6?9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7?10＝7+3

若用n a 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且1(3+=n a n ≤n ≤7）

运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便。 让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？（启发学生寻找规律） 模型二：上下层之间的关系

自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。

即41=a ；114512+=+==a a ；115623+=+==a a 依此类推：11+=-n n a a （2≤n ≤7）

对于上述所求关系，若知其第1项，即可求出其他项，看来，这一关系也较为重要。 递推公式：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1-n a （或前n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 递推公式也是给出数列的一种方法。

如下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89 递推公式为：)83(,5,32121≤≤+===--n a a a a a n n n

数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，首先请学生回忆函数的表示法：列表法，图象法，解析式法．相对于列表法表示一个函数，数列有这样的表示法：用 表

示第一项，用 表示第一项，……，用

表示第 项，依次写出成为

4、列表法

．简记为

．

[范例讲解]

例3 设数列{}n a 满足1111

1(1).n

n a a n a -=?

?

?=+>??

写出这个数列的前五项。 解：分析：题中已给出{}n a 的第1项即11=a ，递推公式：1

11-+

=n n a a

解：据题意可知：3

2

11,211,123121=+==+==a a a a a ，58,3511534==+

=a a a [补充例题]

例4已知21=a ，n n a a 21=+ 写出前5项，并猜想n a ．

法一：21=a 2

2222=?=a 323222=?=a ，观察可得 n n a 2= 法二：由n n a a 21=+ ∴12-=n n a a 即

21

=-n n

a a ∴

11

2322112------=????n n n n n n n a a

a a a a a a ∴ n n n a a 2211=?=-

[补充练习]

1．根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式 (1) 1a ＝0, 1+n a ＝n a ＋(2n －1) (n ∈N)； (2) 1a ＝1, 1+n a ＝

2

2+n n

a a (n ∈N)；

(3) 1a ＝3, 1+n a ＝3n a －2 (n ∈N).

解：(1) 1a ＝0, 2a ＝1, 3a ＝4, 4a ＝9, 5a ＝16, ∴ n a ＝(n －1)2

; (2) 1a ＝1,2a ＝

32,3a ＝4221=, 4a ＝52, 5a ＝6

231=, ∴ n a ＝12+n ; (3) 1a ＝3＝1+20

3?, 2a ＝7＝1+21

3?, 3a ＝19＝1+22

3?,

4a ＝55＝1+233?, 5a ＝163＝1+243?, ∴ n a ＝1＋2·31-n ;

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，

这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。

⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；

⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +

，则此数列是等差数列，d 为公差。

2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】

等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公

差是d ，则据其定义可得：

d a a =-12即：d a a +=12

d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+=

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+=

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项n a 。 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--=

则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即等差数列的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=

n

m a a n

m --

[范例讲解]

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项

⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

解：⑴由35285,81-=-=-==d a n=20，得49)3()120(820-=-?-+=a ⑵由4)5(9,51-=---=-=d a 得数列通项公式为：)1(45---=n a n 由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得)1(45401---=-n 成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项

例3 已知数列{n a }的通项公式q pn a n +=，其中p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什么？

分析：由等差数列的定义，要判定{}n a 是不是等差数列，只要看1--n n a a （n ≥2）是不是一个与n 无关的常数。

解：当n ≥2时, （取数列{}n a 中的任意相邻两项1-n a 与n a （n ≥2））

])1([)(1q n p q pn a a n n +--+=--p q p pn q pn =+--+=)(为常数

∴{n a }是等差数列，首项q p a +=1，公差为p 。

注：①若p=0，则{n a }是公差为0的等差数列，即为常数列q ，q ，q ，…

②若p ≠0, 则{n a }是关于n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数

y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在y 轴上的截距为q.

③数列{n a }为等差数列的充要条件是其通项n a =pn+q (p 、q 是常数)，称其为第3

通项公式。

④判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个。

[补充练习]

1.（1）求等差数列3，7，11，……的第4项与第10项.

分析：根据所给数列的前3项求得首项和公差，写出该数列的通项公式，从而求出所求项.

解：根据题意可知：1a =3,d =7－3=4.∴该数列的通项公式为：n a =3+

（n －1）×4,即n a =4n －1（n ≥1,n ∈N *）∴4a =4×4－1=15, 10a =4×10－1=39.

评述：关键是求出通项公式.

（2）求等差数列10，8，6，……的第20项. 解：根据题意可知：1a =10,d =8－10=－2.

∴该数列的通项公式为：n a =10+（n －1）×（－2）,即：n a =－2n +12,∴20a =－2×20+12=－28.

评述：要注意解题步骤的规范性与准确性.

（3）100是不是等差数列2，9，16，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

分析：要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.

解：根据题意可得：1a =2,d =9－2=7. ∴此数列通项公式为：n a =2+（n －1）×7=7n －5.

令7n －5=100,解得：n =15, ∴100是这个数列的第15项.

（4）－20是不是等差数列0，－32

1

，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.

解：由题意可知：1a =0,d =－3

21 ∴此数列的通项公式为：n a =－27n +2

7, 令－27n +27=－20,解得n =7

47 因为－27n +27=－20没有正整数解，所以－20不是这

个数列的项.

3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d =

1

1

--n a a n ③ d =m n a a m n --

问题：如果在a 与b 中间插入一个数A ，使a ，A ，b 成等差数列数列，那么A 应满足什么

条件？

由定义得A-a =b -A ，即：2

b

a A += 反之，若2

b

a A +=

，则A-a =b -A 由此可可得：,,2

b a b

a A ?+=成等差数列

[补充例题]

例 在等差数列{n a }中，若1a +6a =9, 4a =7, 求3a , 9a .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {a n }是等差数列

∴ 1a +6a =4a +3a =9?3a =9－4a =9－7=2

∴ d=4a －3a =7－2=5

∴ 9a =4a +(9－4)d=7+5*5=32 ∴ 3a =2, 9a =32

已知数列{n a }是等差数列

（1）7532a a a =+是否成立？9512a a a =+呢？为什么？ （2）112(1)n n n a a a n +-=+>是否成立？据此你能得到什么结论？ （3）2(0)n k n n k a a a n k +-=+>>是否成立？？你又能得到什么结论？ 结论：（性质）在等差数列中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由q p n m a a a a +=+ 推不出m+n=p+q ，②n m n m a a a +=+ Ⅲ.课堂练习

1.在等差数列{}n a 中，已知105=a ，3112=a ，求首项1a 与公差d

2. 在等差数列{}n a 中, 若 65=a 158=a 求14a 1．等差数列的前n 项和公式1：2

)

(1n n a a n S +=

证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②

①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2

)

(1n n a a n S +=

从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2． 等差数列的前n 项和公式2：2

)1(1d

n n na S n -+

= 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2

)1(1d

n n na S n -+

= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1 （有时比较有用） 由例3得与n a 之间的关系：

由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ， 即n a =??

?≥-=-)2()

1(11n S S n S n n

.

1.等差数列的前n 项和公式1：2

)

(1n n a a n S +=

2.等差数列的前n 项和公式2：2

)1(1d

n n na S n -+

= 结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++

当2n ≥时1n n n a S S -=-=2

2

()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()

pn p q -+

新课标高一数学人教版必修1教案全集

课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元

人教版高中数学必修五教学设计 [整书][全套]

1.1.1正弦定理 教学目标： 1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明，由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题. 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力. 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣. 4．培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用. 教学难点：正弦定理的猜想提出过程. 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器. 教学过程： （一）结合实例，激发动机 师生活动： 每天我们都在科技楼里学习，对科技楼熟悉吗？那大家知道科技楼有多高吗？给大家一个皮尺和测角仪，你能测出楼的高度吗？ 学生思考片刻，教师引导. 生1：在楼的旁边取一个观测点C ，再用一个标杆，利用三角形相似. 师：方法可行吗？ 生2：B 点位置在楼内不确定，故BC 长度无法测量，一次测量不行. 师：你有什么想法？ 生2：可以再取一个观测点D . 师：多次测量取得数据，为了能与上次数据联系，我们应把D 点取在什么位置？ 生2：向前或向后 师：好，模型如图（2）：我们设60∠=?ACB ，45∠=?ADB ,CD =10m,那么我们能计算出AB 吗？ 生3：由tan45tan3010AB AB ο ο -=求出AB . 师：很好，我们可否换个角度，在Rt ABD ?中，能求出AD ,也就求出了AB .在?ACD 中，已知两角，也就相当于知道了三个角，和其中一个角的对边，要求出AD ，就需要我们来研究三角形中的边角关系.

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（第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系

北师大版高中数学必修五教学案

数列 1．1数列的概念 预习课本P3～6，思考并完成以下问题 (1)什么是数列？数列的项指什么？ (2)数列的一般表示形式是什么？ (3)按项数的多少，数列可分为哪两类？ (4)数列的通项公式是什么？数列的通项公式与函数解析式有什么关系？ [新知初探] 1．数列的概念 (1)定义：按一定次序排列的一列数叫作数列． (2)项：数列中的每一个数叫作这个数列的项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n…，简记为数列{a n}．数列的第1项a1，也称首项；a n是数列的第n项，也叫数列的通项． [点睛] (1)数列的定义中要把握两个关键词：“一定次序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定次序”排列的，即确定的数在确定的位置． (2)项a n与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． (3){a n}与a n是不同概念：{a n}表示数列a1，a2，a3，…，a n，…；而a n表示数列{a n}中的第n 项． 2．数列的分类 项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列．

3．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作数列{a n }的通项公式． [点睛] (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋或它的有限子集{1,2,3，…，n }为定义域的函数解析式． (2)同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 4．数列的表示方法 数列的表示方法一般有三种：列表法、图像法、解析法． [小试身手] 1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)同一数列的任意两项均不可能相同．( ) (2)数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列．( ) (3)数列中的每一项都与它的序号有关．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ 2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1－(－1)n ＋1 2，则该数列的前4项依次为( ) A ．1,0,1,0 B ．0,1,0,1 C.12，0，1 2 ，0 D ．2,0,2,0 解析：选B 把n ＝1,2,3,4分别代入a n ＝1－(－1)n ＋ 12中，依次得到0,1,0,1. 3．已知数列{a n }中，a n ＝2n ＋1，那么a 2n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．4n －1 C ．4n ＋1 D ．4n 解析：选C ∵a n ＝2n ＋1，∴a 2n ＝2(2n )＋1＝4n ＋1. 4．数列1,3,6,10，x,21，…中，x 的值是( ) A ．12 B ．13 C ．15 D ．16 解析：选C ∵3－1＝2,6－3＝3,10－6＝4， ∴? ???? x －10＝5，21－x ＝6，∴x ＝15. [典例] (1){0,1,2,3,4}；(2)0,1,2,3；(3)0,1,2,3,4，…； (4)1，－1,1，－1,1，－1，…；(5)6,6,6,6,6. [解] (1)是集合，不是数列；

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

高中数学必修五-不等关系与不等式-教案

第三章不等式 必修5 3.1 不等关系与不等式 一、教学目标 1.通过具体问题情境，让学生感受到现实生活中存在着大量的不等关系； 2.通过了解一些不等式（组）产生的实际背景的前提下，学习不等式的相关内容； 3.理解比较两个实数（代数式）大小的数学思维过程. 二、教学重点： 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不等式（组）研究含有不等关系的问题.理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 三、教学难点： 使用不等式（组）正确表示出不等关系. 四、教学过程： （一）导入课题 现实世界和生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系我们知道，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等等.人们还经常用长与短，高与矮，轻与重，大与小，不超过或不少于等来描述某种客观事物在数量上存在的不等关系. 在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.

提问： 1.“数量”与“数量”之间存在哪几种关系？(大于、等于、小于). 2.现实生活中，人们是如何描述“不等关系”的呢？（用不等式描述） 引入知识点： 1.不等式的定义：用不等号<、>、≤、≥、≠表示不等关系的式子叫不等式. 2.不等式a b ≥的含义. 不等式a b ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者a >b ，或者a =b ”，等价于“a 不小于b ，即若a >b 或a =b 之中有一个正确，则a b ≥正确. 3.实数比较大小的依据与方法. （1）如果a b -是正数，那么a b >；如果a b -等于零，那么a b =；如果a b -是负数，那么a b <.反之也成立，就是（a b ->0?a >b ；a b -=0?a =b ；a b -<0?a

高中数学必修一教案全套

高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020.

『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）——————————————

最新人教版高中数学必修五 正弦定理优质教案

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 从容说课 本章内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识， 同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构． 教学重点1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的证明及其基本应用． 教学难点1.正弦定理的探索和证明； 2.已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数． 教具准备直角三角板一个 三维目标 一、知识与技能 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二、过程与方法 1.让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系；

2.引导学生通过观察、推导、比较，由特殊到一般归纳出正弦定理； 3.进行定理基本应用的实践操作． 三、情感态度与价值观 1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 2.培养学生探索数学规律的思维能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学过程 导入新课 师如右图，固定△ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动． 师思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 生显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大． 师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 师在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系．如右图，在Rt △ABC 中，设BC =A ,AC =B ,AB =C ,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有c a =sin A ，c b =sin B ，又sin C =1= c c ,则 c simC c B b A a ===sin sin .从而在直角三角形AB C 中， simC c B b A a ==sin sin . 推进新课 [合作探究] 师那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）

人教版高中数学必修五教案1

第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形

1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.

1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。

2017年最新高中数学必修5全册导学案及章节检测含答案

2016-2017学年高中数学必修五 全册导学案及章节检测 目 录 1．1.1 正弦定理(一) ............................................................................................................. 1 1.1.1 正弦定理(二) ................................................................................................................ 5 1．1.2 余弦定理(一) ............................................................................................................. 9 1．1.2 余弦定理(二) ........................................................................................................... 13 1.2 应用举例(一) ................................................................................................................. 18 1.2 应用举例(二) ................................................................................................................. 24 第一章 解三角形章末复习课 ............................................................................................... 30 第一章 解三角形章末检测（A ） ........................................................................................ 35 第一章 解三角形章末检测（B ） ........................................................................................ 42 2.1 数列的概念与简单表示法(一) ................................................................................... 50 2.1 数列的概念与简单表示法(二) ................................................................................... 54 2.2 等差数列(一) ............................................................................................................... 59 2.2 等差数列(二) ............................................................................................................... 63 2.3 等差数列的前n 项和(一) ........................................................................................... 67 2.4 等比数列(一) ............................................................................................................... 76 2.4 等比数列(二) ............................................................................................................... 80 2.5 等比数列的前n 项和(二) ........................................................................................... 88 数列复习课检测试题 ............................................................................................................. 93 数列习题课（1）检测试题 ................................................................................................... 98 数列习题课（2）新人教A 版必修5 .................................................................................. 102 数列章末检测（A ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 106 数列章末检测（B ）新人教A 版必修5 .............................................................................. 112 第二章 数 列 章末检测(B) 答案 ............................................................................. 115 3.1 不等关系与不等式 ...................................................................................................... 120 3.2 一元二次不等式及其解法(一) ................................................................................... 125 3.2 一元二次不等式及其解法(二) ................................................................................... 130 3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域 ......................................................................... 134 3．3.2 简单的线性规划问题(一) . (140) 3．3.2 简单的线性规划问题(二) (146) 3.4 ≤a ＋b 2(二) (157) 第三章 不等式复习课 ......................................................................................................... 161 第三章 不等式章末检测（A ） .......................................................................................... 167 第三章 不等式章末检测（B ） (174)

人教版新课标高中数学必修4-全册教案

高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、

高中数学必修五全套教案

第一章解三角形 章节总体设计 （一）要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知

高中数学必修五 第一章教案

高中数学必修五第一章教案 1．1.1 正弦定理 1．1.2 余弦定理 1．角度问题 1．三角形中的几何计算 1．正弦定理和余弦定理-章末归纳提升 1．2应用举例距离和高度问题 1．1.1 正弦定理 高一年级数学备课组（总第课时）主备人：时间：年月日

【问题导思】 正弦定理 1．如图在Rt △ABC 中，C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，∠A 、∠B 与∠C 的正弦值有怎样的关系？ 【提示】 ∵sin A ＝a c ，sin B ＝b c ， ∴ a sin A ＝b sin B ＝c . 又∵sin C ＝sin 90°＝1，∴a sin A ＝b sin B ＝c sin C . 2．对于锐角三角形中，问题1中的关系是否成立？ 【提示】 成立． 3．钝角三角形中呢？ 【提示】 成立． 1．正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： a sin A ＝ b sin B ＝c sin C . 2．三角形中的元素与解三角形 (1)三角形的元素 把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(对应学生用书第3页)知识运用 已知两角及一边解三角形 例1在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝1 2 ，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小． 【思路探究】 (1)由sin B ＝1 2能解出∠B 的大小吗？∠B 唯一吗？ (2)能用正弦定理求出边b 吗？ (3)怎样求其他边与角的大小？ 【自主解答】 ∵sin B ＝1 2， ∴B ＝30°或150°，

人教版高中数学必修二-全册教案

第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平

(完整版)高中数学人教版必修5全套教案

课题: §1．1．1正弦定理 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 ●教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 ●教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课 [探索研究] (图1．1-1) 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定 义 ， 有 sin a A c =， sin b B c =，又sin 1c C c == , A 则sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中， sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1．1-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = ， C 同理可得sin sin c b C B = ， b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A c B

高中数学必修五教案-应用举例

课题: §2.2解三角形应用举例 第一课时 授课类型：新授课 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理

人教版高中数学必修5全册导学案

§1.1.1 正弦定理 1. 掌握正弦定理的内容； 2. 掌握正弦定理的证明方法； 3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题． CB 及∠B ，使边AC 绕着 顶点C 转动． 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课导学 ※ 学习探究 探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ?ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ， 根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c A B C == ． ( 探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是 CD ，根据任意角三角函数的定义， 有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a b A B = ， 同理可得sin sin c b C B = ， 从而sin sin a b A B =sin c C =． 类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导. 新知：正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 sin sin a b A B = sin c C =． 试试： （1）在ABC ?中，一定成立的等式是（ ） ． A ．sin sin a A b B = B .cos cos a A b B = C . sin sin a B b A = D .cos cos a B b A = （2）已知△ABC 中，a ＝4，b ＝8，∠A ＝30°，则∠B 等于 ． [理解定理] （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =； （2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c b C B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为： ①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A a B =； b = ． ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值， 如sin sin a A B b =；sin C = ． （4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它 的边和角的过程叫作解三角形． ※ 典型例题 例1. 在ABC ?中， 已知45A =，60B =，42a =cm ，解三角形．