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2007-2013山东高考数学压轴题汇总(文理)

文科圆锥曲线

(2007山东, 22, 14分)已知椭圆C的中心在坐标原点, 焦点在x轴上, 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3, 最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A, B 两点(A, B不是左、右顶点), 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点. 求证:直线l过定点, 并求出该定点的坐标.

(2008山东, 22, 14分)已知曲线C1:+=1(a>b>0)所围成的封闭图形的面积为4, 曲线C1的内切圆半径为. 记C2为以曲线C1与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

(Ⅰ)求椭圆C2的标准方程;

(Ⅱ)设AB是过椭圆C2中心的任意弦, l是线段AB的垂直平分线. M是l上异于椭圆中心的点.

(i)若|MO|=λ|OA|(O为坐标原点), 当点A在椭圆C2上运动时, 求点M的轨迹方程; (ii)若M是l与椭圆C2的交点, 求△AMB的面积的最小值

(2009山东, 22, 14分)设m∈R, 在平面直角坐标系中, 已知向量a=(mx, y+1), 向量b=(x, y-1), a⊥b, 动点M(x, y)的轨迹为E.

(Ⅰ)求轨迹E的方程, 并说明该方程所表示曲线的形状;

(Ⅱ)已知m=. 证明:存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A, B, 且OA⊥OB(O为坐标原点), 并求该圆的方程;

(Ⅲ)已知m=. 设直线l与圆C:x2+y2=R2(1

(2010山东, 22, 14分)如图, 已知椭圆+=1(a>b>0)过点, 离心率为, 左、右焦点分别为F1、F2. 点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点, 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D, O为坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2.

(i)证明:-=2;

(ii)问直线l上是否存在点P, 使得直线OA、OB、OC、OD的斜率k OA、k OB、k OC、k OD满足k OA+k OB+k OC+k OD=0?若存在, 求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在, 说明理

由.

(2011山东, 22, 14分)在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆C:+y2=1. 如图所示, 斜率为k(k>0)且不过原点的直线l交椭圆C于A, B两点, 线段AB的中点为E, 射线OE交椭圆C 于点G, 交直线x=-3于点D(-3, m).

(Ⅰ)求m2+k2的最小值;

(Ⅱ)若|OG|2=|OD|·|OE|,

(i)求证:直线l过定点;

(ii)(ii)试问点B, G能否关于x轴对称?若能, 求出此时△ABG的外接圆方程;若不能, 请

说明理由.

(2012山东, 21, 12分) 如图, 椭圆M: +=1(a>b>0) 的离心率为, 直线x=±a和y=±b所围成的矩形ABCD的面积为8.

(1) 求椭圆M的标准方程;

(2) 设直线l: y=x+m(m∈R) 与椭圆M有两个不同的交点P, Q, l与矩形ABCD有两个不同的交点S, T. 求的最大值及取得最大值时m的值.

(2013山东，22,14分)

在平面直角坐标系xOy中, 已知椭圆C的中心在原点O, 焦点在x轴上, 短轴长为2, 离心率为.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) A, B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点, E为线段AB的中点, 射线OE交

椭圆C于点P. 设=t, 求实数t的值.

文科导数

(2007山东, 21, 12分)设函数f(x)=ax2+bln x, 其中ab≠0.

证明:当ab>0时, 函数f(x)没有极值点;当ab<0时, 函数f(x)有且只有一个极值点, 并求出极值.

(2008山东, 21, 12分)设函数f(x)=x2e x-1+ax3+bx2, 已知x=-2和x=1为f(x)的极值点. (Ⅰ)求a和b的值;

(Ⅱ)讨论f(x)的单调性;

(Ⅲ)设g(x)=x3-x2, 试比较f(x)与g(x)的大小.

(2010山东, 21, 12分)已知函数f(x)=ln x-ax+-1(a∈R).

(Ⅰ)当a=-1时, 求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程;

(Ⅱ)当a≤时, 讨论f(x)的单调性.

(2011山东, 21, 12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位:米), 其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为立方米, 且l≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元, 半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元. 设该容器的建造费用为y千元.

(Ⅰ)写出y关于r的函数表达式, 并求该函数的定义域;

(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的r.

(2012山东, 22, 13分) 已知函数f(x) =(k为常数, e=2. 718 28…是自然对数的底数) , 曲线y=f(x) 在点(1, f(1) ) 处的切线与x轴平行.

(1) 求k的值;

(2) 求f(x) 的单调区间;

(3) 设g(x) =xf '(x) , 其中f '(x) 为f(x) 的导函数. 证明: 对任意x>0, g(x) <1+e-2. (2013山东，21,12分) 已知函数f(x) =ax2+bx-ln x(a, b∈R).

(Ⅰ) 设a≥0, 求f(x) 的单调区间;

(Ⅱ) 设a> 0, 且对任意x> 0, f(x) ≥f(1). 试比较ln a与-2b的大小.

理科圆锥曲线

(2007山东, 21, 12分) 已知椭圆C的中心在坐标原点, 焦点在x轴上, 椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3, 最小值为1.

(Ⅰ) 求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ) 若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A, B两点(A, B不是左右顶点) , 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点, 求证:直线l过定点, 并求出该定点的坐标.

(2008山东, 22, 14分) 如图, 设抛物线方程为x2=2py(p>0) , M为直线y=-2p上任意一点, 过M引抛物线的切线, 切点分别为A、B.

(Ⅰ) 求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;

(Ⅱ) 已知当M点的坐标为(2, -2p) 时, |AB|=4. 求此时抛物线的方程;

(Ⅲ) 是否存在点M, 使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p>0) 上, 其中, 点C满足=+(O为坐标原点) . 若存在, 求出所有适合题意的点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

(2009山东, 22, 14分) 设椭圆E:+=1(a, b>0) 过M(2, ) , N(, 1) 两点, O为坐标原点.

(Ⅰ) 求椭圆E的方程;

(Ⅱ) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B, 且⊥?若存在, 写出该圆的方程, 并求|AB|的取值范围;若不存在, 说明理由.

(2010山东, 21, 12分) 如图, 已知椭圆+=1(a>b>0) 的离心率为, 以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为4(+1) . 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点, 设P为该双曲线上异于顶点的任一点, 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

(Ⅰ) 求椭圆和双曲线的标准方程;

(Ⅱ) 设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2, 证明:k1·k2=1;

(Ⅲ) 是否存在常数λ, 使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在, 求λ的值;若不存在, 请说明理由.

(2011山东, 22, 14分) 已知动直线l与椭圆C:+=1交于P(x1, y1) , Q(x2, y2) 两不同点, 且△OPQ的面积S△OPQ=, 其中O为坐标原点.

(Ⅰ) 证明:+和+均为定值;

(Ⅱ) 设线段PQ的中点为M, 求|OM|·|PQ|的最大值;

(Ⅲ) 椭圆C上是否存在三点D, E, G, 使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=?若存在, 判断△DEG的形状;若不存在, 请说明理由.

(2012山东,21,13分)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点,M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点,过M,F,O三点的圆的圆心为Q,点Q到抛物线C的准线的距离为.

(1)求抛物线C的方程;

(2)是否存在点M,使得直线MQ与抛物线C相切于点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由;

(3)若点M的横坐标为,直线l:y=kx+与抛物线C有两个不同的交点A,B,l与圆Q有两个不同的交点D,E,求当≤k≤2时,|AB|2+|DE|2的最小值.

（2013山东，22,13分）椭圆C: +=1(a> b> 0) 的左、右焦点分别是F1、F2, 离心率

为, 过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) 点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点, 连结PF1, PF2. 设∠F1PF2的角平分线PM交C 的长轴于点M(m, 0), 求m的取值范围;

(Ⅲ) 在(Ⅱ) 的条件下, 过点P作斜率为k的直线l, 使得l与椭圆C有且只有一个公共点. 设

直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2. 若k≠0, 试证明+为定值, 并求出这个定值.

理科导数

(2007山东, 22, 14分) 设函数f(x) =x2+bln(x+1) , 其中b≠0.

(Ⅰ) 当b>时, 判断函数f(x) 在定义域上的单调性;

(Ⅱ) 求函数f(x) 的极值点;

(Ⅲ) 证明对任意的正整数n, 不等式ln>-都成立

(2008山东, 21, 12分) 已知函数f(x) =+aln(x-1) , 其中n∈N*, a为常数.

(Ⅰ) 当n=2时, 求函数f(x) 的极值;

(Ⅱ) 当a=1时, 证明:对任意的正整数n, 当x≥2时, 有f(x) ≤x-1.

(2009山东, 21, 12分) 两县城A和B相距20 km, 现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂, 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关, 对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和. 记C点到城A的距离为x km, 建在

C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y. 统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比, 比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比, 比例系数为k. 当垃圾处理厂建在弧的中点时, 对城A和城B的总影响度为0. 065.

(Ⅰ) 将y表示成x的函数;

(Ⅱ) 讨论(Ⅰ) 中函数的单调性, 并判断弧上是否存在一点, 使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在, 求出该点到城A的距离;若不存在, 说明理由.

(2010山东, 22, 14分) 已知函数f(x) =ln x-ax+-1(a∈R) .

(Ⅰ) 当a≤时, 讨论f(x) 的单调性;

(Ⅱ) 设g(x) =x2-2bx+4. 当a=时, 若对任意x1∈(0, 2) , 存在x2∈[1, 2], 使f(x1) ≥g(x2) . 求实数b的取值范围.

(2011山东, 21, 12分) 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位:米) , 其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为立方米, 且l≥2r. 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元, 半球形部分每平方米建造费用为c(c>3) 千元, 设该容器的建造费用为y千元.

(Ⅰ) 写出y关于r的函数表达式, 并求该函数的定义域;

(Ⅱ) 求该容器的建造费用最小时的r.

(2012山东,22,13分)已知函数f(x)=(k为常数,e=2. 718 28…是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与x轴平行.

(1)求k的值;

(2)求f(x)的单调区间;

(3)设g(x)=(x2+x)f '(x),其中f '(x)为f(x)的导函数. 证明:对任意x>0,g(x)<1+e-2. （2013山东，21,13分）设函数f(x) =+c(e=2.718 28…是自然对数的底数, c∈R). (Ⅰ) 求f(x) 的单调区间、最大值;

(Ⅱ) 讨论关于x的方程|ln x|=f(x) 根的个数.

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学填空选择压轴题试题汇编

高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科）目录（120题）第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38

第十部分算法（2 题）··········································21/40 第十一部分交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分参考答案············································23/40 【说明】：汇编试题来源河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。第一部分函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.