2017年浙江省高考数学试卷
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)已知集合P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=()A.(﹣1,2)B.(0,1) C.(﹣1,0)D.(1,2)
2.(4分)椭圆+=1的离心率是()
A.B.C.D.
3.(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
4.(4分)若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是()
A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)
5.(4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M﹣m()
A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关
6.(4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.(4分)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()
A.B.C.D.
8.(4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1﹣p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则()
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)9.(4分)如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则()
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
10.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则()
A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分11.(4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度,祖冲之继承并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.
12.(6分)已知a、b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.
13.(6分)已知多项式(x+1)3(x+2)2=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a4=,a5=.
14.(6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2,点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.
15.(6分)已知向量、满足||=1,||=2,则|+|+|﹣|的最小值是,最大值是.
16.(4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)
17.(4分)已知a∈R,函数f(x)=|x+﹣a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是.
三、解答题(共5小题,满分74分)
18.(14分)已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx(x∈R).
(Ⅰ)求f()的值.
(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.
19.(15分)如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.
(Ⅰ)证明:CE∥平面PAB;
(Ⅱ)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.
20.(15分)已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).
(1)求f(x)的导函数;
(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.
21.(15分)如图,已知抛物线x2=y,点A(﹣,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(﹣<x<),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.
(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围;
(Ⅱ)求|PA|?|PQ|的最大值.
22.(15分)已知数列{x n}满足:x1=1,x n=x n+1+ln(1+x n+1)(n∈N*),证明:当n ∈N*时,
<x n;
(Ⅰ)0<x n
+1
﹣x n≤;
(Ⅱ)2x n
+1
(Ⅲ)≤x n≤.
2017年浙江省高考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题4分,满分40分)
1.(4分)已知集合P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=()A.(﹣1,2)B.(0,1) C.(﹣1,0)D.(1,2)
【分析】直接利用并集的运算法则化简求解即可.
【解答】解:集合P={x|﹣1<x<1},Q={x|0<x<2},
那么P∪Q={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2).
故选:A.
【点评】本题考查集合的基本运算,并集的求法,考查计算能力.
2.(4分)椭圆+=1的离心率是()
A.B.C.D.
【分析】直接利用椭圆的简单性质求解即可.
【解答】解:椭圆+=1,可得a=3,b=2,则c==,
所以椭圆的离心率为:=.
故选:B.
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用,考查计算能力.
3.(4分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()
A.+1 B.+3 C.+1 D.+3
【分析】根据几何体的三视图,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,画出图形,结合图中数据即可求出它的体积.
【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,
故该几何体的体积为××π×12×3+××××3=+1,
故选:A.
【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题,解题的关键是根据三视图得出原几何体的结构特征,是基础题目.
4.(4分)若x、y满足约束条件,则z=x+2y的取值范围是()
A.[0,6]B.[0,4]C.[6,+∞)D.[4,+∞)
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解:x、y满足约束条件,表示的可行域如图:
目标函数z=x+2y经过C点时,函数取得最小值,
由解得C(2,1),
目标函数的最小值为:4
目标函数的范围是[4,+∞).
故选:D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键.
5.(4分)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M﹣m()
A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关
C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关
【分析】结合二次函数的图象和性质,分类讨论不同情况下M﹣m的取值与a,b的关系,综合可得答案.
【解答】解:函数f(x)=x2+ax+b的图象是开口朝上且以直线x=﹣为对称轴的抛物线,
①当﹣>1或﹣<0,即a<﹣2,或a>0时,
函数f(x)在区间[0,1]上单调,
此时M﹣m=|f(1)﹣f(0)|=|a+1|,
故M﹣m的值与a有关,与b无关
②当≤﹣≤1,即﹣2≤a≤﹣1时,
函数f(x)在区间[0,﹣]上递减,在[﹣,1]上递增,
且f(0)>f(1),
此时M﹣m=f(0)﹣f(﹣)=,
故M﹣m的值与a有关,与b无关
③当0≤﹣<,即﹣1<a≤0时,
函数f(x)在区间[0,﹣]上递减,在[﹣,1]上递增,
且f(0)<f(1),
此时M﹣m=f(1)﹣f(﹣)=1+a+,
故M﹣m的值与a有关,与b无关
综上可得:M﹣m的值与a有关,与b无关
故选:B.
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键.
6.(4分)已知等差数列{a n}的公差为d,前n项和为S n,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【分析】根据等差数列的求和公式和S4+S6>2S5,可以得到d>0,根据充分必要条件的定义即可判断.
【解答】解:∵S4+S6>2S5,
∴4a1+6d+6a1+15d>2(5a1+10d),
∴21d>20d,
∴d>0,
故“d>0”是“S4+S6>2S5”充分必要条件,
故选:C.
【点评】本题借助等差数列的求和公式考查了充分必要条件,属于基础题
7.(4分)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()
A.B.C.D.
【分析】根据导数与函数单调性的关系,当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,根据函数图象,即可判断函数的单调性,然后根据函数极值的判断,即可判断函数极值的位置,即可求得函数y=f(x)的图象可能
【解答】解:由当f′(x)<0时,函数f(x)单调递减,当f′(x)>0时,函数f(x)单调递增,
则由导函数y=f′(x)的图象可知:f(x)先单调递减,再单调递增,然后单调递减,最后单调递增,排除A,C,
且第二个拐点(即函数的极大值点)在x轴上的右侧,排除B,
故选:D.
【点评】本题考查导数的应用,考查导数与函数单调性的关系,考查函数极值的判断,考查数形结合思想,属于基础题.
8.(4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1﹣p i,i=1,2.若0<p1<p2<,则()
A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)【分析】由已知得0<p1<p2<,<1﹣p2<1﹣p1<1,求出E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,从而求出D(ξ1),D(ξ2),由此能求出结果.
【解答】解:∵随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1﹣p i,i=1,2,…,
0<p1<p2<,
∴<1﹣p2<1﹣p1<1,
E(ξ1)=1×p1+0×(1﹣p1)=p1,
E(ξ2)=1×p2+0×(1﹣p2)=p2,
D(ξ1)=(1﹣p1)2p1+(0﹣p1)2(1﹣p1)=,
D(ξ2)=(1﹣p2)2p2+(0﹣p2)2(1﹣p2)=,
D(ξ1)﹣D(ξ2)=p1﹣p12﹣()=(p2﹣p1)(p1+p2﹣1)<0,
∴E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2).
故选:A.
【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中档题.
9.(4分)如图,已知正四面体D﹣ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则()
A.γ<α<β B.α<γ<β C.α<β<γ D.β<γ<α
【分析】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC的中心为O.不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,6,0),D(0,0,6),
Q,R,利用法向量的夹角公式即可得出二面角.
解法二:如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG..可得tanα=.tanβ=,
tanγ=.由已知可得:OE>OG>OF.即可得出.
【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系.设底面△ABC的中心为O.不妨设OP=3.则O(0,0,0),P(0,﹣3,0),C(0,6,0),D(0,0,6),
B(3,﹣3,0).Q,R,
=,=(0,3,6),=(,6,0),=,
=.
设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则,可得,
可得=,取平面ABC的法向量=(0,0,1).
则cos==,取α=arccos.
同理可得:β=arccos.γ=arccos.
∵>>.
∴α<γ<β.
解法二:如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:OE⊥PR,OF⊥PQ,OG⊥QR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG.
设OD=h.
则tanα=.
同理可得:tanβ=,tanγ=.
由已知可得:OE>OG>OF.
∴tanα<tanγ<tanβ,α,β,γ为锐角.
∴α<γ<β.
故选:B.
【点评】本题考查了空间角、空间位置关系、正四面体的性质、法向量的夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
10.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=?,I2=?,I3=?,则()
A.I1<I2<I3B.I1<I3<I2C.I3<I1<I2D.I2<I1<I3
【分析】根据向量数量积的定义结合图象边角关系进行判断即可.
【解答】解:∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,
∴AC=2,
∴∠AOB=∠COD>90°,
由图象知OA<OC,OB<OD,