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三角形边角关系

三 角 形

知识结构:

1、三角形的定义:

2、基本元素:三条边、三个角

3、三角形的分类????

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????????????? 钝角三角形直角三角形锐角三角形按角分等边三角形等腰三角形不等边三角形按边分 4、相关概念与性质

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???????两边之差小于第三边。;于第三边三边关系:两边之和大

:外角性质推论余。:直角三角形两锐角互

推论内角和等于内角性质角平分线高线中线三线 2 1 180

知识点1、三角形中的相关概念

例01.如图,AD 是ABC ?的中线;BE 是ABC ?的角平分线,CF 是ABC ?的高,则

三角形边角关系

=BD _____21=

_______;∠=∠ABE ________∠=2

1

______;∠______∠=______?=90.

三角形边角关系

例02.如图,?=∠90ACB ,AB CD ⊥于D ,则BC 边上的高是______,AC 边上的高是_______, AB 边上的高是_______,三条高的交点是________.

说明 在直角三角形中,有两条高恰好是它的两条边.

例03.下面说法中错误的是( )

(A )三角形的三条中线都在形内; (B )三角形的三条高线都在形内;

(C )三角形的三条内角平分线都在形内; (D )直角三角形有两条高线与直角边重合. 说明 钝角三角形三条高中,钝角边上的两条高在三角形外。

三角形边角关系

例04.⑴三角形的一条高是( )

A.直线

B.射线

C.垂线 .

D.垂线段 ⑵下列说法中正确的是( )

A .如图1,由A

B 、B

C 、DE 三角形线段组成的图形是三角形.

B .如图2,已知CAD BAD ∠=∠,则射线AD 是AB

C ?的角平分线. C .如图,已知点

D 为BC 的中点,则线段A

E 为ABC ?的中线.

D .如图,已知ABC ?中,BC AD ⊥于点D ,则线段AD 是ABC ?的高. 说明 三角形的中线、高线、角平分线都是一些相应的线段而不是射线。

例05.下列每个图形中各有哪些三角形.

三角形边角关系

说明: 数三角形的个数容易少数或多数,故必须按照一定的顺序去数. 先数出个数后,再写出是哪些三角形.

例06.已知AD 、AE 分别为ABC ?的中线、高线,且cm AB 5=,cm AC 3=,则ABD ?与ACD

?的周长之差为_______,ABD ?与ACD ?的面积关系为_______.

三角形边角关系

说明:⑴⑵等底同高的三角形面积相等 例07.

的长

,求于,=,于,=,=中,已知如图在BE E AC BE 5AD D BC AD 6BC 8AC ABC ⊥⊥?

说明:通过三角形的面积公式,用“等面积法”来求线段长度是一种常见的方法。

知识点2、内角和 例01.在ABC ?中,

(1)C B A ∠=∠?=∠,80,则=∠B _____________;

(2)?=∠-∠?=∠-∠20,35A B C A ,则=∠B _____________;

(3)?=∠90C ,?=∠30A ,则=∠B _____________.

说明:⑴本题有一个隐含的条件,即?=∠+∠+∠180C B A ;⑵用“方程思想”是一种常见的方法。

例02.一个三角形的一个外角是它相邻内角的5.1倍,是一不相邻内角的3倍,求这个三角形的各内角.

说明:三角形的一个外角与它相邻的内角之间的关系是互补,而且是与它不相邻的两内角之和.

例03.如图,已知:在ABC ?中,AFE AEF AC AB ∠=∠>,,延长EF 与BC 的延长线交于G .

三角形边角关系

求证:)(2

1

B ACB G ∠-∠=

∠ 说明:对于比较复杂的几何证明题,可以尝试运用“反推法”。

例04.如图,已知?=∠27A ,?=∠96CBE ,?=∠30C .

求:ADE ∠的大小.

三角形边角关系

例05.已知:BD 为ABC ?的角平分线,CD 为ABC ?的外角的ACE ∠的平分线,它与BD 的延长线交于D . (如下图)求证:D A ∠=∠2

三角形边角关系

A

C

D

E

B

说明:已知三角形的一个内角平分线和一个外角平分线,可以想到利用外角与内角的关系证题。 例06.已知:如图,在ABC ?中,BC AD ⊥于D ,AE 平分BAC ∠(B C ∠>∠)

求证:)(2

1

B C EAD ∠-∠=

三角形边角关系

三角形边角关系

例07.如图,P 是ABC ?内任一点,求证:A BPC ∠>∠.

说明:证明此类角的不等关系时,大多考虑三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角,它指出了三角形的一个外角与它不相邻的内角的不等关系。

例08.已知:如图,在ABC ?中,5:4:3::=∠∠∠C B A ,BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高,BD 、CE 相交于H ,求BHC ∠的度数.

三角形边角关系

例09.如图,已知:CE 为ABC ?外角ACD ∠的平分线. CE 交AB 的延长线于点E .

求证:B BAC ∠>∠

三角形边角关系

例10.如图,五角星ABCDE ,求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数.

说明:欲求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数,则可设法把它们转化在一个三角形中。

知识点3、三边关系

例01.在ABC ?中,2,9==BC AB ,并且AC 为奇数,那么ABC ?的周长是多少?

例02.如图,在等腰ABC ?中,AC AB =,一腰上的中线BD 将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个

三角形的腰长及底边长.

三角形边角关系

例03.已知长度为cm cm cm cm 5,4,3,2的四条线段,能组成多少个不等边三角形?

例04.已知等腰三角形的周长是14cm ,底边与腰的比为2:3,求各边的长.

例05.如图,D 是ABC ?内任意一点,BD 延长线与AC 交于E 点,连结DC .

求证:DC BD AC AB +>+.

三角形边角关系

说明 求证的结论是边的不等关系,因此,应考虑 “两边之和大于第三边”。

例06.如图,O 为ABC ?内一点.

三角形边角关系

求证:)(2

1

CA BC AB OC OB OA ++>

++

例07.两根木棒的长分别为3cm 和5cm ,要选择第三根木棒,将它钉成一个三角形,若第三根木棒的长为偶数,则第三根木棒的长是多少?

例08. 草原上有4口油井,位于四边形ABCD 的4个顶点,如图1现在要建一个维修站H ,试问H 建在何处,才能使它到4口油井的距离HA+HB+HC+HD 为最小,说明理由.

A C

D