三角形边角关系专项练习

三角形边角关系及三线练习题

典型例题

【例1】 已知三角形的三边长分别为4、5、x ，则x 不可能是（ ）

A. 3

B. 5

C. 7

D. 9

1. 【例2】 一个三角形的三条边中有两条边相等，且一边长为4，还有一边长为9，则它的周长为（ ）

A. 17

B. 22

C. 17或22

D. 13

相关变形：一等腰三角形两边长分别为3，5，试求该三角形的周长。

等腰三角形中，一个角为50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）

A.150°

B.80°

C.50°或80°

D.70°

【例3】 如图SX —02，AD ⊥BC ，则图中以AD 为高的三角形有___________个。

【例4】 如图SX —03，已知线段AD 、AE 分别是△ABC 的中线和高线，且AB=5cm ，AC=3cm ，

(1) △ABD 与△ACD 的周长之差为_________；(2) △ABD 与△ACD 的面积关系为__________。

【例5】 已知△ABC 中，给出下列四个条件：(1) ∠A+∠B=∠C; (2) ∠A=90°－∠B; (3) ∠A ：∠B ：∠C=1：1：2; (4) ∠A ：∠B ：∠C=1：2：3. 其中能够判定△ABC 是直角三角形的有（ ）个。

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【例6】 如图SX —04，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是AB 边上的高，AB=13cm ，BC=12cm ，AC=5cm ，求：(1) △ABC 的面积； (2) CD 的长。

【例7】 如图SX —05，△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点P ，且∠BPC=130°，求∠

BAC

SX —

02 SX —

03 SX —

04

图SX －

05 SX —

06

图SX －05-1

的度数。

相关变形：一个零件的形状如图SX —05-1所示，按规定∠BAC=90°，∠B=21°，∠C=20°，检验工人量得∠BDC=130°，于是断定这个零件不合格。运用所学知识说明零件不合格的理由。

【例8】 如图SX —06，AD 是△ABC 的边BC 上的高，AE 是△BAC 的平分线，若∠B=53°，∠C=77°，求∠DAE 的度数。

学习自评

一、选择题

1. 有下列长度的三条线段，能构成三角形的是（ )

A. 1cm 、2cm 、3cm

B. 1cm 、4cm 、2cm

C. 2cm 、3cm 、4cm

D. 6cm 、2cm 、3cm

2. 一个三角形的两边长为3和7，且第三边为整数，这样的三角形的周长的最小值是（ ）

A. 14

B. 15

C. 16

D. 17

3. 如图SX —07，△ABC 的边BA 延长得∠1 ，若∠2 ＞∠l ，则△ABC

的形状为（ )

A. 钝角三角形

B. 直角三角形

C. 锐角三角形

D. 无法确定 4. 一个三角形的三个内角互不相等，则它的最大角不小于（ ）

A. 45°

B. 60°

C. 90°

D. 120°

5. △ABC 中，如果∠A －∠B =90°，那么△ABC 是（ )

A.直角三角形

B. 锐角三角形

C. 钝角三角形

D. 锐角三角形或钝角三角形

二、填空题

6. 在△ABC 中，AB=4，BC=9，则AC 的取值范围是________________。

7.

如图SX —08，求下列各图中的∠α。

(1) ∠α=________；(2) ∠α=________；(3) ∠α=________。 8. 已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的三个内角。(1)如果∠A=90°，∠C = 55°，那么∠B ＝

______；(2)如果∠C=4∠A ，∠A ＋∠B =100°，那么∠A =______ ，∠B=______。

9. 如图SX —10，将等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=________。

SX —07 SX —

08 SX —10

10. 如图SX —11，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，∠BCD = 35°，则∠A=_______。

三、解答题

11. 如图SX —12，在△ABC 中，两边长AB=12, AC=2，且周长为奇数，求第三边BC 的长。

12. 如图SX —13，AC ∥DE ，若∠ABC = 70°，∠E = 50°，∠D = 75°，求∠A ，∠A BD 的

度数。

13. 如图SX —14，在△ABC 中，∠A = 60°，∠B = 70°，∠ACB

的平分线交AB 于D ，DE ∥BC ，交AC 于E ，求∠BDC 和

∠EDC 的度数。

14. 在等腰三角形中，一腰上的中线把它的周长分成15cm 和

18cm 的两部分，求

三角形的各边长。 15. 如图SX —15，

∠B+∠C=100°，

∠D=70°，求∠A

的度数。

16. (1) 如图SX —16甲，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =___________。

(2) 如图SX —16乙，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________．

SX —

14

SX —

12 SX —13

SX —

11 图SJ －

15 图SJ －16乙

SX —16甲

17.求一个多边形的内角和，一般可将其转化为三角形，如图SX—17所示。

请你试用含n的代数式表示出n

边形的内角和。

SX—17

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系（习题） ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值： 2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形 放缩（大小）没有关系． 3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在 中研究，常利用或两种方式进行处理．?例题示范 例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41） 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D， 由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5° 在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°， sin B =AD ，cos B = BD AB AB ∴AD=6，BD=8 在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5． ①得出结论； ②解直角三角形； ③准备条件． 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐 角A 的正弦值（） A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为 （） A. 3 5 B. 4 5 C． 5 34 34 D． 3 34 34 3.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于 1 ，则∠A（） 2 A．大于30°B．小于30° C．大于60°D．小于60° 5.已知β为锐角，且 3 A．30?≤β≤60? C．30?≤β< 60? ≤tan β< ，则β的取值范围是（） B．30?<β≤60? D．β< 30? 6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α， 若cosα= 3 ，AB=4，则AD 的长为（） 5 A．3 B． 16 3 C． 20 3 D． 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A = 3 ，BE=2，则 5 tan∠DBE= ． 2 3 2 3 3

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

与三角形有关的角练习题

与三角形有关的角练习题 一、选择题： 1．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（ ） A.45 B.60 C.30 D.1 2．下列命题中，不正确的为（ ） A ．钝角三角形是斜三角形 B ．在一个三角形中至多有一个内角不小于60 C ．三角形的没有公共顶点的两个外角的和大于平角 D ．三角形的外角中，最小的一个是钝角，那它一定是锐角三角形 《 3．以下命题正确的是（ ） A.三角形三个外角的和是360 B ．三角形一个外角大于它的两个内角的和 C.三角形的外角都不大于90 D ．三角形中的内角没有大于120的 4．下列说法正确的是（ ） A.一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 B ．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形 C.一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形 D ．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形 （ 5．三角形的三个外角中，钝角的个数最少是（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 6．如图，ABC ?中，AD 是BC 边上中线，AE 是BD 边的中线，AF 是DC 边的中线，且AB2>3>C ∠∠∠∠ B ．BE=ED=DF=FC C ．1>4+5+C ∠∠∠∠ D ．AE=AF 7．锐角三角形中，两个锐角的和必大于（ ） A ．120 B ．110 C ．100 D ．90 8．如图，在△ADE 中，引线段EB 与EC ，下列各等式中，正确的是（ ） · A ．A+1+7=D+3+6∠∠∠∠∠∠ B ．1+5=2+7∠∠∠∠ C ．6+A=2+7∠∠∠∠ D ．A+5+7=2+8+6∠∠∠∠∠∠ 9．若一个三角形的三个外角的度数之比为2:3:4，则与之对应的三个内角的度数之比为 （ ）A ．4:3:2 B ．3:2:4 C ．5:3:1 D ．3:1:5 10．如图，已知1=60,A+B+C+D+E+F ∠∠∠∠∠∠∠（ ） A ．360 B ．540 C ．240 D ．280 11．a , b ,c 是ABC ?的三边长，且22 (a b)(b c)+=+，则ABC ?一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C.锐角三角形 D ．钝 角三角形 12．已知等腰三角形周长为20，则腰长x 的范围是（ ） & A ．0

三角形的边和角练习题.doc

三角形的边和角练习题 1、下列长度的三条线段能组成三角形的是( ) A、3,4,8 B、5,6,11 C、1,2,3 D、5,6,10 4、等腰三角形两边长分别为3,7 ，则它的周长为 ( ) A、13 B 、 17 C、13 或17 D、不能确定 5、如图， BD=DE=EF=FC，那 么， A AE 是 _____ A 的中线。 A E F B D E F C B D C B D C 5题图6题图7题图 6、如图， BD=1 BC，则 BC边上的中线为 ______ ，S ABD =__________。 2 7、如图，在△ ABC中，已知点 D，E，F 分别为边 BC，AD， CE的中点，且S ABC = 4 cm2，则 S阴影等于( ) 。 A．2 cm2 B. 1 cm2 C. 1 cm2 D. 1 cm2 2 4 8、△ ABC中，如果 AB=8cm， BC=5cm，那么 AC的取值范围是 ________________. 9、等腰三角形的一边长为3cm,周长为19cm,则该三角形的腰长为( )cm. A、3 B 、8 C、3 或8 D、以上答案均不对 10、若三角形两边长分别为6cm,2cm,第三边长为偶数，则第三边长为( ) A、2cm B 、4cm C、6cm D 、8cm 11、在△ ABC中， D是 BC上的点，且 BD∶DC=2∶1，S ACD =12，那么S ABC等于 ( ). A．30 B. 36 C. 72 D. 24 12、若三角形三个内角的比为1∶ 2∶ 3，则这个三角形是 ( ) A、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形 D、钝角三角形 13、在△ ABC中，∠ A=2(∠ B+∠C)，则∠ A 的度数为 ( ) A、100° B 、 120° C 、 140° D 、160° 14、已知△ ABC中，∠ A=20°，∠ B=∠C，那么△ ABC是 ( ) A、锐角三角形 B 、直角三角形 C、钝角三角形 D 、等边三角形

第13章三角形中的边角关系、命题与证明单元测试题

第13章测试题 姓名 一、选择题 1．下列语句中，属于定义的是（ ）． A ．直线A B 和CD 垂直吗 B ．过线段AB 的中点 C 画AB 的垂线 C ．数据分组后落在各小组内的数据个数叫做频数 D ．同旁内角互补，两直线平行 2．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（ ）． A ．垂直 B ．两条直线 C ．同一条直线 D ．两条直线垂直于同一条直线 3．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ ） A ．形状相同的三角形 B ．面积相等的三角形 C ．直角三角形 D ．周长相等的三角形 4．已知△ABC 的三个内角度数比为2：3：4，则这个三角形是（ ）． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 D ．等腰三角形 5．在三角形的内角中，至少有（ ） A ．一个钝角 B ．一个直角 C ．一个锐角 D ．两个锐角 6．如图，ABC △中，50A =∠，点D E ，分别在AB AC ，上，则12+∠∠的大小为 （ ） A ． B ．230 C ．180 D ．310 7．如图，在锐角△ABC 中，CD 和BE 分别是AB 和AC 边上的高，且CD 和BE 交于点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度数是（ ）．A ．150° B ．130° C ．120° D ．100° 8．如图，AD 是∠CAE 的平分线，∠B=300, ∠DAE=600，那么∠ACD 等于（ ） A ．900 B ．600 C ．800 D ．1000 9．已知等腰三角形的一边长为5，另一边长为8，则它的周长为（ ） A ．18 B ．21 C ．13 D ．18或21 10．如图所示，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，∠A=650, 那么∠BDC 等于（ ） A ．122.50 B ．187.50 C ．178.50 D ．1150 二、填空题 1．写出图中以AB 为边的三角形_____________________________________________. 2．已知，如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D （1）图中有_________个直角三角形，它们是_____________________________; （2）∠A=________，理由是___________________________________________. 3．如图，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________． 4．如图，已知DB 平分∠ADE ，DE ∥AB ，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=______． 5．三角形一边上的高与另两边的夹角分别为620和280，则这边对应的角的度数为= . 三、解答题 1．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=630,求∠DAC 的度数. 2．已知：如图，在△ABC 中，CH 是外角∠ACD 的角平分线，BH 是∠ABC 的平分线, ∠A=58°. 求∠H 的度数. B A B C D H 第7 第4题 第3题 第8题 A E B C D 第10 C 3 2 1 4 A B D

三角形的边与角试题与答案

三角形的边与角 一、选择题 1. （2016·湖北咸宁）如图，在△ABC 中，中线BE ，CD 相交于点O ，连接DE ，下列结论： ①BC DE =21 ； ② S S COB DOE △△=21； ③AB AD =OB OE ； ④ S S ADE ODE △△=31. 其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 （第1题） 【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质． 【分析】①DE 是△ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定． 【解答】解：①∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=21 BC ，即BC DE =21 ； 故①正确； ②∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥BC ∴△DOE ∽△COB ∴ S S COB DOE △△=（BC DE ）2=(21）2=41 , 故②错误； ③∵DE ∥BC ∴△ADE ∽△ABC ∴AB AD =BC DE △DOE ∽△COB ∴OB OE =BC DE ∴AB AD =OB OE ，

故③正确； ④∵△ABC 的中线BE 与CD 交于点O 。 ∴点O 是△ABC 的重心， 根据重心性质，BO=2OE ，△ABC 的高=3△BOC 的高， 且△ABC 与△BOC 同底（BC ） ∴S △ABC =3S △BOC ， 由②和③知， S △ODE =41 S △COB ，S △ADE =41 S △BOC ， ∴ S S ADE ODE △△=31. 故④正确. 综上，①③④正确. 故选C. 【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 2. （2016·四川广安·3分）下列说法： ①三角形的三条高一定都在三角形内 ②有一个角是直角的四边形是矩形 ③有一组邻边相等的平行四边形是菱形 ④两边及一角对应相等的两个三角形全等 ⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【考点】矩形的判定；三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定． 【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题． 【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．

练习-与三角形有关的角习题

与三角形有关的角习题 一、填空题 1．等腰三角形的一个内角是30°，那么这个三角形另两角的度数是_______． 2．过△ABC的顶点C作AB的垂线，如果这条垂线将∠ACB分为40°和20°两个角，?那么∠A，∠B中较大的角的度数是_______． 3．一个三角形中，最多有_____个锐角，最少有_____个锐角，最多有_____钝角． 4．如图1，∠1=31°，∠2=52°，∠3=60°，则∠4的度数为______． 5．如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是_______． 6．如图3，△ABC中，∠C=90°，∠CAB，∠CBA的平分线相交于点D，?BD?的延长线交AC于E，则∠ADE的度数是________． 7．如图4，五角星的五个角∠A，∠B，∠C，∠D，∠E的度数之和等于________． 8．一个非直角三角形ABC的∠A=55°，三条高所在直线交于点H，则∠BHC?的度数是________． 二、选择题 9．三角形的三个内角中（）

A．至少有一个是钝角B．至少有一个是直角 C．至少有两个是锐角D．至多有两个是锐角 10．具备下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（） A．∠A+∠B=∠C B．∠B=∠C=1 2 ∠A C．∠A=90°-∠B D．∠A-∠B=90° 11．在锐角三角形中，∠A>∠B>∠C，则下列结论中错误的是（） A．∠A>60°B．∠B>45°C．∠C<60°D．∠B+∠C<90° 12．如图5，△ABC中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（） A．30°B．36°C．45°D．70° 13．如图6，∠A=50°，BD，CD分别是∠B，∠C的平分线，则∠BDC等于（） A．65°B．100°C．115°D．130° 14．如果三角形三个内角度数的比是1：2：3，则这个三角形一定是（） A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．不能确定 答案：1．75°，75°或0°，120°2．70°3．3214．37°5．360?°?6．45°7．180°8．55°或125°9．C10．D11．D12．B13．C14．B

(完整版)三角形边的关系练习题

一、填空题。 1. 三角形按角分类分为（）三角形、（）三角形和（）三角形。 2. 锐角三角形的三个角都是（）角；直角三角形中必定有一个是（）角；钝角三角形中也必定有一个角是（）角。 3. 在三角形中，已知∠1＝55°，∠2＝48°，∠3＝（）。 4. 等腰三角的顶角是60°，它的一个底角是（），它又叫（）三角形。如果底角是70°，顶角是（）；如果底角是45°，它的顶角是（），它又叫（）三角形。 5. 任何一个三角形都具有（）特性，都有（）条高。 二、判断题。（对的打“√”，错的打“×”） 1. 等边三角形一定是锐角三角形。（） 2. 等腰三角形一定是锐角三角形。（） 3. 钝角三角形只有一条高。（） 4. 三角形的三个内角的和的大小与三角形的大小无关，都是180°。（） 5. 任何一个三角形至少有两个锐角。（） 三、根据要求做题。 1. 画出下面每个三角形指定底边上的高。 2. 根据条件画三角形。 ①两条边分别是2厘米和5厘米，它们的夹角是60°。 ②两条边都是3厘米，它们的夹角是90°。 四、∠1、∠2、∠3分别是三角形中的三个内角。 ①∠1＝140°，∠2＝25°，求∠3。

小学四年级三角形复习课练习题 （1）一个三角形中至少有（）个锐角，最多有（）个钝角。（2）用两个完全一样的直角三角形拼成一个大三角形，这个大三角形的内角和是（）度。 （3）等腰三角形的一个底角是40度，它的顶角是（）度。（4）一根90厘米长的铁丝，围一个腰长为40厘米的等腰三角形，这个三角形的底边长（）厘米。 （5）直角三角形有（）条高。 A 、1 B、2 C、3 （6）当三角形中的两个内角之和等于第三个角时，这是一个（）三角形。 A、锐角 B、直角 C、钝角 （7）一个三角形中，有一个角是65°，另外两个角可能是（）。 A、95°20° B、45°80° C、55°70° （8）一个三角形的两条边长分别是4厘米，6厘米，第三条边一定比（）厘米短。第三条边一定比（）厘米长。 A、2 B、6 C、10 （9）羊村有一个等腰三角形花坛，周长是32米,已知一条边为6米,另外两条边各长多少米？（10）如果直角三角形的一个锐角是20度，那么另一个锐角是多少度？ （11）懒羊羊有两根木条，一根是8厘米，另一根是12厘米，它想搭一个三角形，再拿一根几厘米长的木条就可以搭成一个三角形呢？这根木条最长是（）厘米，最短是（）厘米。 （12）美羊羊用一根20厘米长的铁丝围成了一个三角形，三角形的边

三角形中的边角关系命题与证明教案

第13章三角形中的边角关系、命题与证 明 13.1三角形中的边角关系 第1课时三角形中的边角关系(一) 教学目标 【知识与技能】 1.认识三角形,理解三角形的边角关系. 2.知道三角形的高、中线、角平分线等概念,并能作出三角形的一边上的高. 3.理解等腰三角形及其相关概念. 【过程与方法】 1.经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系. 2.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题. 【情感、态度与价值观】 1.带领学生探究三角形的边角关系问题,引起学生的好奇心,激发学生的求知欲. 2.帮助学生树立几何知识源于生活并服务于生活的意识. 重点难点 【重点】 理解并掌握三角形的三边关系. 【难点】 已知三条线段能构成三角形,求表示线段长度的代数式中字母的取值范围. 教学过程 一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示: 教师把事先收集的与三角形有关的生活图片运用多媒体播放,让学生对三角形有一个感性认识,如图所示. 教师活动:通过播放图片,引导学生认识三角形,并提出:图(b)中能找出几个三角形,这些三角形具有怎样的特性? 学生活动:回顾小学学过的三角形,与同桌交流,找出图(b)中的三角形. 教师归纳:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形. 教师多媒体出示:

师:你能指出这个三角形的顶点有几个吗?分别是什么? 生:这个三角形的顶点有三个,分别是A、B、C. 师:这个三角形的边呢? 生:边有三条,分别是AB、BC和CA. 师:对.我们把这个三角形记作“△ABC”,读作“三角形ABC”.三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示.如边AB对着∠C,记作c;边BC对着∠A,记作a;边CA对着∠B,记作b.也就是说,一边可用两个大写字母或一个小写字母表示,角可用“∠”加上一个大写字母表示. 师:按边分类时,你知道的都有哪些三角形? 生:等边三角形. 师:等边三角形是三条边都相等的三角形.如果不是三条边都相等,比如两条边相等,这类三角形叫什么三角形呢? 生:等腰三角形. 师:对,等边三角形是等腰三角形的特例.如果三条边都不相等呢? 学生思考. 师:我们把这类三角形叫做不等边三角形. 教师多媒体出示: 教师板书: 三角形(按边分) 师:在等腰三角形中,你能区分哪条边是腰,哪条边是底吗? 生:相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 师:对.我们现在再来认识一下顶角和底角.两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角. 二、共同探究,获取新知 师:请大家任意画出一个三角形,用刻度尺测量一下,并说说任意两边之和与第三边的关系. 学生操作. 生:任意两边之和大于第三边. 师:对,你有没有其他的方法来证明三角形的任意两边之各大于第三边呢? 生:由所有两点之间的连线中线段最短得到. 教师板书: 三角形中任何两边的和大于第三边. 师:对.根据不等式的性质,我们能得到三角形中任意两边的差小于第三边.(教师板书)如果三条线段要构成一个三角形,它们就要满足这两个条件,但是在实际计算中,需要验证六个不等式都成立吗? 学生思考,讨论. 师:不等式a+b>c,你把a移到不等式的右边,这个不等式如何表示? 生:b>c-a. 师:对,也就是c-a

四年级三角形边的关系练习题

四年级三角形边的关系练习题 一、填空题1、若等腰三角形的两边长分别为3和7,则它的周长为_______; 若等腰三角形的两边长分别是3和4,则它的周长为_____. 2、长为10、7、5、3的四跟木条，选其中三根组成三角形有___种选法。 3、若三角形的周长是60cm，且三条边的比为3：4：5，则三边长分别为_______ 4、已知线段3cm,5cm,xcm,x为偶数，以3，5，x为边能组成______个三角形。 5、△ABC中，如果AB=8cm，BC=5cm，那么AC的取值范围是________________. 6、若等腰三角形的腰长为6,则它的底边长a的取值范围是________; 二、选择题 7、已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有 A.1个 B.2个 C.3个C.4个 8、如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是 A.6 9、已知三角形的三边长为连续整数,且周长为

12cm,则它的最短边长为 A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm 10、等腰三角形的一边长为3cm,周长为19cm,则该三角形的腰长为 cm. A、3 B、 C、3或8 D、以上答案均不对 11、若三角形两边长分别为6cm,2cm,第三边长为偶数，则第三边长为 A、2cm B、4cm C、6cm D、8cm 12、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为 A.B.1C.1 D.12或15 一、判断。 1、3条线段一定能围成一个三角形。 2、三角形任意两边之和一定大于第三边。 3、三角形的三条边长可以相等。、用4根同样长的小棒能摆出一个三角形。 二、根据下面各组数据，判断能否画出三角形，能的在里画“√”。 1、5厘米4厘米8厘米 2、6厘米6厘米6厘米、2厘米4厘米7厘米4、1厘米1厘米3厘米 三、在长度分别是6厘米、5厘米、4厘米、3厘米、2

与三角形有关的角测试题及答案

与三角形有关的角测试题 一、选择题 1、一个三角形的两个内角分别是55°和65°，不可能是这个三角形外角的是（） A．115°B．120° C．125°D．130° 2、如图，已知∠1=20°，∠2=25°∠A=35°，则∠BDC的度数为（） A．50°B．80° C．70°D．60° 3、已知如下图所示，△ABC， （1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则

（2）如图（2），若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点，则∠P=90°－∠A；（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则 上述说法正确的个数是（） A．0个B．1个 C．2个D．3个 4、如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=（） A．100°B．200° C．280°D．300° 5、下列语句中，正确的是（） A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的一个外角等于它的两个内角 C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角 D．三角形的外角和为180° 6、如图所示，住宅小区呈三角形ABC形状，且周长为2000m，现规划沿小区周围铺上宽为3m的草坪，则草坪的面积（精确到1m）是（）

A ．6000m 2 B ．6016m 2 C ．6028m 2 D ．6036m 2 7、在△ABC 中，AD⊥BC 于D ，且AD 将∠BAC 分成的两个小角度分别为20°和50°，则此三角形一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．以上都不对 8、如图∠2＋α=180°，则下列式子中值为180°的是（ ） A ．α＋β＋γ B ．α＋β－γ C ．β＋γ－α D ．α－β＋γ 9、如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E=（ ） A ．150° B ．180°

《直角三角形的边角关系》知识要点及巩固练习

《直角三角形的边角关系》知识要点及巩固练习 一、知识要点 1、三角函数定义：sinA= cosA= tanA= cotA= 2、专门角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ，cot 30°= 45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，cot 45°= 60°：sin 60°= ， cos 60°= ，tan 60°= ，cot 60°= 3、三角函数公式： ① sin(90°－A)=cosA ； cos(90°－A)=sinA ； tan(90°－A)=cotA ； cot(90°－A)=tanA ② =+A A 22cos sin ；=?A A cot tan ； 4、在直角三角形中，除直角外，一共有5个因素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素（两边或者一边一锐角），求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形 5. 坡度与坡角的定义： 二、巩固练习 1、在Rt △ABC 中，∠C =90°，a ＝1，c ＝4,则sinA 的值是___。 2、已知∠A+∠B=90°,且cosA =1/5，则cosB 的值为____。 3、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为___。 4、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是 _ _。 5、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于______ 6、如右图，沿倾斜角为30?的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为 2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。(精确到0.1m) 7、菱形ABCD 的对角线AC=10，BD=6，则 tanA/2= _____ 8、离旗杆20米处的地点用测角仪测得旗杆顶的仰角为α， _________米（用含α的三角函数表示）． 9、校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米。一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞__________米。 10、???+??+ ???60tan 60sin 45cos 245tan 30sin 11、下图为住宅区内的两幢楼，它们的高 m CD AB 30==，现需了解 甲楼对乙楼的采光的阻碍情形。当太阳光与水平线的夹角为30°时。试求： 1）若两楼间的距离 m AC 24=时，甲楼的影子，落在乙楼上有多高？ 2）若甲楼的影子，刚好不阻碍乙楼，那么两楼的距离应当有多远？ 12. 如图，从山顶A 望地面C 、D 两点，它们的俯角分别为045、030， 若测得CD = 100米，求AB 的高度； A A C l 斜边 的对边A ∠l h i =l h i ==αtan 的坡角叫做斜坡其中AB α∠A A A cos sin tan =甲 A C 300 B D B C D E

三角形中的边角关系、命题与证明期末复习(含答案)

期末复习三角形中的边角关系、命题与证明 类型一　三角形的有关概念 1.已知AD ,AE 分别是△ABC 的中线和角平分线,则下列结论中错误的是 ( )A .BD=BC B .BC=2CD 12 C .∠BAE=∠BAC D .∠BAC=2∠CAD 122.如图QM3-1所示: 图QM3-1 (1)在△ABC 中,BC 边上的高是 ; (2)在△AEC 中,AE 边上的高是 . 3.如图QM3-2,回答下列问题: (1)图中有几个三角形?试写出这些三角形; (2)∠1是哪个三角形的内角? (3)以CE 为一条边的三角形有几个?是哪几个? 图QM3-2 类型二　三角形中三边关系的应用 4.小明和小丽是同班同学,小明的家距学校2千米远,小丽的家距学校5千米远,设小明家距小丽家x 千米远,则x 的值应满足 ( )A .x=3B .x=3或x=7C .3

8.[2017·大庆]在△ABC中,∠A,∠B,∠C的度数之比为2?3?4,则∠B的度数为 ( ) A.120° B.80° C.60° D.40° 9.将一副三角尺如图QM3-3放置,已知AE∥BC,则∠AFD的度数是( ) 图QM3-3 A.45° B.50° C.60° D.75° 10.如图QM3-4,在△ABC中,∠ACB=∠ABC,∠A=40°,P是△ABC内一点,且∠1=∠2, 求∠BPC的度数. 图QM3-4 类型四　命题与证明 11.请写出一个原命题是真命题,逆命题是假命题的命 题: . 12.请举反例说明“对于任意实数x,x2+5x+4的值总是正数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可). 13.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列5个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥ b;④a∥c;⑤a⊥c.请以其中两个论断为条件,一个论断为结论,组成一个你认为正确 的命题.

三角形边角关系-第3讲的角与边学

第三讲三角形的角与边 一、基础知识 本讲重点介绍三角形的边、角不等关系,包括同一个三角形中的边、角不等关系以及不同三角形中的边、角不等关系. 1.边与边的关系 (1)在同一个三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边（三边满足什么条件时，三角形必然存在？）； (2)勾股定理:即在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方. 2.角与角的关系 (1)三角形的内角和为180?； (2)直角三角形中两锐角互余; (3)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角； (4)三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和. 3.边和角的关系 (1)在同一个三角形中,大边对大角,大角对大边; (2)在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么夹角大的所对的边也大;反之也成立,即在两个三角形中,如果有两条边对应相等,那么第三边大,则所对的角也大. 4.不等式变形时常用的性质 (1)若a>b,c>d,则a+c>b+d; (2)若a>b,c>d,则a-d>b-c; (3)若a>b,c>0,则ac>bc; 若a>b,c<0,则acb>0,则11 a b < ; (5)总量大于任何一个部分量. 5.三角形中的不等关系根源: (1)两点之间线段最短; (2)垂线段最短. 二、例题 第一部分边的问题 例1. (★★希望杯训练题)将三边长为a,b,c的三角形记作(a,b,c).写出周长为20,各边长为正整数的所有不同的三角形.

例2. (★★★ 2000年希望杯竞赛题）一个三角形的三条边的长分别是a,b,c（a,b,c都是质数），且a+b+c=16，则这个三角形是（） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.直角三角形或等腰三角形 例3. (★★★1998年江苏省竞赛题)在不等边三角形中,如果有一条边长等于另两条边长的平均值,那么最大边上的高与最小边上的高的比值的取值范围是( ) A.3 1 4 k << B. 1 1 3 k << C.12 k << D. 1 1 2 k << 例4. (★★★1997年北京市竞赛题)等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm 两部分,则这个等腰三角形的底边的长为( ) A.17cm B.5cm C.17cm或5cm D.无法确定 例5. (★★★)如图3-1,已知P为三角形ABC内一点, 求证: 1 () 2 AB AC BC PA PB PC AB AC BC ++<++<++. 例6. (★★★第三十二届美国邀请赛试题)不等边三角形ABC的两条高长度为4和12,若第三条高的长也是整数,试求它的长.

八上数学《与三角形有关的角》练习题

八上《与三角形有关的角》练习题 1．△ABC 中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________． 2．已知三角形的三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 3．△ABC 中，∠A=∠B+∠C ，则∠A=______度． 4．根据下列条件，能确定三角形形状的是（ ） （1）最小内角是20°； （2）最大内角是100°； （3）最大内角是89°； （4）三个内角都是60°； （5）有两个内角都是80°． A ．（1）、（2）、（3）、（4） B ．（1）、（3）、（4）、（5） C ．（2）、（3）、（4）、（5） D ．（1）、（2）、（4）、（5） 5．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=______度． 6．三角形中最大的内角不能小于_______度， 最小的内角不能大于______度． 7．△ABC 中，∠A 是最小的角，∠B 是最大的角，且∠B=4∠A ，求∠B 的取值范围． 8．如图2，在△ABC 中，∠BAC=4∠ABC=4∠C ，BD ⊥AC 于D ， 求∠ABD 的度数． 综合创新作业 9．（综合题）如图3，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 10．（应用题）如图是一个大型模板，设计要求∠ADC=130°,现在 已测得∠A=40°，∠B=60°，∠C=100°。该模板是否合格？ 11．（创新题）如图，△ABC 中，AD 是BC 上的高，AE 平分∠BAC ，∠B=75°，?∠C=45°，求∠DAE 与∠AEC 的度数． B A C D

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值.

【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可. 【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴ A (1，2)， 把A (1，2)代入 k y x = 得2k =， ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称， ∴()1 2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ， ∵ 90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=， ∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==.

专题讲练：三角形边角关系及命题与证明重难点问题

专题讲练：二角形边角关系及命题与证 明重难点问题 ※题型讲练 【例1】设厶ABC 的三边a , b ,c 的长度均为自然数， a + b + C =13 ,求以a , b , c 为三边的三角形共有多少 个 A B 【例5】已在 △ ABC 中，AB=AC, AC 上中线BD 把△ ABC 周长分别24和18两部分，求△ ABC 的三边长. 【例2】如图，已知P 是厶ABC 内一点，连结AP, PB,PC, 在某个区域时，连接 PA PB,得到/ PBD / PAC 两个角. 【例 3】在厶ABC 中，/ A 中，使得30。角(即/ P )的两边分别经过点 A 之间的等量关系. IS C2) ￡ (3}

三角形的边与角的认识

三角形三大专题 知识互联网 题型一：整数边三角形 思路导航 1、边长都是整数的三角形，称为整数边三角形． 2、若三角形三边的长为a ，b ，c 且a b c ≤≤，则 ⑴ 三角形的最小的边a 满足：03 a b c a ++<≤，当且仅当a b c ==时，等号成立； ⑵ 三角形的最大的边c 满足：32 a b c a b c c ++++< ≤，当且仅当a b c ==时，等号成立． 方程（特别是不定方程）和不等式是解决整数边三角形或内角是整数的三角形的常用工具．运用这一工具时，枚举法（树状图）则是常用的方法，但要注意对求得的结果进行检验． 例题精讲 【引例】 已知等腰三角形的周长是8，边长是整数，则腰长是多少？ 典题精练 【例1】 ⑴若三角形的周长为60，求最大边的范围. ⑵设m 、n 、p 均为自然数，且m n p ≤≤，15m n p ++=，试问以m 、n 、p 为边长 的三角形共有多少个？ 【例2】 ⑴三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <<，若7b =，则有 个满足题意的 三角形. ⑵三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c <≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形． ⑶三角形三边长a 、b 、c 都是整数，且a b c ≤≤，若7b =，则有 个满足题意的三角形．

题型二：多边形及其内、外角和 思路导航 多边形及其内、外角和 （一）多边形及其内角和 1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． ① 多边形的顶点、边、内角、外角、对角线 内角：A ∠、ABC ∠、C ∠、CDE ∠、E ∠…… 外角：α∠ 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD . n 边形对角线条数： (3) 2 n n -条 ② 凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） 图（a ）为凸多边形 图（b ）为凹多边形 （ a ） （b ） ③ 正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形 （如图正六边形） AB=BC=CD=DE=EF=AF A B C D E F ∠=∠=∠=∠=∠=∠ 2．多边形内角和：n 边形内角和等于(2)180n -?° ① 多边形内角和公式推理方法一： 过n 边形一个顶点，连对角线，可以得(3)n -条对角线，并且将n 边形分成 (2)n -个三角形，这(2)n -个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． 将n 边形分成()2n -个三角形 ② 多边形内角和公式推理方法二： 在n 边形边上取一点与各顶点相连，得(1)n -个三角形，n 边形内角和等于这 (1)n -个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即 (1)180180(2)180n n -?-=-?°°° 将n 边形分成()1n -个三角形 F E D C B A