概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)(汇编)

《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生

B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生

B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生

B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生

φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件

2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=?

结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B —

§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事

件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率

概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===n

k k

n

k k

A P A P 1

1

)()( （n 可

以取∞）

2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP

（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===n

k k

n k k

A P A P 1

1

)()(

（n 可以取∞）

（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P

（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）

（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=?

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件

A

包含

k

个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里

个不同的数，则有

中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()

中基本事件的总数

包含的基本事件数

S }{)(1

j A n k e P A P k

j i ==

=∑=

§5．条件概率

（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)

()

()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率

（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件

1。

非负性：对于某一事件B ，有0)|(≥A B P

2。规范性：对于必然事件S ，1)|(=A S P

3可列可加性：设 ,,21B B 是两两互不相容的事件，则有

∑∞

=∞==1

1

)()(i i i i A B P A B P

（3） 乘法定理 设0)(>A P ，则有)|()()(B A P B P AB P =称为乘法公式

（4） 全概率公式： ∑==

n

i i

i

B A P B P A P 1

)|()()(

贝叶斯公式： ∑==

n

i i

i

k k k B A P B P B A P B P A B P 1

)

|()()

|()()|(

§6．独立性

定义 设A ，B 是两事件，如果满足等式)()()(B P A P AB P =，则称事件A,B 相互独立 定理一 设A ，B 是两事件，且0)(>A P ，若A ，B 相互独立，则()B P A B P =)|( 定理二 若事件A 和B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与—

—

—

—

与，与，B A B A B

第二章 随机变量及其分布

§1随机变量

定义 设随机试验的样本空间为X(e)X {e}.S ==是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X =为随机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随

机变量称为离散型随机变量

k k )(p x X P ==满足如下两个条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

=1

k k P =1

2． 三种重要的离散型随机变量

（1） 分布

设随机变量X 只能取

0与1两个值，它的分布律是

)101,0k p -1p )k (k

-1k <<===p X P （，）（，则称X 服从以p 为参数的 分布或

两点分布。

（2）伯努利实验、二项分布

设实验E 只有两个可能结果：A 与—

A ，则称E 为伯努利实验.设1)p 0p P(A)<<=（，此时p -1)A P(=—

.将E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。

n 2,1,0k q p k n )k X (k

-n k ，

，=???

? ??==P 满足条件（1）0k ≥p ，（2）∑∞

=1k k P =1注意

到k

-n k q p k n ???

?

??是二项式

n q p ）（+的展开式中出现k

p 的那一项，我们称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。 （3）泊松分布

设随机变量X 所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

,2,1,0,k!

e )k X (-k ==

=k P λ

λ其中0>λ是常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布记为

）

（λπ~X §3随机变量的分布函数

定义 设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数∞<<∞≤=x -x},P{X )x (F 称为X 的分布函数

分布函数)()(x X P x F ≤=，具有以下性质(1) )(x F 是一个不减函数 （2）

1)(,0)(1)(0=∞=-∞≤≤F F x F ，且 （3）是右连续的即)(),()0(x F x F x F =+

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F （x ），存在非负可积函数)(x f ，使对于任意函数x 有,

dt t f )x (F x

-?∞=）（则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度

1 概率密度)(x f 具有以下性质，满足（1）1)(

(2) ,0)(-=≥?

+∞

∞

dx x f x f ；

（3）?

=

≤≤2

1

)()(21x x dx x f x X x P ；（4）若)(x f 在点x 处连续，则有=)(F x ，

)(x f

2,三种重要的连续型随机变量

(1)均匀分布

若连续性随机变量X 具有概率密度?????<<=，其他

，0a a -b 1)(b

x x f ，则成X 在区间(a,b)上服从

均匀分布.记为），（b a U ~X

(2)指数分布

若连续性随机变量X 的概率密度为?????>=，其他

，0

0.e

1)(x -x x f θθ

其中0>θ为常数，则称X

服从参数为θ的指数分布。

（3）正态分布

若连续型随机变量

X 的概率密度为，

，）

∞<<∞=

--

x e

x f x -21)(2

2

2(σμσ

πσμσσμ，服从参数为为常数，则称（，其中X )0>的正态分布或高斯分布，记为

）

，（2N ~X σμ 特别，当10==σμ，时称随机变量X 服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定理 设随机变量X 具有概率密度,-)(x ∞<<∞x x f ，又设函数)(x g 处处可导且恒有

0)(,>x g ，则

Y=)(X g 是连续型随机变量，其概率密度为

[]?

?

?<<=其他，0,)()()(,β

αy y h y h f y f X Y 第三章 多维随机变量

§1二维随机变量

定义 设E 是一个随机试验，它的样本空间是X(e)X {e}.S ==和Y(e)Y =是定义在S 上的随机变量，称X(e)X =为随机变量，由它们构成的一个向量（X ，Y ）叫做二维随机变量

设（X ，Y ）是二维随机变量，对于任意实数x ，y ，二元函数

y}Y x P{X y)}(Y x)P{(X y x F ≤≤≤?≤=，记成），（称为二维随机变量（X ，Y ）的

分布函数

如果二维随机变量（X ，Y ）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X ，Y ）是离散型的随机变量。

我们称 ，

，，，2,1j i )y Y (ij j i ====p x X P 为二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布律。

对于二维随机变量（X ，Y ）的分布函数），（y x F ，如果存在非负可积函数f （x ，y ），

使对于任意x ，y 有，），（）

，（??

∞∞

=y -x

-dudv v u f y x F 则称（X ，Y ）是连续性的随机变量，

函数f （x ，y ）称为随机变量（X ，Y ）的概率密度，或称为随机变量X 和Y 的联合概率密

度。

§2边缘分布

二维随机变量（X ，Y ）作为一个整体，具有分布函数），（y x F .而X 和Y 都是随机

变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）

（（y ),x F X Y F ，依次称为二维随机变量（X ，Y ）

关于X 和关于Y 的边缘分布函数。

，，2,1i }x P{X p 1

j i ij i ====∑∞

=?p

，，2,1j }y P{Y p 1

i i ij ====∑∞

=?j p

分别称?i p j p ?为（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布律。

?∞∞

-=dy y x f x f X ）,()( ?∞

∞

-=dx y x f y f Y ）,()(分别称)(x f X ，

)(y f Y 为X ，Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度。

§3条件分布

定义 设（X ，Y ）是二维离散型随机变量，对于固定的j ，若,0}{>=j y Y P 则称 ,2,1,}

{}

,{}{==

====

==?i p p y Y P y Y x X P y Y x X P j

ij j j i j i 为在j y Y =条件下

随机变量X 的条件分布律，同样

,2,1,}

{},{}{========?

j p p x X P y Y x X P X X y Y P i ij i j i i j 为在i x X =条件下随机变量X 的条件分布律。

设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率密度为),(y x f ，（X ，Y ）关于Y 的边缘概率密度为)(y f Y ，若对于固定的y ，)(y f Y 〉0，则称

)

()

,(y f y x f Y 为在Y=y 的条件下X 的条件概率密度，记为)(y x f Y X =

)

()

,(y f y x f Y §4相互独立的随机变量

定义 设），（y x F 及)(F x X ，)(F y Y 分别是二维离散型随机变量（X ，Y ）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y 有y}}P{Y {},{≤≤===x X P y Y x X P ，即

(y))F (F },{F Y X x y x =，则称随机变量X 和Y 是相互独立的。

对于二维正态随机变量（X ，Y ），X 和Y 相互独立的充要条件是参数0=ρ

§5两个随机变量的函数的分布

1，Z=X+Y 的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f .则Z=X+Y 仍为连续性随机变量，其概率密度为?

∞

∞

-+-=

dy y y z f z f Y X ）,()(或?∞

∞

-+-=dx x z x f z f Y X ）,()(

又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则

?∞∞

-+-=dy f y z f z f Y X Y X y)()(（） 和?

∞

∞

-+-=dx x z f x f z f Y X Y X )(()(）这两个公式称为Y X f f ,的卷积公式

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，的分布的分布、XY Z X

Y

Z ==

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(y x f ，则XY Z X

Y

Z ==， 仍为连续性随机变量其概率密度分别为dx

xz x f x z f X

Y

),()(?∞

∞

-=dx x

z

x f x z f XY ),(1)(?

∞

∞

-=又若X 和Y 相互独立，设（X ，Y ）关于X ，Y 的边缘密度分别为)(),(y f x f Y X 则可化为dx xz f x f z f Y X X Y

?

∞

∞

-=)()()( dx x

z f x f x z f Y XY )()(1)(X ?

∞

∞

-= 3的分布及，},m in{N Y }{X m ax Y X M ==

设X ，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(y F x F Y X 由于

Y}{X max ，=M 不大于z 等价于X 和Y 都不大于z 故有z}Y z,P{X z}P{M ≤≤=≤又

由于X 和Y 相互独立，得到Y}{X max ，=M 的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =

},min{N Y X =的分布函数为[][])(1)(11)(min z F z F z F Y X ---=

第四章 随机变量的数字特征

§1．数学期望

定义 设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X P ==}{，k=1,2，…若级数

∑∞

=1

k k k

p x

绝对

收敛，则称级数

∑∞

=1

k k k

p x

的和为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即∑=i

k k p x X E )(

设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若积分

?

∞

∞

-dx x xf )(绝对收敛，则称积分

?

∞

∞

-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(X E ，即?+∞

∞

-=dx x xf X E )()(

定理 设Y 是随机变量X 的函数Y=)(X g (g 是连续函数)

（i ）如果X 是离散型随机变量，它的分布律为k p X P ==}x {k ，k=1,2，…若

k

k k

p x g ∑∞

=1

(）

绝对收敛则有=)Y (E =

))((X g E k

k k

p x g ∑∞

=1

(）

（ii ）如果X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(x f ，若?

∞

∞

-dx x f x g )()(绝对收敛则

有=)Y (E =

))((X g E ?

∞

∞

-dx x f x g )()(

数学期望的几个重要性质 1设C 是常数，则有C C E =)(

2设X 是随机变量，C 是常数，则有)()(X CE CX E = 3设X,Y 是两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+； 4设X ，Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =

§2方差

定义 设X 是一个随机变量，若[]})({2

X E X E -存在，则称[]})({2

X E X E -为X 的方

差，记为D （x ）即D （x ）=[]})({2

X E X E -，在应用上还引入量)(x D ，记为)(x σ，

称为标准差或均方差。

222)()())(()(EX X E X E X E X D -=-=

方差的几个重要性质

1设C 是常数，则有 ,0)(=C D

2设X 是随机变量，C 是常数，则有)(C )(2

X D CX D =，D(X))(=+C X D

3设X,Y 是两个随机变量，则有E(Y))}-E(X))(Y -2E{(X D(Y)D(X))(++=+Y X D 特别，若X,Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=+

40)(=X D 的充要条件是X 以概率1取常数E(X)，即1)}({==X E X P

切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2

)(σ=X E ，则对于任意正数ε，不等式

22

}-X P{εσεμ≤≥成立

§3协方差及相关系数

定义 量)]}()][({[Y E Y X E X E --称为随机变量X 与Y 的协方差为),(Y X Cov ，即

)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E Y X Cov -=--=

而D(Y)

D(X)Y X (XY ），Cov =

ρ称为随机变量X 和Y 的相关系数

对于任意两个随机变量X 和Y ，),(2)()()_(Y X Cov Y D X D Y X D -

+

+=+

协方差具有下述性质

1),(),( ),,(),(Y X abCov bY aX Cov X Y Cov Y X Cov == 2),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ 定理 1 1≤XY ρ

2 1=XY ρ的充要条件是，存在常数a,b 使1}{=+=bx a Y P

当

=XY ρ0时，称X 和Y 不相关

附：几种常用的概率分布表

第五章 大数定律与中心极限定理

§1． 大数定律

弱大数定理（辛欣大数定理） 设X 1，X 2…是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并

具有数学期望),2,1()( ==k X E k μ.作前n 个变量的算术平均∑=n

k k X n 11，则对于任意

0>ε，有1}1{lim 1

=<-∑=∞→εμn

k k n X n P

定义 设 n Y Y Y ,,21是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有

1}{lim =<-∞

→εa Y P n n ，则称序列 n Y Y Y ,,21依概率收敛于a ，记为a Y p

n ?→?

伯努利大数定理 设A f 是n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件A 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε〉0，有1}{

lim =<-∞

→εp n

f P n

n 或0}{

lim =≥-∞

→εp n

f P n

n §2中心极限定理

定理一（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量n X X X ,,,21 相互独立，服从同一

分布，且具有数学期望和方差2

)( ,)(σμ==k i X D X E （k=1,2，…），则随机变量之和

标准化变量∑=n

i k

X

1

， σ

μ

n n X

X D X E X

Y n

i k

n

k k n

k n

k k k

n ∑∑∑∑====-=

-=

1

1

1

1 )

()

(，

定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量n X X X ,,,21 …相互独立，它们具有数学期望和方差 2,1,0)( ,)(2

=>==k X D X E k k k k σμ记∑==

n

k k

n B 1

22

ε

定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量10(,),2,1(<<=p p n n n 服从参数为 η）的二项分布，则对任意x ，有)(21})

1({

lim 22

x dt e x p np np

P x

t n n Φ==≤--?

∞

--∞

→π

η

概率论与数理统计学习知识资料心得与分享与分享之第一章

第一章 概率论的基本概念 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象 随机试验： 具有下述三个特点的试验： 1.可以在相同的条件下重复地进行 2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果 3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 样本空间： 将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点： 样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。 随机事件： 一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件： 由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。 必然事件： 样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。 不可能事件： 空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。 事件间的关系与运算： 设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。 1.若B A ?，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ?且A B ?,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。 2.事件{x B A =?｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生。 类似地，称n k U 1 =k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞ =1 为可列个事件,,21A A … 的和事件。 3.事件B A ?=x {｜A x ∈且}B x ∈称为事件A 与事件B 的积事件。当且仅当A,B 同时发生时，事件B A ?发生。B A ?记作AB 。

教师招聘心理学重点知识总结

教师招聘心理学重点知识总结 心理学是研究心理现象及其规律的科学。 论述：心理学的研究任务：（确定心理事实，揭示心理规律，揭示心理机制，揭示心理本质。） 教师学习心理学的意义： 1. 有助于教师理解和解释学生的心理现象和行为，更好地完成教育工作。 2. 有助于运用心理学原理，指导和开展当代教育改革。 3. 有助于教师判断学生的心理健康，有效地开展学生心理异常的调试工作。 4. 有助于教师依据心理学知识进行自我教育。 亚里士多德的《论灵魂》是历史上第一部论述各种心理现象的著作。 西方主要心理学流派: 1.构造主义心理学冯特铁钦钠 研究人们的直接经验即意识，并把人的经验分为感觉、意象和激情状态三种元素。采用实验内省法分析意识的内容或构造。 2.机能主义心理学詹姆士杜威安吉尔 研究意识，把意识看成是一种持续不断、川流不息的过程。强调对意识作用和功能的研究。 3.行为主义心理学华生西方心理学的第一势力 反对研究意识，主张心理学研究行为；反对内省，主张采用试验方法进行客观研究。 4.格式塔心理学完形心理学韦特海默考夫卡苛勒 反对把心理作为一个元素，而强调心理作为一个整体、一个组织的意义认为整体不能还原为哥哥部分、各种元素的总和；部分相加也不等于全体；整体先与部分二存在，并且制约着部分的性质和意义。 5.精神分析心理学佛洛依德 重视对异常行为的分析和无意识的研究。 6.人本主义心理学马斯洛罗杰斯心理学的第三势力 研究人格发展与社会生活的关系，强调人的目的性、创造性和价值，主张促进人的健康成长和潜能的实现。 7.现代认知心理学奈赛尔皮亚杰 把人的心理活动看作是信息加工系统，由感官搜集的信息，经过分析、存储、转换，然后加以利用 注意是心里活动对一定对象的指向和集中，是心理过程的动力特征之一。 注意的功能：选择功能、保持功能、调节和监督功能 注意的分类：无意注意有意注意有意后注意 无意注意也称不随意注意，是没有预定目的，无需意志努力、不由自主地对一定事物所发生的注意。 有意注意也称随意注意，是有预定目的，必要时需要意志努力、主动地对一定事物所发生的注意。 有意后注意是注意的一种特殊形式，是指有自觉目的，但不需要意志努力的注意。 注意的品质：注意的广度、注意的稳定性、注意的分配、注意的转移

概率论与数理统计总结

第一章 随机事件与概率 第一节 随机事件及其运算 1、 随机现象：在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 2、 样本空间：随机现象的一切可能基本结果组成的集合，记为Ω={ω},其中ω 表示基本结果，又称为样本点。 3、 随机事件：随机现象的某些样本点组成的集合常用大写字母A 、B 、C 等表 示，Ω表示必然事件， ?表示不可能事件。 4、 随机变量：用来表示随机现象结果的变量，常用大写字母X 、Y 、Z 等表示。 5、 时间的表示有多种： （1） 用集合表示，这是最基本形式 （2） 用准确的语言表示 （3） 用等号或不等号把随机变量于某些实属联结起来表示 6、事件的关系 （1）包含关系：如果属于A 的样本点必属于事件B ，即事件 A 发生必然导致事 件B 发生，则称A 被包含于B ，记为A ?B; （2）相等关系：若A ?B 且B ? A ，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。 （3）互不相容：如果A ∩B= ?，即A 与B 不能同时发生，则称A 与B 互不相容 7、事件运算 （1）事件A 与B 的并：事件A 与事件B 至少有一个发生，记为 A ∪B 。 （2）事件A 与B 的交：事件A 与事件B 同时发生，记为A∩ B 或AB 。 （3）事件A 对B 的差：事件A 发生而事件B 不发生,记为 A －B 。用交并补可以 表示为B A B A =-。 （4）对立事件：事件A 的对立事件（逆事件），即 “A 不发生”，记为A 。 对立事件的性质：Ω=?Φ=?B A B A ,。 8、事件运算性质：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA （2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC （3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A∪C)、 A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）棣莫弗公式（对偶法则）：B A B A ?=? B A B A ?=? 9、事件域：含有必然事件Ω ，并关于对立运算和可列并运算都封闭的事件类ξ 称为事件域，又称为σ代数。具体说，事件域ξ满足： （1）Ω∈ξ; (2)若A ∈ξ，则对立事件A ∈ξ； （3）若A n ∈ξ，n=1,2，···，则可列并 ∞ =1 n n A ∈ξ 。

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计心得体会

概率课感想与心得体会 笛卡尔说过：“有一个颠扑不破的真理，那就是当我们不能确定什么是真的时候，我们就应该去探求什么是最最可能的。”随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。 概率起源于现实生活，应用于现实生活，如我们讨论了摸球问题，掷硬币正反面的试验，拍骰子问题等等。都是接近生活实践的概率应用实例。 同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。但是我们不能根据随机事件的概率来断定某次试验出现某种结果或者不出现某种结果。同时，我们还可以利用概率来判定游戏规则，譬如，在各类游戏中，如果每个人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，要保证所制定的游戏规则是公平的，需要保证每个人获胜的概率相等。概率教学中的试验或游戏结果，如果不进行足够多的次数，是很难得出比较接近概率的频率的，也就是说当试验的次数很多的时候，频率就逐渐接近一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。我们说，当进行次数很多的时候，时间发生的次数所占的总次数的比例，即频率就是概率。换句话说，就是时间发生的可能性最大。 概率不仅在生活上给了我们很大的帮助，同时也能帮我们验证某些理论知识，譬如投针问题： ()行直线相交的概率． 平的针，试求该针与任一一根长度为线，向此平面上任意投的一些平行平面上画有等距离为a L L a <

我们解如下： 平行线的距离； ：针的中心到最近一条 设：X 此平行线的夹角．：针与? 上的均匀分布；， 服从区间则随机变量?? ? ?? ? 20a X []上的均匀分布；服从区间随机变量π?,0相互独立．与并且随机变量?X ()的联合密度函数为 ，所以二维随机变量?X ()??? ??≤≤≤≤=. , 02 02 其它，，π?π?a x a x f {} 针与任一直线相交设：=A , . sin 2? ?? ???<=?L X A 则所以， ()? ?????<=?sin 2L X P A P 的面积的面积 D A =.22 sin 20 a L a d L ππ??π == ?

教师招聘考试 心理学重点知识总结归纳

心理学是研究心理现象及其规律的科学。 论述：心理学的研究任务。（确定心理事实，揭示心理规律，揭示心理机制，揭示心理本质。） 教师学习心理学的意义。 1.有助于教师理解和解释学生的心理现象和行为，更好地完成教育工作。 2.有助于运用心理学原理，指导和开展当代教育改革。 3.有助于教师判断学生的心理健康，有效地开展学生心理异常的调试工作。 4.有助于教师依据心理学知识进行自我教育。 亚里士多德的《论灵魂》是历史上第一部论述各种心理现象的着作。 西方主要心理学流派: 1.构造主义心理学冯特铁钦钠 研究人们的直接经验即意识，并把人的经验分为感觉、意象和激情状态三种元素。 采用实验内省法分析意识的内容或构造。 2.机能主义心理学詹姆士杜威安吉尔 研究意识，把意识看成是一种持续不断、川流不息的过程。强调对意识作用和功能的研究。 3.行为主义心理学华生西方心理学的第一势力 反对研究意识，主张心理学研究行为；反对内省，主张采用试验方法进行客观研究。 4.格式塔心理学完形心理学韦特海默考夫卡苛勒 反对把心理作为一个元素，而强调心理作为一个整体、一个组织的意义认为整体不能还原为哥哥部分、各种元素的总和；部分相加也不等于全体；整体先与部分二存在，并且制约着部分的性质和意义。 5.精神分析心理学佛洛依德

重视对异常行为的分析和无意识的研究。 6.人本主义心理学马斯洛罗杰斯心理学的第三势力 研究人格发展与社会生活的关系，强调人的目的性、创造性和价值，主张促进人的健康成长和潜能的实现。 7.现代认知心理学奈赛尔皮亚杰 把人的心理活动看作是信息加工系统，由感官搜集的信息，经过分析、存储、转换，然后加以利用 注意是心里活动对一定对象的指向和集中，是心理过程的动力特征之一。 注意的功能：选择功能保持功能调节和监督功能 注意的分类：无意注意有意注意有意后注意 无意注意也称不随意注意，是没有预定目的，无需意志努力、不由自主地对一定事物所发生的注意。 有意注意也称随意注意，是有预定目的，必要时需要意志努力、主动地对一定事物所发生的注意。 有意后注意是注意的一种特殊形式，是指有自觉目的，但不需要意志努力的注意。 注意的品质：注意的广度、注意的稳定性、注意的分配、注意的转移 知觉的基本特征：知觉的选择性、知觉的理解性、知觉的整体性、知觉的恒常性 直观教学的基本形式：实物直观、模象直观、言语直观 论述：如何运用感知规律组织教学？ 1.根据学习任务的性质，灵活运用各种直观方式。 2.运用知觉的组织原则，突出直观对象的特点。 3.教会学生观察方法，养成良好的观察习惯。 4.让学生充分参与直观过程。 记忆过程包括识记、保持、再认和回忆三个环节。

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

《概率论与数理统计》读书感想

《概率论与数理统计》读书感想 班级： 学号： 姓名：本学期我们开设了《概率论与数理统计》这门课程。在正式学习这门课程之前，我对于它的了解仅限于高中时期所学习的简单的概率与统计相关的定义、概型以及运算。在学习了这门课程之后，我对于将数学知识运用到实践中有了更加深刻的认识。 本门课程总共八章。在第一章中，我在复习到的高中时期基础知识的基础上更加深入的学习了随机事件与概率相关知识，其中我感觉比较重要的就是条件概率与乘法公式、全概率公式和被贝努力公式以及事件的独立性和N重贝努利概型。在第二章中，我理解了随即变量及其概率分布的概念、连续型随机变量及其概率密度的概念，了解了泊松定理的结论和应用条件并学会了用泊松分布近似的表示二项分布，还学会了均匀分布、指数分布、正太分布及其应用。在第三章中，我们学习了二维随机变量及其分布，其中二位二维离散随机变量和二维连续型随机变量以及二维随机变量函数的分布是我感觉比较陌生的。学起来也比较吃力。第四章是随机变量的数字特征，其中数学期望、方差都是高中学过的，学起来比较简单，而协方差、相关系数和矩则是比较新的知识了。第五章是大数定律和中心极限定理，都是新内容，这期间，我掌握了切比雪夫不等式的条件和结论、切比雪夫大数定律、贝努利大数定律以及辛钦大数定律成立的条件和结论，并能运用切比雪夫不等式进行简单的概率估计，另外还学习了独立同分布的中心极限定理以及棣莫弗—拉普拉斯定理的条件与结论。第六章中，主要学习了数理统计的基本概念：总体、个体、简单随机样本、统计量的概念、样本均值、样本方差和样本矩。第七章是参数估计的相关知识，重点是点估计、估计量以及估计值得相关概念还有矩估计法和极大似然估计法，另外，我还掌握了两个正态总体的均值差和方差比的置信区间。在最后的第八章，我们主要学习了假设检验，我掌握了假设检验的基本概念，学会了对单正态总体参数的假设检验和对双正态总体均值方差的假设检验。 通过对本门课程的学习，我对概率论和数理统计有了更加深刻的了解，我相信这将对我以后的学习大有裨益。

《普通心理学》重点知识 彭聃龄版

精心整理 心理学重点知识 一、名词解释 1、心理学——心理学是研究人的心理现象及其活动规律的科学。 2、心理过程——指认识过程（感觉、知觉、识记、想象和思维）、情绪和情感过程及意志过程。 3、观察法——观察，旨在自然条件下，人们为一定目的而对事物所进行的有计划的知觉过程。观察法就是以感官活动为先决条件，与积极的思维相结合，系统地运用感官对客观事物进行感知、考察和描述的一种研究方法。 4、自然实验法——在自然的正常的情况下，根据预定的计划，有意识地引起或创造所要研究的现象 5、反射——是有机体借助于中枢神经系统而实现的对体内外刺激所做出的规律性的应答活动。 6、反射弧——是实现反射的生理结构。它包括感受器、传入神经、神经中枢、传出神经、反馈和效应器。 7、无条件反射——无条件反射是先天的、生来就有的不需要学习就会的反射. 8、条件反射——是后天的,是在个体生活过程中经过学习而形成的反射. 9、兴奋过程——是指有关大脑皮层区及相应器官的机能由相对休息状态转向活动状态. 10、抑制过程——是指有关大脑皮层区及相应器官的机能由活动状态转向相对休息状态 11、兴奋和抑制的扩散与集中——当大脑皮层的某部位产生兴奋或抑制时,并不是停留在原发点不动,而是向周围的神经细胞传布开来,这就是兴奋和抑制的扩散.扩散到一定限度后,又向原发点聚集,这就是兴奋和抑制的集中. 12、兴奋和抑制的相互诱导——是指一种神经过程能引起与它相反的神经过程的增强. 13、第一信号系统——是具体刺激物引起的条件反射系统 14、第二信号系统——是由词语作为条件刺激物而引起的条件反射系统 15、注意——是心理活动对一定事物的指向和集中。 16、有意注意——是指具有预定目的，需作一定意志努力的注意。 17、无意注意——是一种事先没有预定目的，也不需要任何意志努力的注意。 18、有意后注意——是指既有目的性，又不需作较大意志努力的注意。 19、注意的分配——是指在同一时间内，把注意指向两种或两种以上的对象或活动上的特征。

概率论与数理统计小结

概率论与数理统计主要内容小结 概率部分 1、全概率公式与贝叶斯公式 全概率公式： )()|()(11B P B A P A P = ++)()|(22B P B A P )()|(n n B P B A P + 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 贝叶斯公式：∑== n j j j i i i B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 其中n B B B ,,,21 是空间S 的一个划分。 2、互不相容与互不相关 B A ,互不相容0)(,==?B A P B A φ 事件B A ,互相独立))(()(B A P B A P =? ; 两者没有必然联系 3、几种常见随机变量概率密度与分布律:两点分布，二项分布，泊松分布，均匀分布，二项分布，指数分布，正态分布。 ),,1(~p b X 即二点分布，则分布律为.1,0,)1(}{1=-==-k p p k x P k k ),,(~p n b X 即二项分布，则分布律为.,...,1,0,)1(}{n k p p C k x P k n k k n =-==- ),(~λπX 即泊松分布，则分布律为,......1,0,! }{== =-k k e k x P k λ λ ),,(~b a U X 即均匀分布，则概率密度为.,0),(,1 )(??? ??∈-=其它 b a x a b x f ),(~θE X 即指数分布，则概率密度为.,00 ,1)(?? ???>=-其它x e x f x θ θ ),,(~2σμN X 即正态分布，则则概率密度为+∞<<-∞= - x e x f x ,21)(2 2π .

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

概率论学习心得

心得体会 汇报人 注意：本文档适合对应岗位使用，实际使用者需要根据本岗位的实际工作内容和工作职责进行相应调整，下载之前请务必预览前页内容。

概率论学习心得 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论是十七世纪因保险事业发展而产生的，与博弈实践有关；数理统计学源于对天文和测地学中的误差分析以及中世纪欧洲流行黑死病的统计。数理统计学与概率论这两个学科的密切联系就是基于统计数据的随机性。 概率论与数理统计具有很强的实用性，科学研究与社会活动都需要进行数据的收集、整理以及精炼的形式表达，并以此为基础进行定量或定性估计、描述和解释，预测其未来可能的发展状况。而对大量随机数据进行整理并描述评估、预测其发展正是数理统计学与概率论的重要内容。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 二战后随着科技的发展特别是计算机的发展，概率论与数理统计在新的实践条件下得以迅猛发展，其理论日益完善与深入，其手段日益先进和便利，其作用日益重要和广泛，大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域，许多新兴科学都是以概率论与数理统计作为基础的，如信息论、对策论、排队论、控制论等。 概率论与数理统计不仅在自然科学中发挥重要作用，实证的方法就是基于数据分析整理并推理预测，而且在社会实践中发挥着重要的不可替代的作用，这是因为： 1、人类活动的各个领域都不同程度与数据打交道，都有如何收集和分析数据的问题，因此概率论与数理统计学的理论和方法，与人类活动的各个领域都有关联。 2、组成社会的单元——人、家庭、单位、地区等，都有很大的变异性、不确定性，如果说，在自然现象中尚有一些严格的、确定性的规律，在社会现象中

教育心理学重点知识总结完整版

1、教育心理学：是一门研究学校情景中学与教的基本心理规律的科学。是应用心理学的一 种，是心理学与应用学的交叉学科。 2、研究内容：五要素三过程 3、教育心理学的作用：帮助教师准确的研究问题；为实际教学提供科学的理论指导；帮助 教师预测并干预学生；帮助教师结合实际教学进行研究。 4、教育心理学对教育实践具有描述、解释、预测、控制的作用。 5、教育心理学的发展概况：初创时期、发展时期、成熟时期、完善时期。 6、布鲁纳在1994年美国教育研究会的专题报告中总结了教育心理学的研究成果，主要表 现在：主动性研究、反思性研究、合作性研究、社会文化研究。 7、心理发展：指个体从出生、成熟、衰老直至死亡的整个生命进程中所发生的一系列心理 变化。 8、学生心理发展的四个基本特征：连续性与阶段性、定向性与顺序性、不平衡性、差异性。 9、青少年心理发展的阶段特征：（1）少年期：初中阶段，学生具有半成熟半幼稚的特点， 抽象逻辑思维已占主导地位，并出现反省思维；（2）青年初期：抽象逻辑思维从“经验型”向“理论性”转化，开始出现辩证思维 10、学习准备：指学生原有的知识水平或心理发展水平对新的学习的适应性。 11、关键期：个体早期生命中一个比较短暂的时期，在此期间，个体对某种刺激特别敏感，过了这一时期，同样的刺激对之影响很小或没有影响。 12、2岁时口头语言关键期。4岁是形状知觉形成关键期，4-5岁是学习书面语言关键期。 13、瑞士心理学家皮亚杰的认知阶段发展理论： 感知运动（0-2）前运算阶段（2-7）具体运算阶段（7-11）具有了抽象概念，思维可以逆转，能够进行逻辑推理形式运算阶段（11-15）具备了可逆思维 14、最近发展区：前苏联维果斯基认为儿童有两种发展水平：一是儿童现有水平，二是即将达到的发展水平，这两种水平之间的差异就是最近发展区。 15、人格：又称个性。是指决定个体外显行为和内隐行为并使其与他人的行为有稳定区别的综合心理特征。 16、埃里克森的人格发展阶段理论：基本的信任感对基本的不信任感（0-1.5）自主敢对羞耻感与怀疑（2-3）主动敢对内疚感（4-5）勤奋敢对自卑感（6-11）自我同一性对角色混乱（12-18） 17、影响人格发展的社会因素：家庭教养模式、学校教育、同辈群体。 18、自我意识：指个体对自己以及自己与周围事物关系的意识。包括三种成分：自我认识、自我体验、自我监控。 19、个体自我意识的发展经历了生理自我（3岁）到社会自我到心理自我的过程。 20、自我意识是个体对自己的认识和态度，是人格的重要组成部分，是把人格各部分整合和统一起来的核心力量。 21、学生间的认知方式的差异表现在：场独立与场依存（威特金）、沉思型与冲动型、辐合型与发散性。 22、世界上著名的智力量表：斯坦福-比纳量表（智力年龄/实际年龄*100）。 23、性格：指个体在生活中形成的对现实的稳固态度和与之相适应的行为方式。 24、性格的个别差异表现在：性格的特征差异和性格的类型差异（外倾型与内倾型、独立性与顺存性）。 25、学习的实质：（1）学习表现为行为或行为潜能的变化（2）学习所引起的行为或行为潜能的变化是相对持久的（3）学习是由反复经验而引起的 26、人类学习和动物学习的区别：（1）人类学习除了要获得个体的行为经验外，还要掌握人

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

《概率论与数理统计》课程学习心得

《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。 生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数

教育心理学复习章节知识点

教育心理学 第一章 1、教育心理学:就是研究学与教的基本心理规律的科学。 2、学习:就是个体由于与外界环境的互动经验而产生的行为表现或心理的持久变化。 3、学习理论就是教育心理学最核心的研究内容。 4、量化研究与质性研究就是当前社会科学研究中的两种基本范式。 5、几种具体的研究方法:问卷法,实验法,观察法,访谈法,微观发生法。 6、1903年,美国心理学家桑代克出版《教育心理学》 第四章 1、学习:就是指基于经验而导致行为或行为潜能发生相对一致变化的过程 2、学习的作用:(1)学习就是有机体与环境取得平衡的条件。(2)学习可以影响成熟。(3)学习能激发人脑潜能。 3、按学习主体分类:动物学习与人类学习 4、加涅的学习水平分类:(1)信号学习。(2)刺激-反应学习。(3)连锁学习。(4)言语联想学习。(5)辨别学习。(6)概念学习。(7)规则的学习。(8)解决问题的学习。

5、加涅的学习结果分类:(1)言语信息。(2)智力技能。(3)认知策略。 (4)态度。(5)动作技能。 6、学习性质与形式分类:(1)据学习方式分为接受的与发现的。(2)据学习材料与学习者原有知识的关系分为机械的与有意义的。 7、学习的意识水平分类:(1)内隐学习:个体不知不觉的获得经验,并引起相应行为变化的学习。(2)外显学习:指有意识的、需要付出心理努力并需按照规则做出反应的学习。 8、(1)外显记忆:长时记忆中能够在意识水平上加以回想与思考的知识。(2)内隐记忆:无法在意识水平上加以回想,但不知不觉地影响着行为与思维的学习。 9、学习的相关概念:(1)终身学习。(2)远程学习。(3)机器学习。(4)学习科学。 10、学习理论的发展:(1)两种倾向学习理论体系的建立与初步发展:行为主义学派与德国的格式塔学派。(2)行为、认知倾向学习理论的相互吸收。(3)认知学习理论的发展与人本主义学习理论的出现。(4)构建主义学习理论的兴起。 11、亚里士多德认为人的记忆遵循三条联想律:相似律、相对律与邻近律。 12、巴甫洛夫的经典性条件作用:(1)无条件刺激:本来就能引起某种固定反应的刺激。(2)无条件反应:指由无条件刺激原本就可以引起的固定反应。(3)中性刺激:给狗呈现刺激如铃声,狗不会产生唾液分泌的反应,铃声被称为中性刺激。(4)条件刺激:原来的中性刺激,它并不能引起无条件反应,但与无条件刺激多次在时间上

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

数理统计培训心得体会

数理统计培训心得体会 篇一：《概率论与数理统计》课程学习心得 《概率论与数理统计》课程学习感想 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科学，既是重要的基础理论，又是实践性很强的应用科学。 概率论与数理统计是现代数学的一个重要分支。近二十年来，随着计算机的发展以及各种统计软件的开发，概率统计方法在金融、保险、生物、医学、经济、运筹管理和工程技术等领域得到了广泛应用。主要包括：极限理论、随机过程论、数理统计学、概率论方法应用、应用统计学等。极限理论包括强极限理论及弱极限理论；随机过程论包括马氏过程论、鞅论、随机微积分、平稳过程等有关理论。概率论方法应用是一个涉及面十分广泛的领域，包括随机力学、统计物理学、保险学、随机网络、排队论、可靠性理论、随机信号处理等有关方面。它主要是通过数学建模，理论分析、推导，数值计算以及计算机模拟等理论分析、统计分析和模拟分析，以求研究和分析所涉及的理论问题和实际问题。 实用性赋予了概率论与数理统计强大的生命力。17世纪概率论与数理统计作为学科诞生后，其方法就被英国古典政治经济学创始人佩蒂引进到社会经济问题的研究中，他提倡让实际数据说话，其对资本主义经济的研究从流通领域进入生产领域，对商品的价值量做了正确的分析。

生活中会遇到这样的事例：有四张彩票供三个人抽取，其中只有一张彩票有奖。第一个人去抽，他的中奖概率是25％，结果没抽到。第二个人看了，心里有些踏实了，他中奖的概率是33％，结果他也没抽到。第三个人心里此时乐开了花，其他的人都失败了，觉得自己很幸运，中奖的机率高达50％，可结果他同样没中奖。由此看来，概率的大小只是在效果上有所不同，很大的概率给人的安慰感更为强烈。但在实质上却没有区别，每个人中奖的概率都是50％，即中奖与不中奖。 同样的道理，对于个人而言，在生活中要成功做好一件事的概率是没有大小之分的，只有成功或失败之分。但这概率的大小却很能影响人做事的心态。 如果说概率有大小之分，那应该不是针对个体而言，而是从一个群体出发，因为不同的人有不同的信念，有不同的做事方法。把地球给撬起来，这在大多数 人眼里是绝对不可能的。但在牛人亚里士多德眼里，他觉得成功做这事的概率那是100％——绝对没问题，只要你给他一个支点和足够长的杠杆。就像前面提到的抽奖一样，25％、33％和50％这些概率只不过是外界针对这个群体给出的。25％的机率同样能中奖，50％的机率也会不中奖，对于抽奖者个人而言，没有概率大小之分，只有中与不中之分。别人说做这件事相当容易，切莫掉以轻心，也许你做这件事

学习概率论与数理统计感想

学习概率论与数理统计感想 作者：丁彦军学号：1130610816 班级：1306108 摘要：概率论与数理统计是一门与生活息息相关的学科，在生活中很多方面都有很广泛的应用，通过本学期对于这门课程的学习，我更加深刻的体会到了这一点。同时，了解一些概率论的发展历史和现状有助于我们更好的理解和学习这门课程的研究对象和方法，也有助于我们掌握这门课程的精髓。 关键词：概率论起源发展应用 通过这学期对概率论与数理统计这门课的学习，我认识到，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。同时，通过概率课还了解了概率的意义，概率是用来度量随机事件发生可能性大小的一个量，而实际结果是事件发生或不发生这两种情况中的一种。 了解这些后，我对概率论和数理统计的起源和发展历史以及它目前的发展情况产生了浓厚的兴趣。英国数学家格雷舍(Galisber,1848一1928)曾经说过:“任何企图将一种科目和它的历史割裂开来,我确信,没有哪一种科目比数学的损失更大。”了解和研究概率论发展的历史,有助于我们加深对这门课程研究对象、研究方法的了解;有利于总结成功经验和失败教训,启迪我们更好地学习这门课程。 下面介绍概率论的起源和发展历史: 1.古典概率时期（十七世纪）

概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。概率论应社会实践的需要出现了。在这个时期,意大利著名物理学家伽俐略(GalileiGalileo,1564.2.18一1642.1.8)就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究,把误差作为一种随机现象,并估计了他们产生的概率。十七世纪末,瑞士数学家伯努利对惠更斯没有解决的问题给出了解答,并第一次用到了母函数概念。伯努利的成就主要是从理论上证明了大数定理。伯努利的另一重大贡献是研究了独立重复试验概型。由于这种概型研究的是只有两个可能结果的试验,并经多次重复的结果。因此具有很普遍的意义。至今,在许多概率论专著中仍把独立重复试验概型称为“伯努利概型”。 2.初等概率时期(十八世纪) 十八世纪,概率论发展很快,几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。法国杰出的数学家德莫哇佛尔(AbrahamDeMoiver,1667--1754)最早研究了随机变量服从正态分布的情形,发现了正态概率分布曲线。接着,他又发现,许多分布的极限正态分布,并证明了二项分布当 1的情形。这种证明某一分布的极限是正态分布的各种定理,以p=q= 2 后发展成概率论的一个重要组成部分—中心极限定理。英国数学家辛普松(TnomasSimpson,1710一1761)所研究的问题中有一个对产品剔