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2017亚洲国际数学奥林匹克公开赛中国区复赛试题(四年级)

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单一等奖（116人，按省市自治区排列）编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题第一天 1. 如图1，在圆内接ABC 中，A ∠为最大角，不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ，1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵，满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。允许对一个矩阵作如下操作：选取一行或一列，将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明：对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a ：（1）对每个正整数i ，有i i a M >；（2）当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ，求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案第一天 1. 如图2，联结EP 、BE 、BP 、CD 。分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠，X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ，这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行，既不改变题设也不改变结论。同样，不妨设12p y y y <<< 。于是，假设数表的每一行从左到右是递增的，每一列从上到下也是递增的。由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =，不妨设122a =。否则，将整个数表关于主对

奥数简介

奥数简介 “奥数”是奥林匹克数学竞赛的简称。1934年—1935年，前苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克竞赛的名称，1959年在布加勒斯特举办第一届国际数学奥林匹克竞赛。国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。有关专家认为，只有5%的智力超常儿童适合学奥林匹克数学，而能一路过关斩将冲到国际数学奥林匹克顶峰的人更是凤毛麟角。 1934年和1935年苏联开始在列宁格勒和莫斯科举办中学数学竞赛，并冠以数学奥林匹克的名称。1959年罗马尼亚数学物理学会邀请东欧国家中学生参加，在布加勒斯特举办了第一届国际数学奥林匹克竞赛，从此每年举办一次，至今已举办了43届。近年来中国代表在数学奥林匹克上的成绩就像中国健儿在奥运会的成绩一样，突飞猛进，从40届到第43届，中国代表队连续四年总分第一。奥数分类为：浓度问题、分数比大小问题、行程问题、分数巧算、逻辑推理、工程问题、牛顿问题、数字的巧算问题。奥数与一般数学有一定的区别:奥数相对比较深. 小学数学奥林匹克活动的蓬勃发展,极大地激发了广大少年儿童学习数学的兴趣,成为引导少年积极向上,主动探索,健康成长的一项有益活动. 国际奥林匹克数学竞赛奖项名称: 国际奥林匹克数学竞赛其他名称: International Mathematics Olympiad 创办时间: 1959年主办单位: 由参赛国轮流主办奖项介绍：国际奥林匹克数学竞赛是国际中学生数学大赛，在世界上影响非常之大。国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助。第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年7月举行（中间只在1980年断过一次），参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。目前参加这项赛事的代表队有80余支。美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办，经费由东道国提供，但旅费由参赛国自理。参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人，另派2名数学家为领队。试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。东道国不提供试题。试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字。主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。这个主席通常是该国的数学权威。主试委员会的职责有7条：1）、选定试题；2）、确定评分标准；3）、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题；4）、

国际数学奥林匹克IMO试题(官方版)2000_eng

41st IMO2000 Problem1.AB is tangent to the circles CAMN and NMBD.M lies between C and D on the line CD,and CD is parallel to AB.The chords NA and CM meet at P;the chords NB and MD meet at Q.The rays CA and DB meet at E.Prove that P E=QE. Problem2.A,B,C are positive reals with product1.Prove that(A?1+ 1 B )(B?1+1 C )(C?1+1 A )≤1. Problem3.k is a positive real.N is an integer greater than1.N points are placed on a line,not all coincident.A move is carried out as follows. Pick any two points A and B which are not coincident.Suppose that A lies to the right of B.Replace B by another point B to the right of A such that AB =kBA.For what values of k can we move the points arbitrarily far to the right by repeated moves? Problem4.100cards are numbered1to100(each card di?erent)and placed in3boxes(at least one card in each box).How many ways can this be done so that if two boxes are selected and a card is taken from each,then the knowledge of their sum alone is always su?cient to identify the third box? Problem5.Can we?nd N divisible by just2000di?erent primes,so that N divides2N+1?[N may be divisible by a prime power.] Problem6.A1A2A3is an acute-angled triangle.The foot of the altitude from A i is K i and the incircle touches the side opposite A i at L i.The line K1K2is re?ected in the line L1L2.Similarly,the line K2K3is re?ected in L2L3and K3K1is re?ected in L3L1.Show that the three new lines form a triangle with vertices on the incircle. 1

第41届国际数学奥林匹克解答

第41届国际数学奥林匹克解答问题 1.圆Γ1和圆Γ2 相交于点M和N.设L是圆Γ 1 和圆Γ2的两条公切线中距离 M较近的那条公切线.L与圆 Γ1相切于点A，与圆Γ2相切于点 B.设经过点M且与L平行的直线与圆Γ1还相交于点 C，与圆Γ2还相交于点 D.直线C A和D B相交于点E；直线 A N和C D相交于点P；直线 B N 和C D相交于点Q. 证明：E P=E Q. 解答:令K为M N和A B的交点.根据圆幂定理,,换言之K是A B的中点.因为P Q∥A B,所以M是P Q的中点.故只需证明E M⊥P Q.因为C D∥A B,所以点A是Γ1的弧C M的中点,点B是Γ2的弧D M的中点.于是三角形A C M与B D M都是等腰三角形.从而有 , . 这意味着E M⊥A B.再由P Q∥A B即证E M⊥P Q. 问题 2.设a,b,c是正实数，且满足a b c=1.证明： . 解答:令,,,其中x,y,z为正实数,则原不等式变为(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)≤x y z.记u=x-y+z,v=y-z+x,w=z-x+y.因为这三个数中的任意两个之和都是正数,所以它们中间最多只有一个是负数.如果恰有一个是负数,则u v w≤0

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总,尖子生请收好

高中数学竞赛考试大纲及必备辅导书汇总，尖子生请收好！首先，强调一点：不是所有学生都可以学数学竞赛，要想学习数学竞赛必须同时具备以下条件： ?高考数学可以轻松应对； ?对数学竞赛有兴趣，自发选择学习数学竞赛； ?具备自主学习能力； ?高考涉及的其他学科不存在太大问题，或个人的竞赛前景远优于高考前景。数学竞赛需要的时间和精力都是很大的，并且如果因为学习竞赛受挫而导致对数学产生负情绪是得不偿失的，因此，我从不提倡“全民竞赛”。当然，如果你恰好符合以上的四个条件，那么你一定要学习竞赛。为什么？因为学习数学竞赛的好处很多。与其他学科竞赛一样，学习数学竞赛除了能在升入高校方面获得保送或降分的优惠外，还能培养学生的自主学习能力，这对学生的整个大学学习乃至今后的学术研究或是社会工作是尤为重要的。

当然，对于大部分学生来说，高校的吸引力是最大的。而2016年新发布的高校自主招生政策中，其中的变化值得深思： ?取消“校荐”，考生需自己报名； ?“年级排名”不再是报名条件； ?门槛抬高，审核更为严格； ?报考专业一定要与特长匹配； ?试点高校自主招生考核统一安排在高考结束之后、高考成绩公布前进行。我们最需要关注的点有三个： ① 由于校荐被取消，年级排名也被废除，原本校内成绩突出的学生很难走自招，而自招的报名人数会上升，竞争更加激烈； ② 据了解，985高校自招的初审底线是竞赛拿到省二以上，而北清更是要求拿到省一，门槛的提高导致了28万申请自招的学生只有4万余人通过初审，8千余人获得资格，初审和复审的通过率均低于20%；

③ 现在的自招考试要求不超过两科，考试的科目和专业是相匹配的，而绝大多数专业的考试科目都有数学，因此数学竞赛的比重是很高的。总的来说，新的政策直接导致的是各高中年级排名较高的学生更难上清北（难以进入博雅领军，难以获得自招资格，裸考进清北的人更少），而间接导致的是更多的学生走上了竞赛这条道路。因此，若你有足够的实力，精力和时间，那么竞赛将是你们的不二之选。此外，数学竞赛学到一定深度后就会发现，数学竞赛不再是由知识结构和解题方法组成，而是对思维能力的培养和运用，而思维能力的价值是远超过数学本身的，这将会对学生以后对问题的思考与对事物的判断等产生不可估量的影响。当然，这是后话。说归说，高中数学竞赛指的究竟是什么？我想说的是，绝不仅仅是高联（全国高中数学联赛）这么简单。下面，我就带着大家理一理高中阶段可能会遇到的竞赛。

第50届国际数学奥林匹克竞赛试题(中文版)与参考答案

2009年第50届IMO 解答 2009年7月15日 1、是一个正整数，是n 12,,...,(2)k a a a k ≥{}1,2,...,n 中的不同整数，并且1(1i i n a a +?)?)对于所有都成立，证明：1,2,...,1i k =1(1k a a ?不能被n 整除。证明1：由于12(1n a a ?)，令1(,)n a p =，n q p = 也是整数，则n pq =，并且1p a ，21q a ?。因此，由于2(,)1q a =23(1n pq a a )=?，故31q a ?；同理可得41q a ?，。。。，因此对于任意都有2i ≥1i q a ?，特别的有1k q a ?，由于1p a ，故1(1k n pq a a )=?(*)。若结论不成立，则1(1k n pq a a =)?，与(*)相减可得1(k n a a ?)，矛盾。综上所述，结论成立。此题平均得分：4.804分

2、外接圆的圆心为O ，分别在线段上，ABC ?,P Q ,CA AB ,,K L M 分别是,,BP CQ PQ 的中点，圆过Γ,,K L M 并且与相切。证明：OP PQ OQ =。证明：由已知MLK KMQ AQP ∠=∠=∠，MKL PML APQ ∠=∠=∠，因此 APQ MKL ??～。所以 AP MK BQ AQ ML CP == ，故AP CP AQ BQ ?=?(*)。设圆O 的半径为R ，则由(*)有2 2 2 2 R OP R OQ ?=?，因此OP OQ =。不难发现OP 也是圆Γ与相切的充分条件。 OQ =PQ 此题平均得分：3.710分

2017年第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析

B B 第13届中国北方数学奥林匹克试题及解析（提高班） 1.已知数列{}n a 满足()3 1221211 ,,2,,k k k n n n a e a e e a a a n n Z k R -++-++===≥∈∈，求2017 1 i i a =∏ 解：对12211k k k n n n e a a a -++-=两边同时取对数得 ()()()()1 1 11 12l n l n 2l n 1l n 21l n 21l n n n n n n n k k a a k a a k a k a +----++=+?+=++-+ 设()()111ln 222n n n n n b a b k b kb n +-=+?=+-≥ ()()11222n n n n b b k b b n +-?-=-≥ 又21 1121ln 1ln 2,1ln 2n n n n b a e b a a e -=+=+==+=?= 记()2017 2017 201820191 1 21i s i i i S a e e -===-?==∑∏ 2.在ABC ?中，D 为BC 的中点，,E F 分别为,AB AC 上的点，且DE DF =，证明：AE AF BE CF EDF BAC +=+?∠=∠ 证明：如图，取,AB AC 的中点,M N ，延长DM 至点P ，使得MP MA = 联结,,EP MN DN 一方面，若AE AF BE CF EM FN +=+?= 则由,PME MAN DNF MP MA DN ∠=∠=∠== 所以：PME DNF ??≌ 所以：,PE DF DE NDF MPE PDE ==∠=∠=∠ 所以：EDF MND BAC ∠=∠=∠ 又因为：若EDF BAC MDE NDF ∠=∠?∠=∠ 由正弦定理得sin sin sin sin EM DE DF FN MDE DME DNF NDF ===∠∠∠∠ 所以：EM FN AE AF BE CF =?+=+

漫话数学竞赛史-

漫话数学竞赛史一. 口吃者的挑战这位口吃者名叫丰坦那（Nicolo Fontana）, 1500年出生于意大利北部的布里西亚（Brescia）. 不幸的他, 幼年时正值法军入侵, 小小的丰坦那也难逃此劫, 父亲被杀, 他自己颚部被刀砍伤, 从此说话结结巴巴, 被称为塔塔利亚（Tartaglia）, 即口吃的人. 在母亲的抚养下, 丰坦那自学成才, 他教过学、写过书, 但人们知道他的名字更多的是因为他在几次数学竞赛中所赢得的胜利. 1530年, 在他的家乡, 一位名叫科拉（Colla）的教师向他提出挑战, 解答形如x3+3x3=5之类的三次方程. 丰坦那获胜了, 一时间, 被传为佳话. 他的名字随着这次有记载的第一次数学竞赛, 被传扬开来, 并且被记入史册. 1535年2月22日, 神圣的米兰大教堂. 丰坦那在此公开迎战的是菲奥（Autonimo Fior）. 菲奥早已从恩师著名数学家费罗（Scipione del Ferro）那里学到关于三次方程的一些解题技巧. 而丰坦那通过自己的努力, 也终于在比赛前10天掌握了三次方程的解法, 使他得以从容迎战. 比赛一开始, 两人各给对方出30道题. 时间在一分一秒的流逝, 一个小时过去了, 两人都在继续埋头解题……当第二个小时还未结束时, 丰坦那已完成了全部解题工作, 他再次大获全胜！后来, 天才怪人卡丹（Girolamo Cardano）在做出决不泄密的承诺后, 丰坦那把三次方程的解法告诉了他. 不料, 卡丹在他1545年出版的著作《大法》（Ars Magna）第11章中公开了三次方程的求根公式（被称为卡丹公式）. 丰坦那闻讯非常气愤, 认为：“卡丹盗走了我准备放到自己著作中的珍珠. ”一怒之下, 他再赴米兰, 挑战卡丹. 卡丹却极力回避, 他派自己的学生费拉里（Lodovico Ferreri）迎战, 此人是四次方程解法的发现者. 但是, 丰坦那在7天内解出了对方给的大部分题目, 而费拉里用了5个月的时间只解对了1道题. 丰坦那再展雄风, 令世人惊叹不已. 没想到, 费拉里不但不认输, 反而诬陷丰坦那剽窃了费罗的研究成果, 气得这位口吃的人竟然说不出话来. 心乱如麻的丰坦那又得到一个可怕的消息：卡丹要杀死他！丰坦那不得不连夜逃离米兰. 1557年, 丰坦那离开了这个充满了成功和恐慌的

第二十四届奥林匹克运动会

第二十四届奥林匹克运动会 THE OL YMPIC GAMES OF 1988 业余体育时代的终结约翰逊事件--奥运会有史以来最大的丑闻第24届奥运会1988年9月17日在韩国的汉城举行.共有160个国家和地区的9581名运动员(其中女运动员2476人)参加了23个大项237个单项的比赛.首次参赛的国家和地区有文莱、马尔代夫、美属萨摩亚、圣文森特和格林纳达、阿鲁巴、瓦努阿图、关岛、库克群岛。参赛运动员最多的国家和地区是：美国612人、苏联524人和韩国467人。中国奥委会派出299名运动员参赛，居参赛国的第11位。 1981年在联邦德国巴登-巴登市举行的第84届国际奥委会会议上，投票通过汉城为第24届奥运会的承办城市。是继东京之后第二个主办奥运会的亚洲城市。本届奥运会新列入乒乓球比赛，恢复了已中断64年的网球比赛项目。并允许网球和足球职业运动员参赛，但足球职业运动员年龄限制在23岁以下，羽毛球和女子柔道被列为本届奥运会的表演项目。第24届奥运会的开幕式于9月17日10时30分在可容纳10万观众的蚕室奥林匹克体育场举行。韩国总统卢泰遇和国际奥委会主席J.A.萨马兰奇出席了大会。汉城奥运会组委会委员长朴世植致开幕词，国际奥委会主席萨马兰奇致欢迎词。本届奥林匹克圣火于8月23日在奥林匹亚引燃，8月25日由韩国专机从雅典运抵济洲岛，途经釜山、大丘、仁川等29个城镇的火炬接力，历时22天，行程4186公里。曾获第11届奥运会马拉松冠军的76岁的孙基祯手持火炬进入会场，由第10届亚运会3枚金牌获得者林春爱接过火炬绕场一周，由象征体育、科技和艺术的二男一女接过火炬点燃奥林匹克火焰。在本届奥运会上美国女子短跑运动员F.格里菲斯.乔伊纳勇夺100米和200米桂冠，在200米赛中接连刷新世界纪录。还获得4×100米接力金牌和4×400米接力银牌，成为本届奥运会获奖牌最多的田径运动员。在游泳比赛中，来自莱比锡的姑娘奥托连夺6枚金牌（50米、100米自由泳，100米仰泳、蝶泳和4×100米混合泳、自由泳接力），获金牌数为本届参赛运动员之冠。美国游泳名称M.比昂迪获得5枚金牌（50米、100米自由泳，4×100米混合泳、自由泳接力，4×200米自由泳接力）、1枚银牌（100米蝶泳）和1枚铜牌（200米自由泳）。其中50米自由泳和3项接力均打破世界纪录。苏联运动员V.阿尔捷莫夫在男子体操比赛中独得个人全能、双杠、单杠3枚金牌和团体金牌。罗马尼亚女子体操运动员D.希莉瓦斯获高低杠、自由体操和平衡木3枚金牌和个人全能银牌、跳马铜牌，成为本届奥运会女子体操明星。加拿大短跑名将B.约翰逊在100米赛中以9"79的成绩震惊田坛，但被查出服用兴奋剂，终被取消纪录，追回金牌，成为本届奥运会最为轰动的丑闻。在举重比赛中也有运动员服用兴奋剂。 "约翰逊事件"使奥林匹克运动和世界体育界把兴奋剂问题提高到严重损害体育道德和违反奥林匹克精神的高度来对待。中国运动员在本届奥运会上获得5枚金牌、11枚银牌和12枚铜牌。总分数居第8位。女子跳水运动员高敏和许艳梅，分别获跳板跳水和跳台跳水冠军。楼云在男子体操比赛中夺得跳马金牌和自由体操铜牌。乒乓球运动员陈静夺得女子单打冠军。第2、3名由李惠芬、焦志敏获得。陈龙灿与韦晴光获男子双打冠军。本届奥运会共破64项奥运会纪录，其中有22项世界纪录。田径破奥运会纪录30项，其中世界纪录5项；游泳破奥运会纪录23项，其中世界纪录11项；举重总成绩破奥运会纪录3项，其中世界纪录3项；射击和射箭破奥运会纪录与世界纪录各2项和1项。

2014年第55届国际数学奥林匹克(IMO)试题

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题试题第一天 2014年7月8日，星期二第1题设01a a <<×××为一个无穷正整数列，证明：存在唯一的整数使得：n ≥1使得： n a ≤01n a a a n ++×××+≤1n a +．第2题设n ≥2为一个正整数，考虑由2n 个单位正方格构成的n n ′的正方形棋盘，一种放置n 个棋子“车”的方案被称为和平的，如果每一行每一列上正好有一个“车”．求最大的正整数k 使得对于任何一种和平放置n 个棋子“车”的方案，都存在一个k k ′的棋盘使得它的2k 个单位正方格中都没有“车”．第3题在凸四边形ABCD 中90ABC CDA D=D=°，点H 是A 向BD 引的垂线的垂足，点S 和点T 分别在边AB 和AD 上，使得H 在△SCT 内部，且90CHS CSB D-D=°，90THC DTC D-D=°．证明：直线BD 和△TSH 外接圆相切．

岳志鹏（河北）整理 2014年第55届国际数学奥林匹克届国际数学奥林匹克(IMO)(IMO)(IMO)试题试题第二天 2014年7月9日，星期三第4题锐角△ABC 中，点P 和点Q 是在边BC 上满足 PAB BCA D=D和CAQ ABC D=D的两点。点M 和点N 分别在直线,AP AQ 上满足：P 是AM 中点，Q 是AN 中点．证明：,BM CN 的交点在△ABC 的外接圆上．第5题对于任意正整数n ，开普敦银行提供面值为1n 的硬币，对于给定有限枚硬币他们面值的和不超过1992 +．证明：可以把这些硬币分成100组使得每组面值和至多为1．（空集也可以视为一组硬币）第6题一个平面上的直线集被称为一般的，如果不存在两两平行或者三线共点．一组一般的直线集把平面切割成若干区域．若一个区域的面积是有限的则称为有限区间．证明：对所有充分大的正整数n ，任意的有n 条直线构成的一般的直线集可以把至少条直线染为蓝色使得没有一个有限区间被蓝线包围．说明：如果把题中的可以获得更多分值．

(完整版)(完整版)2018年(第59届)国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题及答案图片版

岁马尼亚克卢日蜻沐卡第一天 ?1. itΓ&子.（Jl色石子所在位直与戻它石于所在位直之问雎禹可以是任倉值?）4此UAitfTT去直至某金人无法再霖放石子? 试确岌遥大的位再无论乙知何报就這色若予.Y?*Ef?Ui?>?4X?K个红已若子? ? 5. Ha i.a2.…走一个>LfPil正整软斥列.已知4在於敦N>l?使碍对每个^Kn > .V t Oi i o2 . I Q*1“ I OH ――+ — + ?? ? + ?■■■? + — 。2 ?3 O VVα∣ 杯聂怙It?证明：存在正蟄软M? Btflhi fn=JH1对所? & 6?在凸WriJfMBCDt. Ali CD IiC DA?点X息旧边刑力〃CD内邹.且爲足 ZXAB = ￡XCD? GiBC = Z.YD4 ￡BXA? ZDXC 180°.

2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题一试(三)

2017年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营试题（三）一试一、填空题（本大题共8道小题，每小题8分） 1.各项均为正数的数列满足121n n a a +≥+，且对*N n ∈恒成立，则的取值范围为 . 2.已知函数23()log cos()2 x f x x x π-=+-.若()10,()10f f αβ==-，则 . 3.已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2.直线与双曲线交于点，与的内心分别为, 且. 则的值为 . 4.已知是定义在上的奇函数，当时，13 ()|sin ||sin |2sin 22 f x x x ααα=+++-， (,)αππ∈-.若对任意实数，都有，则的取值范围是 . 5.从集合{1,2,,105}中任取一个元素a ，使得260x ax a ++=只有整数解的概率为 . 6.三棱锥中，三个侧面与底面所成角相等，三个侧面的面积分别为3，4，5，且底面积为6，则三棱锥的外接球的表面积是 . 7.已知点(4,2)P ，过的直线与轴、轴正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则周长的最小值为 . 8.高兴中学李老师为同学们购买纪念品，商店中有书签、明信片、笔记本、签字笔四种类型纪念品各10个（每种类型纪念品完全相同），李老师计划购买25个纪念品，且每种纪念品至少购买一个，则共有__________种不同的购买方案.（用数字作答）二、解答题（本大题共3道小题，第9题16分，第10题20分，第11题20分） 9.若二次函数（）有零点，求的最大值. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点(1,0)的两条互相垂直的动直线的一{}n a 12+12(,0),(,0)F c F c -2()y x c =-,A B 12AF F ?12BF F ?12,I I 12I I =a )(x f R 0≤x x )2()(+≥x f x f αP ABC -P ABC -P l x y A B O AOB ?2()f x ax bx c =++,,0a b c >min{,,}b c c a a b a b c +++2 2:12 x y Γ+=21,F F

2018亚洲国际数学奥林匹克公开赛小一及小二决

2018亞洲國際數學奧林匹克公開賽亞洲國際數學奧林匹克公開賽小一及小二決小一及小二決小一及小二決賽賽比賽詳情主辦機構主辦機構：：亞洲國際數學奧林匹克聯合會、香港數學奧林匹克協會比賽對象比賽對象：：小學一年級或小學二年級之學生比賽比賽日期日期及時間時間：： 2018年5月6日（星期日）年級小一級小二級時間 09:45– 11:00 14:25– 15:40 實際安排可能會因應參賽人數而稍作變更實際安排可能會因應參賽人數而稍作變更，，請留意比賽網站公布請留意比賽網站公布，，一切以准考證為準時限為75分鐘，不設時間獎勵。如非特殊情況並事先取得本會許可，參賽者不能提早交卷或離場。全卷共25道填充題，分為三部分，總分120分，包括：甲部： 3分題（10題，共30分）乙部： 5分題（10題，共50分）丙部： 8分題（ 5題，共40分）每道題只需填寫答案題只需填寫答案，，不需填寫步驟不需填寫步驟。。請自備文具（如黑色黑色、、藍色原子筆或鉛筆藍色原子筆或鉛筆等等），），大會不設大會不設大會不設文文具借用具借用服務服務服務。。比賽比賽地點地點地點：：因應實際參賽人數，比賽地點或會多於一個，地點將以准考證為準。比賽費用費用：：是次比賽將會按每位參賽者收取港幣400元正作為行政費用正接受「綜援計劃」的家庭可獲減免200元正（須遞交有關證明文件之影印本＊）比賽報名及截止日期截止日期：：填寫後頁報名表，並連同比賽費用循以下任何一種途徑遞交：郵遞報名郵遞報名：：於2018年4月23日（星期星期一一）或以前將報名表連同劃線支票** 郵寄（日期以郵戳為準）至郵政信箱編號10952郵政總局。信封請註明「AIMO 決賽報名」。親臨報名親臨報名：：於2018年4月23日（星期星期一一）或以前將報名表連同劃線支票**／現金遞交至香港九龍彌敦道545號安利大廈4樓全層香港數學奧林匹克協會。 ※ 若資料不齊者，本會有權取消學生的參賽資格。 ** 支票抬頭為「HKMO 」，現金只適用於親身遞交。（切勿郵寄現金，如有寄失恕不負責）參賽資格參賽資格：：在2018 AIMO 香港賽區初賽暨《港澳盃》得獎的學生（名額有限，欲報從速）

2014国际数学奥林匹克(IMO)试题

2014IMO （Cape town ，SouthAfrica ） Language: Chinese (Simplified) Day: 1 2014年7月8日, 星期二第1 题. 设a 0 < a 1 < a 2 <… 是一个无穷正整数列. 证明: 存在惟一的整数n ≥ 1使得 a n <01 n a a a n +++??? ≤ a n+1 第2 题. 设n ≥ 2 是一个整数. 考虑由2n 个单位正方形组成的一个n × n 棋盘. 如果每一行和每一列上都恰好有一个“车”，则这种放置n 个棋子“车”的方案被称为是和平的.求最大的正整数k , 使得对于任何一种和平放置n 个“车”的方案, 都存在一个k × k 的正方形, 它的k 2 个单位正方形里都没有“车”. 第3 题. 在凸四边形ABCD 中∠ABC = ∠CDA = 2 π. 点H 是A 向BD 引的垂线的垂足. 点S 和点T 分别在边AB 和边AD 上, 使得H 在三角形SCT 内部, 且∠CHS ?∠CSB =2 π ，∠THC ?∠DTC = 2π .证明: 直线BD 和三角形TSH 的外接圆相切. Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分每题7 分

2014IMO（Cape town，SouthAfrica） Language: Chinese (Simplified) Day: 2 2014 年7 月9 日, 星期三第4 题. 点P 和Q 在锐角三角形ABC 的边BC 上, 满足∠PAB = ∠BCA 且∠CAQ =∠ABC. 点M 和N 分别在直线AP 和AQ 上, 使得P 是AM 的中点,且Q 是AN 的中点. 证明: 直线BM 和CN 的交点在三角形ABC 的外接圆上. 第5 题. 对每一个正整数n, 开普敦银行都发行面值为1 n 的硬币. 给定总额不超过99+1 2 的有限多个这样的硬币(面值不必两两不同) , 证明可以把它们分为至多100组, 使得每一组中硬币的面值之和最多是1. 第6 题. 平面上的一族直线被称为是处于一般位置的, 如果其中没有两条直线平行, 没有三条直线共点. 一族处于一般位置的直线把平面分割成若干区域, 我们把其中面积有限的区域称为这族直线的有限区域. 证明: 对于充分大的n 和任意处于一般位置的n 条直线, 我们都可以条直线染成蓝色, 使得每一个有限区域的边界都不全是蓝色的. 注 : 如果你的答卷上证明的是的情形, 那么将会根据常数c 的值给分. Language: Chinese(Simplified) 时间: 4 小时30 分每题7 分

第38届国际物理奥林匹克理竞赛实验试题及解答(英文)

Experimental Problem Determination of energy band gap of semiconductor thin films I. Introduction Semiconductors can be roughly characterized as materials whose electronic properties fall somewhere between those of conductors and insulators. To understand semiconductor electronic properties, one can start with the photoelectric effect as a well-known phenomenon. The photoelectric effect is a quantum electronic phenomenon, in which photoelectrons are emitted from the matter through the absorption of sufficient energy from electromagnetic radiation (i.e. photons). The minimum energy which is required for the emission of an electron from a metal by light irradiation (photoelectron ) is defined as "work function". Thus, only photons with a frequency higher than a characteristic threshold, i.e. with an energy h (h is the Planck s constant) more than the material s work function, are able to knock out the photoelectrons. Figure 1. An illustration of photoelectron emission from a metal plate : The incoming photon should have an energy which is more than the work function of the material. In fact, the concept of work function in the photoelectric process is similar to the concept of the energy band gap of a semiconducting material. In solid state physics, the band gap g E is the energy difference between the top of the valence band and the bottom of the conduction band of insulators and semiconductors. The valence band is completely filled with electrons, while the conduction band is empty however electrons can go from the valence band to the conduction band if they acquire sufficient energy (at least equal to the band gap energy).The semiconductor's conductivity strongly depends on its energy band gap. Conduction band band E Energy Band Gap Valence band