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高考数学压轴题精选(一)(老师用)

高考数学压轴题精选(一)

1.（本小题满分12分）设函数x ax

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数。求正实数a 的取值范围；

设1,0>>a b ,求证:

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 解：（１）01

)(2

≥-=

ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立, x

a 1

≥

∴对),1[+∞∈x 恒成立 ?又

≤x

1≥∴a 为所求。

（2)取b b a x +=

,1,0,1>+∴

>>b

a b a ，

一方面,由（１）知x ax

x f ln 1)(+-=

在),1[+∞上是增函数, 0)1()(=>+∴f b

a f 0ln 1>+++?+-

∴

b b a b

b a a b b

即b

a b b a +>+1

另一方面，设函数)1(ln )(>-=x x x x G

)1(0111)('>>-=-

=x x

x x x G ∴)(x G 在),1(+∞上是增函数且在0x x =处连续,又01)1(>=G ∴当1>x 时,0)1()(>>G x G

∴x x ln >即

a b b a +>+ln

?综上所述，

.ln 1b

b a b b a b a +<+<+ 2.已知椭圆Ｃ的一个顶点为(0,1)A -,焦点在ｘ轴上,右焦点到直线10x y -+=

（１）求椭圆C 的方程；

（2)过点F （1，０）作直线l 与椭圆Ｃ交于不同的两点A 、B ，设,(2,0)FA FB T λ=,若

||],1,2[+--∈求λ的取值范围。

解：(1)

=1c =…………………1分

由题意1,b a =∴=

?所以椭圆方程为2

212

x y +=………………………３分（2）容易验证直线l 的斜率不为0。

故可设直线ｌ的方程为1x ky =+，

212

x y +=代入中,得.012)2(22=-++ky y k

设1122(,),(,),A x y B x y

则2

21+-=+k k y y .21

221+-=k y y ……………………………5分 ∵，FB FA λ=∴有.02

1<=λλ，且y y

222

1222

12()414222

y y k k y y k k λλ+∴=-?++=-++由

021

2121

]1,2[≤++≤-

?-≤+

≤-?--∈λ

λλ

λλ.72

07202

4212222≤≤?≤?≤+-≤-?k k k k …………７分

∵).,4(),,2(),,2(21212211y y x x y x y x +-+=+∴-=-=

又.2

)

1(42)(4,222221212

21++-=-+=-+∴+-=+k k y y k x x k k y y 故2

212

)()4(||y y x x ++-+=+

22222222222)

2(8

)2(28)2(16)2(4)2()1(16+++-+=++++=k k k k k k k 2

22)2(8

22816+++-

=k k ……………………………………………………8分

令720.2

2≤≤+=

k k t ∴21211672≤+≤k ,即].21,167[∈t ∴.2

)47(816288)(||222--=+-==+t t t t f

而]21,167[∈t ,∴169()[4,]32

f t ∈

∴].8

13,

2[||∈+TB TA 0

３.设函数322

()f x x ax a x m =+-+(0)a >

(１)若1a =时函数()f x 有三个互不相同的零点,求m 的范围；（2)若函数()f x 在[]1,1-内没有极值点，求a 的范围;

（3)若对任意的[]3,6a ∈,不等式()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,求实数m 的取值范围. 解：(1）当1a =时3

()f x x x x m =+-+，

因为()f x 有三个互不相同的零点，所以3

()0f x x x x m =+-+=，即32m x x x =--+有三个互不相同的实数根。

令3

()g x x x x =--+，则'

()321(31)(1)g x x x x x =--+=--+。因为()g x 在(,1)-∞-和13(,)+∞均为减函数，在()

1,-为增函数, m 的取值范围()5271,-

(2)由题可知,方程'

()320f x x ax a =+-=在[]1,1-上没有实数根，

因为'2'2

(1)320

(1)3200f a a f a a a ?=+-≤?-=--≤??>?

,所以3a ≥

（3)∵'22

3()323()()a f x x ax a x x a =+-=-+,且0a >,

∴函数()f x 的递减区间为3(,)a a -,递增区间为(,)a -∞-和3(,)a +∞;

当[]3,6a ∈时，[]31,2,3,a a ∈-≤-又[]2,2x ∈-，

∴{}max ()max (2),(2)f x f f =-而2

(2)(2)1640f f a --=-<

∴2

max ()(2)842f x f a a m =-=-+++,

又∵()1f x ≤在[]2,2x ∈-上恒成立,

∴max ()1f x ≤，即28421a a m -+++≤,即2942m a a ≤--在[]3,6a ∈恒成立。

∵2942a a --的最小值为87-

4.(本题满分１４分)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b

+=>>的离心率为2,直线:l y x =+以原点为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切。

(Ⅰ）求椭圆1C 的方程；

（Ⅱ)设椭圆1C 的左焦点为Ｆ1,右焦点为F 2,直线1l 过点F 1，且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直1l 于

点P ,线段ＰＦ2的垂直平分线交2l 于点Ｍ，求点M 的轨迹Ｃ2的方程;

(Ⅲ）若ＡC 、BD 为椭圆C 1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F 2，求四边形AB ＣD 的面积的最小

值．

解：（Ⅰ)2222

222221,,222

c a b e e a b a a -=∴===∴=

22202:b y x y x l =+=+-与圆直线相切22,2,4,8,b b b a =∴==∴=

∴椭圆Ｃ1的方程是22

1.84

x y +=…………3分 (Ⅱ）∵ＭP ＝MF 2,∴动点M 到定直线1:2l x =-的距离等于它到定点F 2（2，０)的距离，∴动点Ｍ

的轨迹C 是以1l 为准线,F 2为焦点的抛物线

∴点M 的轨迹C 2的方程为2

8y x =…………6分

(Ⅲ)当直线ＡC 的斜率存在且不为零时,设直线AC 的斜率为k,

),(),,(2211y x C y x A ,则直线AC 的方程为(2).y k x =-

联立22

22221(2)(12)8880.84

x y y k x k x k x k +==-+-+-=及得所以22121222

888

,.1212k k x x x x k k

-+==++

||AC ===….9分

由于直线BD 的斜率为k

k 1

,1--用代换上式中的ｋ可得||BD =

∵BD AC ⊥，

∴四边形ABCD 的面积为22

22116(1)||||2(2)(12)k S AC BD k k +=?=++……..12分

由2222

(12)(2)3(1)(12)(2)[

][]22

k k k k k ++++++≤= 所以2264

,122,19

S k k k ≥+=+=±当时即时取等号.

…………13分

易知,当直线AC 的斜率不存在或斜率为零时,四边形ABCD 的面积8S =

5.（本小题满分１4分)已知椭圆错误!+错误!=1（ａ>b>０)的左．右焦点分别为F 1．F 2，离心率ｅ=错误!，

右准线方程为x=2． (1)求椭圆的标准方程；

（2)过点F 1的直线ｌ与该椭圆相交于M ．N 两点，且|错误!+错误!|=错误!,求直线l 的方程．解析:(1）由条件有错误!解得a ＝错误!，c ＝1．

∴b ＝错误!＝1.

所以，所求椭圆的方程为＼f （x 2,2)＋y 2＝１. （2）由(1）知F １（－１,0)．F ２（１,0）.

若直线ｌ的斜率不存在，则直线l 的方程为ｘ＝－1, 将x=－１代入椭圆方程得ｙ=±错误!. 不妨设M 错误!.Ｎ错误!，

∴错误!+错误!=错误!+错误!＝（－4,0）． ∴｜错误!＋错误!｜=4，与题设矛盾． ∴直线l 的斜率存在．

设直线ｌ的斜率为k ，则直线l 的方程为y=k(ｘ+1）．设M(x 1，ｙ１)．Ｎ（x 2，y 2)，联立错误! 消y 得(１+２k 2)x 2+4ｋ2x+2k 2－２＝0．

由根与系数的关系知ｘ1+x 2＝－4ｋ2

1＋2k 2

，从而y 1+y 2＝k （ｘ1+x ２＋２)＝错误!．

又∵错误!＝(x 1-1，y 1），错误!＝(ｘ2-1，y ２), ∴错误!+错误!=（x 1＋x 2-２,ｙ1+y ２)．

∴|错误!+错误!|2＝(x 1+ｘ2-2）２

+（y 1+y 2）2 ＝错误!2+错误!2＝错误!.

∴错误!=错误!２

．

化简得４０ｋ4－2３k 2-17=０，解得k 2＝1或k 2=-错误!(舍).∴k ＝±1．

∴所求直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ+１或y=－x-1.

６.(本小题满分1２分)已知a R ∈，函数()ln 1a f x x x

=+-,()()ln 1x g x x e x =-+(其中e 为自然对数的

底数)．

(１）判断函数()f x 在区间(]0,e 上的单调性；

(２)是否存在实数(]00,x e ∈,使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直? 若存在,求出0x 的值；若不存在,请说明理由．

解(1）：∵()ln 1a f x x x

+-，∴221()a x a f x x x x -'=-+=．

令()0f x '=，得x a =.

①若a ≤0,则()0f x '>，()f x 在区间(]

0,e 上单调递增.

②若0a e <<，当()0,x a ∈时，()0f x '<,函数()f x 在区间()0,a 上单调递减，

当(]

,x a e ∈时，()0f x '>,函数()f x 在区间(]

,a e 上单调递增,

③若a e ≥，则()0f x '≤，函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减． ……6分

(2）解：

∵()()ln 1x

g x x e x =-+，(]

0,x e ∈，

()()()()ln 1ln 11x

g x x e x e '''=-+-+()1ln 11ln 11x x x e x e x e x x ??=+-+=+-+ ???

由（１)可知,当1a =时，1

()ln 1f x x x

=+-.

此时()f x 在区间(]0,e 上的最小值为ln10=,即1

ln 10x x

+-≥.

当(]00,x e ∈,00x

e >,00

1ln 10x x +-≥，∴00001()ln 1110x g x x e x ??'=+-+≥> ???

．曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直等价于方程0()0g x '=有实数解. 而()00g x '>，即方程0()0g x '=无实数解. 故不存在(]

00,x e ∈,使曲线()y g x =在

0x x =处的切线与y 轴垂直……12分

７.(本小题满分12

分）已知线段CD =，CD 的中点为O ，动点A 满足2AC AD a +=（a 为正常

数).

(１）建立适当的直角坐标系,求动点A 所在的曲线方程；

（２)若2a =,动点B 满足4BC BD +=，且OA OB ⊥,试求AOB ?面积的最大值和最小值. 解（１)以O 为圆心，CD 所在直线为轴建立平面直角坐标系.

若2AC AD a +=<，

即0a <<动点A

所在的曲线不存在；若2AC AD a +==

即a =，动点A

所在的曲线方程为

0(y x =;

若2AC AD a +=>

a >，动点A 所在的曲线方程为22

2213

x y a a +=-.……４分 (2）当2a =时，其曲线方程为椭圆22

14x y +=.由条件知,A B 两点均在椭圆2214

x y +=上,且

OA OB ⊥

设11(,)A x y ,22(,)B x y ,OA 的斜率为k (0)k ≠,则OA 的方程为y kx =,OB 的方程为1

y x k

=-解方

程组22

y kx x y =???+=?? 得212

414x k =+，22

12414k y k =+

同理可求得22

2244k x k =+,222

y k =+ AOB ?

面积2S =

＝8分令21(1)k t t +=>则

S =

令22

991125()49()(1)24g t t t t t =-++=--+>所以254()4g t <≤

,即4

S ≤< 当0k =时，可求得1S =,故4

S ≤≤,

故S 的最小值为4

,最大值为1. ……12分

８．(本小题满分12分）设)0(1),(),,(22

222211>>=+b a b

x a y y x B y x A 是椭圆上的两点，已知向量

),(),,(2211a

b x n a y b x m ==,若0=?n m 且椭圆的离心率e=错误!，短轴长为2，O 为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

(Ⅱ）试问：△AO Ｂ的面积是否为定值？如果是，请给予证明;如果不是,请说明理由

解：2232 2.1,2,c 32c a b b b e a a a -====

=?==椭圆的方程为14

=+x y 4分 (2） ①当直线A Ｂ斜率不存在时，即1212,x x y y ==-，由0=?n m

22211

11044

y x y x -=?=…………５分

又11(,)A x y 在椭圆上,所以2,2

214411212

1==?=+y x x x 1121111

2122

s x y y x y =-==

所以三角形的面积为定值.……6分

②当直线ＡB 斜率存在时:设AB 的方程为ｙ＝kx+b

42042)4(1

2212

222

2+-=+=-+++??????=++=k kb x x b kbx x k x y b

kx y 得到 442221+-=k b x x ,?=(２kb)2-4(k 2+４）(b 2

-4)>0……………8分而0=?,

04))((0421212121代入整理得=+++?=+b kx b kx x x y y x x 22

24b k -=……………1０分

S=＼f （1,2)错误!｜AB|=错误!|b|错误!＝错误!=错误!＝１综上三角形的面积为定值1 (2)

9.已知函数()f x 的导数2'()33，=-f x x ax (0)=f b .a ,b 为实数，12a <<． (1) 若()f x 在区间[11]-，上的最小值、最大值分别为2-、1,求a 、ｂ的值; (2) 在 (１) 的条件下，求曲线在点P （２,1）处的切线方程;

[数学]数学高考压轴题大全

1、（本小题满分14分）已知函数．（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（2）当时，试比较与的大小；（3）求证：（）． 2、设函数，其中为常数．（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；（Ⅱ）若函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；（Ⅲ）当且时，求证：． 3、在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点. （Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若?，（i）求证：直线过定点；

（ii ）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由. 二、计算题（每空？分，共？分） 4 、设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数．若函数满足下列条件：①；② 对一切实数，不等式恒成立．（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：． 5 、已知函数：（1 ）讨论函数的单调性；（2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时，函数在区间上总存在极值？ (3)求证：．

6、已知函数=，. (Ⅰ)求函数在区间上的值域；（Ⅱ）是否存在实数，对任意给定的，在区间上都存在两个不同的，使得成立.若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）给出如下定义：对于函数图象上任意不同的两点，如果对于函数图象上的点（其中总能使得成立，则称函数具备性质“”，试判断函数是不是具备性质“”，并说明理由. 7、已知函数（Ⅰ）若函数是定义域上的单调函数，求实数的最小值；（Ⅱ）方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同两点，线段的中点的横坐标为，有成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 8、已知函数： ⑴讨论函数的单调性；

高考数学中的放缩技巧

高考数学中的放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i