线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析

2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A．8.65 B．8.75 C．8.85 D．8.95

分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。

一、线性插值法两种图形及适用情形

F

F

F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评

分计算，如投标报价得分的计算

图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情

形，如生产效率等

二、公式推导

对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，

通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1)

或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1)

图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式：

F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1)

或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1)

三：例题解析

例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少

分析，该题属于图一的适用情形，套用公式

计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40

例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分？

分析：此题属于图二的适用情形，套用公式

F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝6.5

线性插值法计算公式解析 2

线性插值法计算公式解析 ２０11年招标师考试实务真题第16题:某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定,产能指标评标总分值为1０分,产能在1０0吨/日以上的为10分,80吨/日的为5分,60吨/日以下的为0分,中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为9５吨/日,应得( )分。 A、8、65 B.8.75 C、8.８5 D、8、95 分析:该题的考点属线性插值法又称为直线内插法,就是评标办法的一种,很多学员无法理解公式含义,只能靠死记硬背,造成的结果就是很快会遗忘,无法应对考试与工作中遇到的问题,对此本人从理论上进行推导,希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2 图一:适用于某项指标越低得分越高的项目评

二、公式推导 ??对于这个插值法,如何计算与运用呢,我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图,只有图出来了,根据三角函数定义,ｔana=角的对边比上邻边,从图上可以瞧出,∠A就是始终保持不变的,因此,根据三角函数ｔanａ,我们可以得出这样的公式 图一:tanａ=(F1-F2)/(Ｄ2－D1)=(F-Ｆ2)／(Ｄ2-D)＝(Ｆ 1-F)/(D-D1),通过这个公式,我们可以进行多种推算,得出最终图二:适用于某项投标因素指标越高,得分越高的情 形,如生产效率等

公式如下 F=F2＋(F1-F2)*(Ｄ２-Ｄ)/(Ｄ2-Ｄ１) 或者F= F1-(F1-F2)*(Ｄ-D1)/(Ｄ2－D1) 图二:tana=(Ｆ1－Ｆ２)/(D2-D1)=(Ｆ-F2)/ (D-D1)＝(F1-F)/(D2-Ｄ) 通过这个公式我们不难得出公式: F= F2＋(F１-F2)*(D-D１)／(D2-D1) 或者F=Ｆ1-(F1-F2)*(Ｄ2-Ｄ)/(D２-D1) 三:例题解析 例题一:某招标文件规定有效投标报价最高的得３0分,有效投标报价最低的得60分,投标人的报价得分用线性插值法计算,在评审中,评委发现有效的最高报价为３０0万元,有效最低的报价为240万元,某A企业的有效投标报价为28０万元,问她的价格得分为多少 分析,该题属于图一的适用情形,套用公式 计算步骤:F=60+(3０－60)／(300-240)＊(280-24０)=40 例题二:某招标文件规定,水泵工作效率85％的3分,９5%的８分,某投标人的水泵工作效率为9２％,问工作效率指标得多少分？ 分析:此题属于图二的适用情形,套用公式 F=3+(92%-85%)＊(8-3)/(95%-85%)=３+7/2=6、5

内插法计算公式

内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下：

线性插值法计算公式解析

线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A．8.65 B．8.75 C．8.85 D．8.95 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，

通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D)通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分？ 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝6.5 （此文档部分内容来源于网络，如有侵权请告知删除，文档可自行编辑修改内容， 供参考，感谢您的配合和支持）

Excel线性内插值计算实例

Excel线性内插值计算实例 excel插值，通常通过函数公式完成。如果手工计算插值，N多烦琐。 excel插值函数有trend和forecast函数。通过这两个excel插值函数来写相关的插值公式。 下面是两个相关excel 插值资料和案例，供学习者使用。 第一：线性内插值计算实例 excel附件中包括四个工作表：一维插值、二维插值(1)、二维插值(2)、三维插值。 第二：Excel画平滑曲线散点图 excel附件详细说明了Excel画平滑曲线散点图的算法，并提供了一个自定义函数BezierInt() ,让用户可以随时查找曲线上任意点的坐标(函数值)。 附件的.mht文件，是一个简单介绍贝塞尔三次插值的文档，可以用IE打开，更多贝塞尔插值的算法，可以用搜索引擎插值。 附件的.xls文件，打开以后，会看见三个工作表，分别演示了：找一个数值在曲线上的一组对应点，找一个数值在曲线上的所有对应点，和贝塞尔曲线是怎样在通过每两个节点的（每一对输入的X-Y数值代表平面坐标系的一个点，称为节点,Excel的平滑曲线通过每一个节点）。 如果需要在其他Excel文档使用BezireInt() 函数，需要按Alt+F11,双击模块一复制所有代码，然后打开其他Excel文档按Alt+F11,插入－模块，然后粘贴代码。 自定义函数的使用方法是:在空白单元格输入=BezierInt(X坐标的范围,Y坐标的范围,待查的数值)，函数就会返回一个包含六个元素的数组，分别是三个点的X,Y坐标。 如:根据a1:a4的数值作为X值,b2:b4的数值作为Y值，画了一个平滑线散点图。想查找c1的数值是不是在这条曲线上。可以输入： =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,1) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的X坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,2) 得到曲线上第一个X值=C1数值的点的Y坐标=Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,3) 得到第2个X值=C1数值的点的X坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,4) 得到第2个X值=C1数值的点的Y坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,5) 得到第3个X值=C1数值的点的X坐标 =Index( BezierInt(a1:a4,b1:b4,c1) ,1,6) 得到第3个X值=C1数值的点的Y坐标 如果有多段曲线上的点包含C1的数值，那么可以增加输入参数，指定从哪个节点开始查找。

线性插值法计算公式解析

( 线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（ ）分。 A ． B ．8.75 C ． D ． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F 、 F F 2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目评 分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的情 形，如生产效率等 二、公式推导 … 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式 图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）

/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F）/(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) < 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分 分析：此题属于图二的适用情形，套用公式 F＝3+（92%-85%）*（8-3）/（95%-85%）＝3+7/2＝

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线性插值法计算公式解析 2011年招标师考试实务真题第16题：某机电产品国际招标项目采用综合评价法评标。评标办法规定，产能指标评标总分值为10分，产能在100吨/日以上的为10分，80吨/日的为5分，60吨/日以下的为0分，中间产能按插值法计算分值。某投标人产能为95吨/日，应得（）分。A． B．8.75 C． D． 分析：该题的考点属线性插值法又称为直线内插法，是评标办法的一种，很多学员无法理解公式含义，只能靠死记硬背，造成的结果是很快会遗忘，无法应对考试和工作中遇到的问题，对此本人从理论上进行推导，希望对学员有所帮助。 一、线性插值法两种图形及适用情形 F F F2

图一：适用于某项指标越低得分越高的项目 评分计算，如投标报价得分的计算 图二：适用于某项投标因素指标越高，得分越高的 情形，如生产效率等 二、公式推导 对于这个插值法，如何计算和运用呢，我个人认为考生在考试时先试着画一下上面的图，只有图出来了，根据三角函数定义，tana=角的对边比上邻边，从图上可以看出，∠A是始终保持不变的，因此，根据三角函数tana，我们可以得出这样的公式

图一：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)=(F-F2)/(D2-D)＝（F1-F）/(D-D1)，通过这个公式，我们可以进行多种推算，得出最终公式如下 F=F2+（F1-F2）*(D2-D)/ (D2-D1) 或者F= F1-（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 图二：tana＝（F1-F2）/(D2-D1)＝(F-F2)/ (D-D1)＝（F1-F） /(D2-D) 通过这个公式我们不难得出公式： F= F2+（F1-F2）*(D-D1)/(D2-D1) 或者F=F1-（F1-F2）*(D2-D)/(D2-D1) 三：例题解析 例题一：某招标文件规定有效投标报价最高的得30分，有效投标报价最低的得60分，投标人的报价得分用线性插值法计算，在评审中，评委发现有效的最高报价为300万元，有效最低的报价为240万元，某A企业的有效投标报价为280万元，问他的价格得分为多少 分析，该题属于图一的适用情形，套用公式 计算步骤：F=60+(30-60)/(300-240)*(280-240)=40 例题二：某招标文件规定，水泵工作效率85%的3分，95%的8分，某投标人的水泵工作效率为92%，问工作效率指标得多少分

内插法计算公式

内插法计算公式 内插法计算公式 1、X1、Y1为《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二中计费额的区段值；Y1、Y2为对应于X1、X2的收费基价；X为某区段间的插入值道；Y为对应于X由插入法计算而得的收费基价。 2、计费额小于500万元的，以计费额乘以3.3%的收费专率计算收费基价； 3、计费额大于1,000,000万元的，以计费额乘以1.039%的收费率计算收费基价。 【例】若计算得计费额为600万元，计算其收费基价属。 根据《建设工程监理与相关服务收费标准》附表二：施工监理服务收费基价表，计费额处于区段值500万元（收费基价为16.5万元）与1000万元（收费基价为30.1万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价： 内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的

折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），

《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握

摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并 不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推 导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基 本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等 教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向 关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种 情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略 有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表 中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F 略小的系数记作F，其对应的利息率为i。

线性内插法

线性内插法具体怎么计算？ 内插法：就是在给定的二组数据为直线关系，在其区域之间的值，位于此直线上从而求出，在其区域之间的某一数据。就是二者之间对应的情况下，按内插入法来求出另个数值，如二组数据：Y1，Y2 X1，X2已知：(X1，X2)一组上的某点值，求另一组（Y1，Y2）上的某点对应值。现在要求已知：(X1，X2) )一组上的奌X，求：另一组（Y1，Y2）上的Y点对应值。 公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——所要求某区间的内插值； Y1、Y2——分别为所要求某区间之间的低值和高值； X1、X2——分别为所要求某区间之间对应的低值和高值。 图集11G101—1第53页中：锚固区的保护层厚度3d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.8：5d时受拉钢筋搭接长度修正系数ζa＝0.7。 【例1】假设，锚固区的保护层厚度为3.2d。求受拉钢筋搭接长度修正系数ζa？公式：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚ 式中：Y——受拉钢筋锚固长度修正系数内插ζa取值； Y1、Y2——分别受拉钢筋锚固长度修正系数表中的低值ζa＝0.7和高值ζa＝0.8；X1、X2——锚固区的保护层厚度表中的低值3d和高值5d； 解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚×﹙3.2d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.2＝0.71。 答：锚固区的保护层厚度为3.2d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.71。 【例2】假设，锚固区的保护层厚度为3.4d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.4d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.4＝0.72。 答：锚固区的保护层厚度为3.4d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.72。 【例3】假设，锚固区的保护层厚度为3.5d。求受拉钢筋锚固长度修正系数ζa？解：Y＝Y1＋﹙Y2－Y1﹚÷﹙X2－X1﹚×﹙X－X1﹚＝0.7＋﹙0.8－0.7﹚÷﹙5d －3d﹚× ﹙3.5d－3d﹚＝0.7＋0.05×0.5＝0.725。 答：锚固区的保护层厚度为3.5d。受拉钢筋锚固长度修正系数ζa＝0.725。 公式举例仍不太理解怎么办？ 用笨办法吧！ 【例1】假设锚固区的保护层厚度为4d，求锚固长度修正系数ζa的取值？ 一解：锚固区的保护层厚度：（5d＋3d）÷2＝4d 。 锚固长度修正系数ζa：（0.8＋0.7÷2＝0.75。 答：锚固长度修正系数ζa的取值为0.75 。 二解： 保护层厚度：用（高值减低值）5d－3d＝2d 用2d÷20＝0.1d（即把2d分成20份，毎份为0.1d）；（实际操作时，因已知已4d了，可不计算。在算计ζa时可目测，只要除10即可，不必除20，是适应如提保护层厚度为3.1d。故我把它分得细一些。） 锚固长度修正系数ζa：用（高值减低值）0.8－0.7＝0.1 用0.1 ÷20＝0.005（道理同上，跟着保护层厚度差值分）；

计算方法简明教程插值法习题解析

第二章 插值法 1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解： 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 2．给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解：由表格知， 01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144 x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=- 若采用线性插值法计算ln 0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<

2 112 1 221 11122()10(0.6)()10(0.5)()()()()() x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----= =---=+ 6.9314 7(0.6) 5.10826( x x =--- 1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈- 若采用二次插值法计算ln 0.54时， 1200102021101201220212001122()() ()50(0.5)(0.6) ()() ()() ()100(0.4)(0.6) ()()()() ()50(0.4)(0.5) ()() ()()()()()()() x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------= =----=++ 500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5 x x x x x x =-?--+---?--2(0.54)0.61531984 0. 615320L ∴=-≈- 3．给全cos ,090x x ≤≤ 的函数表，步长1(1/60),h '== 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。 解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。 当090x ≤≤ 时， 令()cos f x x = 取0110,( )606018010800 x h ππ===?= 令0,0,1,...,5400i x x ih i =+= 则5400902 x π = = 当[]1,k k x x x -∈时，线性插值多项式为

常见的插值方法及其基础原理

常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理

其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。

工程数学插值方法 例题&习题

Chapter 1 插值方法 例题： 1. 已知f (1)=1，f (2)=3，那么y =f (x )以x =1, 2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 。 2. 经过点A (0,1)、B (1,2)、C (2,3)的插值多项式P (x )=（ ）。 A x B 1+x C 2x +1 D 12+x 3. 设P (x )是在区间[a , b ]上的)(x f y =的分段线性插值函数，以下条件中不是P (x )必须满足的条件是（ ）。 A P (x )是在区间[a , b ]上连续 B k k y x P =)( C P (x )是在区间[a , b ]上可导 D 在各子区间上是线性函数 4. 将区间[0, π/2] n 等分，用x x f y cos )(==产生n +1个节点，然后作拉格朗日插值多项式)(x L n 。用)(x L n 计算cos(π/6) (取四位有效数字)。（为简单起见，取n =1, 2）。 5. 求3次插值多项式，使6)1(,4)0(,5)1(,3)0(=′=′==P P P P 。 6. 已知函数211x y +=的一组数据(0, 1), (1, 1/2)和(2, 1/5)，求分段线性插值函数，并计算f (1.5)的近似值。 7. 求作次数4≤的多项式)(x p ，使满足条件40)1(,10)1(,0)1(,2)0(,1)0(=′′=′=?=′?=p p p p p 8. 已知连续函数P (x )的函数值如下表： x k -1 0 1 2 P (x k ) -2 -1 1 2 求方程P (x )=0在[-1,2]内的根的近似值，要求误差尽量地小。 例题答案： 1. 2x -1 2. B 3. C 4. 将区间[0, π/2] n 等分，用x x f y cos )(==产生n +1个节点，然后作拉格朗日插值多 项式)(x L n 。用)(x L n 计算cos(π/6) (取四位有效数字)。 （为简单起见，取n =1, 2）。 解：若n =1，则)0,2(),(),1,0(),(1100π==y x y x 。由式 ππππx x x l y l y x L 210 2002021)(11001?=???+???=+= 6667.0)6()6cos(1=≈ππL 若n =2，则)0,2(),(),7071.0,4(),(),1,0(),(221100ππ===y x y x y x ， 则有：2211002)2(7071.016)2)(4(8)(π ππππ?×???=++=x x x x l y l y l y x L K 8508.0)6()6cos(2=≈ππL ，其精确值为cos(π/6)=0.8660。 5. 求3次插值多项式，使6)1(,4)0(,5)1(,3)0(=′=′==P P P P 。 解：设)()()()()(2110 21103x p x p x p x p x P ??φφ′+′++=，则 0)1(,0)0(,0)1(,1)0(11 11=′=′==φφφφ， 0)1(,0)0(,1)1(,0)0(2222=′=′==φφφφ，

计算方法——插值法综述

计算方法——插值法 11223510 李晓东 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是一些离散数值。有时即使给出了解析表达式，却由于表达式过于复杂，使用不便，且不易于计算与分析。解决这类问题我们往往使用插值法：用一个“简单函数”)(x ?逼近被计算函数)(x f ，然后用)(x ?的函数值近似替代)(x f 的函数值。插值法要求给出)(x f 的一个函数表，然后选定一种简单的函数形式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来确定)(x ?作为)(x f 的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数组建立连续模型。 一、 理论与算法 （一）拉格朗日插值法 在求满足插值条件n 次插值多项式)(x P n 之前，先考虑一个简单的插值问题：对节点),,1,0(n i x i =中任一点)0(n k x k ≤≤，作一n 次多项式)(x l k ，使它在该点上取值为1，而在其余点),,1,1,1,0(n k k i x i +-=上取值为零，即 ? ? ?≠==k i k i x l i k 01)( （1.1） 上式表明n 个点n k k x x x x x ,,,,,,1110 +-都是n 次多项式)(x l k 的零点，故可设 )())(())(()(1110n k k k k x x x x x x x x x x A x l -----=+- 其中，k A 为待定系数。由条件1)(=k k x l 立即可得 )())(()(1 110n k k k k k k k x x x x x x x x A ----= +- （1.2） 故 ) ())(()() ())(()()(110110n k k k k k k n k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------= +-+- （1.3） 由上式可以写出1+n 个n 次插值多项式)(,),(),(10x l x l x l n 。我们称它们为在1+n 个节点n x x x ,,,10 上的n 次基本插值多项式或n 次插值基函数。 利用插值基函数立即可以写出满足插值条件的n 次插值多项式 )()()(1100x l y x l y x l y n n +++ （1.4）

内插法的计算公式

内插法（Interpolation Method） 什么是内插法 在通过找到满足租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值等于租赁资产的公平价值的折现率，即租赁利率的方法中，内插法是在逐步法的基础上，找到两个接近准确答案的利率值，利用函数的连续性原理，通过假设关于租赁利率的租赁交易各个期间所支付的最低租金支付额及租赁期满时租赁资产估计残值的折现值与租赁资产的公平价值之差的函数为线性函数，求得在函数值为零时的折现率，就是租赁利率。 内插法原理 数学内插法即“直线插入法”。其原理是，若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点，则点P（i,b)在上述两点确定的直线上。而工程上常用的为i在i1,i2之间，从而P在点A、B之间，故称“直线内插法”。 数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系。 上述公式易得。A、B、P三点共线，则 (b-b1)/(i-i1)＝（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率，变换即得所求。 内插法的具体方法 求得满足以下函数的两个点，假设函数为线性函数，通过简单的比例式求出租赁利率。 以每期租金先付为例，函数如下： A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额； S表示租赁资产估计残值； n表示租期； r表示折现率。 通过简单的试错，找出二个满足上函数的点（a1，b1）（a2，b2），然后，利用对函数线性的假设，通过以下比例式求出租赁利率： 内插法应用举例

内插法在财务管理中应用很广泛，如在货币时间价值的计算中，求利率i，求年限n;在债券估价中，求债券的到期收益率；在项目投资决策指标中，求内含报酬率。中级和CPA教材中都没有给出内插法的原理，很多同学都不太理解是怎么一回事。下面我们结合实例来讲讲内插法在财务管理中的应用。 一、在内含报酬率中的计算 内插法在内含报酬率的计算中应用较多。内含报酬率是使投资项目的净现值等于零时的折现率，通过内含报酬率的计算，可以判断该项目是否可行，如果计算出来的内含报酬率高于必要报酬率，则方案可行；如果计算出来的内含报酬率小于必要报酬率，则方案不可行。一般情况下，内含报酬率的计算都会涉及到内插法的计算。不过一般要分成这样两种情况： 1.如果某一个投资项目是在投资起点一次投入，经营期内各年现金流量相等，而且是后付年金的情况下，可以先按照年金法确定出内含报酬率的估计值范围，再利用内插法确定内含报酬率 2.如果上述条件不能同时满足，就不能按照上述方法直接求出，而是要通过多次试误求出内含报酬率的估值范围，再采用内插法确定内含报酬率。 下面我们举个简单的例子进行说明： 某公司现有一投资方案，资料如下： 初始投资一次投入4000万元，经营期三年，最低报酬率为10%，经营期现金净流量有如下两种情况：（1）每年的现金净流量一致，都是1600万元；（2）每年的现金净流量不一致，第一年为1200万元，第二年为1600万元，第三年为2400万元。 问在这两种情况下，各自的内含报酬率并判断两方案是否可行。 根据（1）的情况，知道投资额在初始点一次投入，且每年的现金流量相等，都等于1600万元，所以应该直接按照年金法计算，则 NPV=1600×(P/A，I，3)－4000 由于内含报酬率是使投资项目净现值等于零时的折现率， 所以令NPV=0 则：1600×(P/A，I，3)－4000=0 (P/A，I，3)=4000÷1600=2.5

插值法计算实际利率

20×0年1月1日，XYZ公司支付价款l 000元（含交易费用）从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值1 250元，票面利率%，按年支付利息（即每年59元），本金最后一次支付。合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。XYZ公司在购买该债券时，预计发行方不会提前赎回。XYZ公司将购入的该公司债券划分为持有至到期投资，且不考虑所得税、减值损失等因素。 XYZ公司在初始确认时首先应计算确定该债券的实际利率，设该债券的实际利率为r，则可列出如下等式： 59×（1＋r）－1＋59×（1＋r）－2＋59×（1＋r）－3＋59×（1＋r）－4＋（59＋1250）×（1＋r）－5＝1000（元）（1） 上式变形为： 59×（1＋r）－1＋59×（1＋r）－2＋59×（1＋r）－3＋59×（1＋r）－4＋59×（1＋r）－5＋1250×（1＋r）－5＝1000（元）（2） 2式写作：59×（P/A，r，5）＋1250×（P/F，r，5）=1000 （3） （P/A，r，5）是利率为r，期限为5的年金现值系数；（P/F，r，5）是利率为r，期限为5的复利现值系数。现值系数可通过查表求得。 当r=9%时，(P/A，9%，5)=，（P/F，9%，5)= 代入3式得到59×+1250×＝+＝>1 000 当r=12%时，(P/A，12%，5)=，（P/F，12%，5)= 代入3式得到59×+1250×＝+＝<1000 采用插值法，计算r 按比例法原理：9% r 12% /解之得，r=10% 备注： 此处要用到两个表：《年金现值系数表》、《复利现值系数表》 题中的和是查《年金现值系数表》得来的，i=9%和12%，n=5；和是查《复利现值系数表》得来的，i=9%和12%，n=5 假设两个实际利率的目的在于，确定现值1000在两个利率对应现值的范围内。开始会疑惑如何确定这两个假设的利率，后来发现这是一个估值，在确定9%和12%之前可能会有很多次的预估。另外，现值的范围越小，计算出来的实际利率越精确。 对于这个值的预估，某网友给出这样的方法（还不是特别能理解那个原理，但是自己列了一个表，当然考试的时候是不可能这样列表的）：一般考试会给出你大致的范围，比如注会考试就不会让你去慢慢试！一般情况下运用大升小降的原理去应付它就行，就是代入的利率求出的值大于需计算的利率的值，比如带入9%计算大于给定值，你就升高利率，升高到带入能小于需计算的利率的值时就行。比如带入11%小于给定值了，那么这个要求的利率就位于9%-11%之间。

插值法的推导过程

插值法 生产实践中常常出现这样的问题：给出一批离散样点，要求作出一条通过这些点的光滑曲线，以便满足设计要求或进行加工。反映在数学上，即已知函数在一些点上的值，寻求它的分析表达式。因为由函数的表格形式不能直接得出表中未列点处的函数值，也不便于研究函数的性质。此外，有些函数虽有表达式，但因式子复杂，不容易算其值和进行理论分析，也需要构造一个简单函数来近似它。 解决这种问题的方法有两类：一类是给出函数()x f 的一些样点值，选定一个便于计算的函数形式，如多项式、分式线性函数及三角多项式等，要求它通过已知样点，由此确定函数()x ?作为()x f 的近似。这就是插值法。另一类方法在选定近似函数的形式后，不要求近似函数过已知样点，只要求在某种意义下他在这些点上的总偏差最小。这类方法称为曲线（数据）拟合法。 1、 拉格朗日（Lagrange ）插值 1. Lagrange 插值多项式 先讨论只有两个节点0x ,()11=n x 的插值多项式。由前所述，插值多项式应设为()x a a x 101+=?，且满足插值条件 ()()0001001x f y x a a x ==+=? ()()1111011x f y x a a x ==+=? 解此方程组得 1010010x x x y x y a --= ，1 01 01x x y y a --=0 所以，两个节点的一次插值多项式为 ()x x x y y x x x y x y x 1 01 01010011--+--= ? （5-6） 这是用过两点()00,y x ，()11,y x 的直线()x y 1?=近似曲线()x f y =，故这种插值又称为线性插值。 如果将式（5-6）改写成以下形式 ()0 101101 1x x x x y x x x x y x --+--=? (5-7) 式（5-7）中，()x 1?被表成两个线性函数的线性组合。记

插值计算公式

题目：对n+1个节点xi及yi=f(xi)(i=0,…,n)编制通用程序（1）n次lagrange插值计算公式Ln(x) （2）n次Newton插值计算公式 并利用上述两种方法对f(x)=ln(x),[a,b]=[1,2],取h=0.1,xi=1+ih,i=0,1,…,10.计算ln(1.54)及ln(1.98)的近似值。 https://www.sodocs.net/doc/c98951346.html,grange 插值法的function文件 function yy=lagrange(x,y,xx) n=length(y);m=length(x); if m~=n error('向量长度不一致'); end s=0; for i=1:1:n t=ones(1,length(xx)); for j=1:n if j~=i t=t.*(xx-x(j))/(x(i)-x(j)); end end s=s+t*y(i); end yy=s; end 2 Netwon 插值法的function文件 function yi=cnewton(x,y,xi) n=length(x);m=length(y); if m~=n error('向量长度不一致'); end Y=zeros(n);Y(:,1)=y'; for k=1:n-1 for i=1:n-k if abs(x(i+k)-x(i))<1e-10 error(‘数据错误’); end Y(i,k+1)=(Y(i+1,k)-Y(i,k))/(x(i+k)-x(i)); end end yi=0; for i=i:n

z=1; for k=1:i-1 z=z*(xi-x(k)); end yi=yi+Y(1,i)*z; end end 对题目进行输入，结果运行如下：format long; >> x=[1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2]'; y=log(x) y = 0.095310179804325 0.182321556793955 0.262364264467491 0.336472236621213 0.405465108108164 0.470003629245736 0.530628251062170 0.587786664902119 0.641853886172395 0.693147180559945 Lagrange插值结果 >> yy=lagrange(x,y,1.54) yy = 0.431782416482614 >> yy=lagrange(x,y,1.98) yy = 0.683096848636761 Newton 插值结果 yi=cnewton(x,y,1.54) yi = 0.431782416482615 >> yi=cnewton(x,y,1.98)