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第21届中国数学奥林匹克(CMO)答案——2006年

第21届中国数学奥林匹克(CMO)答案——2006年
第21届中国数学奥林匹克(CMO)答案——2006年

2006中国数学奥林匹克

(第二十一届全国中学生数学冬令营)

第一天

福州 1月12日 上午8∶00~12∶30 每题21分

一、 实数12,,,n a a a 满足120n a a a +++= ,求证:

()1

2

2

111

max ()3

n k

i i k n i n

a a a -+≤≤=≤-∑.

证明 只需对任意1k n ≤≤,证明不等式成立即可. 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=- ,则

k k a a =,

1k k k a a d +=-,2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=---- , 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++ , 把上面这n 个等式相加,并利用120n a a a +++= 可得

11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++= . 由Cauchy 不等式可得

()2

211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------

11222111k n k n i i i i i i d ---===????≤+ ???????

∑∑∑

111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--??????

≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ???

∑, 所以 ()1

2

211

3

n k

i i i n

a a a -+=≤

-

∑.

二、正整数122006,,,a a a (可以有相同的)使得

200512

232006

,,,a a a a a a 两两不相等.问:122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数?

解 答案:122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数.

由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44+1=1981个,故

122006,,,a a a 中互不相同的数大于45.

下面构造一个例子,说明46是可以取到的.

设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数,构造122006,,,a a a 如下:

11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p , 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p -- , 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p , 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ,

这2006个正整数满足要求.

所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数.

三、正整数m ,n ,k 满足:2

3mn k k =++,证明不定方程

22114x y m +=

和 22

114x y n +=

中至少有一个有奇数解(,)x y .

证明 首先我们证明如下一个 引理:不定方程

22114x y m += ①

或有奇数解00(,)x y ,或有满足

00(21)(mod )x k y m ≡+ ②

的偶数解00(,)x y ,其中k 是整数.

引理的证明 考虑如下表示

(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数,且,0y ≤≤

则共有()

11m ??

?++> ?? ?

?

???个表示,因此存在整数12,0,x x ?∈?,

12,0,y y ?∈???

,满足1122(,)(,)x y x y ≠,且

1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++,

这表明

(21)(mod )x k y m ≡+, ③

这里1221,x x x y y y =-=-。由此可得

2222(21)11(mod )x k y y m ≡+≡-,

故22

11x y km +=,因为2

x y ≤≤

2

2

11

11474

x y m m m +<+<,

于是16k ≤≤.因为m 为奇数,22112x y m +=,22116x y m +=显然没有整数解.

(1) 若2211x y m +=,则002,2x x y y ==是方程①满足②的解. (2) 若22114x y m +=,则00,x x y y ==是方程①满足②的解. (3) 若22113x y m +=,则()()2

2

2111134x y x y m ±+=? . 首先假设3

m ,若x

0(mod3),y

0(mod3),且x

(mod3)y ,则

0011,33

x y x y

x y -+== ④ 是方程①满足②的解.若x y

≡0(mod3),则

0011,33

x y y x

x y +-=

= ⑤ 是方程①满足②的解.

现在假设3m ,则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解.若方程①有偶数解

01012,2x x y y ==,则

()()22

221111111136511115x y m m x y y x +=?=±+ .

因为11,x y 的奇偶性不同,所以11511x y ±,115y x 都为奇数. 若(mod3)x y ≡,则1111005115,33x y y x

x y -+==是方程①的一奇数解. 若

1

x 1(mod3)y ,则1

111005115,33

x y y x

x y +-==是方程①的一奇数解. (4)22115x y m +=,则()()2

2

254311113m x y y x ?=+± . 当5m 时,若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡ ,或2(m o d 5),1(m o d 5)x y ≡±≡±,

003113,55

x y y x

x y -+== ⑥ 是方程①满足②的解.

若1(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±,或2(mod5),1(mod5)x y ≡±≡ ,则

003113,55x y y x

x y +-=

= ⑦ 是方程①满足②的解.

当5m ,则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解.若方程①有偶数解

01012,2x x y y ==,则

2

2

1

111,x y m +=1

x 1(m o d 2)y ,

可得

()()2

2

111110033113m x y y x =+± .

若 110(mod5)x y ≡≡,或者 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡±,或者

112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡ ,则1111

00333,55

x y y x x y -+==是方程①的一奇数解.

若 111(mod5),2(mod5)x y ≡±≡ ,或112(mod5),1(mod5)x y ≡±≡±,则

1111003333,55

x y y x x y +-=

= 是方程①的一奇数解.

引理证毕.

由引理,若方程①没有奇数解,则它有一个满足②的偶数解00(,)x y .令

21l k =+,考虑二次方程

22

0010mx ly x ny ++-=, ⑧

则 00

2ly x x m

-±==

, 这表明方程⑧至少有一个整数根1x ,即

22

101010mx ly x ny ++-=, ⑨

上式表明1x 必为奇数.将⑨乘以4n 后配方得

()

2

20112114ny lx x n ++=,

这表明方程22

114x y n +=有奇数解0112,x ny lx y x =+=.

2006中国数学奥林匹克

(第二十一届全国中学生数学冬令营)

第二天

福州 1月13日 上午8∶00~12∶30 每题21分

四、在直角三角形ABC 中,90ACB ∠=?,△ABC 的内切圆O 分

别与边BC ,CA , AB 相切于点D ,E ,F ,连接AD ,与内切圆O 相交于点P ,连接BP ,CP ,若90BPC ∠=?,求证:AE AP PD +=.

证明 设AE = AF = x ,BD =BF =y ,CD =CE =z ,AP =m ,PD =n . 因为90ACP PCB PBC PCB ∠+∠=?=∠+∠,所以ACP PBC ∠=∠.

E C

延长AD 至Q ,使得AQC ACP PBC ∠=∠=∠,连接BQ ,CQ ,则P ,B ,Q ,C 四点共圆,令DQ =l ,则由相交弦定理和切割线定理可得

yz nl =, ①

2()x m m n =+. ②

因为ACP ?∽AQC ?,所以

AC AP

AQ AC

=,故 2()()x z m m n l +=++. ③

在Rt △ACD 和Rt △ACB 中,由勾股定理得

222()()x z z m n ++=+, ④ 222()()()y z z x x y +++=+. ⑤

③-②,得 22z zx ml +=, ⑥

①÷⑥,得

2

2yz n

z zx m =+, 所以 212yz m n

z zx m

++=+, ⑦

②×⑦,结合④,得 22

2222

()()2x yz

x m n x z z z zx

+=+=+++, 整理得

22()2x y

z x z z x

=++. ⑧ 又⑤式可写为 2xy

x z y z

+=

+, ⑨ 由⑧,⑨得

42x z

z x y z

=++. ⑩ 又⑤式还可写为 2xz

y z x z

+=-, ○11 把上式代入⑩,消去y z +,得

223220x xz z --=,

解得 x z =

代入○11得, 5)y z =, 将上面的x ,y 代入④,得

m n z +=

结合②,得 21

6

x m z m n ==+,

从而 1

2

n z =

, 所以,x m n +=,即 AE AP PD +=.

五、实数列{}n a 满足:11

2

a =,

11

2k k k

a a a +=-+-,1,2,k = .

证明不等式

12121211111112()n n n n n a a a n a a a n a a a ????????+++??-≤--- ? ?

??? ?+++????????

?? . 证明 首先,用数学归纳法证明: ,2,1,2

1

0=≤

假设命题对)1(≥n n 成立,即有2

1

0≤

?

??

?∈-+

-=21,0,21)(x x x x f ,则()f x 是减函数,于是 2

1

)0()(1=

≤=+f a f a n n , 111

()()26

n n a f a f +=≥=0>,

即命题对n +1也成立.

原命题等价于

()121212n

n n n n n

a a a a a a ????-≤ ? ? ?++++++???? 12111111n a a a ??????--- ? ????????? . 设11()ln 1,0,2f x x x ????

=-∈ ? ?????

,则()f x 是凸函数,即对1210,2x x <<,有

()()121222f x f x x x f ++??≤

???

. 事实上,()()121222f x f x x x f ++??≤ ???

等价于

2

1212211111x x x x ??????-≤-- ? ???+??????, ()

2

120x x ?

-≥.

所以,由Jenson 不等式可得

()()()1212n n f x f x f x x x x f n n ++++++??≤

???

, 即 12121111111n n

n

n

a a a a a a ????????-≤--

- ? ? ???+++??????

??

. 另一方面,由题设及Cauchy 不等式,可得

()1

1

1

1

1n n

i i i i i a n a a ==+-=-+∑∑

2

2

1

111

1()

2n

n

i

i n i

i i n n n n a a

a a a ++==≥

-=

-+-+∑∑

2

11122n n i i i i n n n n a a ==?? ? ?≥-=- ? ?

??

∑∑,

所以

1

1

11(1)

12n

i

i n

n n

i

i i i i i a

n n

a

a a ====??

- ? ?≥

- ? ?

??

∑∑∑∑, 故 ()1212

1212(1)(1)(1)12n

n

n

n n n n a a a n

n

a a a a a a a a a ??????-+-++--≤ ? ?

? ?+++++++++???

??? 12111

111n a a a ??????≤--- ? ?????????

, 从而原命题得证.

六、设X 是一个56元集合.求最小的正整数n ,使得对X 的任意15个子集,只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n ,则这15个子集中一定存在3个,它们的交非空.

解 n 的最小值为41.

首先证明41n =合乎条件.用反证法.假定存在X 的15个子集,它们中任何7个的并不少于41个元素,而任何3个的交都为空集.因每个元素至多属于2个子集,不妨设每个元素恰好属于2个子集(否则在一些子集中添加一些元素,

上述条件仍然成立),由抽屉原理,必有一个子集,设为A ,至少含有256115???+????

=8个元素,又设其它14个子集为1214,,,A A A .考察不含A 的任何7个子集,

都对应X 中的41个元素,所有不含A 的7-子集组一共至少对应71441C 个元素.另

一方面,对于元素a ,若a A ?,则1214,,,A A A 中有2个含有a ,于是a 被计算

了771412C C -次;若a A ∈,则121

4,,,A A A 中有一个含有a ,于是a 被计算了77

1413

C C -次,于是

77777

141412141341(56)()()C A C C A C C ≤--+-

7777

1412131256()()C C A C C =--- 77771412131256()8()C C C C ≤---,

由此可得196195≤,矛盾.

其次证明41n ≥.

用反证法.假定40n ≤,设{}1,2,,56X = ,令

{},7,14,21,28,35,42,49,1,2,,7i A i i i i i i i i i =+++++++= , {},8,16,24,32,40,48,1,2,,8j B j j j j j j j j =++++++= .

显然,8(1,2,,7),0(17)i i j A i A A i j ===≤<≤ ,7(1,2,,8)j B j == ,0(18)i j B B i j =≤<≤ ,1(17,18)i j A B i j =≤≤≤≤ ,于是,对其中任何3个

子集,必有2个同时为i A ,或者同时为j B ,其交为空集.

对其中任何7个子集1212,,,,,,,(7)s t i i i j j j A A A B B B s t += ,有

1212s t i i i j j j A A A B B B 1212s t i i i j j j A A A B B B st =+++++++-

8787(7)(7)s t st s s s s =+-=+---

2(3)4040s =-+≥,

任何3个子集的交为空集,所以41n ≥.

综上所述,n 的最小值为41.

2007年中国西部数学奥林匹克试题及答案

2007年中国西部数学奥林匹克 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,定义为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得为3的倍数,但不是5的倍数? ,A T A ?≠?()S A ()S A 二、如图,⊙与⊙相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙,⊙相交于点A ,B ,点P 在⊙的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在 ⊙的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证: 的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 1O 2O 1O 2O 1O 2O OD MN ⊥ 三、设实数a ,b ,c 满足3a b c ++=.求证: 2221115411541154114 a a b b c c ++?+?+?+1≤. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

广西 南宁 第二天 11月11日 上午8:00-12:00 每题15分 五、是否存在三边长都为整数的三角形,满足以下条件:最短边长为2007,且最大的角等于最小角的两倍? 六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x y ,L 2,n ,满足 ???=++=++. ,022211ny x x x x n n L L 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,.再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,. 证明:存在连续个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{,L 2,,n L n }1,2,,n L .

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分不是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分不为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分不为M ,N . 〔1〕假设A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?; 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解〔1〕设Q ,R 分不是OB ,OC 的中点,连接 EQ ,MQ ,FR ,MR ,那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====, 又OQMR 是平行四边形,因此 OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,因此 ABD ACD ∠=∠, 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠, 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 EQM MRF ???, 因此 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 因此 EM FN EN FM ?=?. 〔2〕答案是否定的. 当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,因此A ,B ,C ,D 四点不共圆,但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?,证明如下: 如图2所示,设S ,Q 分不是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==, C B

因此 NS OD EQ OB =.①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==,因此 ES OA MQ OC =.② 而AD∥BC,因此 OA OD OC OB =,③ 由①,②,③得NS ES EQ MQ =. 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠, ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠, 即NSE EQM ∠=∠, 因此NSE ?~EQM ?, 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕.同理可得, FN OA FM OC =, 因此EN FN EM FM =, 从而EM FN EN FM ?=?. C B

2008中国数学奥林匹克解答

2008中国数学奥林匹克解答 第一天 1. 设锐角 △ABC 的三边长互不相等. O 为其外心, 点A '在线段AO 的延长线上, 使得 BA A CA A ''∠=∠. 过点A '分别作1A A AC '⊥, 2A A AB '⊥, 垂足分别为1A , 2A . 作A AH BC ⊥, 垂足为A H . 记△12A H A A 的外接圆半径为A R , 类似地可得B R , C R . 求证: 1112A B C R R R R ++=, 其中R 为△ABC 的外接圆半径.(熊斌提供) 证明 首先, 易知,,,A B O C '四点共圆. 事实上,作△BOC 的外接圆,设它与AO 相交于点P 不同于A ',则BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠,于是,△PA C '?△PA B ',可得A B A C ''=,故AB AC =,矛盾。 所以01802BCA BOA C ''∠=∠=-∠, 1A CA C '∠=∠. 22cos sin A H A AA A AA C AC AA '==∠=∠', 22 A A AH A AC B π '∠=∠=-∠. 所以△2A A AH ∽△A AC '. 同理, △1A A H A ∽△A BA '. 所以21,A A A H A ACA A H A ABA ''∠=∠∠=∠, 则 12212A A A A H A A H A A H A π∠=-∠-∠ 2ACA ABA π''=-∠-∠ 22A A A ππ?? =∠+-∠=-∠ ??? . 所以, 121212 2sin 2sin A A R R R A A A R A A A H A ∠==∠2sin 2sin R A R AA A AA ∠==''∠. 作AA ''⊥A C ',垂足为A '',因为1ACA A CA C '''∠=∠=∠,所以A AA AH ''=,于是 ()02sin cos cos sin 90ABC A A S AH AH AA AA AA C A a A A '' '= === '∠∠∠-∠,

2009中国数学奥林匹克解答

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分别是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分别为M ,N . (1)若A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?; (2)若 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解(1)设Q ,R 分别是OB ,OC 的中点,连接 EQ ,MQ ,FR ,MR ,则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====, 又OQMR 是平行四边形,所以 OQM ORM ∠=∠, 由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,所以 ABD ACD ∠=∠, 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠, 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 E Q M M R F ???, 所以 EM =FM , 同理可得 EN =FN , 所以 E M F N E N F M ?=?. (2)答案是否定的. 当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,所以A ,B ,C ,D 四点不共圆,但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?,证明如下: 如图2所示,设S ,Q 分别是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,则 11 ,22 NS OD EQ OB ==, 所以 N S O D E Q O B =. ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==,所以 ES OA MQ OC =.② 而AD∥BC,所以 OA OD OC OB =,③ 由①,②,③得NS ES EQ MQ =. 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠, ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠, 即NSE EQM ∠=∠, 所以NSE ?~EQM ?, 故 EN SE OA EM QM OC ==(由②).同理可得, FN OA FM OC =, 所以EN FN EM FM =, 从而EM FN EN FM ?=?. C B

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CMO)试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角,不含点A 的弧 BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、 ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ,过点A 、E 且与AD 相切的圆为2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明:AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤= 、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1.若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0,则称A 是一个“好矩阵”。求好矩阵A 的个数。 3.证明:对于任意实数2M >,总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,,a a : (1) 对每个正整数i ,有i i a M >; (2) 当且仅当整数0n ≠时,存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈- 使得 1122m m n b a b a b a =+++ .

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x +++= 的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤= ∑ 的最大值。

参考答案 第一天 1. 如图2,联结EP 、BE 、BP 、CD 。 分别记BAC ∠、ABC ∠、ACB ∠为A ∠、B ∠、C ∠,X 、Y 分别为CA 延长线、DA 延长线上的任意一点。 由已知条件易得,AD DC AE EB ==。结合A 、B 、D 、 12p x x x <<< ,这是因为交换i x 与j x 的值相当于交换第i 行和第j 行,既不改变题设也 不改变结论。同样,不妨设12p y y y <<< 。于是,假设数表的每一行从左到右是递增的,每一列从上到下也是递增的。 由上面的讨论知11121,2a a ==或212a =,不妨设122a =。否则,将整个数表关于主对

2017中国西部数学邀请赛试题及解析

2017中国西部数学邀请赛 1.设素数p 、正整数n 满足()2 2 1 1n k p k =+∏.证明:2p n <. 1.按照 ()2 1 1n k k =+∏中的因子所含p 的幂次分情形讨论. (1)若存在()1k k n ≤≤,使得()2 2 1p k +,则221p n ≤+. 于是,2p n ≤ <. (2)若对任意的()1k k n ≤≤,( ) 2 2 1p k +?,由条件,知存在1j k n ≤≠≤,使得()21p j +且() 2 1p k +. 则( )22 p k j -. 于是,|()()p k j k j -+. 当|()p k j -,则12p k j n n ≤-≤-<;当|()p k j +,则1212p k j n n n n ≤+≤+-=-<, 综上,2p n <. 2、已知n 为正整数,使得存在正整数12,,,n x x x 满足:()12 12100n n x x x x x x n +++=,求n 的最 大可能值. 2、n 的最大可能值为9702, 显然:由已知等式得 1n i i x n =≥∑,所以:1 100n i i x =≤∏ 又等号无法成立,则 1 99n i i x =≤∏ 而 ()()()1 1 1111111n n n n i i i i i i i i x x x x n =====-+≥-+=-+∑∑∏∏ 则 1 1 198n n i i i i x x n n ==≤+-≤+∑∏99(98)10099989702n n n ?+?≤?=… 取123970299,1x x x x =====,可使上式等号成立

2007年第6届中国女子数学奥林匹克(CGMO)试题(含答案)

2007年女子数学奥林匹克 第一天 1.设m 为正整数,如果存在某个正整数n ,使得m 可以表示为n 和n 的正约数个数(包括1和自身)的商,则称m 是“好数”。求证: (1)1,2,…,17都是好数; (2)18不是好数。 2.设△ABC 是锐角三角形,点D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上,线段AD 、BE 、CF 经过△ABC 的外心O 。已知以下六个比值 DC BD 、EA CE 、FB AF 、FA BF 、EC AE 、DB CD 中至少有两个是整数。求证:△ABC 是等腰三角形。 3.设整数)3(>n n ,非负实数.2,,,2121=+++n n a a a a a a 满足 求1 112 1232 221++++++a a a a a a n 的最小值。 4.平面内)3(≥n n 个点组成集合S ,P 是此平面内m 条直线组成的集合,满足S 关于P 中的每一条直线对称。求证:n m ≤,并问等号何时成立? 第二天 5.设D 是△ABC 内的一点,满足∠DAC=∠DCA=30°,∠DBA=60°,E 是边BC 的中 点, F 是边AC 的三等分点,满足AF=2FC 。求证:DE ⊥EF 。 6.已知a 、b 、c ≥0,.1=++c b a 求证: .3)(4 1 2≤++-+ c b c b a 7.给定绝对值都不大于10的整数a 、b 、c ,三次多项式c bx ax x x f +++=2 3)(满足条件32:.0001.0|)32(|+<+问f 是否一定是这个多项式的根?

8.n 个棋手参加象棋比赛,每两个棋手比赛一局。规定:胜者得1分,负者得0分,平局各得0.5分。如果赛后发现任何m 个棋手中都有一个棋手胜了其余m —1个棋手,也有一个棋手输给了其余m —1个棋手,就称此赛况具有性质P (m ). 对给定的)4(≥m m ,求n 的最小值)(m f ,使得对具有性质)(m P 的任何赛况,都有所有n 名棋手的得分各不相同。 综上,最少取出11枚棋子,才可能满足要求。 三、定义集合}.,|1{P k m k m A ∈∈+=+N 由于对任意的k 、1 1, ,++≠∈i k i k P i 且是无理数,则对任意的k 1、P k ∈2和正整数 m 1、m 2, .,1121212211k k m m k m k m ==?+=+ 注意到A 是一个无穷集。现将A 中的元素按从小到大的顺序排成一个无穷数列。对于任意的正整数n ,设此数列中的第n 项为.1+k 接下来确定n 与m 、k 间的关系。 若.1 1,1111++≤+≤+i k m m k m i m 则 由m 1是正整数知,对5,4,3,2,1=i ,满足这个条件的m 1的个数为].1 1[++i k m 从而,).,(]1 1[5 1 k m f i k m n i =++= ∑= 因此,对任意.),(,,,n k m f P k N m N n =∈∈∈++使得存在

第32届中国数学奥林匹克获奖名单及2017年集训队名单

第32届中国数学奥林匹克获奖名单 一等奖(116人,按省市自治区排列) 编号姓名地区学校 M16001 吴蔚琰安徽合肥一六八 M16002 考图南安徽安师大附中 M16003 徐名宇安徽合肥一中 M16004 吴作凡安徽安师大附中 M16005 周行健北京人大附中 M16006 王阳昇北京北京四中 M16007 陈远洲北京北师大附属实验中学M16008 杨向谦北京人大附中 M16009 夏晨曦北京北师大二附 M16010 谢卓凡北京清华附中 M16011 薛彦钊北京人大附中 M16012 胡宇征北京北京四中 M16013 徐天杨北京北京101中学 M16014 董昕妍北京人大附中 M16015 冯韫禛北京人大附中 M16016 林挺福建福建师范大学附属中学M16017 任秋宇广东华南师大附中 M16018 何天成广东华南师大附中 M16019 戴悦浩广东华南师大附中 M16020 谭健翔广东华南师大附中 M16021 王迩东广东华南师大附中 M16022 程佳文广东深圳中学 M16023 李振广东深圳外国语学校 M16024 张坤隆广东深圳中学 M16025 齐文轩广东深圳中学 M16026 卜辰璟贵州贵阳一中 M16027 顾树锴河北衡水第一中学 M16028 袁铭泽河北衡水第一中学 M16029 卢梓潼河北石家庄二中 M16030 赵振华河南郑州外国语学校 M16031 陈泰杰河南郑州外国语学校

M16032 迟舒乘黑龙江哈尔滨市第三中学 M16033 黄桢黑龙江哈尔滨市第三中学 M16034 姚睿湖北华中师范大学第一附属中学M16035 魏昕湖北武汉二中 M16036 黄楚昊湖北武钢三中 M16037 刘鹏飞湖北武汉二中 M16038 赵子源湖北华中师范大学第一附属中学M16039 徐行知湖北武钢三中 M16040 吴金泽湖北武汉二中 M16041 李弘梓湖北武汉二中 M16042 施奕成湖北华中师范大学第一附属中学M16043 袁睦苏湖北武汉二中 M16044 王子迎湖北武汉二中 M16045 袁昕湖北华中师范大学第一附属中学M16046 陈子瞻湖北湖北省黄冈中学 M16047 詹立宸湖北华中师范大学第一附属中学M16048 严子恒湖北武钢三中 M16049 陈贵显湖北华中师范大学第一附属中学M16050 张騄湖南长沙市长郡中学 M16051 刘哲成湖南长沙市雅礼中学 M16052 仝方舟湖南长沙市长郡中学 M16053 谢添乐湖南长沙市雅礼中学 M16054 尹龙晖湖南长沙市雅礼中学 M16055 黄磊湖南长沙市雅礼中学 M16056 肖煜湖南长沙市长郡中学 M16057 吴雨澄湖南湖南师范大学附属中学M16058 方浩湖南长沙市第一中学 M16059 郭鹏吉林东北师大附中 M16060 丁力煌江苏南京外国语学校 M16061 朱心一江苏南京外国语学校 M16062 高轶寒江苏南京外国语学校 M16063 彭展翔江西高安二中 M16064 刘鸿骏江西江西省吉安市第一中学M16065 孔繁淏辽宁大连二十四中 M16066 孔繁浩辽宁东北育才学校 M16067 孟响辽宁大连24中 M16068 毕梦达辽宁辽宁省实验中学

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567-3456+1456-1567=__________。 2、计算5×4+3÷4=__________。 3、计算12345×12346-12344×12343=__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287,则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b+a+b (例如3※4=3×4+3+4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中,第一格内放着一个正方体木块,木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母,其中A与D,B与E,C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动,当木块滚动到第2006个格时,木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图:在三角形ABC中,BD=BC,AE=ED,图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米,则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数,它与13的和为5的倍数,与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和,则称这样的数为“S数”,(例: 561,6=5+1),则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人,新学年男生增加25人,女生减少5%,总人数增加16人, 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发,向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米,小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时,小李又前进了8千米,那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中,不同的汉字代表不同的数字,则:白+衣的可能值的平均数为 __________。 答案: 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式=(4567-1567)-(3456-1456)=3000-2000=1000 2.【解】原式==21.5+0.8=22.3 3.【解】原式=12345×(12345+1)-(12343+1)×12343 =+12345--12343 =(12345+12343)×(12345-12343)+2

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 (2006年7月27日, 8:00-12:00, 南昌) 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++.证明:存在唯一的正数x ,使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=. 二、 如图所示,在△ABC 中,90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点,连接BD ,BG 。过点A ,G 分别作BD 的垂线,垂足分别为E ,F ,连接CF 。若BE =EF ,求证:ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张,其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张,标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ,其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”,并且A 与2也算是顺牌(即A 可以当成1使用). 试确定,从这副牌中取出13张牌,使每种标号的牌都出现,并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ,设n a 是方程3 1x x n +=的实数根,求证: (1) 1n n a a +>; (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 (2006年7月28日, 8:00-12:00, 南昌) 五、 如图,在ABC ?中,60A ∠=?,ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ,直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ,证明:1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ,使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ,b ,c ,都有333222(61m a b c a b c ++≥+++) ()。 七、 (1)求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 (2)对于给定的整数k >1,证明:不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM O)试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角,不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ,过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明:AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上1或同时减去1。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0,则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >,总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : (1) 对每个正整数i ,有i i a M >; (2) 当且仅当整数0n ≠时,存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4.设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值. 5.设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数,满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++,其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 6.求满足下面条件的最小正整数k :对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ,使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

2016女子数学奥林匹克试题

2016女子数学奥林匹克 (2016年8月12‐8月13日) 1、整数3n ≥,将写有21,2,...,n 的2 n 张卡片放入n 个盒子,每个盒子各有n 张。其后允许操作如下:每次选其中两个盒子,在每个盒子中各取两张卡片放入另一个盒子。证明:总是可以通过有限次操作,使得每个盒子内的n 张卡片上恰好是n 个连续整数。 2、ABC ?的三条边长为,,BC a CA b AB c ===,ω是ABC ?的外接圆。 ①若不含A 的 BC 上有唯一的点P (不同于,B C ),满足 PA PB PC =+,求,,a b c 应该满足的充要条件。 ②P 是①中所述唯一的点,证明:若AP 过BC 的中点, 则60BAC ∠

5、设于数列12,,...a a 的前n 项之和为12...n n S a a a =+++,已知11S =,对于1n ≥都有 21(2)4n n n S S S ++=+。证明:对于任意正整数n ,都有n a ≥。 6、求最大的正整数m ,使得可以在m 行8列的方格表中填入,,,C G M O ,每个单元格填一个字母。使得对于其中任意两行,这两行中最多在一列所填字母相同。 7、I 是锐角ABC ?的内心,AB AC >。BC 边上的高AH 与直线,BI CI 分别交于,P Q 。O 是IPQ ?的外心,,AO BC 交于L ,AIL ?的外接圆与BC 交于,N L ,D 是I 在BC 上的投影,求:BD BN CD CN =。 8、,Q Z 分别代表全体有理数、整数,在坐标平面上,对于任意整数m ,定义 (,),,0,m xy A x y x y Q xy Z m ??=∈≠∈???? 。对于线段MN ,定义()m f MN 为线段MN 上属于m A 的点的个数。求最小的实数λ,使得对于任意直线l ,均存在与l 有关的实数()l β,满足:对于l 上任意两点,M N ,都有20162015()()()f MN f MN l λβ≤?+。

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数,求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线,将 这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确 定优秀选手,选手A被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手B,或者A胜B,或者存在选手C,C胜B,A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可 以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体,S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球,它们 两两相切。如果存在一点O,以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切,还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的m 与n,问3m+4的最大值是多少?请证明你的结论。

最新-2018女子数学奥林匹克 精品

第一天 2018年8月12日上午8∶00~12∶00 长春 我们进行数学竞赛的目的,不仅仅是为了数学而数学,其着眼点还是因为它是一切科学的得力助手,因而提高数学,也为学好其他科学打好基础. ——华罗庚 1. 如图,设点P 在△ABC 的外接圆上,直线CP 和AC 相交于点E ,直线BP 和AC 相交于点F ,边AC 的垂直平分线交边AB 于点J ,边AB 的垂直平分线交边AC 于点K,求证: 2 2BF CE =F ··K AK JE AJ . 2.求方程组 的所有实数解. 3.是否存在这样的凸多面体,它共有8个顶点,12条棱和6 个面,并且其中有4个面,每两个面都有公共棱? 4.求出所有的正实数a ,使得存在正整数n 及n 个互不相交的无限集合1A ,2A ,…,n A 满足1A ∪2A ∪…∪n A =Z ,而且对于每个i A 中的任意两数b >c ,都有b -c ≥i a . ?? ???=++??? ?? +=???? ? ?+=??? ??+1 ,11311215zx yz xy z z y y x x

第二天 2018年8月13日上午8∶00~12∶00 长春 数学竞赛,它对牢固基础知识、发展智力,培养拔尖人才,是一件具有战略意义的活动。 ——华罗庚 5.设正实数x ,y 满足3 x +3y =x -y ,求证: .1422<y x + 6.设正整数n ≥3,如果在平面上有n 个格点,,,?21P P n P 满足:当j i P P 为有理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为无理数;当j i P P 为无理数时,存在k P ,使得k i P P 和k j P P 均为有理数,那么称n 是“好数”. (1)求最小的好数; (2)问:2018是否为好数? 7.设m ,n 是整数,m >n ≥2,S ={1,2,…,m },T ={1a ,2a …,n a }是S 的一个子集.已知T 中的任两个数都不能同时整除S 中的任何一个数,求证: .11121m n m a a a n ++?++< 8.给定实数a ,b ,a >b >0,将长为a 宽为b 的矩形放入一个正方形内(包含边界),问正方形的 边至少为多长?

中国数学奥林匹克试题及解答

一、 实数12,,,n a a a L 满足120n a a a +++=L ,求证: () 1 2 2 111 max ()3 n k i i k n i n a a a -+≤≤=≤-∑. 证明 只需对任意1k n ≤≤,证明不等式成立即可. 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=-L ,则 k k a a =, 1k k k a a d +=-,2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=----L L , 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++L L , 把上面这n 个等式相加,并利用120n a a a +++=L 可得 11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++=L L . 由Cauchy 不等式可得 ()2 211121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------L L 11222111k n k n i i i i i i d ---===???? ≤+ ??????? ∑∑∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--?????? ≤= ??? ???????∑∑∑ 31213n i i n d -=??≤ ??? ∑, 所以 ()1 2 211 3 n k i i i n a a a -+=≤-∑. 二、正整数122006,,,a a a L (可以有相同的)使得20051223 2006 ,,,a a a a a a L 两

第五届中国女子数学奥林匹克试题

第五届中国女子数学奥林匹克试题 第一天 2006年8月8日 下午15:30——19:30 乌鲁木齐 中国在国际数学奥林匹克竞赛中,连续多年取得很好的成绩,这项竞赛是高中程度,不 包括微积分,但题目需要思考,我相信我是考不过这些小孩子的,因此有人觉得,好的数学家未必长于这种考试,竞赛胜利者也未必是将来的数学家,这个意见似是而非。数学竞赛大约是百年前在匈牙利开始的;匈牙利产生了同它人口不成比例的许多大数学家。 ——陈省身 一、设a >0,函数 f : (0,+∞) → R 满足f (a )=1.如果对任意正实数x ,y 有 ()()()2a a f x f y f f f xy x y ?? ??+= ? ????? ,①求证: f (x )为常数. 证明: 在①中令x =y =1,得 f 2(1)+f 2(a )=2 f (1), (f (1)-1)2 =0, ∴ f (1)=1。 在①中令y =1,得 f (x )f (1)+f (a x )f (a )=2 f (x ), f (x )=f ( a x ),x >0。 ② 在①中取y =a x ,得 f (x )f (a x )+f (a x )f (x )=2 f (a ), f (x )f ( a x )=1。 ③ 由②,③得:f 2(x )=1,x >0。 在①中取x =y ,得 f 2 )+f 2 )=2 f (t ), ∴ f (t )>0。 故f (x )=1,x >0。 二、设凸四边形ABCD 对角线交于O 点.△OAD ,△OBC 的外接圆交于O ,M 两点,直线 OM 分别交△OAB ,△OCD 的外接圆于T ,S 两点.求证:M 是线段TS 的中点. 证法1: 如图,连接BT ,CS ,MA ,MB ,MC ,MD 。 ∵ ∠BTO =∠BAO ,∠BCO =∠BMO ,

中国西部数学奥林匹克试题及答案(广西南宁,11月10日、11日)

2007年中国西部数学奥林匹克(广西南宁,11月10日) 第一天 11月10日 上午8:00-12:00 每题15分 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 二、如图,⊙1O 与⊙2O 相交于点C ,D ,过点D 的一条直线分别与⊙1O ,⊙2O 相交于点A ,B ,点P 在⊙1O 的弧AD 上,PD 与线段AC 的延长线交于点M ,点Q 在⊙2O 的弧BD 上,QD 与线段BC 的延长线交于点N .O 是△ABC 的外心.求证:OD MN ⊥的充要条件为P ,Q ,M ,N 四点共圆. 三、设实数a ,b ,c 满足 3a b c ++=.求证: 22211115411541154114 a a b b c c ++≤-+-+-+. 四、设O 是△ABC 内部一点.证明:存在正整数p ,q ,r ,使得 12007 p OA q OB r OC ?+?+?

六、求所有的正整数n ,使得存在非零整数12,,,n x x x L y ,,满足 七、设P 是锐角三角形ABC 内一点,AP ,BP ,CP 分别交边BC ,CA ,AB 于点D ,E ,F ,已知△DEF ∽△ABC ,求证:P 是△ABC 的重心. 八、将n 个白子与n 个黑子任意地放在一个圆周上.从某个白子起,按顺时针方向依次将白子标以1,2,,n L .再从某个黑子起,按逆时针方向依次将黑子标以1,2,,n L . 证明:存在连续n 个棋子(不计黑白), 它们的标号所成的集合为{}1,2,,n L . 2007西部数学奥林匹克 解 答 一、已知{}1,2,3,4,5,6,7,8T =,对于,A T A ?≠?,定义()S A 为A 中所有元素之和,问:T 有多少个非空子集A ,使得()S A 为3的倍数,但不是5的倍数? 解 对于空集?,定义()0S ?=.令012{3,6},{1,4,7},{2,5,8}T T T ===.对于A T ?,令001122,,A A T A A T A A T ===I I I ,则 01212()()()()(mod3)S A S A S A S A A A =++≡-, 因此,3()S A 当且仅当12(mod3)A A ≡.有以下几种情况: 从而满足3()S A 的非空子集A 的个数为 20003303311223333333333332()1C C C C C C C C C C C C +++++-=87. 若3()S A ,5()S A ,则15()S A . 由于()36S T =,故满足3()S A ,5()S A 的()S A 的可能值为15,30.而 15=8+7=8+6+1=8+5+2=8+4+3=8+4+2+1 =7+6+2=7+5+3=7+5+2+1=7+4+3+1 =6+5+4=6+5+3+1=6+4+3+2 =5+4+3+2+1, 36-30=6=5+1=4+2=3+2+1. 故满足3()S A ,5()S A ,A ≠?的A 的个数为17. 所以,所求的A 的个数为87-17=70.

历届女子数学奥林匹克试题

目录 2002年女子数学奥林匹克 (1) 2003年女子数学奥林匹克 (3) 2004年女子数学奥林匹克 (5) 2005年女子数学奥林匹克 (7) 2006年女子数学奥林匹克 (9) 2007年女子数学奥林匹克 (11) 2008年女子数学奥林匹克 (13) 2009年女子数学奥林匹克 (16) 2010年女子数学奥林匹克 (19) 2011年女子数学奥林匹克 (21) 2012年女子数学奥林匹克 (24)

2002年女子数学奥林匹克 1.求出所有的正整数n,使得20n+2能整除2003n+200 2. 2.夏令营有3n(n是正整数)位女同学参加,每天都有3位女同学担任执勤工作.夏令营结束时,发现这3n位女同学中的任何两位,在同一天担任执勤工作恰好是一次. (1)问:当n=3时,是否存在满足题意的安排?证明你的结论;(2)求证:n是奇数. 3.试求出所有的正整数k,使得对任意满足不等式 k(aa+ab+ba)>5(a2+a2+b2) 4.⊙O1和⊙O2相交于B、C两点,且BC是⊙O1的直径.过点C作⊙O1的切线,交⊙O2于另一点A,连结AB,交⊙O1于另一点E,连结CE并延长,交⊙O2于点F.设点H为线段AF内的任意一点,连结HE并延长,交⊙O1于点G,连结BG并延长,与AC的延长线交于点D.求证:AA AH=AA AC. 5.设P1,P2,?,P n(n≥2)是1,2,?,n的任意一个排列.求证: 1P 1+P2+1P2+P3+?+1P n?2+P n?1+1P n?1+P n>n?1n+2. 6.求所有的正整数对(x,y),满足x y=y x?y. 7.锐角△ABC的三条高分别为AD、BE、CF.求证:△DEF的周长不超过△ABC周长的一半. 8.设A1,A2,?,A8是平面上任意取定的8个点,对平面上任意取定的一条有向直线l,设A1,A2,?,A8在该直线上的摄影分别是

2011年中国西部数学奥林匹克试题

2011年中国西部数学奥林匹克试题 江西 玉山 第一天 10月29日 上午 8:00~12:00 每题15分 1、已知0,1x y <<,求 (1) ()(1)(1) xy x y x y x y --+--的最大值. 2、设集合{1,2,,2011}M ?,满足:在M 的任意三个元素中,都可以找到两个元 素,a b 使得|a b 或|b a .求||M 的最大值(其中||M 表示集合M 的元素个数). 3、给定整数2n ≥, (I )求证:可以将集合{1,2, ,}n 的所有子集适当地排列为122,, ,n A A A ,使得i A 与 1i A +的元素个数恰相差1,其中1,2,3, ,2n i =,且121n A A +=; (II)对于满足(I )中条件的子集122,, ,n A A A ,求21 (1)()n i i i S A =-∑的所有可能值,其中 ()i i x A S A x ∈=∑,()0S ?=. 4、如图,线段AB 、CD 是⊙O 中长度不相等的两条弦,AB 与CD 的交点为E ,⊙I 内切⊙O 于点F ,且分别与弦AB 、CD 相切于点G 、H .过点O 的直线l 分别交AB 、CD 于点P 、Q ,使得EP EQ =.直线EF 与直线l 交于点M ,求证:过点M 且与AB 平行的直线是⊙O 的切线.

第二天 10月30日 上午 8:00~12:00 每题15分 5、是否存在奇数3n ≥及n 个互不相同的质数12,, ,n p p p ,使得 111(1,2,,,)i i n p p i n p p +++==其中都是完全平方数?请证明你的结论. 6、设,,0a b c >,求证:2222 222()()()()()()()()()()a b b c c a a b c a c b a b a c b c b a a b c ----++≥++++++++. 7、如图,在ABC ?中,AB AC >,内切圆⊙I 于边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,M 是边BC 的中点,AH BC ⊥于点H .BAC ∠的平分线AI 分别于直线DE 、DF 交于点K 、L . 求证:,,,M L H K 四点共圆. 8、求所有的整数对(,)a b ,使得对任意正整数n ,都有1 |()n n n a b ++.

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