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直角三角形边角关系知识点

直角三角形边角关系知识点
直角三角形边角关系知识点

直角三角形边角关系专题复习

一. 知识体系:

1. 三种三角函数与直角三角形中边与角的关系,在Rt△中

在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数,一定要先把这个角放在直角三角形中 2. 特殊角的三角函数值

3. 三角函数的有关计算(对于一般角的三角函数值可利用计算器)

41 2 3 4

.三角函数的应用

()测山的高度()测楼的高度()测塔的高度()其它

?

?

?

?

?

?

?

题型一:三角形内的计算问题(计算三角函数值、面积等) 例1.在ABC Rt ?中,∠C=90° ,且2

1

sin =A ,AB=3,求BC ,AC 及B ∠.

例2.已知,四边形ABCD 中,∠ABC = ∠ADB =0

90,AB = 5,AD = 3,BC = 32,求四边形ABCD 的面

积。

例3.如图,在Rt ABC ?中,90BCA ∠=?,CD 是中线,5,4BC CD ==,求AC 的长。

B

变式训练:

1、ABC Rt ?中,∠C=90°,AC=4,BC=3,B cos 的值为…………………【 】 A 、

51 B 、53 C 、 34 D 、 4

3

2、在菱形ABCD 中,∠ABC=60° , AC=4,则BD 的长是…………………【 】 A 、 38 B 、34 C 、32 D 、8

3、在ABC Rt ?中,∠C=90° ,A tan =3,AC=10,则S △ABC 等于………【 】 A 、 3 B 、300 C 、

3

50

D 、150 4、在Rt △ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2倍,那么锐角A 的正弦值( ) A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化

5、在ABC Rt ?中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c 三边,则下列式子一定成立的是………………………………………………………………【 】 A 、B c a sin ?= B 、B c a cos ?= C 、B

a

c tan =

D 、A a c sin ?= 6、等腰三角形的腰长为10cm ,顶角为

120,此三角形面积为 。

7、在ABC Rt ?中,∠C=90° ,CD 是AB 边上的中线,BC=8,CD=5,则=∠ACD tan 。 8、在ABC ?中,若90C ∠=?,1

sin 2

A =

,2AB =,则ABC ?的周长为 9、已知菱形ABCD 的边长为6,∠A=600

,如果点P 是菱形内一点,且PB=PD=23,那么AP 的长为

10、某村计划开挖一条长1500米的水渠,渠道的断面为等腰梯形,渠道深0.8米,下底宽1.2米,坡角为450

(如图所示),求挖土多少立方米。 D

C

B

A

题型二:化简求值问题

例3.计算0

)12(60tan 45tan 30cos 2-+-+

变式训练:

1、化简:

sin 30tan 60sin 60?

-?=?

2、若A ∠是锐角,1

cos 3

A =,则sin(90)A ?-= 。

3、若A ∠是锐角,cos 2

A =

,则A ∠= 。 4、0

tan 30(tan1525'19")?+?= 。 5、计算:

(1)

sin 30cos 45cos 60sin 45?-?

?-?

(2)2(tan 45)?

(3)sin 353tan 3012sin 60cos55?

?--+??

6、计算:

(1)sin450-cos600+tan600; (2)sin 2300+cos 2300-tan450; (3)sin300-tan300+cos450

题型三:三角函数应用问题 (1)楼层问题:

1、如图,甲楼每层高都是3.1米,乙楼高40

30?,两楼相距有多远?(结果精确到0.1米)

2、如图,气象大厦离小伟家80米,小伟从自家的窗中眺望大厦,并测得大厦顶部的仰角是42?,而大厦底部的俯角是34?,求该大厦的高度(结果精确到0.1米)

3、如图11为住宅区内的两幢楼,它们的高AB =CD =30m ,两楼间的距离AC =24m ,现需了解甲楼对乙楼采光的影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?

(2)航行问题:

1、如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货,此时接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响。

(1)问B处是否会受到影响?请说明理由。

(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物。

西 B A

2、一艘船由A港沿东偏北30?方向航行20千米至B港,然后再沿东偏南60?方向航行20千米至C港,求:(1)A,C两港之间的距离(结果精确到0.1千米)

(2)确定C港在A港的什么方位?(5分)

3、如图,一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近),两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上,渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点,观测到灯塔B恰好在正北方向上,已知两个灯塔之间的距离是12海里,渔船的速度是16海里/时,又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁,问这条渔船按原来的方向继续航行,有没有触礁的危险?

(3)仰角问题:

1、一天在升旗时小苏发现国旗升至5米高时,在她所站立的地点看国旗的仰角是45?,当国旗升至旗杆顶端时国旗的仰角恰为60?,小苏的身高是1米6,则旗杆高 米。(将国旗视作一点,保留根号)

2、如图,Rt ABC ?是一防洪堤背水波的横截面图,斜坡AB 的长为13米,它的坡角为45?,为了提高防洪堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比1:1.5的斜坡AD ,求DB 的长(结果保留根号)(6分)

3、如图,为测得峰顶A 到河面B 的高度h ,当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α,前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上). (1)用含α、β和m 的式子表示h ;

(2)当α=45°,β=60°,m=50米时,求h 的值. (精确到0.1m

≈1.41

1.73) A

B C

D

4、如图湖泊的中央有一个建筑物AB,某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60°,然后,自C处沿BC方向行100m到D点,又测得其顶部A的仰角为30°,求建筑物的高(结果保留根号)

A

变式训练:

1、如图,B ,C 是河岸边两点,A 是对岸边上的

一点,测得30ABC ∠=?,60ACB ∠=?,BC 50=米, 则A 到岸边BC 的距离是 米。

2、如图2,沿AC 方向开山修路,为了加快施工进度,要在小山的另一边同时施工.从AC 上的一点B ,取∠ABD =145°,BD =500米,∠D =55°,要使A ,C ,E 成一直线,那么开挖点E 离点D 的距离是( ) A .500sin55°米 B .500cos55°米 C .500tan55°米

D .500tan35°米

A

B

C

直角三角形知识点总结

直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 (3~5分) 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下:∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下: ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下: ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ,b 的平方和等于斜边c 的平方,即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得: AB ?CD=AC ?BC

考点二、直角三角形的判定 (3~5分) 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ,b ,c 有关系222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 (3~8分) 1、如图,在△ABC 中,∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记为sinA ,即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记为cosA ,即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记为tanA ,即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记为cotA ,即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π , 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B), cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B ), cos 2 C =sin( 2 A + 2 B ), tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B), cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 (a+b+c ) 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ,sinB=2b R ,sinC= 2c R a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 适用类型:AAS →S ,SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型:SSS →A ,SAS →S ,AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列,则B=3 π 三边成等差数列,则0

北师版九年级下册第一章直角三角形的边角关系知识点及习题

九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 【知识要点】 一、锐角三角函数: 正切:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切..,记作tanA ,即b A a tan =; 正弦:...在Rt △ABC 中,锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即c a sin =A ; 余弦:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即c A b cos =; 余切:在Rt △ABC 中,锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA ,即c A b cot =; 注:(1)sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A 是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). (2)sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号; (3)sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位. (4)sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A 的大小有关,而与直角三角形的边长无关. (5)角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 1、三角函数和角的关系 tanA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,tanA 的值越大。

sinA 的值越大,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,sinA 的值越大。 cosA 的值越小,梯子越陡,∠A 越大;∠A 越大,梯子越陡,cosA 的值越大。 2、三角函数之间的关系 (1)互为余角的函数之间的关系 若∠A 为锐角,则 ①)90cos(sin A A ∠-?=; )90sin(cos A A ∠-?= ②)90cot(tan A A ∠-?=; )90tan(cot A A ∠-?= (2)同角的三角函数的关系 1)平方关系:sinA 2+cosA 2=1 2)倒数关系:tanA ·cotA =1 3)商的关系:tanA =A o A s c sin ,cotA 二、解直角三角形: ※在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形。 ◎在△ABC 中,∠C 为直角,∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ,则有 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2; (2)两锐角的关系:∠A +∠B=90°; ◎解直角三角形的几种基本类型列表如下:

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系(习题) ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值: 2.三角函数值的大小只与角度的有关,跟所在的三角形 放缩(大小)没有关系. 3.计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在 中研究,常利用或两种方式进行处理.?例题示范 例:如图,在△ABC 中,∠B=37°,∠C=67.5°,AB=10,求BC 的长.(结果精确到0.1,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan67.5°≈2.41) 如图,过点A 作AD⊥BC 于点D, 由题意AB=10,∠B=37°,∠C=67.5° 在Rt△ABD 中,AB=10,∠B=37°, sin B =AD ,cos B = BD AB AB ∴AD=6,BD=8 在Rt△ADC 中,AD=6,∠C=67.5°,tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5. ①得出结论; ②解直角三角形; ③准备条件. 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2 倍,那么锐 角A 的正弦值() A.扩大2 倍B.缩小2 倍C.没有变化D.不确定2.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=3,BC=5,则sin A 的值为 () A. 3 5 B. 4 5 C. 5 34 34 D. 3 34 34 3.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ,则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 4.若∠A 为锐角,且cos A 的值大于 1 ,则∠A() 2 A.大于30°B.小于30° C.大于60°D.小于60° 5.已知β为锐角,且 3 A.30?≤β≤60? C.30?≤β< 60? ≤tan β< ,则β的取值范围是() B.30?<β≤60? D.β< 30? 6.如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=α, 若cosα= 3 ,AB=4,则AD 的长为() 5 A.3 B. 16 3 C. 20 3 D. 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB,若cos A = 3 ,BE=2,则 5 tan∠DBE= . 2 3 2 3 3

解直角三角形知识点及典型例题

解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角_____ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比_____ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比_____ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比____ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢? 3、三角函数定义: 注意:sinA ,cosA ,tanA 都是一个完整的符号,单独的sin ,cos ,tan 是没有意义的,其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′,那么锐角A ,A ′的余弦值的关系为( ) A .cosA=cosA ′ B .cosA=3cosA ′ C .3cosA=cosA ′ D .不能确定 例2、在△ABC 中,∠C=90°,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别是a ,b ,c ,则下列各项中正确的是( ) A .a=c ·sin B B .a=c ·cosB C .a=c ·tanB D .以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA= 23 ,则tanB 等于( ) 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦; ⑵、余弦; ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义; ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系; ②、锐角间关系; ③、边角间关系。

A . 35 B .3 C .2 5 D . 2 例4、已知:α是锐角,tan α= 7 24 ,则sin α=_____,cos α=_______. 4、取值范围:0<sinA <1,0<cosA <1,tanA >0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用,如在测量高度、距离、角度,确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题,常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度(坡比) 方向角度 俯角仰角 例6、如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB ?的值. 例7、如图,∠C=90°,∠DBC=30°,AB=BD ,根据此图求tan15°的值.

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念(三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △) 2、按边对三角形的分类:≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系: (1)任意两边之和大于第三边 (2)任意两边之差小于第三边 验证:两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念( 内角、外角、∠ ) 2、按角对三角形的分类:???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 (1)三角形三个内角和等于180° (2)直角三角形的两个锐角互余 (3)一个三角形最多3个锐角,最多1个钝角,最多1个直角,最少2个锐角) 三、线 1、中线 (1) 定义 (2) 重心 (3)中线是线段 (4) 表述方法 2、高线 (1)定义 (2)垂心 (3)高是线段,垂线是直线 (4)表示方法 (5)3种高的画法 3、角平分线 (1)定义 (2)外心 (3)画法 (4)表示方法 四、数三角形的个数 (1)图形的形成过程 (2)三角形的大小顺序 (3)按某一条边沿着一定的方向 (4)固定一个顶点,按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形;其中以AB 为边的三角形有______________;含∠ACB 的三角形有______________;在△BOC 中,OC 的对角是___________;∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”,下面集合正确的是( ) A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4,x -1,则x 的取值范围是_________________________

与三角形有关的角知识点归纳

6x B D A 第(3)题 第(4) 与三角形有关的角知识点归纳 知识点篇: 知识点一:三角形的内角和定理:三角形内角和为180° 知识点二:三角形外角的性质:1.三角形的一个外角与相邻的内角互补;2.三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;3. 三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角. 基础篇: (1)在△ABC 中,若7836A '∠=o ,5724B '∠=o ,则C ∠= . (2) 在ABC △中,BC 边不动,点A 竖直向上运动,A ∠越来越小,B C ∠∠,越来越大.若A ∠减少α度,B ∠增加β度,C ∠增加γ度,则αβγ,,三者之间的等量关系是 . (3)如图,在Rt ADB △中,90D ∠=o ,C 为AD 上一点,则x 可能是 ( ) A.10o B20o C.30o D40o (4)如图, 在锐角△ABC 中,CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高,? 且CD 、BE 交于一点P , 若∠A=50°,则∠BPC 的度数是( ) (A )150° (B )130°(C )120°(D )100° (5)四边形ABCD 中,如果∠A+∠C+∠D=280°,则∠B 的度数是( ) (A )80° (B )90°(C )170°(D )20° (6)若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是( ) (A )9 (B )8 (C )7 (D )6 方法篇: A.注意方程思想的应用 例题1.已知△ABC 中, (1)∠A=20°,∠B -∠C=40°,则∠B=____°; (2)∠A=120°,2∠B+∠C=80°,则∠B=___°; (3)∠B=∠A+40°,∠C=∠B-50°,则∠B=_____°; (4)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°. B β 2β 3β

(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,∠C 为直角,则锐角A 的各三角 函数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA , 即sinA =a c (2)角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA , 即cosA =b c (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作t an A , 即t an A =a b (4)角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作 c ot A , 即c ot A =b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系:A +B =90° (3)边角之间的关系: sinA =cosB =a c , cosA =sinB =b c t an A =c ot B =a b , cot A =t an B =b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系:sinA 2+cosA 2=1 2)倒数关系:t an A·c ot A =1 3)商的关系:t an A =sinA cosA ,c ot A =cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°-A)=cosA , cos(90°-A)=sinA t an (90°-A)=c ot A , cot (90°-A)=t an A 4.一些特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 ----- cot α ----- 1

解直角三角形知识点

一、直角三角形的性质: 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD= 2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理:222c b a =+ :22 2 a b c +=还可以变形为2 2 2 a c b =-,2 2 2 b c a =-. 5、射影定理:在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得:AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义:在RT ABC ?中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,则: sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形:sin a c A = ;sin a c A =等,由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质: (1)当 °<∠A<90°时,0sin 1A <<;0cos 1A <<;tan 0A >;cot 0A > (2)在0° 90°之间,正弦、正切(sin 、tan )的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos 、cot )的值,随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系: A C B D

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中,∠A=90o,AB=6,AC=8,则sinB= ,cosC= 2、在△ABC 中,∠B=90o,2 1 cos =C ,则∠C= 】 3、在△ABC 中,∠C=90o,∠A=60o,AC=34,则BC= 4、在△ABC 中,∠C=90o,BC=3,AB=32,则∠A= 5、在△ABC 中,∠C=90o,若tanA= 2 1 ,则sinA= 6、在△ABC 中,若∠C=90o,∠A=45o,则tanA+sinB= 7、如图1,在△ABC 中,∠C=90o,∠B=30o,AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34, 那么AD= # 8、正方形ABCD 中,AM 平分∠BAC 交BC 于M ,AB=2,BM=1,则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α,那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高,如图2所示,测得的数据为: BC=42m ,倾斜角o?=30α,测得测角仪高CD=1.5m ,则AB= 。(结果保留四位 有效数字) 11、在△ABC 中,∠C=90o,BC=5,AC=12,则tanA=( ) A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中,∠C=90o,5 3 cos = A ,AC=6cm ,则BC=( )cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BD=6cm ,那么=2tan A ( ) A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知:如图3,梯形ABCD 中,AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图,题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面,BD=30m ,在A 点测得D 点的俯角为45°,测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

解直角三角形知识点整理

在RT ABC ?中,∠C=90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,则: sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形:sin a c A = ;sin a c A =等,。 二、 锐角三角函数的有关性质: 1、 当0°<∠A<90°时,0sin 1A <<;0cos 1A <<;tan 0A >;cot 0A > 2、 在0°--90°之间,正弦、正切(sin 、tan )的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos 、 cot )的值,随角度的增大而减小。 三、 同角三角函数的关系: 22sin cos 1A A += t a n c o t 1A A = sin tan cos A A A = c o s c o t sin A A A = 常用变形:2 sin 1cos A A =- 2c o s 1s i n A A =- 四、 正弦与余弦,正切与余切的转换关系: 如图1,由定义可得:sin cos cos(90)a A B A c = ==?- 同理可得: sin cos(90)A A =?- cos sin(90)A A =?-tan cot(90)A A =?- c o t t a n (90A A =?- 五、 特殊角的三角函数值: 三角函数 sin α cos α tan α cot α 30° 12 32 33 3 45° 22 22 1 1 60° 32 12 3 33 六、 解直角三角形的基本类型及其解法总结: 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2c a b =+,tan a A b = ,90B A ∠=?-∠ 直角边a ,斜边c 22 b c a =-,sin a A c =,90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ,锐角A 90B A ∠=?-∠,cot b a A =,sin a c A = 斜边c ,锐角A 90B A ∠=?-∠,sin a c A = ,cos b c A = 60° 30° 32 1 B C A 45° 22 2 B C A

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=________,cosA=________,tanA=________. 问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A越大,正弦sinA______,余弦cosA______,正切tanA______. 问题3:默写特殊角的三角函数值: 问题4:计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在____________中研究,常利用_________或__________两种方式进行处理. 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道,每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中,,则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 3.已知为锐角,且,那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的增减性 4.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:解直角三角形 5.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,,则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:

有关三角形知识点

一、有关角的: 知识点1、三角形内角和定理:三角形的内角和等于180 知识点2:三角形外角性质:1). 三角形的外角与它相邻的内角互补。 2). 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 3). 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 4). 三角形的外角和等于360°。 二、重要的线 1.三角形的角平分线:一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和对边中点(角平分 线上的点到角两边的距离相等); 2.三角形的中线:连接一个顶点和它对边的中点的线段; 3.三角形的高:从三角形的一个顶点向它对边所在的直线做垂线。 4、锐角三角形的三条高在三角形的内部,垂足在相应顶点的对边上。直角三角形的直角边上的高分别与另一条 直角边重合,垂足都是直角的顶点。而在钝角三角形中,夹钝角两边上的高都在三角形的外部,它们的垂足都在相应顶点的对边的延长线上。 5.线段的垂直平分线: 6、角平分线的的性质: 7、中位线: 8、直角三角形斜边上的中线: 三:重要的三角形的角与线 1、直角三角形: 2、等腰三角形:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形: 四:重要的定理 1、重心定理三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍.上述交点叫做三角形的重心. 2、外心定理三角形的三边的垂直平分线交于一点.这点叫做三角形的外心.

3、垂心定理三角形的三条高交于一点.这点叫做三角形的垂心. 4、内心定理三角形的三内角平分线交于一点.这点叫做三角形的内心. 5、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心. 三角形有三个旁心.三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心.它们都是三角形的重要相关点. 6、中位线定理三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 7、三边关系定理三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 8、三角形面积计算公式S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半 9、勾股定理: 10、在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半; 11、等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边) (注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。可复制、编制,期待你的好评与关注)

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,/ C 为直角,则锐角 A 的各三角函 数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦,记作sinA , ⑵ 角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦,记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切,记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切,记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系:a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系:A + B = 90° (3) 边角之间的关系: sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系:tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系:sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

解直角三角形的知识点总结

解直角三角形 一、锐角三角函数 (一)、锐角三角函数定义 在直角三角形ABC 中,∠C=900,设BC=a ,CA=b ,AB=c ,锐角A 的四个三角函数是: (1) 正弦定义:在直角三角形中ABC ,锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦,记作sinA ,即 sin A = c a , (2)余弦的定义:在直角三角行ABC ,锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦,记作cosA ,即 cos A = c b , (3)正切的定义:在直角三角形ABC 中,锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切,记作tanA ,即 tan A =b a , (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即 a A A A b 的对边的邻边cot =∠∠= 锐角A 的正弦、余弦,正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。 这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件: (1)锐角∠A 必须在直角三角形中,且∠C=900; (2)在直角三角形 ABC 中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则,不存在上述关系

注意:锐角三角函数的定义应明确(1) c a , c b ,b a ,a b 四个比值 的大小同△ABC 的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,即当锐角A 取固定值时,它的四个三角函数也是固定的; (2)sinA 不是sinA 的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,其他三个三角函数记号也是一样; (3)利用三角函数定义可推导出三角函数的性质,如同角三角函数关系,互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等; (二)、同角三角函数的关系 (1)平方关系: 12 2 s i n =?+C O S α (2)倒数关系:tan a cota=1 (3)商数关系:? ? =???= sin cos cot ,cos sin tan 注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同事还要注 意它们的变形公式。 (2)()??sin sin 2 2 是 的简写,读作“?sin 的平方”,不能将 ??2 2 sin 写成sin 前者是a 的正弦值的平方,后者无意义; (3)这里应充分理解“同角”二字,上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同,如1cot tan ,12 2 3030 cos sin 2 2 =?=? +? ,而 1cos sin 2 2 =+ ?β就不一定成立。 (4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。 (三)余角的函数关系式 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系(1) -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1.了解三角形的概念,掌握分类思想。 2.经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵。 3.让学生养成有条理的思考的习惯,以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点: 1.重点:了解三角形的分类,弄清三角形三边关系 2.难点:对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备: 1.教师准备:多媒体课件 2.学生准备:四根小木条 五课时安排: 一节课 六教学过程: (一)创设情境,探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的图形三角形,引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形,它简单、有趣,也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界,可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 (二)合作交流,探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导: 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题: (1)知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; (2)会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

(3)知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习(多媒体展示) 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒(6cm、8cm、12cm、18cm)请你任意的取其中的三根,首尾连接,摆成三角形。 (1)有哪几种取法? (2)是不是任意三根都能摆出三角形?若不是,哪些可以?哪些不可以? (3)用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么? 小组活动:学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形; 我们可以发现这四根小棒中,如果较短的两根的和不大于最长的第三根,就不能组成三角形。 这就是说:三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 :例:一根木棒长为7,另一根木棒长为2,若要围成三角形,那么则第三根木棒长度应在什么范围呢? 解:设第三条边长为a cm,则 7-2<a<7+2 即5<a<9 结论:其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2:已知:等腰三角形周长为18cm,如果一边长等于4cm,求另两边的长? 解(1)设等腰三角形的底边长为4 cm,则腰长为x cm。根据题意,得 x+x+4=18 解方程,得 x=7

三角形知识点总结

三角形知识点总结 一、基础知识 1、三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.(三角形有三条边,三个角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的角;相邻两边的公共端点是三角形的顶点) 2、三角形的表示 三角形ABC用符号表示为△ABC,三角形ABC的边AB可用边AB所对的角C的小写字母c表示,AC可用b表示,BC可用a表示.三个顶点用大写字母A,B,C来表示。 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接;(2)三角形是一个封闭的图形;(3)△ABC是三角形ABC的符号标记,单独的△没有意义 3、三角形的分类:(1)按边分类:等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 (2)按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 4、三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线:三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 如图:(1)AD是△ABC的BC上的中线.(2)BD=DC= BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的部且交于三角形部一点(重心) ③中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 如图:(1)AD是△ABC的∠BAC的平分线.(2)∠1=∠2= ∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的部且交于三角形部一点(心) ③角平分线上的点到角的两边距离相等 (3)三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段. 如图:①AD是△ABC的BC上的高线;②AD⊥BC于D;③∠ADB=∠ADC=90°. 注意:①三角形的高是线段; ②锐角三角形的三条高的交点在三角形部;钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部:直角三角形的三条高的交点在直角顶点上。三角形三条高所在直线交于一点(垂心) ③由于三角形有三条高线,所以求三角形的面积的时候就有三种(因为高底不一样)(4)三角形的中垂线:过三角形一条边中点所做的垂直于该条边的线段 如图:DE是△ABC的边BC的中垂线;DE⊥BC于D;BD=DC 注意:①三角形的中垂线是直线; ②三角形的三条中垂线交于一点(外心) 小总结:心:三条角平分线的交点,也是三角形切圆的圆心. 性质:到三边距离相等. 外心:三条中垂线的交点,也是三角形外接圆的圆心. 性质:到三个顶点距离相等. 重心:三条中线的交点. 性质:三条中线的三等分点,到顶点距离为到对边中点距离的2倍. 垂心:三条高所在直线的交点.

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章 直角三角形的边角关系 基础知识梳理 1.锐角三角函数. 在Rt △ABC 中,∠C 是直角,如图所示. (1)正切:∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即tanA= A A ∠∠的对边 的邻边 . (2)正弦:∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sinA= A ∠的对边 邻边 . (3)余弦:∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cosA= A ∠的邻边 邻边 . (4)锐角三角函数:锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数. (5)锐角的正弦和余弦之间的关系. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 即:如果∠A+∠B=90°,那么sinA=cos (90°-A )=cosB ;cosA=sin (?90?°-?A )?=sinB . (6)一些特殊角的三角函数值(如下表). (7)已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值;同样,?已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小.

(8)三角函数值的变化规律. ①当角度在0°~90°间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小). ②当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(?或增大).(9)同角三角函数的关系. ①sin2A+cos2A=1;②tanA=sin cos A A . 2.运用三角函数解直角三角形. 由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对 边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系:sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b . 所以,在直角三角形中,只要知道除直角外的两个元素(其中至少有一个是边),?就可以求出其余三个未知元素. 解直角三角形的基本类型题解法如下表所示: (1)尽量使用原始数据,使计算更加准确; (2)不是解直角三角形的问题,添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题; (3)恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题; (4)在选用三角函数式时,尽量做乘法,避免做除法,以使运算简便; (5)必要时画出图形,分析已知什么,求什么,它们在哪个三角形中,?应当选用什么关系式进行计算; (6)添加辅助线的过程应书写在解题过程中. 3.解直角三角形的实际问题. 解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语. (1)坡度、坡角.

最新解直角三角形知识点总结

解直角三角形 直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示:∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示:∵∠C=90°∠A=30°∴BC= 2 1AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 几何表示:∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理:222c b a =+ 5、射影定理:在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得:AB ?CD=AC ?BC 锐角三角函数的概念 如图,在△ABC 中,∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A a b cot =∠∠= 的对边的邻边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 A C B D

锐角三角函数的取值范围:0≤sin α≤1,0≤cos α≤1,tan α≥0,cot α≥0. 锐角三角函数之间的关系 (1)平方关系 1cos sin 22=+A A (2)倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1 (3)弦切关系 tanA= A A cos sin cotA=A A sin cos (4)互余关系 sinA=cos(90°—A),cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A),cotA=tan(90°—A) 特殊角的三角函数值 说明:锐角三角函数的增减性,当角度在0°~90°之间变化时. (1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大) (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小) (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)

三角形中的边角关系测试卷

《三角形中的边角关系》测试卷 一、选择题 1、三角形的三边分别为3,1-2a,8,则a 的取值范围是( ) -2 2、下列不属于命题的是( ) A.两直线平行,同位角相等; B.如果x 2=y 2 ,则x =y ; C.过C 点作CD ∥EF ; D.不相等的角就不是对顶角。 3、如果三角形的一个内角等于其它两个内角的差,这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D. 斜三角形 4、四条线段的长度分别为4、6、8、10,可以组成三角形的组数为( ) .3 5、如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A 、B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为2,则满足条件的点C 个数是( ) A .2 B .3 C .4 D . 5 6、一次数学活动课上,小聪将一副三角板按图中方式叠放,则∠α等于( ) A .30° B .45° C .60° D .75° 7、图(五)为一张方格纸,纸上有一灰色三角形,其顶点均位于某两网格线的交点上,若灰色三角形面积为 4 21 平方公分,则此方格纸的面积为多少平方公分? A . 11 B . 12 C . 13 D . 14 8、已知如图,∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°则ΔDFE 等于( ) ° ° ° ° 9、如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°, 那么∠2的度数是( ) A .32° B .58° C .68° D .60° 10、已知:如图,在△ABC 中,∠C=∠ABC=2∠A ,BD 是AC 边的高,则∠DBC=( ) A .10° B .18° C .20° D .30° 11、已知等腰三角形的一个内角为040,则这个等腰三角形的顶角为 ( ) A.0 40 B.0 100 C.0 40或0 100 D.0 70或0 50 二、填空题 A B 30° 45° α 1 2

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