(完整word版)2019年天津市高考数学试卷(文科)
2019年天津市高考数学试卷（文科）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈
) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1-，2，3}
D ．{1，2，3，4}
2．设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,
x y x y x y +-??-+?
?-??-??………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
3．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )
A ．5
B ．8
C ．24
D ．29 5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A ．c b a <<
B ．a b c <<
C ．b c a <<
D ．c a b <<
6．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条
渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( )
A 2
B 3
C ．2
D 5
7．已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)?π<是奇函数，且()f x 的最小正周期为
π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应
的函数为()g x ．若()24g π=，则3()(8
f π
= )
A ．2-
B ．2-
C ．2
D ．2
8．已知函数2,01,
()1,1x x f x x x
??
=?>??g
剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数
解，则a 的取值范围为( )
A ．5[4，9]4
B ．5(4，9]4
C ．5(4，9]{1}4U
D ．5[4
，9]{1}4U
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9．i 是虚数单位，则5||1i
i
-+的值为 ．
10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 ．
11．曲线cos 2
x
y x =-在点(0,1)处的切线方程为 ．
12．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．
13．设0x >，0y >，24x y +=，则
(1)(21)
x y xy
++的最小值为 ．
14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=?，点E 在线段CB 的延
长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r
g ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．
（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“?”表示不享受．现从这6人中随机
A
B
C D
E
F
子女教育 〇 〇 ?
〇 ?
〇 继续教育 ? ? 〇 ?
〇 〇 大病医疗 ?
?
? 〇 ?
?
住房贷款利息 〇 〇 ?
? 〇 〇 住房租金 ?
?
〇 ? ? ?
赡养老人
〇 〇 ?
?
?
〇
()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
(ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率．
16．（13分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．
（Ⅰ）求cos B 的值；
（Ⅱ）求sin(2
)6
B π
+的值．
17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ?为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ；
（Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．
18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足,
21,,
n n n c b n ??
=????为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++?+∈．
19．（14分）设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知
3|2||(OA OB O =为原点）．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点F 且斜率为
3
4
的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程．
20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性；
（Ⅱ）若1
0a e
<<，
()i 证明()f x 恰有两个零点；
()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．
2019年天津市高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈
) A ．{2}
B ．{2，3}
C ．{1-，2，3}
D ．{1，2，3，4}
【思路分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ； 【解析】：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈
故选：D ．
【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．设变量x ，y 满足约束条件20,
20,1,1,
x y x y x y +-??-+?
?-??-??………则目标函数4z x y =-+的最大值为( )
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解析】：由约束条件20,
20,1,1,
x y x y x y +-??-+?
?-??-??………作出可行域如图：
联立1
20x x y =-??-+=?
，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线
4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．
【归纳与总结】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．设x R ∈，则“05x <<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【思路分析】解出关于x 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．
【解析】：|1|1x - 05x < 05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即05x <<是|1|1x -<的必要不充分条件故选： B ． 【归纳与总结】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( ) A ．5 B ．8 C ．24 D ．29 【思路分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解析】：1i =，0s =； 第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为8， 故选：B ． 【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题 5．已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b << 【思路分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果． 【解析】：由题意，可知： 22log 7log 42a =>=， 33log 8log 92b =<=， 0.20.31c =<， c b a ∴<<． 故选：A ． 【归纳与总结】本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题． 6．已知抛物线2 4y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条 渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为( ) A B C ．2 D 【思路分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||b AB a =，||1OF =，从而2b a =， 进而 c ==，由此能求出双曲线的离心率． 【解析】：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-， l Q 与双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ， 且||4||(AB OF O =为原点）， 2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a =，2b a ∴=， c ∴==， ∴双曲线的离心率为c e a = 故选：D ． 【归纳与总结】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题． 7．已知函数()sin()(0f x A x A ω?=+>，0ω>，||)?π<是奇函数，且()f x 的最小正周期为 π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应 的函数为()g x ．若() 4g π，则3()(8 f π = ) A ．2- B ． C D ．2 【思路分析】根据条件求出?和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解析】：()f x Q 是奇函数，0?∴=， ()f x Q 的最小正周期为π， ∴2ππω =，得2ω=， 则()sin 2f x A x =，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 则()sin g x A x =， 若() 4 g π =，则()sin 442g A A ππ===2A =， 则()sin 2f x A x =，则333 ()2sin(22sin 28842 f πππ=?==?= 故选：C ． 【归纳与总结】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和?的值是解决本题的关键． 8．已知函数2,01, ()1,1x x f x x x ?? =?>??g 剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数 解，则a 的取值范围为( ) A ．5[4，9]4 B ．5(4，9]4 C ．5(4，9 ]{1}4U D ．5[4 ，9 ]{1}4U 【思路分析】分别作出()y f x =和1 4 y x =-的图象，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时，有两 个交点，直线与1 y x =在1x >相切，求得a 的值，结合图象可得所求范围． 【解析】：作出函数2,01,()1,1x x f x x x ?? =?>??g 剟的图象， 以及直线1 4 y x =-的图象， 关于x 的方程1 ()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解， 即为()y f x =和1 4y x a =-+的图象有两个交点， 平移直线1 4 y x =-，考虑直线经过点(1,2)和(1,1)时， 有两个交点，可得94a =或5 4a =， 考虑直线与1y x =在1x >相切，可得21 14 ax x -=， 由△210a =-=，解得1(1a =-舍去）， 综上可得a 的范围是5[4 ，9 ]{1}4U ．故选：D ． 【归纳与总结】本题考查分段函数的运用，注意运用函数的图象和平移变换，考查分类讨论思想方法和数形结合思想，属于中档题． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 是虚数单位，则5||1i i -+的值为 13 ． 【思路分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算． 【解析】：由题意，可知： 2 2 5(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i -+---+===-++--，5|||23|1i i i -∴=-=+．故答案为： 【归纳与总结】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题． 10．设x R ∈，使不等式2320x x +-<成立的x 的取值范围为 2 (1,)3 - ． 【思路分析】解一元二次不等式即可． 【解析】：2320x x +-<，将232x x +-分解因式即有：(1)(32)0x x +-<；2 (1)()03 x x +-<； 由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：2 13 x -<<； 即：2{|1}3x x -<<；或2(1,)3-；故答案为：2 (1,)3 -； 【归纳与总结】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题． 11．曲线cos 2 x y x =-在点(0,1)处的切线方程为 220x y +-= ． 【思路分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将0x =代入导数方程得出在点(0,1)处的 斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程． 【解析】：由题意，可知：1sin 2y x '=--，011 |sin 022 x y ='=--=-Q ． 曲线cos 2x y x =-在点(0,1)处的切线方程：1 12 y x -=-， 整理，得：220x y +-=．故答案为：220x y +-=． 【归纳与总结】本题主要考查函数求导以及某点处导数的几何意义就是切线斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．本题属基础题． 12．若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 4 π ． 【思路分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可． 【解析】：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2， 由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点， 有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于 1 2 ； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==?=；故答案为：4 π 【归纳与总结】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题． 13．设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy ++的最小值为 9 2 ． 【思路分析】利用基本不等式求最值． 【解析】：0x >，0y >，24x y +=， 则(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+ ； 0x >，0y >，24x y +=， 由基本不等式有：4222x y xy =+… ，02xy ∴ 2222 xy ++=…； （当且仅当22x y ==时，即：2x =，1y =时，等号成立）， 故(1)(21)x y xy ++的最小值为92；故答案为：92 ． 【归纳与总结】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． 14．在四边形ABCD 中，//AD BC ，23AB =，5AD =，30A ∠=?，点E 在线段CB 的延 长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u r g 1- ． 【思路分析】利用AD u u u r 和AB u u u r 作为基底表示向量BD u u u r 和AE u u u r ，然后计算数量积即可． 【解析】：AE BE =Q ，//AD BC ，30A ∠=?， ∴在等腰三角形ABE 中，120BEA ∠=?， 又23AB =，2AE ∴=，∴25 BE AD =-u u u r u u u r ， Q AE AB BE =+u u u r u u u r u u u r ，∴25 AE AB AD =-u u u r u u u r u u u r 又BD BA AD AB AD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴2()()5BD AE AB AD AB AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 227255 AB AB AD AD =-+-u u u r u u u r u u u r u u u r g 2272||||cos 55 AB AB AD A AD =-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u u r g 732125232555=-+??? -?1=- 故答案为：1-． 【归纳与总结】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况． （Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？ （Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“?”表示不享受．现从这6人中随机 A B C D E F 子女教育 〇 〇 ? 〇 ? 〇 继续教育 ? ? 〇 ? 〇 〇 ()i 试用所给字母列举出所有可能的抽取结果； (ii )设M 为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率． 【思路分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果； （Ⅱ）()i 用列举法求出基本事件数； ()ii 用列举法求出事件M 所含基本事件数以及对应的概率； 【解析】：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6:9:10， 由于采用分层抽样从中抽取25位员工， 因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人； （Ⅱ）()i 从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为 {A ，}B ，{A ，}C ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ， {B ，}C ，{B ，}D ，{B ，}E ，{B ，}F ，{C ，}D ， {C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}E ，{D ，}F ，{E ，}F ，共15种； ()ii 由表格知，符合题意的所有可能结果为 {A ，}B ，{A ，}D ，{A ，}E ，{A ，}F ，{B ，}D ，{B ，}E ， {B ，}F ，{C ，}E ，{C ，}F ，{D ，}F ，{E ，}F ，共11种， 所以，事件M 发生的概率11 ()15 P M =． 【归纳与总结】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题以及根据数据分析统计结论的问 题，是基础题目 16．（13分）在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =． （Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6 B π +的值． 【思路分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得； （Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得． 【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b c B C = ，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =， 得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23 a c =，由余弦定理可得 222222 416199cos 22423 a a a a c b B a c a a +-+-===-g g ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得215sin 1B cos B =-=，从而15sin 22sin cos B B B ==-， 227 cos2cos sin 8 B B B =-=-， 故15371357 sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ++=+=-?-?= ． 【归纳与总结】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正 余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题． 17．（13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD ?为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =． （Ⅰ）设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：//GH 平面PAD ； （Ⅱ）求证：PA ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 【思路分析】（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =，由BG PG =，得//GH PD ，由此能证明//GH 平面PAD ． （Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，推导出DN PC ⊥，从而DN ⊥平面PAC ，进而DN PA ⊥，再上PA CD ⊥，能证明PA ⊥平面PCD ． （Ⅲ）连结AN ，由DN ⊥平面PAC ，知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角，由此能求出直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值． 【解答】证明：（Ⅰ）连结BD ，由题意得AC BD H =I ，BH DH =， 又由BG PG =，得//GH PD ， GH ?/Q 平面PAD ，PD ?平面PAD ，//GH ∴平面PAD ． （Ⅱ）取棱PC 中点N ，连结DN ，依题意得DN PC ⊥， 又Q 平面PAC ⊥平面PCD ，平面PAC ?平面PCD PC =，DN ∴⊥平面PAC ， 又PA ?平面PAC ，DN PA ∴⊥， 又PA CD ⊥，CD DN D =I ，PA ∴⊥平面PCD ． 解：（Ⅲ）连结AN ，由（Ⅱ）中DN ⊥平面PAC ， 知DAN ∠是直线AD 与平面PAC 所成角， PCD ?Q 是等边三角形，2CD =，且N 为PC 中点， 3DN ∴=DN AN ⊥， 在Rt AND ?中，3 sin DN DAN DA ∠= = ∴直线AD 与平面PAC 3 ． 【归纳与总结】本题考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力． 18．（13分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0．已知113a b ==，23b a =，3243b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n c 满足, 21,, n n n c b n ?? =????为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++?+∈． 【思路分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n 项和的求解{}n a 和{}n b 的通项公式即可． （Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案． 【解析】：（Ⅰ）{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，公比大于0． 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，0q >． 由题意可得：332q d =+①；23154q d =+② 解得：3d =，3q =， 故33(1)3n a n n =+-=，1333n n b -=?= （Ⅱ）数列{}n c 满足, 21,,n n n c b n ?? =???为奇数为偶数， *112222()n n a c a c a c n N ++?+∈ 135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++?+++++?+ 23(1) [36](6312318363)2 n n n n n -=+?+?+?+?+?+? 2236(13233)n n n =+?+?+?+? 令2(13233)n n T n =?+?+?+?①， 则231313233n n T n +=?+?+?+②， ②-①得：2 3 1 233333n n n T n +=---?-+1 133313n n n +-=-?+-1(21)332 n n +-+= ； 故222 *112222(21)36936()2 n n n n n n a c a c a c n T n N +-++++?+=+=∈ 【归纳与总结】本题主要考查等差等比数列通项公式和前n 项和的求解，考查数列求和的基 本方法分组和错位相减法的运算求解能力，属中档题． 19．（14分）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B ．已知 3|2||(OA OB O =为原点）． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设经过点F 且斜率为 3 4 的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ．求椭圆的方程． 【思路分析】 2b =，再由离心率公式可得所求值； （Ⅱ）求得2a c = ，b =， 可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3()4 y x c =+，联立椭圆方程求得P 的坐标，以及直线AP 的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切 的条件，解方程可得2c =，即可得到所求椭圆方程． 【解析】： |2||OA OB = 2b =， 可得12 c e a ==； （Ⅱ）b = ，1 2 c a =，即2a c = ，b =， 可得椭圆方程为2222143x y c c +=，设直线FP 的方程为3 ()4 y x c =+， 代入椭圆方程可得2276130x cx c +-=，解得x c =或137c x =-， 代入直线PF 方程可得32 c y =或914c y =-（舍去），可得3(,)2c P c ， 圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，可设(4,)C t ， 可得3242c t c c =+，解得2t =，即有(4,2)C ，可得圆的半径为2， 由直线FP 和圆C 相切的条件为d r =， 2=，解得2c =， 可得4a = ，b =22 11612 x y +=． 【归纳与总结】本题考查椭圆的方程和性质，注意运用直线和椭圆方程联立，求交点，以及直线和圆相切的条件：d r =，考查化简运算能力，属于中档题． 20．（14分）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a ?，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若1 0a e <<， ()i 证明()f x 恰有两个零点； ()i 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->． 【思路分析】211()()[(1)]x x x ax e I f x ae a x e x x -'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a ?时，()0f x '>， 即可得出函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调性． ()()II i 由()I 可知：21()x ax e f x x -'= ，(0,)x ∈+∞．令2()1x g x ax e =-，1 0a e < (1,)x ln a ∈．可得0x 是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+， 可得1x >时，1lnx x <-．1 ()0f ln a <．0()f x f >（1）0=．可得函数()f x 在0(x ，)+∞上 存在唯一零点1． ()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0 20 1x ax e =，111(1)x lnx a x e =-，可得10 20111 x x x lnx e x -=-，由1x >，可得1lnx x <-．又101x x >>，可得10 220101(1)1 x x x x e x x --<=-，取对数即可证明． 【解答】()I 解：211()[(1)]x x x ax e f x ae a x e x x -'=-+-=，(0,)x ∈+∞． 0a ?时，()0f x '>， ∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增． ()II 证明：()i 由()I 可知：21()x ax e f x x -'= ，(0,)x ∈+∞． 令2()1x g x ax e =-，1 0a e < 可知：()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又g （1）10ae =->． 且221111 ()1()1()0g ln a ln ln a a a a =-=- ()g x ∴存在唯一解01 (1,)x ln a ∈． 即函数()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞单调递减． 0x ∴是函数()f x 的唯一极值点． 令()1h x lnx x =-+，(0)x >，1()x h x x -'= ， 可得()h x h ?（1）0=，1x ∴>时，1lnx x <-． 111111 ()()(1)()(1)0ln a f ln ln ln a ln e ln ln ln a a a a a =--=--<． 0()f x f >Q （1）0=． ∴函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点1．因此函数()f x 恰有两个零点； ()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0 201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-， 1011201x x x lnx e x --∴=，即10 2 011 1x x x lnx e x -=-， 1x >Q ，可得1lnx x <-． 又101x x >>，故10 2 20101(1)1 x x x x e x x --<=-，取对数可得：100022(1)x x lnx x -<<-， 化为：0132x x ->． 【归纳与总结】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.设z=，则|z|=（） A. 2 B. C. D. 1 2.已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B∩?U A= （） A. B. C. D. 6， 3.已知a=log20.2，b=20.2，c=0.20.3，则（） A. B. C. D. 4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底 的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂 维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚 脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿 长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( ) A. 165 cm B. 175 cm C. 185 cm D. 190 cm 5.函数f（x）=在[-π，π]的图象大致为（） A. B. C. D. 6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些 新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（） A. 8号学生 B. 200号学生 C. 616号学生 D. 815号学生 7.tan255°=（） A. B. C. D. 8.已知非零向量满足||=2||，且（-）⊥，则与的夹角为（） A. B. C. D. 9.如图是求的程序框图，图中空白框中应填入 A. B. C. D. 10.双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率 为（） A. B. C. D. 11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin A-b sin B=4c sin C，cos A=-， 则=（） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 12.已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若 ，，则C的方程为（） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.曲线y＝3（x2＋x）e x在点（0，0）处的切线方程为________． 14.记S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，S3=，则S4=______． 15.函数f（x）=sin（2x+）-3cos x的最小值为______． 16.已知∠ACB=90°，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离 均为，那么P到平面ABC的距离为______． 2019年数学高考试题(附答案) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．函数ln || ()x x f x e = 的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 4．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ． 19 B ． 29 C ． 49 D ． 718 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1), n =(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0,-2) C ．(-2,0) D ．(0,2) 8．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） 绝密★启用前 2019年全国统一高考数学试卷（文科）（全国新课标Ⅰ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．设3i 12i z -=+，则z = A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 2．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A =I e A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3．已知0.20.3 2log 0.2,2,0.2a b c ===，则 A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 512 -（ 51 2 -≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 -．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cm B ．175 cm C ．185 cm D ．190 cm 5．函数f (x )= 2 sin cos x x x x ++在[—π，π]的图像大致为 A ． B ． C ． D ． 6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生7．tan255°= A．－2－3B．－2+3C． 2－3D．2+3 8．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为 A．π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 9．如图是求 1 1 2 1 2 2 + + 的程序框图，图中空白框中应填入 A．A= 1 2A + B．A= 1 2 A +C．A= 1 12A + D．A= 1 1 2A + 10．双曲线C： 22 22 1(0,0) x y a b a b -=>>的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 2019年数学高考试卷(附答案) 一、选择题 1．如图所示的圆锥的俯视图为（ ） A ． B ． C ． D ． 2．123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 3．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 4．函数2 ||()x x f x e -=的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．326．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面 的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. A ．6500元 B ．7000元 C ．7500元 D ．8000元 7．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是 ，若 0cAC aPA bPB ++=，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形但不是等边三角形. 8．已知函数()3sin 2cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A ．2 B ．3 C ．2 D ．5 10．若实数满足约束条件 ，则的最大值是（ ） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ，B 两点 （异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0) B ．(4,0) C ．(6,0) D ．(8,0) 12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 二、填空题 2019年高考数学试题(及答案) 一、选择题 1．下列函数图像与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( ) A ． B ． C ． D ． 2．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 3．设集合2{|20,}M x x x x R =+=∈，2 {|20,}N x x x x R =-=∈，则M N ?=（ ） A ．{}0 B ．{}0,2 C ．{}2,0- D ． 2,0,2 4． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 5．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 6．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A 2 B 3 C 5 D ．6 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙 两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ． 54 钱 B ． 43 钱 C ． 32 钱 D ． 53 钱 8．某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽取20人，各年龄段分别抽取的人数为（ ） A ．7，5，8 B ．9，5，6 C ．7，5，9 D ．8，5，7 9．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 10．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >?> B ．22a b a b >?> C ．33a b a b >?> D ．22a b a b >?> 11．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是 X a 1 P 13 13 13 则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大 12．已知抛物线2 2(0)y px p =>交双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线于A ，B 两点 （异于坐标原点O 5AOB ?的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） 绝密 ★ 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试(全国3卷) 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合） 1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}12， D ．{}012， ， 2．()()12i i +-=（ ） A ．3i -- B ．3i -+ C ．3i - D ．3i + 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫 卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ） 4．若1 sin 3 α=，则cos2α=（ ） A ．89 B ． 79 C ．79 - D ．89 - 5．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 6．函数 ()2tan 1tan x f x x = +的最小正周期为（ ） A ． 4 π B ． 2 π C ．π D ．2π 7．下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是（ ） A ．()ln 1y x =- B ．()ln 2y x =- C ．()ln 1y x =+ D ．()ln 2y x =+ 8．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2 222x y -+=上，则ABP ?面积的取值围是（ ） A ．[]26， B ．[]48， C ． D ．?? 2019年高考数学试卷(含答案) 一、选择题 1．如图，点是抛物线的焦点，点,分别在抛物线和圆 的实 线部分上运动，且 总是平行于轴，则 周长的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 2．定义运算()() a a b a b b a b ≤?⊕=? >?，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ． C ． D ． 3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2 x y = C ．2y log x = D ．() 2 112 y x = - 4．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7 c π=，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．b c a << D ．b a c << 5．若满足 sin cos cos A B C a b c ==，则ABC ?为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．有一个内角为30的等腰三角形 6．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 7．ABC ?的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b = ，则 c =( ) A ．23 B ．2 C ．2 D ．1 8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 9．函数y =2x sin2x 的图象可能是 A ． B ． C ． D ． 10．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ） A ． B ．1 C ．10 D ．12 11．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=， ()()1AQ AC λλ=-∈R ，若3 2 BQ CP ?=-，则λ=（ ） A ． 12 B ． 12 2 ± C ． 110 2 ± D ． 32 2 ± 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的、准考证填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 2．设z =–3+2i ，则在复平面z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，||BC uuu r =1，则AB BC u u u r u u u r = A ．–3 B ．–2 C ．2 D ．3 4．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据 高考数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，B={2，3，4}，则B∩?∪A=（） A．{2} B．{3，4} C．{1，4，5} D．{2，3，4，5} 2．（5分）已知，则双曲线C1：与C2： 的（） A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 3．（5分）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（） A．（￢p）∨（￢q）B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q）D．p∨q 4．（5分）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y与x负相关且=2.347x﹣6.423； ②y与x负相关且=﹣3.476x+5.648； ③y与x正相关且=5.437x+8.493； ④y与x正相关且=﹣4.326x﹣4.578． 其中一定不正确的结论的序号是（） A．①②B．②③C．③④D．①④ 5．（5分）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（） A．B． C．D． 6．（5分）将函数y=cosx+sinx（x∈R）的图象向左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（） A．B．C．D． 7．（5分）已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为（） A．B．C．D． 8．（5分）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（） A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数 9．（5分）某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为（） A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元 10．（5分）已知函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（） A．（﹣∞，0）B．（0，）C．（0，1）D．（0，+∞） 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分. 2011年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分） 1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（） A．2个B．4个C．6个D．8个 2．（5分）复数=（） A．2﹣iB．1﹣2iC．﹣2+iD．﹣1+2i 3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=2x3B．y=|x|+1C．y=﹣x2+4D．y=2﹣|x| 4．（5分）椭圆=1的离心率为（） A．B．C．D． 5．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是（） A．120B．720C．1440D．5040 6．（5分）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（） A．B．C．D． 7．（5分）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2θ=（） A．﹣B．﹣C．D． 8．（5分）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（） A．B．C．D． 9．（5分）已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直．l与C交于A，B两点，|AB|=12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为（） A．18B．24C．36D．48 10．（5分）在下列区间中，函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．（，）B．（﹣，0）C．（0，）D．（，） 11．（5分）设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）A．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 B．y=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称 绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合{} }2 42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ?= A. }{43x x -<< B. }{42x x -<<- C. }{22x x -<< D. }{23x x << 【答案】C 【思路引导】 本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【解析】由题意得，{}{} 42,23M x x N x x =-<<=-<<，则 {}22M N x x ?=-<<．故选C ． 【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2.设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A. 2 2 +11()x y += B. 22 (1)1x y -+= C. 2 2(1)1y x +-= D. 2 2(+1)1y x += 【答案】C 2019年数学高考试题(含答案) 一、选择题 1．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ） A ． 1.2308?.0y x =+ B ．0.0813?.2y x =+ C ． 1.234?y x =+ D ． 1.235?y x =+ 2．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ） A ．14 - B ． 14 C ．23 - D ． 23 3．123{ 3 x x >>是12126{ 9 x x x x +>>成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 4．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 5．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 6．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(?q )；④(?p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 7．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1，2，3，4，5，6}，若|a-b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A ．19 B ．29 C ．49 D ． 718 8．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -等于（ ） A 7B 10 C 13 D ．4 10．已知函数()32cos 2[0,]2 f x x x m π =+-在上有两个零点，则m 的取值范围是 A ．（1,2） B ．[1,2） C ．（1,2] D ．[l,2] 11．在ABC 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=，则AC =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 12．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{} 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） 2016年普通高等学校招生全统一考试 文科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 已知集合{ }3,2,1=A ，{} 92 <=x x B ，则=B A （A ）{}3,2,1,0,1,2-- （B ） {}2,1,0,1- （C ）{}3,2,1 （D ）{}2,1 （2） 设复数z 满足i i z -=+3，则=z （A ）i 21+- （B ）i 21- （C ）i 23+ （D ）i 23- （3） 函数)sin(?ω+=x A y 的部分图像如图所示，则 （A ）)62sin(2π - =x y （B ）)32sin(2π -=x y （C ）)6 2sin(2π + =x y （D ）)3 2sin(2π +=x y （4） 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A ）π12 （B ）π3 32 （C ）π8 （D ）π4 （5） 设F 为抛物线C ：x y 42 =的焦点，曲线)0(>= k x k y 与C 交于点P ，x PF ⊥轴，则=k （A ）21 （B ）1 （C ）2 3 （D ）2 （6） 圆013822 2=+--+y x y x 的圆心到直线01=-+y ax 的距离为1，则=a （A ）3 （B ）4 3 - （C ）3 （D ）2 （7） 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表 面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 2010年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷） 文科数学(必修+选修) 本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第I 卷1至2页。第Ⅱ卷3 至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I 卷 注意事项： 1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。 2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。 3．第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1) (0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 一、选择题 (1)cos300?= (A)2- 12 (C)12 (D) 2 1.C 【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 【解析】()1 cos300cos 36060cos 602 ?=?-?=?= (2)设全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,4M =，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e A.{}1,3 B. {}1,5 C. {}3,5 D. {}4,5 2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识 【解析】{}2,3,5U M =e，{}1,3,5N =，则() U N M ?=e{}1,3,5{}2,3,5?={}3,5 2019年高考数学试题带答案 一、选择题 1．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与 c 所成的角的大小为（ ） A ．120° B ．90° C ．60° D ．30° 2．设集合(){} 2log 10M x x =-<，集合{ } 2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{}2x x < D ．{} 12x x ≤< 3．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A ．由两个圆锥组合成的 B ．由两个圆柱组合成的 C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高． 成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲 D ．甲、丙、乙 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5 y x =± D ．53 y x =± 6．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ． 53 B ． 35 C ． 37 D ． 57 7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ） A 2B 3 C ．22 D ．328．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）. 2019年高考文科数学真题及答案全国卷I 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．(2019课标全国Ⅰ， 文2) 2 12i 1i +(-) ＝( )． A ． 11i 2-- B ．11+i 2- C ．11+i 2 D ．11i 2- 2．(2019课标全国Ⅰ， 文1)已知集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{x |x ＝n 2 ， n ∈A }， 则A ∩B ＝( )． A ．{1,4} B ．{2,3} C ．{9,16} D ．{1,2} 3．(2019课标全国Ⅰ， 文3)从1,2,3,4中任取2个不同的数， 则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )． A ．12 B ．13 C ．14 D ．16 4．(2019课标全国Ⅰ， 文4)已知双曲线C ：22 22=1x y a b -(a ＞0， b ＞0)5 则 C 的渐近线方程为( )． A ．y ＝14x ± B ．y ＝13x ± C ．y ＝1 2x ± D ．y ＝±x 5．(2019课标全国Ⅰ， 文5)已知命题p ：?x ∈R,2x ＜3x ；命题q ：?x ∈R ， x 3 ＝1－x 2 ， 则下列命题中为真命题的是( )． A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q 6．(2019课标全国Ⅰ， 文6)设首项为1， 公比为 2 3 的等比数列{a n }的前n 项和为S n ， 则( )． A ．Sn ＝2an －1 B ．Sn ＝3an －2 C ．Sn ＝4－3an D ．Sn ＝3－2an 7．(2019课标全国Ⅰ， 文7)执行下面的程序框图， 如果输入的t ∈[－1,3]， 则输出的s 属于( )． A ．[－3,4] B ．[－5,2] C ．[－4,3] D ．[－2,5] 8．(2019课标全国Ⅰ， 文8)O 为坐标原点， F 为抛物线C ：y 2 ＝2x 的焦点， P 为C 上一点， 若|PF |＝42 则△POF 的面积为( )． A ．2 B ．22．3．4 9．(2019课标全国Ⅰ， 文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π， π]的图像大致为( )． 2017年普通高等学校招生全国统一考试（I 卷） 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1. 已知集合}023|{}2|{>-=<=x x B x x A ，，则 A. }23 |{<=x x B A I B. ?=B A I C. }2 3 |{<=x x B A Y D. R =B A Y 2. 为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田。这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为x 1，x 2，…，x n ， 下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 A. x 1，x 2，…，x n 的平均数 B. x 1，x 2，…，x n 的标准差 C. x 1，x 2，…，x n 的最大值 D. x 1，x 2，…，x n 的中位数 3. 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A. i(1 + i)2 B. i 2(1 - i) C. (1 + i)2 D. i(1 + i) 4. 如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图。正方形内切圆中的黑色部分 和白色部分关于正方形的中心成中心对称。在正方形内随机取一点，则此点取自黑 色部分的概率是 A. 41 B. 8π C. 2 1 D. 4 π 5. 已知F 是双曲线C ：13 2 2 =-y x 的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为 A. 3 1 B. 2 1 C. 3 2 D. 2 3 6. 如图，在下列四个正方体中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中， 直线AB 与平面MNQ 不平行的是 A. B. C. D. 2017.6 2019年上海高考数学试卷 一、填空题（每小题4分，满分56分） 1．函数1()2 f x x = -的反函数为1 ()f x -= . 2. 若全集U R =，集合{1}{|0}A x x x x =≥≤U ，则U C A = . 3.设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线 22 19 y x m -=的一个焦点，则m = . 4.不等式 1 3x x +≤的解为 . 5.在极坐标系中，直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 . （结果用反三角函数值表示） 6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若75,60CAB CBA ∠=∠=o o ，则A 、C 两点之间的距离为 千米. 7.若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 . 8.函数sin cos 26y x x ππ???? =+- ? ????? 的最大值为 . 9.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下表： x 1 2 3 ()P x ξ= ！ 请小牛同学计算ξ的数学期望.尽管“！”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E ξ= . 10.行列式 (,,,{1,1,2})a b a b c d c d ∈-所有可能的值中，最大的是 . 11.在正三角行ABC 中，D 是BC 上的点.若AB =3，BD =1，则AB AD =u u u r u u u r g . 12.随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 （默认每个月的天数相同，结果精确到）. 13. 设()g x 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数()()f x x g x =+在区间[3,4]上的 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{1，2}D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（） A．B． C．D． 4．（5分）若sinα=，则cos2α=（） A．B．C．﹣D．﹣ 5．（5分）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（） A．0.3B．0.4C．0.6D．0.7 6．（5分）函数f（x）=的最小正周期为（） A．B．C．πD．2π 7．（5分）下列函数中，其图象与函数y=lnx的图象关于直线x=1对称的是（）A．y=ln（1﹣x）B．y=ln（2﹣x）C．y=ln（1+x）D．y=ln（2+x） 8．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，则△ABP面积的取值范围是（） A．[2，6]B．[4，8]C．[，3]D．[2，3] 9．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（） A．B． C．D． 10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点（4，0）到C的渐近线的距离为（） A．B．2C．D．2 11．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为，则C=（） A．B．C．D． 12．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（） A．12B．18C．24D．542019年全国统一高考数学试卷文科Ⅰ
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