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华师大版-数学-九年级上册-22.2二次根式的乘除法 课时2

华师大版-数学-九年级上册-22.2二次根式的乘除法    课时2
华师大版-数学-九年级上册-22.2二次根式的乘除法    课时2

《九年级上第二十二章第二节二次根式的乘除法》教案

第2课时 22.2.2积的算术平方根

【教学课型】:新课

◆课程目标导航:

【教学目标】:1.使学生掌握积的算术平方根的性质,会根据这一性质熟练的化简二次根式。

2.使学生会用公式和文字两种语言形式来表示积的算术平方根的性质

【教学重点】:理解并掌握积的算术平方根的性质

【教学难点】:理解并掌握积的算术平方根的性质

【教学工具】:投影仪

◆教学情景导入

师:还记得二次根式相乘的运算法则吗?

生:一般地,对二次根式的乘法规定为

(1)被开方数都是正数;

(2)两个二次根式的乘积等于一个二次根式,?并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.

◆教学过程

一、新授:

(a≥0,b≥0),也可以写成

这就是说:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

注意:a ,b 必须都是非负数,上式才能成立。在本章中,如果没有特别说明,所有字母都表示正数。例2 化简

(1(2(3

(4(5

(a≥0,b≥0)直接化简即可.

解:(1×4=12

(2×9=36

(3×10=90

(4=3xy

(5

注意:运用了a a =2 ( a ≥ 0 ) 二、巩固练习

P 9练习1,2

三、小结

这节课我们学习了积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积,即:

b a ab ?= ( a ≥ 0 ,b ≥ 0 ); 并且复习了以下公式:a a =2 ( a ≥ 0 )。加深了对非负数 a 的算术平方根的性质的认识。 ◆课堂板书设计 标题

公式

例题

课堂练习

课堂总结

◆练习作业设计(课堂作业设计、课下作业设计)

课堂作业:

1.化简:

(1) 714? (2) 10253?

(3)

?x 3xy 31 答案:

解: (1) 714?=;27272771422=?=?=?

(2) 10253?=;230256256105232=?=?=??

(3)

?x 3xy 31=y x y x y x y x x =?==?222313 课下作业:

1. 计算: ( 1 )

224y x x + ( 2 ) 2000

2.(1

答案:

1. ( 1 ) 224y x x +=)(222y x x +=2x ×22y x + =22y x x + ( 2 )

2000=521022??=210×22×5=10×2×5=205

2.(12223x y ==·

(222a y ==+=

最新初中数学二次根式真题汇编及答案

最新初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1.下列各式中,是最简二次根式的是( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法,是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式,据此可解答. 【详解】 (1)A被开方数含分母,错误. (2)B满足条件,正确. (3) C被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. (4) D被开方数含能开的尽方的因数或因式,错误. 所以答案选B. 【点睛】 本题考查最简二次根式的定义,掌握相关知识是解题关键. 2.a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a, 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D. 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. x=-时,二次根m等于() 3.当3 A B. C D 2 【答案】B 【解析】

解:把x=﹣3代入二次根式得,原式=,依题意得: 2 =.故选B. 4.已知n是整数,则n的最小值是(). A.3 B.5 C.15 D.25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解:= Q也是整数, ∴n的最小正整数值是15,故选C. 5.下列各式计算正确的是( ) A.2+b=2b B=C.(2a2)3=8a5D.a6÷ a4=a2【答案】D 【解析】 解:A.2与b不是同类项,不能合并,故错误; B不是同类二次根式,不能合并,故错误; C.(2a2)3=8a6,故错误; D.正确. 故选D. 6.若x、y4 y=,则xy的值为() A.0 B.1 2 C.2 D.不能确定 【答案】C 【解析】 由题意得,2x?1?0且1?2x?0, 解得x?1 2 且x? 1 2 , ∴x=1 2 , y=4, ∴xy=1 2 ×4=2. 故答案为C.

初中数学八年级下册《二次根式》优秀教学设计

16.1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 (a ≥0)的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1(a ≥ 0)的式子叫做二次根式的概念; 2(a ≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个课本 P2的三个思考题: 二、探索新知 像这样一些正数的算术平方根(a ≥0)?的式子叫做二 (学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0有意义吗? 老师点评:(略) 例1.下列式子,哪些是二次根式, 、x>0) 、、、 (x ≥0,y ?≥ 0). 分析”;第二,被开方数是正数 或0. (x>0、(x ≥0,y ≥0);不是二、. 1 x 1x y +1x 1x y +

例2.当x 分析: 由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习1、2、 3. 四、应用拓展 例3.当x +在实数范围内有意义? 分析+中的≥0和中的x+1 ≠0. 解:依题意,得 由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+ 在实数范围内有意义. 例4(1)已知+5,求 的值.(答案:2) (2) =0,求a 2004+b 2004的值.(答案: ) 五、归纳小结(学生活动,老师点评) 本节课要掌握: 1(a ≥0”称为二次根号. 2.要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数. 13 13 11 x +11 x +11 x +23010 x x +≥??+≠?32 32 11x +x y 25

初中数学二次根式经典测试题

初中数学二次根式经典测试题 一、选择题 1.5 x+有意义,那么x的取值范围是() A.x≥5B.x>-5 C.x≥-5 D.x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式,求出x的取值范围即可. 【详解】 Q式子5 x+有意义, ∴x+5≥0,解得x≥-5. 故答案选:C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件,解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2.二次根式2 a+在实数范围内有意义,则a的取值范围是() A.a≤﹣2 B.a≥﹣2 C.a<﹣2 D.a>﹣2 【答案】B 【解析】 【分析】 a+在实数范围内有意义,则其被开方数大于等于0;分析已知和所求,要使二次根式2 易得a+2≥0,解不等式a+2≥0,即得答案. 【详解】 a+在实数范围内有意义, 解:∵二次根式2 ∴a+2≥0,解得a≥-2. 故选B. 【点睛】 本题是一道关于二次根式定义的题目,应熟练掌握二次根式有意义的条件; 3.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.

解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.下列式子为最简二次根式的是() A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A符合题意;选项B,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B不符合题意; 选项C,被开方数含能开得尽方的因数或因式, C不符合题意; 选项D,被开方数含分母, D不符合题意, 故选A. 5.2 (21)12 a a -=-,则a的取值范围是() A. 1 2 a≥B. 1 2 a>C. 1 2 a≤D.无解 【答案】C 【解析】 【分析】 2 (21) a-=|2a-1|,则|2a-1|=1-2a,根据绝对值的意义得到2a-1≤0,然后解不等式即可. 【详解】 2 (21) a-=|2a-1|, ∴|2a-1|=1-2a, ∴2a-1≤0, ∴ 1 2 a≤. 故选:C.

八年级初二数学 数学二次根式试题及解析

八年级初二数学 数学二次根式试题及解析 一、选择题 1.计算3 2782 -?的结果是( ) A .3 B .3- C .23 D .53 2.下列计算正确的是( ) A .235+= B .422-= C .8=42 D .236?= 3.下列二次根式中,最简二次根式是( ) A . 1.5 B . 13 C .10 D .27 4.下列各式计算正确的是( ) A . 1 222 = B .362÷= C .2(3)3= D .222()-=- 5.下列式子一定是二次根式的是 ( ) A .2a B .-a C .3a D .a 6.给出下列结论:①101+在3和4之间;②1x +中x 的取值范围是1x ≥-;③81的平方根是3;④31255--=-;⑤515 28 ->.其中正确的个数为( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 7.已知1200722007n n x ?=?- ??? ,n 是大于1的自然数,那么()21n x x -+的值是 ( ). A . 1 2007 B .1 2007 - C .() 1 12007 n - D .() 1 12007 n -- 8.如图直线a ,b 都与直线m 垂直,垂足分别为M 、N ,MN =1,等腰直角△ABC 的斜边,AB 在直线m 上,AB =2,且点B 位于点M 处,将等腰直角△ABC 沿直线m 向右平移,直到点A 与点N 重合为止,记点B 平移平移的距离为x ,等腰直角△ABC 的边位于直线a ,b 之间部分的长度和为y ,则y 关于x 的函数图象大致为( )

A . B . C . D . 9.下列各式计算正确的是( ) A .235+= B .2 236=() C .824+= D .236?= 10.若75与最简二次根式1m +是同类二次根式,则m 的值为( ) A .7 B .11 C .2 D .1 11.下列各式中,一定是二次根式的是( ) A .1- B .4x C .24a - D .2a 12.下列计算正确的是( ) A .234265+= B .842= C .2733 ÷= D .2(3)3-=- 二、填空题 13.已知a ,b 是正整数,且满足1515 2()a b +是整数,则这样的有序数对(a ,b )共有____对. 14.设四边形ABCD 是边长为1的正方形,以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ,再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ,如此下去……. ⑴记正方形ABCD 的边长为11a =,按上述方法所作的正方形的边长依次为 234,,,,n a a a a ,请求出234,,a a a 的值; ⑵根据以上规律写出n a 的表达式.

【K12学习】初中数学《二次根式》教案

初中数学《二次根式》教案 一、教材分析 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章的基础上,进一步研究二次根式的概念,性质,和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密,同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键,它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 二、教学目标 课标要求:学生要学会学习、自主学习,要为学生终生学习打下坚实的基础,根据教学大纲和新课标的要求,根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标了解二次根式的概念 了解二次根式的基本性质,经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程,发展学生的归纳概括能力。 通过对二次根式的概念和性质的探究,提高数学探究能力和归纳表达能力。 学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性与创造性,体验发现的乐趣,并提高应用的意识。

教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用 三、教法和学法 教学活动的本质是一种合作,一种交流。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者,本节课主要采用自主学习,合作探究,引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础,本节课注重加强知识间的纵向联系,,拓展学生探索的空间,体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础,例如在“锐角三角函数”一章中,会遇到很多实际问题,在解决实际问题的过程中,要遇到将二次根式化成最简二次根式等,本课适当加强练习,让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 四、教学过程 活动一:根据学生已有知识探究二次根式的概念 探究二次根式概念 由四个实际问题入手,设置问题情境,让学生感受到研究二次根式于生活又服务于生活。 思考:用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点? 要做一个两条直角边的长分别为7c和4c的三角尺,斜边的长应为

九年级数学二次根式单元测试题

第十六章 二次根式单元测试 B 卷 学号: 名字: 一、 选择题(每题3分,共42分) 1、下列各式一定是二次根式的是 ( ) A 7- B x 2 C 22y x + D 36 2、下列根式中属最简二次根式的是 ( ) 3、下列计算正确的是 ( ) A.532=+ B. 2333=- C. 23222=+ D.224=- 4、下列计算 错误.. 的是 ( ) == D. 2221= 5.化简()25-的结果是( ) A 5 B -5 C 士5 D 25 6.5 5,51 ==b a ,则( ) A a ,b 互为相反数 B a,b 互为倒数 C 5=ab D a =b 7、下列计算中,不正确的是 ( )。 A 、3= 2)3( B 、 0.5=2)5.0( C 、6.06.02= D 、35)75(2= 8.二次根式6)2(2?-的计算结果是( ) A .26 B .-26 C .6 D .12 9.的结果是( ). A .27 B .27 C D .7

10.下列各式的计算中,成立的是( ) (A)5252=+ (B)15354=- (C)y x y x +=+22 (D)52045=- 11.化简 ). A B C . D . 12(y>0)是二次根式,那么化为最简二次根式是( ). A (y>0) B y>0) C (y>0) D .以上都不对 13.在下列各式中,化简正确的是( ) A ±12 C a 14 的结果是( ). A .- 3 B ..-3. 二、 填空题((每题4分,共16分) 15、实数在数轴上的位置如图示, 化简 |a-1|+=-2)2(a 。 16、写出一个无理数,使它与2的积为有理数: 。 17、已知:===24,3,2表示、试用b a b a 。 18、已知: ,5 14513,413412,312311=+=+=+ 当1≥n 时,第n 个等式可表示为 。

新初中数学二次根式经典测试题及答案解析

新初中数学二次根式经典测试题及答案解析 一、选择题 1.下列计算正确的是( ) A .3= B = C .1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得. 【详解】 A 、=,错误; B C 、22 =?= D 2= =,正确; 故选:D . 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.已知352x x -+-=的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5=x-1+5-x=4,故选A. 3.x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤﹣1 D .x <﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x ﹣1≥0,

解得,x≥1, 故选:B. 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 4.下列运算正确的是() A. B )2=2 C D ==3﹣2=1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和加减运算法则判断即可.【详解】 根据二次根式的加减,可知 A选项错误; 根据二次根式的性质2=a(a≥0 2=2,所以B选项正确; (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? > < ﹣11|=11,所以C选项错误; D D选项错误. 故选B. 【点睛】 此题主要考查了的二次根式的性质2=a(a≥0 (0) =0(=0) (0) a a a a a a ? ? =? ?- ? > < ,正确利用性质和运算法则计算是解题关键. 5.下列运算正确的是() A. 12 33 x x -=B.() 326 a a a ?-=- C .1)4 =D.()4 2 2 a a -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据合并同类项,单项式相乘,平方差公式和幂的乘方法进行判断. 【详解】

(完整版)中考数学第一章《数的开方与二次根式》复习教案新人教版

章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标(知识、能力、教育) 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念,会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念,会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质,会化简简单的二次根式, 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简; 3.掌握二次根式的运算法则,能进行二次根式的加减乘除四则运算,会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一:【课前预习】 (一):【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ,那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根,它们互为 ; 零的平方根是 ; 没有平方根。 (2)如果x 3=a ,那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根;一个负数 有一个 的立方根;零的立方根是 ; 2.二次根式 (1) (2) (3) (4)二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ;③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?;④(0,0)a a a b b b =≥f (5)二次根式的运算 ①加减法:先化为 ,在合并同类二次根式;

②乘法:应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥; ③除法:应用公式(0,0)a a a b b b =≥f ④二次根式的运算仍满足运算律,也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二):【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是() A 、x ≤2 B. x <2 C. x ≥2 D. x >2 4. 下列各式属于最简二次根式的是( ) A .225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式:①12, ②32③23 ;④273和是同类二次根式的是( ) A .①和③ B .②和③ C .①和④ D .③和④ 二:【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 -6a+9+4|5|0b c -+-=,试判断△ABC 的形状. 2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义 (1)23x -+; (2)211x x -+; (3)14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式: 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中,哪些是同类二次根式:

新人教版数学八年级下册二次根式基础专项练习

新人教版数学八年级下册《二次根式》基础专项练习 一、二次根式的意义 1.下列式子一定是二次根式的是() A.B.C.D. 2.下列式子是二次根式的有() ①;②(a≥0);③(m,n同号且n≠0);④;⑤. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.下列根式中,属于最简二次根式的是() A. B.C.D. 二、二次根式有意义的条件 4.若代数式﹣在实数范围内有意义,则x的取值范围是() A.x≠﹣2 B.x≤5 C.x≥5 D.x≤5且x≠﹣2 5.已知y=,则的值为() A.B.﹣ C.D.﹣ 6.若式子﹣+1有意义,则x的取值范围是() A.x≥B.x≤C.x= D.以上都不对 三、二次根式的性质与化简 7.下列运算正确的是() A.B. C.D. 8.实数a,b在数轴上的位置如图所示,则化简﹣+b的结果是()A.1 B.b+1 C.2a D.1﹣2a 9.若1<x<2,则的值为() A.2x﹣4 B.﹣2 C.4﹣2x D.2 四、最简二次根式

10.下列二次根式是最简二次根式的是() A. B.C. D. 11.在根式①②③④中,最简二次根式是()A.①②B.③④C.①③D.①④ 12.下列根式中是最简二次根式的是() A.B.C.(a>0)D. 五、二次根式的乘除法 13.计算2×÷的结果是() A.B.C.D.2 14.下列运算正确的是() A.a+a=a2B.a2?2a3=2a6C.÷=3 D.(﹣ab3)2=a2b6 15.下列计算正确的是() ①=?=6;②=?=6 ③=?=3;④=?=1. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 六、分母有理化 16.﹣1的倒数为() A.﹣1 B.1﹣C.+1 D.﹣﹣1 17.a=,b=,则a+b﹣ab的值是() A.3 B.4 C.5 D. 七、同类二次根式 18.下列根式中,与为同类二次根式的是() A.B.C.D. 19.下列二次根式中,能与合并的是() A. B. C.D. 20.在根式、、、、中与是同类二次根式的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

初中数学二次根式习题及答案

二次根式 1. 3 123 113 114 4 + + - + + 的值是( ) (A )1(B )-1(C )2(D )-2 2、已知82 12 1=+- x x ,则x x 1 2+= 3.设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立,其中a , x ,y 是两两不同的实数,则2 22 23y xy x y xy x +--+的值是( )(A )3(B)31(C )2(D )35 4.已知:)19911991(2 1 1 1 n n x --=(n 是自然数).那么n x x )1(2+-,的值是 ( )(A)11991-;(B)1 1991--; (C)1991)1(n -;(D)1 1991 )1(--n . 5.若01132=+-x x ,则4 4-+x x 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7. 6.若0≠x ,则x x x x 44211+-++的最大值是__________. 7.1333 3)9 19294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8.若0

初中数学八年级下册《二次根式》优秀教学设计

二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 (a ≥0 )的意义解答具体题目. 提出问题,根据问题给出概念,应用概念解决实际问题. 教学重难点关键 1( a ≥0)的式子叫做二次根式的概念; 2(a ≥0)”解决具体问题. 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题: 问题1:已知反比例函数y= ,那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________. 问题2:如图,在直角三角形ABC 中,AC=3, BC=1,∠C=90°,那么AB 边的长是__________. 问题3:甲射击6次,各次击中的环数如下:8、7、9、9、7、8,那么甲这次射击的方差是S 2,那么S=_________. 老师点评: 问题1:横、纵坐标相等,即x=y ,所以x 2=3.因为点在第一象限,所以,所以所求点的坐标. 问题2:由勾股定理得 问题3:由方差的概念得S= 二、探索新知 ,都是一些正数的算术平方根.像这样一些正数的算术平方根的式子,我们(a ≥0)?的式子叫做二次根式,号. 3x B A C

(学生活动)议一议: 1.-1有算术平方根吗? 2.0的算术平方根是多少? 3.当a<0 有意义吗? 老师点评:(略) 例1 (x>0) 、 、 (x ≥0,y ?≥0). 分析 ;第二,被开方数是正数或0. 解: x>0)、- x ≥0,y ≥0);、 、. 例2. 当x 分析:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义. 解:由3x-1≥0,得:x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P 练习1、2 、3. 四、应用拓展 例3.当x + 在实数范围内有意义? 分析+ 中的≥0和 中的x+1≠0. 解:依题意,得 由①得:x ≥- 由②得:x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+在实数范围内有意义. 例4(1)已知+5,求的值.(答案:2) 1x 1x y +1x 1x y +1313 11x +11x +11 x +23010x x +≥??+≠? 32 3211 x +x y

八年级数学下册二次根式定义练习题

八年级数学下册二次根式定义练习题 一、选择题 1.要使式子x -1有意义,则x 的取值范围是( ) A.x≤1 B.x≥1 C.x >0 D.x >﹣1 2、下列各式一定是二次根式的是( ) A. B. C. D. 3.下列二次根式中,属于最简二次根式的是( ) A.2 x B.8 C.2x D.12+x 4x 的取值范围是( ) A .0x > B .2x ≥- C .2x ≥ D .2x ≤ 5、若式子34x -在实数范围内有意义,则x 的取值范围是( ) A.43x ≥ B. 43x> C. 34x ≥ D. 34 x> 6. 如果代数式有意义,那么x 的取值范围是( ) A .x≥0 B .x≠1 C .x >0 D .x≥0且x≠1 7 =成立的x 的取值范围是( ) A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥ 8、在函数y=中,自变量x 的取值范围是( ) A.x ≥﹣2且x ≠0 B.x ≤2且x ≠0 C.x ≠0 D.x ≤﹣2 9、求使下列各式有意义的x 的取值范围? (1)2+x -x 23- (2)x -- 11+x (3) 1y x = - (4)2||12--x x

一、选择题 1.下列式子成立的是( ) A .33 1= B .2332=- C .332=-)( D.(3)2=6 2.化简8的结果是( ) A .2 B .4 C .22 D .±22 3.化简27 23-的结果是( ) A .32- B .32- C .36- D .2- 412a =-,则( ) A .a <12 B. a ≤12 C. a >12 D. a ≥12 5、已知y 3,则2xy 的值为( ) A .15- B .15 C .152- D . 152 6<0)得( ) A B C D 7、设实数a ,b 在数轴上对应的位置如图所示,化简 2a +|a +b |的结果是( ) A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 8、若+|2a ﹣b+1|=0,则(b ﹣a)2015=( ) A.﹣1 B.1 C.5 2015 D.﹣520159

2020-2021初中数学二次根式解析含答案

2020-2021初中数学二次根式解析含答案 一、选择题 1.下列计算正确的是() A.4333 -=B.235 +=C. 1 21 2 =D.822 ÷= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得.【详解】 A、43333 -=,错误; B、2、3不是同类二次根式,不能合并,错误; C、 12 222 22 =?=,错误; D、8242 ÷==,正确; 故选:D. 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.下列计算正确的是() A.+=B.﹣=﹣1 C.×=6 D.÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A、B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断. 【详解】 解:A、B与不能合并,所以A、B选项错误; C、原式= ×=,所以C选项错误; D、原式==3,所以D选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.

3.下列各式中计算正确的是() A += B .2+= C = D 2= 【答案】C 【解析】 【分析】 结合选项,分别进行二次根式的乘法运算、加法运算、二次根式的化简、二次根式的除法运算,选出正确答案. 【详解】 解:不是同类二次根式,不能合并,故本选项错误; B.2 = ,原式计算错误,故本选项错误. 故选:C. 【点睛】 本题考查二次根式的加减法和乘除法,在进行此类运算时,掌握运算法则是解题的关键. 4.下列各式计算正确的是( ) A 1082 ==-= B . ()() 236= =-?-= C 115236==+= D .54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断;根据二次根式的乘法法则对B 进行判断. 【详解】 解:A 、原式,所以A 选项错误; B 、原式,所以B 选项错误; C 、原式C 选项错误; D 、原式54==-,所以D 选项正确. 故选:D .

初中数学_二次根式教学设计学情分析教材分析课后反思

初三数学:二次根式复习题 课前准备:请学生根据知识结构图,进一步填充,并将本章知识点系统化。 课中复习: 师展示部分学生的知识结构图,学生互相补充,并背过。 知识点一:二次根式的概念及意义 形如-------- (a≥0 )这样的式子叫做二次根式,其中a可以是数,也可以是单项式和多项式.注:两个非负①a≥0 ②-------≥0 例1、当x取何值时,下列二次根式有意义:(学生口述答案并说明理由) 随堂训练 1、当x取何值时,下列二次根式有意义:(学生口头回答) (学生独立表述,学生找出问题, 提出解决方案并改正) (师适当点评) 知识点二:最简二次根式的两个条件(学生口答填空) (1)被开方----------------;(即因数是整数,因式是整式) (2)被开方数中不含------------------------------; 例2、判断下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么?(字母为正数)(学生口答填空) 随堂训练 1、计算:1、下列各式是最简二次根式的是()(学生口答填空) () A() B() C() D 知识点三:二次根式有以下二个基本性质(学生背过) 1. 积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根。 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 随堂训练 1、口算: 2 ) 2 )( 1 (2)2 1( )2(-2)4 ( )3(- π   a a  a a  a a ? ? ? ≤ - ≥ = = )0 ( )0 ( .22 )0 ( ) (2≥ =a a a 2 2)1 )( 1(+ x1 2 )2(+ x x3 1 1 )3( - 的值。 为实数,求 其中 、已知 y x y x x x x + + + - + - = , , 2 1 4 4 y 2 2 2 b a2 3 )1(ab 5.1 )2(2 2 )3(y x+b a- )4( 2 2 ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 1 (- + x x x   ____ , 5 2 2 2 = + - + - = x y x x y 则 、已知 例 )0 ,0 (> ≥ =b a b a b a )0 ,0 (≥ ≥ ? =b a b a ab

八年级下册数学--二次根式知识点整理讲解学习

二次根式 1、 算术平方根的定义:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,那么这个正数x 叫做 a 的算术平方根。 2、 解不等式(组):尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数,不等号方向改变。 如:-2x >4,不等式两边同除以-2得x <-2。不等式组的解集是两个不等式解集的公共部分。如 3、 分母≠0 4、 绝对值:|a |=a (a ≥0);|a |= - a (a <0) 一、 二次根式的概念 一般地,我们把形如 a (a ≥0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根号。 ★ 正确理解二次根式的概念,要把握以下五点: (1) 二次根式的概念是从形式上界定的,必须含有二次根号“ ”,“ ”的根指数 为2,即“2 ”,我们一般省略根指数2,写作“ ”。如2 5 可以写作 5 。 (2) 二次根式中的被开方数既可以是一个数,也可以是一个含有字母的式子。 (3) 式子 a 表示非负数a 的算术平方根,因此a ≥0, a ≥0。其中a ≥0是 a 有意 义的前提条件。 (4) 在具体问题中,如果已知二次根式 a ,就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。 (5) 形如b a (a ≥0)的式子也是二次根式,b 与 a 是相乘的关系。要注意当b 是分 数时不能写成带分数,例如83 2 可写成8 2 3 ,但不能写成2 2 3 2 。 练习:一、判断下列各式,哪些是二次根式?(1) 6 ; (2)-18 ; (3)x 2+1 ; (4)3 -8 ; (5)x 2 +2x+1 ; (6)3|x | ; (7)1+2x (x <- 1 2 )

二、当x 取什么实数时,下列各式有意义? (1)2-5x ; (2)4x 2+4x+1 二、二次根式的性质: 练习:计算(1)(3 5 )2 (2) (4 3 )2 (3) (-62) (4)- (- 18 )2 (6)x 2-2x+1 + x 2-6x+9 (1≤x ≤3) ★( a )2(a ≥0)与a 2 的区别与联系:

初中数学二次根式真题汇编及答案

初中数学二次根式真题汇编及答案 一、选择题 1.已知25523y x x =-+--,则2xy 的值为( ) A .15- B .15 C .152- D .152 【答案】A 【解析】 试题解析:由25523y x x =-+--,得 250{520 x x -≥-≥, 解得 2.5 {3x y ==-. 2xy =2×2.5×(-3)=-15, 故选A . 2.计算() 2232?-的结果在( )之间. A .1和2 B .2和3 C .3和4 D .4和5 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据二次根式的运算法则进行计算,再估算出24的范围,再求出答案即可. 【详解】 ()2232262242?-=-=- ∵4245< < ∴22423<-< ∴()2232?-的结果在2和3之间 故选:B 【点睛】 本题考查了无理数大小的估算,用有理数逼近无理数,求无理数的近似值.考查了二次根式的混合运算顺序,先乘方、再乘除、最后加减,有括号的先算括号里面的. 3.下列计算正确的是( ) A .+= B .﹣=﹣1 C .×=6 D .÷=3 【答案】D 【解析】

【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断;根据二次根式的乘法法则对C 进行判断;根据二次根式的除法法则对D 进行判断. 【详解】 解:A 、B 与不能合并,所以A 、B 选项错误; C 、原式= ×=,所以C 选项错误; D 、原式= =3,所以D 选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 4.38a -172a -a 的值为( ) A .2 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同,然后列一元一次方程求解即可. 【详解】 根据题意得,3a-8=17-2a , 移项合并,得5a=25, 系数化为1,得a=5. 故选:D . 【点睛】 本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键. 5.已知352x x -+-=()()2215x x --的结果是( ) A .4 B .62x - C .4- D .26x - 【答案】A 【解析】 由352x x -+-=可得30{50 x x -≥-≤ ,∴3≤x ≤5()()2215x x --=x-1+5-x=4,故选 A. 6.下列计算结果正确的是( ) A ()23-3

(完整word版)人教版第十六章二次根式教案

第十六章 二次根式 课题:16.1二次根式 课型:新授课 教学目标: 1、理解二次根式的定义,会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件,知道a (a ≥0)是非负数,并会运用会进行二次根式的平方运算, 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2 a 和 2a 所含运算、运算顺序、运算结 果分析,归纳并掌握性质 教学重点: 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3. ()2 a 和 2a 的运算、化简 教学难点: 当a <0时2a 的化简 教学过程: 一、复习引入 在七年级实数中,已经用到过简单的二次根式,在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 (一)定义及非负性 活动1、填空,完成课本思考1: 65,S ,2,5 h 活动2、观察其形式上的共同点,被开方数的共同点,说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义,介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题: ①9的运算结果是3,9是不是二次根式?3是不是? ②定义中为什么要加a ≥0?若a<0,a 表示什么?有无意义? ③当 a=0时,a 表示什么?结果是什么?当 a>0时,a 表示什么?可不可能为负数?a (a ≥0)是什么样的数呢? 例1、当x 是怎样的实数时,下列二次根式有意义?在下列二次根式有意义的情况下,其运算结果是怎 样的实数? 2-x , 1 1+x , 32+x 练习:1、课本思考2:当x 是怎样的实数时, 2x ,3x 有意义? 1、若 m x -=-2,则x 和m 的取值范围是x_____;m______.

2、已知053=-++y x ,求y x ,的值各是多少? (二)两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先开方再平方,结果不变. 练习:课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析,归纳出:一个非负数先平方再开方,结果不变;一个 负数先平方再开方结果为相反数. 练习:课本例3 补充练习: 1、化简:2 )4(-π,2 )32(-; 2、直角三角形的三边分别为a ,b ,c ,其中c 为斜边,则式子()2 a -() 2 c 与式子2)(c a -有什么关系? 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质,平方为“父对象”,开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题,供学生记录. 五、作业设计 必做:P5:1、2、3、4、5、6 选做:P5:7、8、9、10 教学反思

八年级数学二次根式的概念和性质

二次根式的概念及性质 用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点: (1)面积为3的正方形的边长为__________,面积为S 的正方形的边长为___________。 (2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130平方米,则它的宽为___________。 (3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t (单位:s )与开始落下时离地面的高度h (单位:m )满足关系:h=52 t 。如果用含有h 的式子表示t ,那么t 为____________。 【知识梳理1】二次根式的概念 形如_____(a≥0)的式子叫做二次根式, 叫做 。 注:(1)二次根式的定义是从形式上界定的,即必须含有二次根号“ ”,如:2、 3 2 等都是二次根式。尽管9的结果为3,但由于9满足二次根式的特征,所以9是二次根式; (2)二次根式的被开方数可以是一个数字,也可以是一个代数式,但必须满足被开方数大于等于0,如 21x ﹣-,由于被开方数小于0,所以它不是二次根式; (3)根指数是2,这里的2可以省略不写,如37不是二次根式,因为它的根指数不是2; 形如b a (a≥0)的式子也是二次根式,它表示b 与a 的乘积,当b 是带分数或小数时,要写成假分数的形式,如352不能写成1 152 的形式。 【例题精讲】二次根式的定义 例1. 在式子()12,02,1,42 2 2 3+-<--+x x x x a y x ,,4,x 中,是二次根式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 【试一试】 1. 下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、a B 、10- C 、1a + D 、12+a 2. 在、、、、中是二次根式的个数有______个。 【知识梳理2】二次根式有意义的条件 要使二次根式a 有意义,则 ≥0。 根据具体的情况可分类讨论如下: a 2a b 1x +2 1x +3

人教版初中数学二次根式解析

人教版初中数学二次根式解析 一、选择题 1.下列计算正确的是( ) A .3= B = C .1= D 2= 【答案】D 【解析】 【分析】 根据合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则计算可得. 【详解】 A 、=,错误; B C 、22 =?= D 2= =,正确; 故选:D . 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算,解题的关键是掌握合并同类二次根式的法则及二次根式的乘除运算法则. 2.在下列算式中:= ②=; ③42 ==;=,其中正确的是( ) A .①③ B .②④ C .③④ D .①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算,分别进行判断,即可得到答案. 【详解】 ①错误; =②正确; 222 ==,故③错误; ==④正确; 故选:B. 【点睛】

本题考查了二次根式的加法运算,二次根式的性质,解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题. 3.x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x ≥1 C .x ≤﹣1 D .x <﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式有意义的条件判断即可. 【详解】 解:由题意得,x ﹣1≥0, 解得,x ≥1, 故选:B . 【点睛】 本题主要考查二次根式有意义的条件,熟悉掌握是关键. 4.下列计算结果正确的是( ) A 3 B ±6 C D .3+=【答案】A 【解析】 【分析】 原式各项计算得到结果,即可做出判断. 【详解】 A 、原式=|-3|=3,正确; B 、原式=6,错误; C 、原式不能合并,错误; D 、原式不能合并,错误. 故选A . 【点睛】 考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5.若代数式 1x -在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .1x ≠ B .3x >-且1x ≠ C .3x ≥- D .3x ≥-且1x ≠

二次根式1教学设计

第二章 实数 7.二次根式(第1课时) 一、学生起点分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算,本学期又学习了有理数的平方根、立方根,认识了实数.这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础.当然,毕竟是一个新的运算,学生有一个熟悉的过程,运算的熟练程度尚有一定的差距,在本节课及后两节课的学习中,应针对学生的基础情况,控制上课速度和题目的难度. 二、教材任务分析 本节分为三个课时。第一课时,认识二次根式和最简二次根式的概念,探索二次根式的性质,并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式;第二课时,基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则,进而利用它们进行二次根式的运算;第三课时,进一步进行二次根式的运算,发展学生的运算技能,并关注解决问题方式的多样化,提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力. 为此,确定本节课教学目标是: 1.认识二次根式和最简二次根式的概念; 2.探索二次根式的性质; 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式. 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节:第一环节:明晰概念;第二环节:探究性质; 第三环节:知识巩固;第四环节:知识拓展;第五环节:课时小结. 第一环节:明晰概念 问题1 :5,11,2.7, 121 49,))((b c b c -+(其中b=24,c=25),上述式子有什么共同特征? 答:都含有开方运算,并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地,式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开

方数.强调条件:0≥a 0≥,也就是说二次根式具有双重非负性. 问题2:二次根式怎样进行运算呢? 答:这是我们本节课要解决的新问题. 意图:通过问题,回顾旧知,为导出新知打好基础. 第二环节:探究性质 (一)内容:通过探究得出b a b a ?=?, b a b a =. 具体过程如下: (1)94?= ,94?= ; 94 = ,9 4= ; = ,= . (2)用计算器计算: 76?= ,76?= ;76 = ,7 6= . 问题1:观察上面的结果你可得出什么结论? 问题2:你发现了什么规律,能用字母表示这个规律吗? 问题3:其中的字母a ,b 有限制条件吗? 意图:最终归纳出b a b a ?=?(a ≥0,b ≥0),b a b a =(a ≥0, b >0). 积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积; 商的算术平方根,等于被除数的算术平方根除以除数的算术平方根. 说明:(1)公式中字母a ≥0,b ≥0(或b >0)这一条件是公式的一部分,不 ≠≠; (2= (3)≠,也就是说遇见带分数,必须先化成假分数,即

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