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(完整版)函数图象的三种变换

(完整版)函数图象的三种变换
(完整版)函数图象的三种变换

函数图象的三种变换

函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下3种:

一、平移变换

例1 设f(x)=x2,在同一坐标系中画出:

(1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系;

(2)y=f(x),y=f(x)+1和y=f(x)-1的图象,并观察三个函数图象的关系.

解(1)如图

(2)如图

点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到;y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到;

y=f(x)+1的图象可由y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到;

y=f(x)-1的图象可由y=f(x)的图象向下平移1个单位长度得到.

小结:

二、对称变换

例2设f (x )=x +1,在同一坐标系中画出y =f (x )和y =f (-x )的图象,并观察两个函数图象的关系.

解 画出y =f (x )=x +1与y =f (-x )=-x +1的图象如图所示.

由图象可得函数y =x +1与y =-x +1的图象关于y 轴对称. 点评 函数y =f (x )的图象与y =f (-x )的图象关于y 轴对称; 函数y =f (x )的图象与y =-f (x )的图象关于x 轴对称;

函数y =f (x )的图象与y =-f (-x )的图象关于原点对称.

三、翻折变换

例3 设f (x )=x +1,在不同的坐标系中画出y =f (x )和y =|f (x )|的图象,并观察两个函数图象的关系.

解 y =f (x )的图象如图1所示,y =|f (x )|的图象如图2所示.

点评 要得到y =|f (x )|的图象,把y =f (x )的图象中x 轴下方图象翻折到x 轴上方,其余部分不变.

例4 设f (x )=x +1,在不同的坐标系中画出y =f (x )和y =f (|x |)的图象,并观察两个函数图象的关系.

解 如下图所示.

点评 要得到y =f (|x |)的图象,先把y =f (x )图象在y 轴左方的部分去掉,然后把y 轴右边的对称图象补到左方即可. 小结:

()x x y f x =???????→保留轴上方图象

将轴下方图象翻折上去

y =|f (x )|.

()y y y f x =????????→保留轴右侧图象

并作其关于轴对称的图象

y =

f (|x |). 如图:

四 函数图象自身的对称性 1.函数()y f x =的图象关于直2

a b

x +=

对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-= 2.函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称2()(2)b f x f a x ?-=-

()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++

3.若()()f x f x =-- ,则()f x 的图象关于原点对称,若()()f x f x =- ,则()f x 的图象关于y 轴对称。

基础训练

1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x ∈(0,+∞)时,函数y =|f (x )|与y =f (|x |)的图象相同. ( × ) (2)函数y =f (x )与y =-f (x )的图象关于原点对称.

( × )

(3)若函数y =f (x )满足f (1+x )=f (1-x ),则函数f (x )的图象关于直线x =1对称. ( √ ) (4)将函数y =f (-x )的图象向右平移1个单位得到函数y =f (-x -1)的图象.

( × )

2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系,其中不正确的有( )

A .1个

B .2个

C .3个

D .4个

解析 对于一个选择题而言,求出每一幅图中水面的高度h 和时间t 之间的函数关系式既无必要也不可能,因此可结合相应的两幅图作定性分析,即充分利用数形结合.

对于第一幅图,不难得知水面高度的增加应是均匀的,因此不正确;

对于第二幅图,随着时间的增加,越往上,增加同一个高度,需要的水越多,因此趋势愈加平缓,因此正确;

同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的. 故只有第一幅图不正确,因此选A. 答案 A

y=|f(x)|c

b a

o

y x

y=f(|x|)

c

b a

o

y

x

y=f(x)c b a o y

x

点评 本题考查函数的对应关系.由容器的形状识别函数模型,是典型的数形结合问题,“只想不算”有利于克服死记硬背,更突出了思维能力的考查.近两年的高考越来越注重对理性思维能力的考查.

3.向高为H 的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是( )

解析 取水深h =H 2,此时注水量V ′>V 0

2,即水深至一半时,实际注水量大于水瓶总水

量的一半.

A 中V ′

2,故排除A 、C 、D ,选B.

4.函数y =1-1

x -1

的图象是( ).

解析 将y =-1x 的图象向右平移1个单位,再向上平移一个单位,即可得到函数y =1-

1

x -1的图象. 答案 B

5.已知图①中的图象对应的函数为y =f (x ),则图②的图象对应的函数为( ).

A .y =f (|x |)

B .y =|f (x )|

C .y =f (-|x |)

D .y =-f (|x |)

解析 y =f (-|x |)=?????

f (-x ),x ≥0,

f (x ),x <0.

答案 C

6.直线y =1与曲线2

y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是________.

如图所示,2y x x a =-+是偶函数

151144

a a a -

<

7.已知)(x f 是偶函数,则)2(+x f 的图像关于__________对称;已知)2(+x f 是偶函数,则函数)(x f 的图像关于____________对称.

8.已知y =f (x )的图象如图所示,则y =f (1-x )的图象为

( )

解析: A

[因为f (1-x )=f (-(x -1)),故y =f (1-x )的图象可以由y =f (x )的图象按照如下变换得

到:先将y =f (x )的图象关于y 轴翻折,得y =f (-x )的图象,然后将y =f (-x )的图象向右平移一个单位,即得y =f (-x +1)的图象.]

9.分别画出下列函数的图象:

(1)y =x 2-2|x |-1; (2)y =x +2

x -1

. (3)(1))1(2+-=x x y

(1)y =?

????

x 2-2x -1 (x ≥0)

x 2+2x -1 (x <0).图象如图③.

(2)因y =1+3x -1,先作出y =3x 的图象,将其图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位,

即得y =x +2

x -1

的图象,如图④.

10.若函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =-f (x +1)的图象大致为_____.

思维启迪 从y =f (x )的图象可先得到y =-f (x )的图象,再得到y =-f (x +1)的图象. 解析 要想由y =f (x )的图象得到y =-f (x +1)的图象,需要先将y =f (x )的图象关于x 轴对称得到y =-f (x )的图象,然后再向左平移一个单位得到y =-f (x +1)的图象,根据上述步骤可知③正确. 答案 ③

11.已知函数f (x )=|x 2-4x +3|.(1)求函数f (x )的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M ={m |使方程f (x )=m 有四个不相等的实根}.

解 f (x )=?

????

(x -2)2-1,x ∈(-∞,1]∪[3,+∞)

-(x -2)2+1,x ∈(1,3)

作出函数图象如图.(1)函数的增区间为[1,2],[3,+∞);函数的减区间为(-∞,1],[2,3]. (2)在同一坐标系中作出y =f (x )和y =m 的图象,使两函数图象有四个不同的交点(如图). 由图知0

12.已知函数f (x )的图象与函数h (x )=x +1

x +2的图象关于点A (0,1)对称.求f (x )的解析式;(2)

解析: (1)设f (x )图象上任一点P (x ,y ),则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(-x,2-y )在h (x )的图象上,即2-y =-x -1x +2,∴y =f (x )=x +1

x

(x ≠0).

13.已知函数y =f (x )的图象关于原点对称,且x >0时,f (x )=x 2-2x +3,试求f (x )在R 上的表达式,并画出它的图象,根据图象写出它的单调区间.

解:∵f (x )的图象关于原点对称,∴f (-x )=-f (x ),∴当x =0时,f (x )=0. 又当x >0时, f (x )=x 2-2x +3,∴当x <0时,f (x )=-x 2-2x -3. ∴函数的解析式为f (x )=????

?

x 2

-2x +3,x >0,0,x =0,

-x 2

-2x -3,x <0.

作出函数的图象如图.

根据图象可以得函数的增区间为(-∞,-1),(1,+∞);函数的减区间为(-1,0),(0,1).

函数的图象变换(习题)

函数的图象变换(习题) 1.函数y=-2x2的图象是由函数y=-2x2+4x+6的图象经过怎样的变换得到的? () A.向左平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 B.向右平移1个单位长度,向上平移8个单位长度 C.向左平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 D.向右平移1个单位长度,向下平移8个单位长度 4.若函数(1) x y a b =-+(a>0,且a≠1)的图象在第一、三、四象限,则必有()

A .0<a <1,b >0 B .0<a <1,b <0 C .a >1,b <0 D .a >1,b > 5. 若函数()y f x =与()y f x =的图象相同,则()f x 可能是( ) A .1y x -= B .2x y = C .2log y x = D .21y x =- 6. 当0<a <1时,函数()log ()a f x x =-与()1g x ax =-的图象的交点在( ) A . 第四象限 B .第三象限 C .第二象限 D .第一象限 7. 在同一平面直角坐标系内,函数1()3x f x -=与1()3x g x +=的图象关于( ) A .y 轴对称 B .x 轴对称 C .原点对称 D .直线x =1对称

f (x -1)的函数 f (-x )的函数 |f (x )|的函数 f (|x |)的函数 A B C D 10. 将()y f x =的图象向右平移1个单位长度,所得图象与y =ln x 关于y 轴对称, 则()y f x =的解析式为( ) A .()ln(1)f x x =+ B .()ln(1)f x x =- C .()ln(1)f x x =-+ D .()ln(1)f x x =-- 11. 若函数22()(1)()f x x x ax b =-++的图象关于直线x =-2对称,则a ,b 的值分 别为( ) A .15,8 B .8,15 C .3,4 D .-3,-4 12. 已知函数()y f x =的图象关于直线x =1对称,且在[1)+∞,上单调递减, (0)0f =,则(1)0f x +>的解集为( ) A . (1)+∞, B .(1)(1)-∞-+∞,, C .(1)-∞-, D .(11)-, 13. 已知函数() y f x =的图象与ln y x =的图象关于x 轴对称,则 (2)f =_____________.

函数图象变换的四种方式

函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

函数图象变换的四种方式 一,平移变换。 (1)水平平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象,只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象,只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 (简记:左加右减,这里的a>0。) (2)上下平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象,只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象,只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 (简记:上加下减,这里的a>0) 二,对称变换。 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象,只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记:左右翻折) (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象,只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记:上下翻折) (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。

所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象,只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记:旋转180度) 三,翻折变换。 (1)如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象? 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象,再作出关于y轴对称的图形 (简记:右不动,左对称) (2)如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象? 先画出函数y=f(x)的图象,再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 (简记:上不动,下上翻) 四,伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不改变,就可得到函数af(x)的图象。 (2)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍,纵坐标不改变,就可得到函数f(ax)的图象。

函数图像变换及应用

上节课知识检测 一、基本内容 1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 2、会画基本函数图像(一次(两点想x 取0,,y 取0(或X 取1))、反比例(三点(x 取1/2、1,2)对称轴、对称中心)、二次(对称轴\顶点\开口)、幂(四点x 取0,1/2,1,2对称)、指数(三点x 取-1,0,1)、对数(三点Y-1,0,1)、对勾(两部分相等时X 值点)、三角(x 取五点;对称轴、对称中心)) 3.掌握画图像的基本方法:(1)描点法(2)图像变换法.平移、伸缩、翻折 (3)讨论分段法 (1)平移变换: y =f (x ) ――――――――――→a >0,右移a 个单位a <0,左移|a |个单位 y =f (x -a ); y =f (x ) ―――――――――→b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位 y =f (x )+b . (2)伸缩变换: y =f (x ) 1 011 1ωωωω <<>????????→,伸原的倍 ,短原的 长为来缩为来 y =f (ωx ); y =f (x ) ――――――――――――→A >1,伸为原来的A 倍0

函数图象的三种变换

. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下3种: 一、平移变换 2,在同一坐标系中画出:=x设f(x)例1 (1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系; (2)y=f(x),y=f(x)+1和y=f(x)-1的图象,并观察三个函数图象的关系.解(1)如图 (2)如图

点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到;y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到; y=f(x)+1的图象可由y=f(x)的图象向上平移1个单位长度得到; y=f(x)-1的图象可由y=f(x)的图象向下平移1个单位长度得到. 小结:

二、对称变换的图象,并观察两个函数图)-xy=f(x+1,在同一坐标系中画出y=f()和x例2设f(x)=象的关系.1的图象如图所示.=-x+x与y=f(-)+y解画出=f(x)=x1 由图象可得函数y=x+1与y=-x+1的图象关于y轴对称. 点评函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 三、翻折变换 例3 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数1 / 6

. 图象的关系. 解y=f(x)的图象如图1所示,y=|f(x)|的图象如图2所 示. 点评要得到y=|f(x)|的图象,把y=f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方,其余部分不变.例4 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=f(|x|)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解如下图所 示. 点评要得到y=f(|x|)的图象,先把y=f(x)图象在y轴左方的部分去掉,然后把y轴右边的对称图象补到左方即可. 小结: 保留x轴上方图象y?f(x)????????y=|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y=f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图:

高中数学中的函数图象变换及练习题

高中数学中的函数图象变换及练习题 ①平移变换: Ⅰ、水平平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x )h 左移→y =f (x +h);2)y =f (x ) h 右移→y =f (x -h); Ⅱ、竖直平移:函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上 (0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到; 1)y =f (x ) h 上移→y =f (x )+h ;2)y =f (x ) h 下移→y =f (x )-h 。 ②对称变换: Ⅰ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 y →y =f (-x ) Ⅱ、函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到; y =f (x ) 轴 x →y = -f (x ) Ⅲ、函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到; y =f (x ) 原点 →y = -f (-x ) Ⅳ、函数)(y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到。 y =f (x ) x y =→直线x =f (y ) Ⅴ、函数)2(x a f y -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线a x =对称即可得到 ③翻折变换: Ⅰ、函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方,去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; Ⅱ、函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原 y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到 ④伸缩变换: Ⅰ、函数()y af x =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点横坐标不变纵坐 标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的a 倍得到;y =f (x )a y ?→y =af (x ) Ⅱ、函数()y f ax =(0)a >的图像可以将函数()y f x =的图像中的每一点纵坐标不变横坐 标伸长(1)a >或压缩(01a <<)为原来的1a 倍得到。f (x )y =f (x )a x ?→y =f (ax ) 1.画出下列函数的图像 (1))(log 2 1 x y -= (2)x y )21(-= (3)x y 2 log = (4)12-=x y (5)要得到)3lg(x y -=的图像,只需作x y lg =关于_____轴对称的图像,再向____平移 3个单位而得到。 (6)当1>a 时,在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像( )

对数函数的图象变换及在实际中的应用苏教版

对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式, 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性,它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主:图象的平移变换: 1.水平平移:函数y f (x b) , (a 0)的图像,可由y f (x)的 2.竖直平移:函数y f (x) b , (b 0)的图像,可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像,并根据图像指出它的单调区间 ? 解:当 x 0 时,函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x),所以 2 2 y log 2 x 是偶函数,它的图象关于 y 轴对称。当x 0时,y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ,再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像,并指出两个图像 之间的关系? 解:函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像;如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像,所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到

函数图像的四种变换形式

函数图像的四种变换 1.平移变换 左加右减,上加下减 ) ( ) (a x f y x f y+ = ?→ ? =沿x轴左移a个单位; ) ( ) (a x f y x f y- = ?→ ? =沿x轴右移a个单位; a x f y x f y+ = ?→ ? =) ( ) (沿y轴上移a个单位; a x f y x f y- = ?→ ? =) ( ) (沿y轴下移a个单位。 2.对称变换 同一个函数求对称轴或对称中心,则求中点或中心。 两个函数求对称轴或对称中心,则求交点。 (1)对称变换 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线x=0(y轴)对称。 ②函数) (x f y=与函数) (x f y- =的图像关于直线y=0(x轴)对称。 ③函数) (a x f y+ =与) (x b f y- =的图像关于直线 2a b x - =对称 (2)中心对称 ①函数) (x f y=与函数) (x f y- - =的图像关于坐标原点对称 ②函数) (x f y=与函数) 2( 2x a f y b- = -的图像关于点(a,b)对称。 3伸缩变换 (1)) (x af y=的图像,可以将) (x f y=的图像纵坐标伸长(a>1)或缩短(a<1)到原来的a倍,横坐标不变。 (2)) (ax f y=(a>0)的图像,可以将) (x f y=的横坐标伸长(01)到原来的1/a倍,纵坐标不变。

4.翻折变换 (1)形如)(x f y =,将函数)(x f 的图像在x 轴下方的部分翻到x 轴上方,去掉原来x 轴下方的部分,保留原来在x 轴上方的部分。 (2)形如)(y x f =,将函数)(x f 在y 轴右边的部分沿y 轴翻到y 轴左边并替代原来y 轴左边部分,并保留)(x f y 轴左边部分,为)(y x f =的图像。 习题:①做出32y 2++=)(x 的图像 ②做出3+=x y 的图像

函数图像的三种变换

函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容,函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础,而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种: 一 、平移变换 函数图象的平移变换,表现在函数图象的形状不变,只是函数图象的相对位置在变化,其平移方式可分为以下两种: 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ,由于两函数的对应法则相同,x a x 与-取值范围一样,函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同,只是函数的图象在水平方向的相对位置不同,如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢?因为对于函数)(x f y =上的任意一点(11,y x ),在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +,因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样,将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ,由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同,定义域和值域一样,因此两函数形状相同,如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢?因为对于函数)(x f y =上的任意一点(11,y x ),在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +,因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样,将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为: (1)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 (2)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 (3)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位,然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 (4)函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象,只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位,然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象,只需把函数的图象上所有的点( ) A. 向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位,然后再向下平移1个单位,就得到函数123-=-x y 的图象。 故,本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位,再向下平移1个单位后,所得图象对应的函数解析式是( ). (A ) (B ) (C ) (D ) 分析 把已知函数图象向右平移1个单位, 即把其中自变量换成,得.

函数图象的三种变换(可编辑修改word版)

函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一,常见变换有以下 3 种: 一、平移变换 例1 设f(x)=x2,在同一坐标系中画出: (1)y=f(x),y=f(x+1)和y=f(x-1)的图象,并观察三个函数图象的关系; (2)y=f(x),y=f(x)+1 和y=f(x)-1 的图象,并观察三个函数图象的关 系.解(1)如图 (2)如图 点评观察图象得:y=f(x+1)的图象可由y=f(x)的图象向左平移 1 个单位长度得到; y=f(x-1)的图象可由y=f(x)的图象向右平移1 个单位长度得到; y=f(x)+1 的图象可由y=f(x)的图象向上平移1 个单位长度得到; y=f(x)-1 的图象可由y=f(x)的图象向下平移1 个单位长度得到. 小结: 二、对称变换 例2 设f(x)=x+1,在同一坐标系中画出y=f(x)和y=f(-x)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解画出y=f(x)=x+1 与y=f(-x)=-x+1 的图象如图所示. 由图象可得函数y=x+1 与y=-x+1 的图象关于y 轴对 称.点评函数y=f(x)的图象与y=f(-x)的图象关于y 轴 对称;函数y=f(x)的图象与y=-f(x)的图象关于x 轴对称; 函数y=f(x)的图象与y=-f(-x)的图象关于原点对称. 三、翻折变换 例 3 设f(x)=x+1,在不同的坐标系中画出y=f(x)和y=|f(x)|的图象,并观察两个函数

将x 轴下方图象翻折上去 并作其关于y 轴对称的图象 图象的关系. 解 y =f (x )的图象如图 1 所示,y =|f (x )|的图象如图 2 所示. 点评 要得到 y =|f (x )|的图象,把 y =f (x )的图象中 x 轴下方图象翻折到 x 轴上方,其余部分不变. 例 4 设 f (x )=x +1,在不同的坐标系中画出 y =f (x )和 y =f (|x |)的图象,并观察两个函数图象的关系. 解 如下图所示. 点评 要得到 y =f (|x |)的图象,先把 y =f (x )图象在 y 轴左方的部分去掉,然后把 y 轴右边的对称图象补到左方即可. 小结: y = f (x ) ??保?留x ?轴上?方图?象?→ y =|f (x )|. y = f (x ) ???保留?y 轴右?侧?图象??→ y =f (|x |). 如图: 四 函数图象自身的对称性 1. 函数 y = f (x ) 的图象关于直 x = a + b 对称? f (a + x ) = f (b - x ) ? f (a + b - x ) = f (x ) 2 2. 函数 y = f (x ) 的图象关于点(a , b ) 对称? 2b - f (x ) = f (2a - x ) ? f (x ) = 2b - f (2a - x ) ? f (a + x ) + f (a - x ) = 2b 3.若 f (x ) = - f (-x ) ,则 f (x ) 的图象关于原点对称,若 f (x ) = f (-x ) ,则 f (x ) 的图象 关于 y 轴对称。 基础训练 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当 x ∈(0,+∞)时,函数 y =|f (x )|与 y =f (|x |)的图象相同. ( × ) y y=f(|x|) a o b c x y y=|f(x)| a o b c x y y=f(x) a o b c x

函数图象变换地四种方式

WORD格式可以任意编辑 函数图象变换的四种方式 一,平移变换。 (1)水平平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象,只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象,只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 (简记:左加右减,这里的a>0。) (2)上下平移: 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象,只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象,只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 (简记:上加下减,这里的a>0) 二,对称变换。 (1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象,只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x) 的图象。(简记:左右翻折) (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象,只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x) 的图象。(简记:上下翻折) (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。 所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象,只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得 到-f(-x)的图象。(简记:旋转180度) 三,翻折变换。 (1)如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象? 先画出函数y=f(x)y轴右侧的图象,再作出关于y轴对称的图形 (简记:右不动,左对称) (2)如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象? 先画出函数y=f(x)的图象,再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 (简记:上不动,下上翻) 四,伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不改变,就可得到函数af(x) 的图象。 (2)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象?(a>0) 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍,纵坐标不改变,就可得到函数f(ax) 的图象。 专业资料整理分享

函数图像的变换及其应用.

函数图像的变换及其应用 执教:嘉定区教师进修学院张桂明 教学目标: 1.熟练掌握常见函数图像的画法,记住它们的大致形状和准确位置.2.掌握函数图像的几种类型的变换,能用图像变换法解决一些有关的函数问题. 3.通过对函数图像变换与应用问题的探究及解决,提高分析问题和解决问题的能力,体会数形结合的思想方法在解决函数与方程问题中的重要作用并能初步加以应用.教学重点: 1.常见函数的图像及其画法. 2.函数图像的变换及变换后的对称性、单调性的变化.教学难点: 应用数形结合的思想方法对问题进行分析思考,寻求解题策略.教学过程: 一、引入课题 问题:设定义域为R 的函数f (x) |lg|x 1||,x 1,则关于x 的方程 0 , x 1 f 2(x) bf (x) c 0有7 个不同实数解的充要条件是( ) (A) b 0 且c 0 (B) b 0 且c 0 (C) b 0 且c 0 (D) b 0 且c 0 二、知识回顾 1.函数图像的作法,你有哪些常用的方法? 2.请说出常见函数图像的形状、位置,作出它们的草图. 3.你会用哪些函数图像的变换方法来作函数的图像?在这些变换中,如果原来的函数图像具有某种对称性,那么变换后它们的对称性有什么变化?函数的单调性在变换后又有什么变化? 4.函数f(x)的图像关于直线x a成轴对称图形的充要条件是什么?函数f(X)的图像关于点(a , b)成中心对称图形的充要条件双是什么? 三、问题探究 2, x R.

1 .若函数y x * 2 (a 2)x 3, x [a,b]的图像关于直线 x 1对称,则 b . 2.已知函数f (x) |2x 11的图像与直线y a 有且仅有一个公共点,则实数 a 的取值范围是 3. 已知函数f(x) (1) 求证:函数f(x)的图像关于点A(-,-)对称; 2 2 1 (2) 不使用计算器,试求f (丄)f 10 4. 讨论方程| x 2 4|x| 3| a 的实数解的情况. 四、方法小结 五、练习与作业 2x .2 f(-) f 10 的值 .

函数的图像及其变换(完整版)

函数的图像及变换 一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折 左右平移平移变换上下平移横坐标不变,纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变,横坐标伸缩y f x y f x ?? ?=???=?? ??? ?? ?? ??????? 关于x 轴对称:(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称:(,)(,)x y x y →- 关于原点对称:(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称:(,)(,)x y y x → 关于y x =-对称:(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称:(,)(2,)x y a x y →-(轴对称) 关于y x b =+对称:(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称:(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称:(,)(2,2)x y a x b y →--(点对称) 例1:已知2 ()2f x x x =-,且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称,求()g x 的解析式.(相关点法) 例2:已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称,且当(0,)x ∈+∞时,有1 ()f x x = ,则当 (,2)x ∈-∞-时,()f x 的解析式是( ). A. 1x - B. 12x + C.12x -+ D. 12x - 例3:下列函数中,同时满足两个条件“①x R ?∈, ()()01212f x f x ππ++-=;②当6 π-”的一个函数是( ) A.()sin(2)6 f x x π =+ B. ()cos(2)3 f x x π =+ C. ()sin(2)6 f x x π =- D. ()cos(2)6 f x x π =-

三角函数图象变换训练

函数sin()y A x k ω?=++(其中,,,A k ω?都是常数)的图象 1、 函数sin()y A x k ω?=++(其中,,,A k ω?都是常数)的图象获取方法 (1)原始法:列表、描点、连线;(2)几何法: (4)图象变换法: 函数sin y x =的图象经变换得到sin()y A x k ω?=++的图象的步骤如下: 方法一: 1 1 sin() sin() sin y x y x y x ω ω ??ω??ω?ω?<=+=+=???????→???????????→??????????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) >0时向左平移个单位 A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的 倍 <0时向右平移||个单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位 sin() sin(2) 3sin(2)3sin(2)2 sin 3 3 3 3 y x y x y x y x y x π π π π =- =- =- =- +=??????→??????????→?????????→???????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) 上下平移变换 1 1 () () ()y f x y f x y Af y f x ω ω ??ω??ω?ω?<=+=+==???????→???????????→??????????→左右平移变换 横向伸缩变换(周期变换) 纵向伸缩变换(振幅变换) >0时向左平移个单位 A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的 倍 <0时向右平移||个单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位 方法二: 1 1 sin[(] sin sin())sin x y x y x y x ? ω ω ?ω ω ω?ω?ωωω??ω <+ ==+= =???????????→???????→| 横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍 >1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的倍 >0时向左平移个单位 00时向上平移个k 单位 倍 k<0时向下平移个|k|单位 sin(2) sin(2)sin[2(]3sin(2) 3sin(2)2 sin )3 6 3 3 y x y x x y x y x y x π π π π ==- =- =- =- +=?????????→?????????→?????????→???????→横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) 上下平移变换 1 1 () ()[()]()y f x y f x f x y f x ω ω ω?ω?? ω ? ω ωω?ω?ω<==+=+ =???????????→???????→??→横向伸缩变换(周期变换) 左右平移变换 纵向伸缩变换(振幅变换) A>1时横坐标不变纵坐标伸长为原来的A 倍>1时纵坐标不变横坐标缩短为原来的倍 >0时向左平移个 单位 00时向上平移个k 单位 k<0时向下平移个|k|单位

高中数学函数图象以及其变换专题.doc

专题 函数图象及其变换 考点精要 1.理解指数函数的概念、图象及性质. 2.理解对数函数的概念图象和性质. 1 3.理解幂函数 y=x , y=x 2,y=x 3 , y 1 , y x 2 的图象及其性质. x 4.掌握一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数的图象及其性质. 5.理解图象的平移变换、伸缩变换、对称变换. 热点分析 函数的图象是函数的一种重要表示方法, 利用函数的图像可以帮助我们更好地理解函数的重要性质 . 基本初等函数的图像及其变换,是考查的热点;利用变换作图,也是考查的重点,利用形数结合的数学思想解题,看图想性质,数形转化灵活解题. 知识梳理 函数的图象及其变换 基础知识: 1.图象法: 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 优点:能直观形象地表示出函数的变化情况. 体现:映射与反演、形数结合的数学思想. 2.基本初等函数图象 y=x n y=a x y=log a x y=sin x y=cosx y=tan x 初等函数图像: 2 k b y=kx y=kx+b y=ax +bx+c y y ax x x

3.作图基本方法 (1)利用描点法作图: ①确定函数的定义域:图象沿x 轴展布范围及渐近线; ②化简函数解析式:等价变形; ③讨论函数的性质: 奇偶性:关于图象对称性 单调性:关于图象升降性 周期性:关于图象重要性 极值、最值:关于图象最高点、最低点 截距:与 x 轴、 y 轴交点坐标 ④画出函数的图象 (2)利用基本初等函数的图象的变换作图: ①平移变换 y f (x) h 0, 右移 h y=f ( x h) h 0, 左移 |h | y f ( x) k 0, 上移 k y=f (x)+k k 0, 下移 | k | ②伸(放)缩变换: 沿 x 轴:y f ( x) 0 沿 y 轴: y = A f ( x)(A>0) ③对称变换: y=f (x)y= f ( x) y=f (x)y= f (x) y=f (x)y=f ( 2a x)

函数图像及其变换解读

函数图像及其变换 上海师范大学附属外国语中学 李庆兵 函数是整个高中数学的重点和难点,高中阶段对函数性质的研究往往是通过研究函数图像及其变换得到的,所以函数图像及其变换也就成为高考的固定考点。历年高考考试大纲中都明确要求,学生要“会运用函数图像理解和研究函数的性质”,并且与前几年比较可以发现,近几年高考对于函数图像方面的考查已经不再局限于对几个常见函数本身的单一的考查,而是结合函数的运算,更为深刻地考查函数与函数、函数与方程、函数与不等式、函数与其他学科或现实生活等方面的联系。这就要求我们不仅要熟练掌握一些基本函数的图像特征及函数图像变换的几种常见方法,而且要会灵活运用。下面笔者就结合近几年的一些高考试题,谈一些函数图像及其变换和应用方面的问题,希望能引起正在忙于备考的高三教师和学子们的重视,并给他们带来一些启发。 (一)平移变换及其应用: 函数00)(y x x f y +-=的图像可以看作是由函数)(x f y =的图像先向左0(x >0)或向右(0x <0)平移||0x 个单位,再向上0(y >0)或向下(0y <0)平移||0y 个单位得到。如: 例1、(2008上海理11)方程0122=-+ x x 的解可视为函数2+=x y 的图象与函数x y 1=的图象交点的横坐标。若方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点),,2,1)(4, (k i x x i i =均在直线x y =的同侧,则实数a 的取值范围是 。 P (图一) (图二) 分析:由题意,方程044=-+ax x 的解可视为函数a x y +=3的图象与函数x y 4=的图象交点的横坐标。这些交点可以看作是由函数3x y =的图象经过上下平移得到,由图(1)可知,函数3x y =与函数x y 4=的图象分别交于点P 、Q ,且点P 在直线上方,点Q 在直线下方,要使得方程044=-+ax x 的各个实根)4(,,,21≤k k x x x x 所对应的点x x y 4= 0Q A B 0x A B

2013高三数学总复习同步练习:2-6 幂函数与函数的图象变换

2-6 幂函数与函数的图象变换 基础巩固强化 1.已知点(3 3,3)在幂函数f (x )的图象上,则f (x )( ) A .是奇函数 B .是偶函数 C .是非奇非偶函数 D .既是奇函数又是偶函数 [答案] A [解析] 设f (x )=x α ,则(33 )α =3,即3 -1 2 α =312 ,故α=-1, 因此f (x )=x -1,所以f (x )是奇函数.故选A. 2.(文)函数y =x 35 在[-1,1]上是( ) A .增函数且是奇函数 B .增函数且是偶函数 C .减函数且是奇函数 D .减函数且是偶函数 [答案] A [解析] ∵3 5的分子分母都是奇数,∴f (-x )=(-x ) 35 =-x 35 = -f (x ),∴f (x )为奇函数, 又3 5>0,∴f (x )在第一象限内是增函数, 又f (x )为奇函数,∴f (x )在[-1,1]上是增函数. (理)设a ∈{-1,1,1 2,3},则使函数y =x α的定义域为R 且该函 数为奇函数的所有α值为( ) A .1,3 B .-1,1

C .-1,3 D .-1,1,3 [答案] A [解析] 在函数y =x -1,y =x ,y =x 1 2 ,y =x 3中,只有函数y =x 和y =x 3的定义域是R ,且是奇函数,故α=1或3. 3.设a =0.50.5,b =0.30.5,c =log 0.30.2,则a 、b 、c 的大小关系是( ) A .a >b >c B .a log 0.30.3=1,即c >1.所以b

三角函数的图像变换及应用

三角函数的图像变换及应用 1.“五点法”画正、余弦型函数的图像 (1)(2018浙江月考,6分)某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)在某一个周期内 答案: f (x )=5sin ????2x -π 6,表格及图像见解答过程 解:根据表中已知数据,知A =5, ???π3ω+φ=π2 ,5π6ω+φ=3π2 ,解得?????ω=2,φ=-π6, ∴函数的解析式为f (x )=5sin ????2x -π 6.(2分) 表格数据补全如下表:(4分) 画出函数在一个周期内的图像如图所示.(6分) 2.常见的三角函数图像变换 a .三角函数的图像变换 (2)(2018湖南模拟,7分)把函数f (x )=2sin ????2x -π 3+3-1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图像向左平移π 3个单位,得到函数y =g (x )的图像,求 g ????π6的值. 答案:3 解:把函数f (x )=2sin ? ???2x -π 3+3-1的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐

标不变),得到y =2sin ????x -π3+3-1的图像,再把得到的图像向左平移π 3个单位,得到y =2sin x +3-1的图像,∴g (x )=2sin x +3-1,(5分) ∴g ????π6=2sin π6 +3-1= 3.(7分) (2018浙江模拟,4分)把函数f (x )=2sin ????2x -π3+3-1的图像向左平移π 3个单位,再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y =g (x )的图像,则函数g (x )的解析式为__g (x )=2sin ??? ?x +π 3. 解析:把函数f (x )=2sin ????2x -π3+3-1的图像向左平移π 3个单位,得到y =2sin ????2????x +π3-π3+3-1=2sin(2x +π 3)+3-1的图像,再将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y =2sin ????x +π 3+3-1的图像.∴函数g (x )的解析式为g (x )=2sin ??? ?x +π 3+3-1. (3)(2016北京,5分)将函数y =sin ? ???2x -π 3图像上的点 P ???? π4,t 向左平移s (s >0) 个单位长度得到点P ′,若P ′位于函数y =sin2x 的图像上,则( A ) A .t =12,s 的最小值为π6 B .t =32,s 的最小值为π6 C .t =12,s 的最小值为π3 D .t =32,s 的最小值为π 3 解析:由题意得t =sin ????2×π4-π3=12,∴P ????π4,1 2. 将点P ???? π4,12向左平移s (s >0)个单位得到点P ′, ∴点P ′的坐标为????π4 -s ,1 2, 又∵点P ′位于函数y =sin2x 的图像上, ∴1 2=sin2????π4-s =cos2s , ∴2s =π3+2k π或5π 3+2k π,k ∈N , ∴s =π6+k π或5π 6+k π,k ∈N . ∴当k =0时,s 的最小值为π 6 .故选A.

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