2009中国数学奥林匹克解答
一、给定锐角三角形PBC ,PC PB ≠.设A ,D 分别是边PB ,PC 上的点,连接AC ,BD ,相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ,OF ⊥CD ,垂足分别为E ,F ,线段BC ,AD 的中点分别为M ,N .
(1)若A ,B ,C ,D 四点共圆,求证:EM FN EN FM ?=?;
(2)若 EM FN EN FM ?=?,是否一定有A ,B ,C ,D 四点共圆?证明你的结论. 解(1)设Q ,R 分别是OB ,OC 的中点,连接
EQ ,MQ ,FR ,MR ,则
11
,22
EQ OB RM MQ OC RF ====,
又OQMR 是平行四边形,所以
OQM ORM ∠=∠,
由题设A ,B ,C ,D 四点共圆,所以
ABD ACD ∠=∠,
于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠,
所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠, 故 E Q M M R F ???,
所以 EM =FM , 同理可得 EN =FN ,
所以 E M F N E N F M ?=?.
(2)答案是否定的.
当AD ∥BC 时,由于B C ∠≠∠,所以A ,B ,C ,D 四点不共圆,但此时仍然有
EM FN EN FM ?=?,证明如下:
如图2所示,设S ,Q 分别是OA ,OB 的中点,连接ES ,EQ ,MQ ,NS ,则
11
,22
NS OD EQ OB ==,
所以
N S O D E Q O B
=. ①
C
B
又11
,22
ES OA MQ OC ==,所以
ES OA
MQ OC
=
. ② 而AD ∥BC ,所以
OA OD
OC OB
=, ③ 由①,②,③得
NS ES
EQ MQ
=
. 因为 2NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠,
()(1802)EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠,
即 NSE EQM ∠=∠, 所以 NSE ?~EQM ?, 故
EN SE OA
EM QM OC
==(由②). 同理可得, FN OA
FM OC =, 所以 EN FN
EM FM
=, 从而 EM FN EN FM ?=?.
二、求所有的素数对(p ,q ),使得q p pq 55+.
解:若pq |2,不妨设2=p ,则q q 55|22+,故255|+q q .
由Fermat 小定理, 55|-q q ,得30|q ,即5,3,2=q .易验证素数对)2,2(不合要求,)3,2(,)5,2(合乎要求.
若pq 为奇数且pq |5,不妨设5=p ,则q q 55|55+,故6255|1+-q q .
当5=q 时素数对)5,5(合乎要求,当5≠q 时,由Fermat 小定理有15|1--q q ,故
C
B
626|q .由于q 为奇素数,而626的奇素因子只有313,所以313=q .经检验素数对)313,5(合乎要求.
若q p ,都不等于2和5,则有1155|--+q p pq ,故
)(mod 05511p q p ≡+--. ①
由Fermat 小定理,得 )(mod 151p p ≡- , ② 故由①,②得
)(mod 151p q -≡-. ③
设)12(21-=-r p k ,)12(21-=-s q l , 其中s r l k ,,,为正整数. 若l k ≤,则由②,③易知
)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)
12(2
1)
12(2
p r r q s r s p s l
k
l k
l -≡-≡==≡=----------,
这与2≠p 矛盾!所以l k >.
同理有l k <,矛盾!即此时不存在合乎要求的),(q p . 综上所述,所有满足题目要求的素数对),(q p 为
)3,2(,)2,3(,)5,2(,)2,5(,)5,5(,)313,5(及)5,313(.
三、设m ,n 是给定的整数,n m <<4,1221+n A A A 是一个正2n +1边形,
{}1221,,,+=n A A A P .求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数. 解 先证一个引理:顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角,且有两个锐角时,
这两个锐角必相邻.
事实上,设这个凸m 边形为m P P P 21,只考虑至少有一个锐角的情况,此时不妨设2
21π
<
∠P P P m ,则
)13(2
122-≤≤>
∠-=∠m j P P P P P P m m j π
π,
更有)13(2
11-≤≤>
∠+-m j P P P j j j π
.
而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π,故其中至多一个为锐角,这就证明了引理. 由引理知,若凸m 边形中恰有两个内角是锐角,则它们对应的顶点相邻. 在凸m 边形中,设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点,且在这两个顶点处的内角均为锐
角.设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边(n r ≤≤1),这样的),(j i 在r 固定时恰有
12+n 对.
(1) 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上,而j i A A 劣弧上有1-r 个P
中的点,此时这2-m 个顶点的取法数为21--m r C .
(2) 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上,取i A ,j A 的对径点i B ,j B ,由于凸m 边形在顶点i A ,j A 处的内角为锐角,所以,其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上,而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点,此时这2-m 个顶点的取法数为2-m r C .
所以,满足题设的凸m 边形的个数为
))()()(12()12()()12(1
1
1
11111121211
22
1
∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=?
?
?
??++=++n
r n
r m r
m r m r m r n r m r n r m r n
r m r
m r C C C C n C C n C
C
n
))(12(1
11--+++=m n
m n C C n . 四、给定整数3≥n ,实数n a a a ,,,21 满足 1min 1=-≤<≤j i n
j i a a .求∑=n
k k a 1
3
的最小值.
解 不妨设n a a a <<< 21,则对n k ≤≤1,有
k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-,
所以
(
)∑∑=-+=+=n k k
n k n
k k
a a a 1
3
13
1
3
21
()()
()
∑=-+-+-+??
? ??++
-+=n k k n k k
n k k n k a a a a a a 12
12
114
1
43
21 ()
∑∑==-+-+≥+≥n k n
k k
n k k n a a 1
3
1
3
1218181. 当n 为奇数时,
22
211
3313
)1(4
12221-=
??=-+∑∑-==n i k n n i n
k . 当n 为偶数时,
32
1
1
3
)12(221∑∑==-=-+n i n
k i k n
?
??
?
? ??-=∑∑==21313)2(2n
i n j i j
)2(4
12
2-=
n n . 所以,当n 为奇数时,2
21
3
)1(321-≥∑=n a n
k k
,当n 为偶数时,)2(32
12
21
3
-≥
∑=n n a n
k k ,等号均在n i n i a i ,,2,1,2
1
=+-
=时成立. 因此,∑=n
k k a 1
3
的最小值为
22)1(321-n (n 为奇数),或者)2(32
122-n n (n 为偶数). 五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色.问:对怎样的n ,存在一种染色方式,使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色,都能找到一个三角形,其顶点为多边形P 的顶点,且它的3条边分别被染为这3种颜色? 解 当n 3≥为奇数时,存在合乎要求的染法;当n 4≥为偶数时,不存在所述的染
法。
每3个顶点形成一个三角形,三角形的个数为3
n C 个,而颜色的三三搭配也刚好有3
n
C 种,所以本题相当于要求不同的三角形对应于不同的颜色组合,即形成一一对应. 我们将多边形的边与对角线都称为线段.对于每一种颜色,其余的颜色形成21-n C 种搭配,所以每种颜色的线段(边或对角线)都应出现在2
1-n C 个三角形中,这表明在合乎要求的染法中,各种颜色的线段条数相等.所以每种颜色的线段都应当有2
1
2
-=n n C n 条.
当n 为偶数时,
2
1
-n 不是整数,所以不可能存在合乎条件的染法.下设12+=m n 为奇数,我们来给出一种染法,并证明它满足题中条件.自某个顶点开始,按顺时针
方向将凸12+m 边形的各个顶点依次记为1221,,,+m A A A .对于}12,,2,1{+?m i ,按
12m o d +m 理解顶点i A .再将12+m 种颜色分别记为颜色12,,2,1+m .
将边1+i i A A 染为颜色i ,其中12,,2,1+=m i .再对每个12,,2,1+=m i ,都将线段(对角线)k i k i A A ++-1染为颜色i ,其中1,,2,1-=m k .于是每种颜色的线段都刚好
有m 条.注意,在我们的染色方法之下,线段11j i A A 与22j i A A 同色,当且仅当
)12(mod 2211++≡+m j i j i . ①
因此,对任何)12(mod +≠m j i ,任何)12(mod 0+≠m k ,线段j i A A 都不与k
j k i A A ++同色.换言之,如果
)12(mod 2211+-≡-m j i j i . ②
则线段11j i A A 都不与22j i A A 同色.
任取两个三角形111k j i A A A ?和222k j i A A A ?,如果它们之间至多只有一条边同色,当然它们不对应相同的颜色组合.如果它们之间有两条边分别同色,我们来证明第3条边必不同颜色.为确定起见,不妨设11j i A A 与22j i A A 同色.
情形1:如果11k j A A 与22k j A A 也同色,则由①知
)12(mod 2211++≡+m j i j i , )12(mod 2211++≡+m k j k j ,
将二式相减,得)12(mod 2211+-≡-m k i k i ,故由②知11i k A A 不与22i k A A 同色.
情形2:如果11k i A A 与22k i A A 也同色,则亦由①知
)12(mod 2211++≡+m j i j i , )12(mod 2211++≡+m k i k i ,
将二式相减,亦得)12(mod 2211+-≡-m k j k j ,亦由②知11k j A A 与22k j A A 不同色.总之,
111k j i A A A ?与222k j i A A A ?对应不同的颜色组合.
六、给定整数3≥n ,证明:存在n 个互不相同的正整数组成的集合S ,使得对S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,数
A
x
A
x ∑∈ 与
B
x
B
x ∑∈
是互素的合数.(这里∑∈X
x x 与X 分别表示有限数集X 的所有元素之和及元素个数.) 证 我们用)(X f 表示有限数集X 中元素的算术平均.
第一步,我们证明,正整数的n 元集合{}n m m S ,,2,1)!1(1 =+=具有下述性质:对
1S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,有)()(B f A f ≠. 证明:对任意1S A ?,?≠A ,设正整数k 满足
)!1()(!+≤ 事实上,设)!1(+'k 是A 中最大的数,则由1S A ?,易知A 中至多有k '个元素,即k A '≤,故!)! 1()(k k k A f '>' +'≥.又由)(A f 的定义知)(A f ≤)!1(+'k ,故由①知k k '=.特别地有k A ≤. 此外,显然)!1()!1()(+=+'≥k k A f A ,故由l 的定义可知A l ≤.于是我们有 A l ≤k ≤. 若k l =,则l A =;否则有1-≤k l ,则 ≥??? ??+=+)(11)()1(A f l l A f l )!1(111+?? ? ?? -+k k !2!)!1(++++> k k . 由于)!1(+k 是A 中最大元,故上式表明1+ l B A ==,故)()(B f B A f A =,但这等式两边分别是A ,B 的元素和,利用 !2!)!1(++>+ m m 易知必须A =B ,矛盾. 第二步,设K 是一个固定的正整数,)(max !11 1A f n K S A ??>,我们证明,对任何正整数 x ,正整数的n 元集合{}121!!S x n K S ∈+=αα具有下述性质:对2S 的任意两个不同的非空子集A ,B ,数)(A f 与)(B f 是两个互素的整数. 事实上,由2S 的定义易知,有1S 的两个子集11,B A ,满足A A =1,B B =1,且 1)(!!)(,1)(!!)(11+=+=B xf n K B f A xf n K A f . ② 显然)(!1A f n 及)(!1B f n 都是整数,故由上式知)(A f 与)(B f 都是正整数. 现在设正整数d 是)(A f 与)(B f 的一个公约数,则)()(!)()(!11A f B f n B f A f n -是d 的倍数,故由②可知)(!)(!11B f n A f n d -,但由K 的选取及1S 的构作可知, )(!)(!11B f n A f n -是小于K 的非零整数,故它是!K 的约数,从而!K d .再结合)(A f d 及②可知d =1,故)(A f 与)(B f 互素. 第三步,我们证明,可选择正整数x ,使得2S 中的数都是合数.由于素数有无穷多个,故可选择n 个互不相同且均大于K 的素数n p p p ,,,21 .将1S 中元素记为n ααα,,,21 ,则())1(1!!,n i n K p i i ≤≤=α,且()1,22=j i p p (对n j i ≤<≤1),故由中国剩余定理可知,同余方程组 n i p x n K i i ,,2,1),(mod 1!!2 =-≡α, 有正整数解. 任取这样一个解x ,则相应的集合2S 中每一项显然都是合数.结合第二步的结果,这一n 元集合满足问题的全部要求.