《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)共线,则( )
A.x=-1
B.x=3
C.x=29
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( )
A.(-5k,4k ) B .(-k 5,-k 4
) C.(-10,2) D.(5k,4k)
3.若点P 分AB 所成的比为43
,则A 分BP 所成的比是( ) A.73B. 37C.-37D.-73
4.已知向量a 、b ,a ·b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量a 与b 的夹角为( )
A.60°
B.-60°
C.120°
D.-120°
5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5,则向量a ·b=( ) A.103 B.-103C.102D.10
6.()已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =()
A.? ????
79,73 B.? ?
???-73,-79C.? ????73,79 D.? ?
???
-79,-73
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x )·b 与b 垂直,则x 的值为( ) A.323B.233
C.2
D.-52
8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点P 在有向线段21P P 的延长线上,则λ的取值范围是(
)
A.(-∞,-1)
B.(-1,0)
C.(-∞,0)
D.(-∞,-21
)
9.设四边形ABCD 中,有DC =21
,且||=||,则这个四边形是( )
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形
10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为( )
A.y=x+10
B.y=x-6
C.y=x+6
D.y=x-10
11.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后,得到y=x 2的图像,则a 等于( )
A.(2,-1)
B.(-2,1)
C.(-2,-1)
D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D 的坐标是( )
A.(2a,b)
B.(a-b,a+b)
C.(a+b,b-a)
D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且b 与a 同向,b 的模为25,则b=。
14.已知:|a|=2,|b|=2,a 与b 的夹角为45°,要使λb-a 垂直,则λ=。
15.已知|a|=3,|b|=5,如果a ∥b ,则a ·b=。
16.在菱形ABCD 中,(AB +AD )·(AB -AD )=。
三、解答题
17.如图,ABCD 是一个梯形,AB ∥CD ,且AB=2CD ,M 、N 分别是DC 、AB 的中
点,已知AB =a,AD =b,试用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN 。
18.设a =(-1,1),b =(4,3),c =(5,-2),
(1)求证a 与b 不共线,并求a 与b 的夹角的余弦值;(2)求c 在a 方向上的投影;
(3)求λ1和λ2,使c =λ1a +λ2b .
19.设e 1与e 2是两个单位向量,其夹角为60°,试求向量a=2e 1+e 2,b=-3e 1+2e 2的夹角θ。
20.以原点O 和A (4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ,∠B=90°,求点B 的坐标和AB 。
21.已知||2a =||3b =,a b 与的夹角为60o , 53c a b =+, 3d a kb =+,当当实数k 为何值时,⑴c ∥d
⑵c d ⊥
22.已知△ABC 顶点A (0,0),B (4,8),C (6,-4),点M 内分AB 所成的比为3,N 是AC 边上的一点,且△AMN 的面积等于△ABC 面积的一半,求N 点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1.(全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 、满足|a |=|b |=|c |,a +b =c ,则〈a ,b 〉=( )
A .150
B .120°
C .60°
D .30°
2.(四川高考)设平面向量a =(3,5),b =(-2,1),则a -2b 等于( ) A .(7,3) B .(7,7)C .(1,7) D .(1,3)
3.如图,已知AB →=a ,AC →=b ,BD →=3DC →,用a ,b 表示AD →,则AD →等于( )
A .a +34b B.14a +34b C.14a +14b D.34a +14
b 4.()已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量
c 满足(c +a )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( )
A.? ????79,73
B.? ????-73
,-79C.? ????73,79D.? ????-79,-73 5.(启东)已知向量p =(2,x -1),q =(x ,-3),且p ⊥q ,若由x 的值构成的集合A 满足A ?{x |ax =2},则实数a 构成的集合是( )
A .{0}
B .{23}
C .?
D .{0,23
} 6.在△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A 、B 、C 的对边,如果2b =a +c ,B =30°,△ABC 的面积为32
,则b 等于( )
A.1+32B .1+3C.2+32
D .2+ 3 7.(银川模拟)已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ,灯塔A 在观察站C 的北偏东20°,灯塔B 在观察站C 的南偏东40°,则灯塔A 与B 的距离为( )
A .2a km
B .a kmC.3a km D.2a km
8.在△ABC 中,若BC →2=AB →·BC →+CB →·CA →+BC →·BA →,则△ABC 是( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等边三角形
9.已知等腰△ABC 的腰为底的2倍,则顶角A 的正切值是( )
A.32
B. 3
C.158
D.157
10.已知D 为△ABC 的边BC 的中点,在△ABC 所在平面内有一点P ,满足PA →+BP →+CP →=0,设|PA →||PD →|
=λ,则λ的值为()
A .1B.12C .2D.14
二、填空题
11.设向量a =(1,2),b =(2,3),若向量λa +b 与向量c =(-4,-7)共线,则λ________.
12.(皖南八校联考)已知向量a 与b 的夹角为120°,若向量c =a +b ,且c ⊥a ,则|a ||b |
=________. 13.已知向量a =(tan α,1),b =(3,1),α∈(0,π),且a ∥b ,则α的值为________.
14.(烟台模拟)轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港O ,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h 、15 n mile/h ,则下午2时两船之间的距离是________n mile.
15.(江苏高考)满足条件AB =2,AC =2BC 的三角形ABC 的面积的最大值是________.
三、解答题
16.设a =(-1,1),b =(4,3),c =(5,-2),
(1)求证a 与b 不共线,并求a 与b 的夹角的余弦值;
(2)求c 在a 方向上的投影;
(3)求λ1和λ2,使c =λ1a +λ2b .
17.如图,已知A (2,3),B (0,1),C (3,0),点D ,E 分别在AB ,AC 上,DE ∥BC ,且DE 平分△ABC 的面积,求点D 的坐标.
18.(厦门模拟)已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (3,0)、B (0,3)、C (cos α,sin α),α∈? ????π2,32π. (1)若|AC →|=|BC →|,求角α的值;
(2)若AC →·BC →=-1,求2sin 2α+sin2α1+tan α
的值.
19.(南充模拟)在△ABC 中,已知内角A =π3
,边BC =23,设内角B =x ,周长为y . (1)求函数y =f (x )的解析式和定义域;
(2)求y 的最大值及取得最大值时△ABC 的形状.
20.(福建高考)已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,-1),m ·n =1,且A 为锐角.
(1)求角A 的大小;
(2)求函数f (x )=cos2x +4cos A sin x (x ∈R)的值域.
21.在△ABC 中,a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边,且(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin C .
(1)若a =3,b =4,求|CA →+CB →|的值;
(2)若C =π3,△ABC 的面积是3,求AB →·BC →+BC →·CA →+CA →·AB →的值.
《平面向量》测试题
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.C
5.A
6.D
7.D
8.A
9.C 10.B 11.A 12.C
13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0
17.[解] 连结AC
=21
=21
a,……AC =AD +DC = b+21
a,……
=-= b+21a-a= b-21
a,……
NM =ND +DM =NA +AD +DM = b-41
a,……
MN =-NM =41
a-b 。……
18.【解析】 (1)∵a =(-1,1),b =(4,3),且-1×3≠1×4,∴a 与b 不共线.
又a ·b =-1×4+1×3=-1,|a |=2,|b |=5,
∴cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-152=-2
10.
(2)∵a ·c =-1×5+1×(-2)=-7∴c 在a 方向上的投影为a ·c |a |=-
7
2=-7
2 2.
(3)∵c =λ1a +λ2b ,
∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3) =(4λ2-λ1,λ1+3λ2), ∴??? 4λ2-λ1=5
λ1+3λ2=-2,解得?????
λ1
=-
237λ2=37.
19.[解]∵a=2e 1+e 2,∴|a|2=a 2=(2e 1+e 2)2=4e 12+4e 1·e 2+e 22=7,∴|a|=7。
同理得|b|=7。又a ·b==(2e 1+e 2)·(-3e 1+2e 2,)=-6e 12+ e 1·e 2+2e 22=-27
,
∴cosθ=
|
|·|
|
·
b
a
b
a
=
7
7
2
7
?
-
=-
2
1
,∴θ=120°.
20.[解] 如图8,设B(x,y),
则OB=(x,y), AB=(x-4,y-2)。
∵∠B=90°,∴OB⊥AB,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x2+y2=4x+2y。①
设OA的中点为C,则C(2,1), OC=(2,1),CB=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形,∴OC⊥CB,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y=5。②
解得①、②得
?
?
?
=
=
3
1
1
1
y
x
或
?
?
?
-
=
=
1
3
2
2
y
x
∴B(1,3)或B(3,-1),从而AB=(-3,1)或AB=(-1,-3)
21. ⑴若c∥d得
5
9
=
k⑵若d
c⊥得
14
29
-
=
k
22.[解] 如图10,
ABC
AMN
S
S
△
△=
BAC
BAC
∠
∠
sin
·|
|·|
|
2
1
sin
·|
|·|
|
2
1
。
∵M分AB的比为3
|
|AB
=
4
3
,则由题设条件得
2
1
=
3
4
=
3
2
=2。