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直角三角形的边角关系练习题

直角三角形的边角关系练习题
直角三角形的边角关系练习题

直角三角形的边角关系练习题

第一章直角三角形的边角关系

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起(第一课时)

四、随堂练习:

1、如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗?

2、如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001)

3、若某人沿坡度i=3:4的斜

坡前进10米,则他所在的位置

比原来的位置升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.

较长的一条对角线与菱形的一边的

夹角为θ,则tanθ=______.

5、如图,Rt△ABC是一防

洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的

长为12 m,它的坡角为45°,为了

提高该堤的防洪能力,现将背水坡改

造成坡比为1:1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号)

B

A

五、课后练习:

1、在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.

2、在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.

3、在△ABC中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.

4、在Rt△ABC中,∠C是直角,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,且a=24,c= 25,求tanA、tanB 的值.

5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.

6、如图,在菱形ABCD

中,AE⊥BC于E,EC=1,tanB=

12

5, 求菱形的边长和四边形AECD的周长.

7、已知:如图,斜坡AB的倾斜角a,且tanα=3

4

,现有一小球从坡底A处以20cm/s 的速度向坡顶B处移动,则小球以多大的速度向上升高?

§1.1从梯子的倾斜程度谈起(第二课时)

四、随堂练习:

1、在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6,求sinB,cosB,tanB.

E D

B A C

D

B A

C

B

A

C

2、在△ABC 中,∠C =90°,sinA =5

4

,BC=20,求△ABC 的周长和面积.

3、在△ABC 中.∠C=90°,若tanA=21,则sinA= .

4、已知:如图,CD 是Rt

ABC 的斜边AB 上的高,求证:BC 2

=AB ·BD.(用正弦、余弦函

数的定义证明)

五、课后练习:

1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=

34

,则

sinB=_______,tanB=______.

2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=9

41,则AC=______,BC=_______.

3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=4

5,则BC=_____. 4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( ) A.sinA=34

B.cosA=3

5

C.tanA=34

D.cosB=35

5、如图,在△ABC

中,∠C=90°,sinA=3

5,则BC AC

等于( )

A.34

B.43

C.35

D.4

5 6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知

cosA=3

5,那么tanA 等( )

A.43

B.34

C.45

D.5

4

7、在△ABC 中,∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是 A .135 B .1312 C .125

D .512 8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比

乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( )

A.tan α

B.sin α

C.cos α

D.cos α>cos β

9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下

列线段的比中不等于sinA 的是( )

A.CD AC

B.DB CB

C.CB AB

D.CD

CB 10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升

的最大高度是( )m

A.100sin β

B.100sin β

C.100

cos β D. 100cos β

11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,

和正切.

12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的

高,AD=4.求:CD,sinC.

13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中

线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.

14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?

15、如图,已知四边形

ABCD

中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=4

5.求:s △ABD :

s △BCD

§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值

三、随堂练习 1.计算: (1)sin60°-tan45°;

(2)cos60°+tan60°;

(3)

2

2sin45°+sin60°-2cos45°; ⑷1

32

30sin 1+-?;

⑸(2+1)-1

+2sin30°-8; ⑹(1+2)0

-|

B

D

A

C

1-sin30°|1+(2

1

)-1

⑺sin60°+?

-60tan 11

; ⑻2-3-(003

2+

π)0

-cos60°-2

11-.

2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为30°.高为7 m ,扶梯的长度是多少?

3.如图为住宅区内的两幢楼,它们的

高AB =CD=30 m ,两楼问的距离AC=24 m ,现需了

解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时,求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ,2≈1.41,3≈1.73)

四、课后练习:

1、Rt △ABC 中,8,60=?=∠c A ,则__________,==b a ;

2、在△ABC 中,若2

,32==b c ,,则____tan =B ,面积S

= ;

3、在△ABC 中,AC :BC =1:3,AB =6,∠B = ,AC = BC =

4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2,则顶角为 ( )

(A )600

(B )900

(C )1200

(D )150

5、有一个角是?30的直角三角形,斜边为cm 1,则斜边上的高为 ( )

(A )cm 41 (B )cm 2

1

(C )cm 43 ?

15020米

30米

(D )

cm 2

3

6、在ABC ?中,?=∠90C ,

若A B ∠=∠2,则tanA 等于( ). (A )3 (B )33 (C )23 (D )2

1 7、如果∠a 是等边三角形的一个内角,那么cos a

的值等于( ).

(A )21 (B )22

(C )23 (D )1 8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米a 元,则购买这种草皮至少要( ). (A )450a 元 (B )225a 元 (C )150a 元 (D )300a 元 9、计算: ⑴、?

+?60cos 60sin 22

⑵、

?

?-?30cos 30sin 260sin

⑶、?

-?45cos

30sin 2

⑷、

3

245cos 2-+?

⑸、0

45cos 360sin 2+ ⑹、 1

30sin 560

cos 30

-

⑺、?30sin 22·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2

2

10、请设计一种方案计算tan15°的

值。

§1.4 船有触礁的危险吗

三、随堂练习

1.如图,一灯柱AB 被一钢缆CD 固定,CD 与地面成

40°夹角,且DB =5 m ,现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ,那么钢缆ED 的长度为多少?

2.如图,水库大坝的截面是梯形

ABCD.坝顶AD=6m,坡长CD=8m.

坡底BC=30m,∠ADC=135°.

(1)求∠ABC的大小:

(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)

3.如图,某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处,经16小时的航行到达,到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知,一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动,距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响.

(1)问:B处是否会受到台风的影响?请说明理由.

(2)为避免受到台风的影响,该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据:2≈1.4,3≈1.7)

四、课后练习:

1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为23米,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.

2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影

N

A

M

P

长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).

3.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所

学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.

4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,在乙建

筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).

5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为

∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).

6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,

B

D

C E

F

30?

A 60?

C

B

D

A E F 太阳光线

B

60?

D

A 36?

C

一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离黑匣子B 最近,并求最近距离.

7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔

滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的

D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?

8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处

的一块空地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高

的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断: 计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.

B

30?

D

A

60?

C E 乙教学楼

甲教

学楼

B 30?

D

A

C

9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm2,求α的度数.

1.5 测量物体的高度

四、随堂练习

4.某市为促进本地经济发展,计划修建跨河大桥,需

要测出河的宽度AB, 在河边一座高度为300米的山顶观测点D处测得点A,点B的俯角分别为α=30°,β=60°, 求河的宽度(精确到0.1米)

B

D

A C

5.为了测量校园内一棵不可攀的树的高度, 学校

数学应用实践小组做了如下的探索:

实践一:根据《自然科学》中光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺, 设计如图(1)的测量方案:把镜子放在离树(AB)8.7(米)的点E处,然后沿着直线BE 后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE=2.7米,观察者目高CD=1.6米,请你计算树AB的高度(精确到

0.1米)

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为 2. 5米的标杆

b

一根;④高度为1.5米的测角仪一架,请根据你所设计的测量方案, 回答下列问题:

(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________.

(2)在图(2)中画出你的测量方案示意图; (3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.

B

(2)

6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?

(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的

水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)

100m

2.5cm×50000

B B '

7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度,学校数学应用实践小组做了如下的探索:

30

3540A

B B

(1)

D

A

C E

A

太 阳 光 线 C

E 实践一:根据《自然科学》中的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计

如右示

意图的测量方案:把镜子放在离树(AB )8.7米的点E 处,然后沿着直线BE 后退到点D ,这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ,再用皮尺量得DE =2.7米,观察者目高CD =1.6米,请你计算树(AB )的高度.(精确到0.1米)

实践二:提供选用的测量工具有:①皮尺一根;②教学用三角板一副;③长为2.5米的标杆一根;④高度为1.5米的测角仪(能测量仰角、俯角的仪器)一架。请根据你所设计的测量方案,回答下列问题:

(1)在你设计的方案中,选用的测量工具是(用工 具的序号填写) (2)在右图中画出你的测量方案示意图;

(3)你需要测得示意图中的哪

些数据,并分别用a 、b 、c 、α等表示测得的数据:

(4)写出求树高的算式:AB =

第一章回顾与思考

1、等腰三角形的一腰长为cm 6,底边长为cm

36

,则

其底角为( )

A

A 0

30 B 0

60 C 0

90 D 0

120

2、某水库大坝的横断面是梯形,坝内斜坡的坡度

3

:1=i ,坝外斜坡的坡度1:1=i ,则两个坡角的和为 ( ) A 0

90 B 0

60 C 0

75 D 0

105

3、如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC 于E ,设∠ADE=α,且

5

3

cos =

α, AB = 4,

则AD 的长为( ).

(A )3 (B )316 (C )320 (D )516

4、在课外活动上,老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝,其面积为4502

cm ,则

对角线所用的竹条至少需( ). (A )cm

230

(B )30cm (C )60cm (D )cm

260 5、如果α

是锐角,且

135cos sin 2

2

=?+α,那么=α o.

6、如图,在坡度为1:2的山坡上种树,要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米,斜坡上相邻两

树间的坡面距离是 米.

7、如图,P 是∠α的边OA 上一点, 且

P 点

坐标为(3,4),则

α

sin = ,αcos =______.

8、支离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的

仰角为α,如果测角仪高为1.5米.那么旗杆的有

为 米(用含α的三角比表示).

9、在Rt ABC ?中∠A<∠B,CM 是斜边AB 上的中线,

将ACM ?沿直线CM 折叠,点A 落在点D 处,如果CD 恰好与AB 垂直,那么∠A 等于 度. 10、如图,某公路路基横断

面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米,坡角

为?55,路基高度为5.8米,求路基下底宽(精确到

α

P

o

y 3

4

A

B

C

D

E

?

555.8m 10m

0.1米).

11、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ,现可直接测量到,A ?=∠30AC = 40米,BC = 25米,请你求出这块花圃的面积.

12、如图,在小山的东侧A 处有一热气球,以每分钟28米的速度沿着与垂直方向夹角为?30的方向飞行,半小时后到达C 处,这时气球上的人发现,在A 处的正西方向有一处着火点B ,5分钟后,在D 处测得着火点B 的俯角是?15,求热气球升空点A 与着火点B 的距离.

13、如图,一勘测人员从B 点出发,沿坡角为?15的坡面以5千米/时的速度行至D 点,用了12分钟,然后沿坡角为?20的坡面以3千米/时的速度到达山顶A 点,用了10分钟.求山高(即AC 的长度)及A 、B 两点的水平距离(即BC 的长度)(精确到

0.01千米).

14、为申办2010年冬奥会,须改变哈尔滨市的交通状况。在大直街拓宽工程中,要伐掉一棵数AB ,在地面上事先划定以B 为圆

心,半径与AB 等长的圆形危险

?

30?

15.A

B

C D

?

15?

20A

B

C

D

E

?

60?

30B

D

C A

区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶端A 点的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°(如图).为距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?

15、如图,MN 表示某引水工程的一段设计路线,从M 到N 的走向为南偏东30°. 在M 的南偏东60°方向上有一点A,以A 为圆心、500m 为半径的圆形区域为居民区.取MN 上另一点B,测得BA 的方向为南偏东75°.已知MB = 400m,通过计算回答,如果不改

变方向,输水路线是否会穿过居民区?

16、如图,北部湾海面上,一艘解放军军舰正在基地A 的正东方向且距A 地的正东方向且距A 地40海里的B 地训练.突然接到基地

命令,要该军舰前往C 岛,接送一名病危的渔民到基地医院救治.已知C 岛在A 的北偏东

60°

方向,且在B 的北偏西45°方向,军舰从B 处出发,平均每小时行驶20海里,需要多少时间才能把患病

渔民送到基地医院?(精确到0.1小时)

A

B

N

M

北?

60?

45B

北北

17、如图,客轮沿折线A―B―C 从A 出发经B 再到C 匀速直线航行,将一批物品送达客轮.两船同时起航,并同时到达折线A―B―C 上的某点E 处.已知AB = BC =200海里,∠ABC = 90,客轮速度是货轮速度的2倍. (1)选择:两船相遇之

处E 点

( )

A .在线段A

B 上 B .在线段B

C 上

C .可以在线段AB 上,也可以在线段BC 上 (2)求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里?(结果保留根号)

A

B

C

D

.

初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系

A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练(8) (命题及三角形边角不等关系) 一、选择题: 1、如图 8-1,已知 AB =10,P 是线段 AB 上任意一点,在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ,则线段 CD 的长度的最小值是 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2,四边形 ABCD 中∠A =60°,∠B =∠D =90°,AD =8,AB =7, 则 BC +CD 等于 ( ) A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3,在梯形 ABCD 中,AD ∥BC ,AD =3,BC =9,AB =6,CD =4,若 EF ∥BC ,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 ( ) 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α =A+B ,β =C+A ,γ =C+B ,则α 、β 、γ 中,锐角的个数 最多为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4,矩形 ABCD 的长 AD =9cm ,宽 AB =3cm ,将其折叠,使点 D 与点 B 重合,那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 ( ) E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ,a ,b ,另一个三角形的三边长分别为 a ,b ,b ,其中 a>b ,若两个三角 形的最小内角相等,则 的值等于 ( ) b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中,锐角的个数最多是 ( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ,C 两点,AB 垂直 x 轴于 B ,则△ABC 的面积为 ( ) A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ,另一组对边的长分别为 a ,b ,则 d 与 ______ a + b 2 的大小关系是_

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π , 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B), cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B ), cos 2 C =sin( 2 A + 2 B ), tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B), cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 (a+b+c ) 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ,sinB=2b R ,sinC= 2c R a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC 适用类型:AAS →S ,SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型:SSS →A ,SAS →S ,AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列,则B=3 π 三边成等差数列,则0

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系(习题) ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值: 2.三角函数值的大小只与角度的有关,跟所在的三角形 放缩(大小)没有关系. 3.计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在 中研究,常利用或两种方式进行处理.?例题示范 例:如图,在△ABC 中,∠B=37°,∠C=67.5°,AB=10,求BC 的长.(结果精确到0.1,参考数据:sin37°≈0.6,cos37°≈0.8,tan67.5°≈2.41) 如图,过点A 作AD⊥BC 于点D, 由题意AB=10,∠B=37°,∠C=67.5° 在Rt△ABD 中,AB=10,∠B=37°, sin B =AD ,cos B = BD AB AB ∴AD=6,BD=8 在Rt△ADC 中,AD=6,∠C=67.5°,tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5. ①得出结论; ②解直角三角形; ③准备条件. 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中,如果各边长度都扩大为原来的2 倍,那么锐 角A 的正弦值() A.扩大2 倍B.缩小2 倍C.没有变化D.不确定2.在Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=3,BC=5,则sin A 的值为 () A. 3 5 B. 4 5 C. 5 34 34 D. 3 34 34 3.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ,则这个三角形是()A.等腰三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形 4.若∠A 为锐角,且cos A 的值大于 1 ,则∠A() 2 A.大于30°B.小于30° C.大于60°D.小于60° 5.已知β为锐角,且 3 A.30?≤β≤60? C.30?≤β< 60? ≤tan β< ,则β的取值范围是() B.30?<β≤60? D.β< 30? 6.如图,在矩形ABCD 中,DE⊥AC,垂足为E,设∠ADE=α, 若cosα= 3 ,AB=4,则AD 的长为() 5 A.3 B. 16 3 C. 20 3 D. 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图,在菱形ABCD 中,DE⊥AB,若cos A = 3 ,BE=2,则 5 tan∠DBE= . 2 3 2 3 3

三角形边角关系测试题

《三角形及其三边关系》检测题 (满分:120分,时间:90分钟) 姓名: ____ 得分:____ 一.选择题(10小题,共30分) 1、下列说法正确的是( ) A 、三角形的角平分线是射线。 B 、三角形三条高都在三角形内。 C 、三角形的三条角平分线有可能在三角形内,也可能在三角形外。 D 、三角形三条中线相交于一点。 2、一个三角形的三个内角中( ) A. 至少有一个等于90° B. 至少有一个大于90 ° C. 不可能有两个大于 89° D. 不可能都小于60° 3、等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是( ) A .17 B .13 C .17或22 D .22 4、一个三角形的两边分别为3和8,第三边长是一个偶数,则第三边的长不能为( ) A 、6 B 、8 C 、10 D 、12 5、在下图中,正确画出AC 边上高的是( ). A B C D 6、适合条件C B A ∠= ∠=∠2 1 的三角形是( ) A 、锐角三角形 B 、等边三角形 C 、钝角三角形 D 、直角三角形 7、三角形中至少有一个内角大于或等于( ). A .45° B .55° C .60° D .65° 8、在下列四个结论中,正确的是( ) A.三角形的三个内角中最多有一个锐角 B.等腰三角形的底角一定大于顶角 C.钝角三角形最多有一个锐角 D.三角形的三条内角平分线都在三角形内 9、三角形两边为3和2,则最长边的范围是( ) A .大于1且小于5 B .大于2且小于5 C .大于3且小于5 D .大于或等于3且小于5 10、如图,把△ABC 纸片沿DE 折叠,当点A 落在四边形BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系始终保持不变,试着找一找这个规律,你发现的规律是( ) A 、∠1+∠2=2∠A B 、∠1+∠2=∠A 1 2 A B C D E

三角形三边关系(带答案)

【考点训练】三角形三边关系-2 一、选择题(共10小题) 1.(2011?青海)某同学手里拿着长为3和2的两个木棍,想要找一个木棍,用它们围成一个三角形, 4.(2012?长沙)现有3cm,4cm,7cm,9cm长的四根木棒,任取其中三根组成一个三角形,那么可 二、填空题(共10小题)(除非特别说明,请填准确值) 11.(2007?安顺)如果等腰三角形的两边长分别为4和7,则三角形的周长为_________.12.(2004?云南)已知三角形其中两边a=3,b=5,则第三边c的取值范围为_________.

13.(2007?柳州)如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm,第三边与其中一边的长相等,那么第三边的长为_________cm. 14.(2006?连云港)如图,∠BAC=30°,AB=10.现请你给定线段BC的长,使构成△ABC能惟一确定.你认为BC的长可以是_________. 15.(2005?泸州)一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm,则它的周长为_________cm. 16.(2007?贵阳)在△ABC中,若AB=8,BC=6,则第三边AC的长度m的取值范围是_________. 17.(2006?梧州)△ABC的边长均为整数,且最大边的边长为7,那么这样的三角形共有_________个. 18.(2004?芜湖)已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于6,则它的周长等于_________. 19.(2004?玉溪)已知一个梯形的两底长分别是4和8,一腰长为5,若另一腰长为x,则x的取值范围是_________. 20.(2004?嘉兴)小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形,那么他选的三根木棒的长度分别是:_________,_________,_________(单位:cm). 三、解答题(共10小题)(选答题,不自动判卷) 21.已知三角形的三边互不相等,且有两边长分别为5和7,第三边长为正整数. (1)请写出一个三角形符合上述条件的第三边长. (2)若符合上述条件的三角形共有n个,求n的值. (3)试求出(2)中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例. 22.如果一个三角形的各边长均为整数,周长大于4且不大于10,请写出所有满足条件的三角形的三边长. 23.一个三角形的边长分别为x,x,24﹣2x, (1)求x可能的取值范围; (2)如果x是整数,那么x可取哪些值? 24.已知三角形的三边长分别为2,x﹣3,4,求x的取值范围. 25.三角形的三边长分别为(11﹣2x)m、(2x2﹣3x)cm、(﹣x2+6x﹣2)cm

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念(三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △) 2、按边对三角形的分类:≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系: (1)任意两边之和大于第三边 (2)任意两边之差小于第三边 验证:两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念( 内角、外角、∠ ) 2、按角对三角形的分类:???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 (1)三角形三个内角和等于180° (2)直角三角形的两个锐角互余 (3)一个三角形最多3个锐角,最多1个钝角,最多1个直角,最少2个锐角) 三、线 1、中线 (1) 定义 (2) 重心 (3)中线是线段 (4) 表述方法 2、高线 (1)定义 (2)垂心 (3)高是线段,垂线是直线 (4)表示方法 (5)3种高的画法 3、角平分线 (1)定义 (2)外心 (3)画法 (4)表示方法 四、数三角形的个数 (1)图形的形成过程 (2)三角形的大小顺序 (3)按某一条边沿着一定的方向 (4)固定一个顶点,按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形;其中以AB 为边的三角形有______________;含∠ACB 的三角形有______________;在△BOC 中,OC 的对角是___________;∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”,下面集合正确的是( ) A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4,x -1,则x 的取值范围是_________________________

(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,∠C 为直角,则锐角A 的各三角 函数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA , 即sinA =a c (2)角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA , 即cosA =b c (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作t an A , 即t an A =a b (4)角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作 c ot A , 即c ot A =b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系:a 2+b 2=c 2 (2)锐角之间的关系:A +B =90° (3)边角之间的关系: sinA =cosB =a c , cosA =sinB =b c t an A =c ot B =a b , cot A =t an B =b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系:sinA 2+cosA 2=1 2)倒数关系:t an A·c ot A =1 3)商的关系:t an A =sinA cosA ,c ot A =cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°-A)=cosA , cos(90°-A)=sinA t an (90°-A)=c ot A , cot (90°-A)=t an A 4.一些特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 ----- cot α ----- 1

直角三角形的边角关系提高性测试卷(含答案)

直角三角形的边角关系提高题 一、选择题 1.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,D 为垂足.若AC =4,BC =3,则sin ∠ACD 的值为( ) A . 34 B .43 C .54 D .5 3 2.已知∠A +∠B =90°且cos A =51 ,则cos B 的值为( ) A .51 B .54 C .562 D .5 2 3.已知tan a =3 2 ,则锐角a 满足( ) A .0°<a <30° B .30°<a <45° C .45°<a <60° D .60°<a <90° 4.如图所示,在△ABC 中,AB =AC =5,BC =8,则tan C =( ) A .53 B .54 C .34 D .4 3 5.如图,从山顶A 望到地面C ,D 两点,测得它们的俯角分别是45°和30°,已知CD =100m ,点C 在BD 上,则山高AB 等于 ( ) A .100 m B .350m C .250m D .50(13+)m 6.已知楼房AB 高50 m ,如图,铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD =50 m ,塔高DC 为3 1 (350150+)m ,下列结论中,正确的是 ( ) A .由楼顶望塔顶仰角为60° B .由楼顶望塔基俯角为60° C .由楼顶望塔顶仰角为30° D .由楼顶望塔基俯角为30° 7.如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°, 斜坡CD 的坡度i =1∶2,则坝底AD 的长为 ( ) A .42米 B .(32430+)米 C .78米 D .(3830+)米 二、填空题 2.将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是 . 6.如图,太阳光线与地面成60 角,一棵倾斜的大树与地面成30 角,这时测得 大树在地面上的影长为10m ,则大树的长约为 m .(保留2位有数字)

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号). 【答案】. 【解析】 试题分析:作AD ⊥BC 于D ,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据 正切的定义求出CD 的长,得到答案. 试题解析:作AD ⊥BC 于D ,∵∠EAB=30°,AE ∥BF ,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD= ,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt △ACD 中,∠C=60°,AD=,则tanC= ,∴CD= =, ∴BC= .故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 2.如图,反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点,点C 在第四象限,CA ∥y 轴,90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标; (2)求tanC 的值.

【答案】(1)2k =,()1,2B --;(2)2. 【解析】 【分析】(1)先根据点A 在直线y=2x 上,求得点A 的坐标,再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上,利用待定系数法求得k 的值,再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D ,根据90ABC ∠=? , 90BHC ∠=? ,可得C ABH ∠∠=,再由已知可得AOD ABH ∠∠=,从而得C AOD ∠∠=,求出C tan 即可. 【详解】(1)∵点A (1,a )在2y x =上, ∴a =2,∴ A (1,2), 把A (1,2)代入 k y x = 得2k =, ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ,B 两点, ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称, ∴()1 2B --, ; (2)作BH ⊥AC 于H ,设AC 交x 轴于点D , ∵ 90ABC ∠=? , 90BHC ∠=? ,∴C ABH ∠∠=, ∵CA ∥y 轴,∴BH ∥x 轴,∴AOD ABH ∠∠=,∴C AOD ∠∠=, ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==.

2020-2021学年北师大版九年级下册数学 第1章 直角三角形的边角关系 单元测试卷

2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第1章直角三角形 的边角关系》单元测试卷 一.选择题 1.sinα表示的是() A.一个角B.一个角的度数 C.线段的长度D.一个比值 2.sin2θ+sin2(90°﹣θ)(0°<θ<90°)等于() A.0B.1C.2D.2sin2θ 3.在△ABC中,tan A=1,cos B=,则∠C的度数是() A.75°B.60°C.45°D.105° 4.四位学生用计算器求sin62°20′的值正确的是() A.0.8857B.0.8856C.0.8852D.0.8851 5.如图,设∠AOC=α,∠BOC=β,P为射线OC上一点,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,则等于() A.B.C.D. 6.如图,在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中,若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触,则此时水杯中的水深为() A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm 7.某个水库大坝的横断面为梯形,迎水坡的坡度是1:,背水坡为1:1,那么两个坡的坡角和为() A.90°B.75°C.60°D.105°

8.若∠A为锐角,且2cos A<,则∠A() A.小于30°B.大于30° C.大于45°且小于60°D.大于60° 9.在Rt△ABC中,∠C=90°,已知tan A=,那么cos A的值是()A.B.C.D. 10.如图,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1 200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为() A.1 200 m B.1 200m C.1 200m D.2 400 m 二.填空题 11.若tanα?tan36°=1,则α=度. 12.各三角函数之间的关系:(1)sinα=;(2)sin2α+cos2α=;(3)tanα=. 13.已知斜坡AB=120米,AB的坡度i=1:,则斜坡的高h=米. 14.如图,一个长为3米的梯子斜靠在墙壁上,若梯子与地面所成的角为60°,则此时梯子顶端到地面的距离为米. 15.Rt△ABC中,∠C=90°,a=,b=3,c=,∠B=. 16.利用计算器求值(结果精确到0.001):sin55°≈;tan45°23′≈.17.计算:=. 18.若α为锐角,则=. 19.如图所示,在数学活动课上,老师带学生去测河宽,某学生在A处观测到河对岸有一点C,并测得∠CAD=45°,在距离A点30m的B处测得∠CBD=30°,则河宽CD是m.(答案保留根号)

直角三角形边角关系专题复习

页 1 第1讲 解直角三角形专题复习 【知识点梳理】 (一) 三角函数的概念 1、正弦,余弦,正切的概念(及书写规范) 如图,在 ABC Rt ?中,(1)的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan = a b (2)斜边 的对边 A A ∠=sin = a c (3)斜边 的邻边A A ∠= cos = b c (二)特殊角的三角函数值 (三)三角函数之间的关系 1、余角关系:在∠A+∠B=90°时 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边

页 2 B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =?B A 2、同角关系 sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A A A = (四)斜坡的坡度 1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 (1)仰角:视线在水平线上方的角叫仰角. 俯角:视线在水平线下方的角叫俯角. (2)坡度:坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比),用字母i 表示. 坡角:坡面与水平面的夹角叫坡角,用α表示,则有i =_tan α 如图所示, l h i ==αtan ,即坡度是坡角的正切值. (3)方向角: 平面上,通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向),则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角,叫做观测的方向角. (五)解三角形及其应用 利用(三角函数)解直角三角形解实际应用题的一般步骤: ① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等),然后根据题意画出几何图形,建立数学模型; ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系,当有些图形不是直角三角形时,可添加适当的辅助线,把它们分割成直角三角形; ③ 寻求基础直角三角形,并解这个三角形或设未知数进行求解.

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中,∠A=90o,AB=6,AC=8,则sinB= ,cosC= 2、在△ABC 中,∠B=90o,2 1 cos =C ,则∠C= 】 3、在△ABC 中,∠C=90o,∠A=60o,AC=34,则BC= 4、在△ABC 中,∠C=90o,BC=3,AB=32,则∠A= 5、在△ABC 中,∠C=90o,若tanA= 2 1 ,则sinA= 6、在△ABC 中,若∠C=90o,∠A=45o,则tanA+sinB= 7、如图1,在△ABC 中,∠C=90o,∠B=30o,AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34, 那么AD= # 8、正方形ABCD 中,AM 平分∠BAC 交BC 于M ,AB=2,BM=1,则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α,那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高,如图2所示,测得的数据为: BC=42m ,倾斜角o?=30α,测得测角仪高CD=1.5m ,则AB= 。(结果保留四位 有效数字) 11、在△ABC 中,∠C=90o,BC=5,AC=12,则tanA=( ) A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中,∠C=90o,5 3 cos = A ,AC=6cm ,则BC=( )cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ,BD=6cm ,那么=2tan A ( ) A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知:如图3,梯形ABCD 中,AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图,题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面,BD=30m ,在A 点测得D 点的俯角为45°,测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

直角三角形的边角关系测试题

A D′直角三角形的边角关系测试题 一、选择题(每小题3分,共计36分): 1.在△ABC 中,∠C=90°,a 、b 分别是∠A 、∠B 所对的两条直角边,c 是斜边,则有( ) A 、sinA= a c B 、cosB=c b C 、cosB=a b D 、tanA=b a 2.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°.若sinA= 2 2 ,则sinB 等于( ) A 、 2 1 B 、22 C 、23 D 、1 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,sinA=2 1 ,则BC ∶AC ∶AB 等于( ) A 、1∶2∶5 B 、1∶3∶5 C 、1∶3∶2 D 、1∶2∶3 4.已知90A B ∠+∠=?,则下列各式中正确的是( ) (A )sin sin A B = (B)cos cos A B = (C)tan cot A B = (D)tan tan A B = 5、下列命题中,真命题的个数是( ) ①∠A 的正弦值等于它的余角的余弦值;②在⊿ABC 中,若21sin = A ,则BC =2 1 AB ;③若α是锐角且ααc os s in =,则?=45α;④若α、β都是锐角且βα<,则 βαc o s c o s <; (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 6.在△ABC 中,若tanA=1,sinB= 2 2 ,你认为最确切的判断是( ) A.△ABC 是等腰三角形 B.△ABC 是等腰直角三角形 C.△ABC 是直角三角形 D.△ABC 是一般锐角三角形 7.化简2)130(tan - =( )。 A 、331- B 、13- C 、133- D 、13- 8.等腰三角形的一腰长为6cm ,底边长为63cm ,则其底角为( )。 A. 120° B. 90° C. 60° D. 30° 9如图,已知正方形ABCD 的边长为2,如果将线段BD 绕着点B 旋转后,点D 落在CB 的 延长线上的D′处,那么tan ∠BAD′等于( )

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=________,cosA=________,tanA=________. 问题2:在Rt△ABC中,∠C=90°,锐角A越大,正弦sinA______,余弦cosA______,正切tanA______. 问题3:默写特殊角的三角函数值: 问题4:计算一个角的三角函数值,通常把这个角放在____________中研究,常利用_________或__________两种方式进行处理. 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道,每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中,,则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:特殊角的三角函数值 3.已知为锐角,且,那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的增减性 4.如图,在Rt△ABC中,tanB=,BC=,则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案:A 解题思路: 试题难度:三颗星知识点:解直角三角形 5.在平面直角坐标系中,已知点A(2,1)和点B(3,0),则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案:A 解题思路:

试题难度:三颗星知识点:锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=4,,则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案:B 解题思路:

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图,在ABC 中,/ C 为直角,则锐角 A 的各三角函 数的定义如下: (1)角A 的正弦:锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦,记作sinA , ⑵ 角A 的余弦:锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦,记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切:锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切,记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切:锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切,记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系:a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系:A + B = 90° (3) 边角之间的关系: sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系:tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系:sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

三角形单元测试题(卷)含答案

三角形单元测试 姓名:时间:90分钟满分:100分评分: 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.?在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.以下列各组线段为边,能组成三角形的是() A.2cm,3cm,5cm B.5cm,6cm,10cm C.1cm,1cm,3cm D.3cm,4cm,9cm 2.等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是() A.17 B.22 C.17或22 D.13 3.适合条件∠A=1 2 ∠B= 1 3 ∠C的△ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 4.已知等腰三角形的一个角为75°,则其顶角为() A.30° B.75° C.105° D.30°或75° 5.一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°,这个多边形的边数是() A.5 B.6 C.7 D.8 6.三角形的一个外角是锐角,则此三角形的形状是() A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 7.下列命题正确的是() A.三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部 B.三角形中至少有一个内角不小于60° C.直角三角形仅有一条高 D.直角三角形斜边上的高等于斜边的一半 8.能构成如图所示的基本图形是() (A) (B) (C) (D) 9.已知等腰△ABC的底边BC=8cm,│AC-BC│=2cm,则腰AC的长为() A.10cm或6cm B.10cm C.6cm D.8cm或6cm 10.如图1,把△ABC纸片沿DE折叠,当点A落在四边形BCDE内部时,则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找一找这个规律,你发现的规律是(? ) A.∠A=∠1+∠2 B.2∠A=∠1+∠2 C.3∠A=2∠1+∠2 D.3∠A=2(∠1+∠2)

三角形中的边角关系

三角形基础知识 说明:△ ABC中,角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半,r为内切圆半径,R为外接圆半径,)h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。 1.三角形的定义:三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角(简称三角形的角). 2.三角形的元素:三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素.3.确定三角形的条件:在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状(定形) ,边确定三角形的大小(定量) ,三角形具有稳定性.确定三角形的条件是:已知三角形的三边(SSS)或两边及其夹角(SAS)或两角及其公 共边(ASA )或两角与其中一角的对边(AAS),这也是判断两个三角形全等的主要方法,全等三角形的对应元素都相等.只知三角形的三角大小,不能确定三角形,具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系. 4.三角形的“线”与“心” : (1)高线、垂心. (2)中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理. (3)中垂线、外接圆、外心. (4)内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理. (5)外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理. (6)中位线、中位线定理、中点三角形及其性质. 5.三角形的分类: (1)按边的相等情况分:三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 (2)按最大角的情况分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6.等腰三角形的判定与性质、四线合一 7.等边三角形的判定与性质、四心合一(中心) 8.三角形元素之间的关系: (1)角与角的关系: ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质:范围、关系. ④最大角、最小角. ⑤锐角三角形中任两角的和 (2)边与边的关系:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边. (“三胞胎” )(3)边与角的关系:(“三胞胎”) ①对边与对角的大小关系:在三角形中,大边所对的角也较大,相等两边所对的角也相等, 反之也真. ②正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的 直径.

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系(1) -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1.了解三角形的概念,掌握分类思想。 2.经历探索三角形中的三条边之间的关系,感受几何学中基本图形的内涵。 3.让学生养成有条理的思考的习惯,以及说理有据的意识,体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点: 1.重点:了解三角形的分类,弄清三角形三边关系 2.难点:对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备: 1.教师准备:多媒体课件 2.学生准备:四根小木条 五课时安排: 一节课 六教学过程: (一)创设情境,探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的图形三角形,引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形,它简单、有趣,也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界,可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 (二)合作交流,探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念:由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导: 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题: (1)知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; (2)会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

(3)知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习(多媒体展示) 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒(6cm、8cm、12cm、18cm)请你任意的取其中的三根,首尾连接,摆成三角形。 (1)有哪几种取法? (2)是不是任意三根都能摆出三角形?若不是,哪些可以?哪些不可以? (3)用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么? 小组活动:学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形; 我们可以发现这四根小棒中,如果较短的两根的和不大于最长的第三根,就不能组成三角形。 这就是说:三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 :例:一根木棒长为7,另一根木棒长为2,若要围成三角形,那么则第三根木棒长度应在什么范围呢? 解:设第三条边长为a cm,则 7-2<a<7+2 即5<a<9 结论:其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2:已知:等腰三角形周长为18cm,如果一边长等于4cm,求另两边的长? 解(1)设等腰三角形的底边长为4 cm,则腰长为x cm。根据题意,得 x+x+4=18 解方程,得 x=7

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章 直角三角形的边角关系 基础知识梳理 1.锐角三角函数. 在Rt △ABC 中,∠C 是直角,如图所示. (1)正切:∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切,记作tanA ,即tanA= A A ∠∠的对边 的邻边 . (2)正弦:∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦,记作sinA ,即sinA= A ∠的对边 邻边 . (3)余弦:∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦,记作cosA ,即cosA= A ∠的邻边 邻边 . (4)锐角三角函数:锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数. (5)锐角的正弦和余弦之间的关系. 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值. 即:如果∠A+∠B=90°,那么sinA=cos (90°-A )=cosB ;cosA=sin (?90?°-?A )?=sinB . (6)一些特殊角的三角函数值(如下表). (7)已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值;同样,?已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小.

(8)三角函数值的变化规律. ①当角度在0°~90°间变化时,正弦值(正切值)随着角度的增大(或减小)而增大(或减小). ②当角度在0°~90°间变化时,余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(?或增大).(9)同角三角函数的关系. ①sin2A+cos2A=1;②tanA=sin cos A A . 2.运用三角函数解直角三角形. 由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对 边分别为a,b,c. (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理). (2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°. (3)边角之间的关系:sinA=a c ,cosA= b c ,tanA= a b . 所以,在直角三角形中,只要知道除直角外的两个元素(其中至少有一个是边),?就可以求出其余三个未知元素. 解直角三角形的基本类型题解法如下表所示: (1)尽量使用原始数据,使计算更加准确; (2)不是解直角三角形的问题,添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题; (3)恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题; (4)在选用三角函数式时,尽量做乘法,避免做除法,以使运算简便; (5)必要时画出图形,分析已知什么,求什么,它们在哪个三角形中,?应当选用什么关系式进行计算; (6)添加辅助线的过程应书写在解题过程中. 3.解直角三角形的实际问题. 解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语. (1)坡度、坡角.

人教版初中数学三角形基础测试题含答案

人教版初中数学三角形基础测试题含答案 一、选择题 1.如图,△ABC 中,AB=4,AC=3,AD 、AE 分别是其角平分线和中线,过点C 作CG ⊥AD 于F ,交AB 于G ,连接EF ,则线段EF 的长为( ) A .1 B .34 C .23 D .12 【答案】D 【解析】 【分析】 由等腰三角形的判定方法可知△AGC 是等腰三角形,所以F 为GC 中点,再由已知条件可得EF 为△CBG 的中位线,利用中位线的性质即可求出线段EF 的长. 【详解】 ∵AD 是△ABC 角平分线,CG ⊥AD 于F , ∴△AGC 是等腰三角形, ∴AG=AC=3,GF=CF , ∵AB=4,AC=3, ∴BG=1, ∵AE 是△ABC 中线, ∴BE=CE , ∴EF 为△CBG 的中位线, ∴EF= 12BG=12 , 故选:D . 【点睛】 此题考查等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线性质定理,解题关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半. 2.如图,点O 是ABC ?的内心,M 、N 是AC 上的点,且CM CB =,AN AB =,若100ABC ∠=?,则MON ∠=( )

A .60? B .70? C .80? D .100? 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,连接OA ,OB ,OC ,进而求得BOC MOC ???,AOB AON ???,即∠CBO =∠CMO ,∠OBA =∠ONA ,根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数. 【详解】 如图,连接OA ,OB ,OC , ∵点O 是ABC ?的内心, ∴BCO MCO ∠=∠, ∵CM =CB ,OC =OC , ∴()BOC MOC SAS ???, ∴CBO CMO ∠=∠, 同理可得:AOB AON ???, ∴ABO ANO ∠=∠, ∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=?, ∴100CMO ANO ∠+∠=?, ∴180()80MON CMO ANO ∠=?-∠+∠=?, 故选:C. 【点睛】 本题主要考查了三角形全等的性质及判定,三角形的内角和定理及角度的转换,熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键. 3.如图,在菱形ABCD 中,AB =10,两条对角线相交于点O ,若OB =6,则菱形面积是( ) A .60 B .48 C .24 D .96 【答案】D 【解析】 【分析】

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