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不等式基本性质和证明

不等式基本性质和证明
不等式基本性质和证明

第一讲 不等式的基本性质与证明

一、 知识点分析

不等式概念:我们把含有不等号的式子叫做不等式。 不等式的基本性质:

(1)a b b a (对称性) (2)c a c b b a >?>>,(传递性) (3)c b c a b a ±>±?>

(4)d b c a d c b a +>+?>>,(同向相加性) (5)bc ac c b a >?>>0,.,

bc ac c b a 0,

(6)bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向相乘性) (7)a ﹥b ,ab ﹥0,a 1?

﹤b

1

(倒数变向性) (8))1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(平方法则),

)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且(开方法则)

注:1、无同向相减性和同向相除性,且同向相乘性须正数

2、性质(8)中,若n 为正奇数,则无须b a ,都大于零

两个实数大小的比较:

作差法 b a b a >?>-0;b a b a =?=-0;b a b a

作商法 若b a ,﹥0,则b a ﹥1a ?﹥b ;b a ﹤1a ?﹤b ;b

a

=1a ?=b

不等式的证明方法: ①作差法②作商法

③综合法:由因到果 ④分析法:执果索因 ⑤放缩法:常见类型有⑴n

n n n n n n n n

111)1(11)1(11112--=-<<+=+- (放缩程度较

大);⑵

)1

111(211

112

2

+--=

-<

n n n n

(放缩程度较小);⑶

1(21

2

221--=-+<

=

n n n n n

n

⑥数学归纳法:常用于数列类的不等式 ⑦利用函数单调性法

二、 例题精选

例1.

⑴比较a 与b 的大小:a =m 3-m 2n -3mn 2 与 b =2m 2n -6mn 2+n 3

⑵设21x x <,比较1211x x -+与22

21x x -+的大小

⑶设0,0>>b a ,试比较a b b a b a b a 与的大小 例2.

⑴已知y x x y

x y x y x ---≤≤≤≤5,,2,51,322

求的取值范围

⑵已知y x y x y -≤-≤≤+≤2,51,3x 2求的取值范围

例3. 判断下列命题A 是命题B 的什么条件 ⑴ A :x >3 B:

x 1<31 ⑵ A :x <3 B :x 1>3

1 ⑶ A :x >y B :y x 1

1< ⑷ A :32>>y x 且 B:65>>+xy y x 且

例4. 甲乙两人从A 地同时出发沿同一条路线步行到B 地,甲在前一半时间行走

的速度为x ,后一半时间行走的速度为y ,乙用速度x 走完前半段路程,用速度y 走完后半段路程,若x ≠y ,试指出谁先到达B 地,并说明理由。

例5.

(1) 设Q P n n Q n n p n >-+=--=>求证:,1,1,1 (2) 设abcd d c b a R d c b a 4,,,,4444≥+++∈+求证:

(3) 设47

121111n 1-23,222<+++<+∈*n

N n 求证: (4) 设n n

N n n 213

12

11,,2<+

++

+∈≥* 求证:

三、课后习题

基础篇

1、下列命题中正确的是…………………………………………………… ( )

(A )22,b a b a >>则若 (B ) b a b a >>则若,22 (C ) 22,b a b a >>则若 (D ) 22,b a b a >>则若 2、设

01

1<

a ,则 ………………………………………………………( ) (A ) 22

b a > (B ) ab b a 2>+ (C ) 2b ab < (D ) b a b a +>+22

3、若0,=++>>c b a c b a ,则有…………………………………………… ( ) (A ) ac ab > (B ) bc ac > (C ) bc ab > (D )以上都错

4、若0,>>>b a bd ac , ………………………………………………………( ) (A ) 0>>d c (B ) d c > (C ) d c < (D )c 、d 大小不确定

5、以下命题:⑴a >b ?|a |>b ⑵a >b ?a 2>b 2 ⑶|a |>b ? a >b ⑷a >|b | ? a >b 正确的个数有………………………………………………………………( ) (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D )4个

6、0<a <1,F=a 2,G=a +1,H=a

-11

,那么F 、G 、H 中最小的是………( )

(A )F (B ) G (C ) H (D ) 不能确定 1设a ,b ,c ,d ∈R ,且a >b ,c >d ,则下列结论中正确的是

A.a +c >b +d

B.a -c >b -d

C.ac >bd

D.c

b d a >

若a 、b 为实数,则a >b >0是a 2>b 2的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既非充分条件也非必要条件

( )3,若,01

1<

a 则下列结论正确的是

A .22b a <

B .2b ab <

C .ab a <2

D .b a >

( )4,“a>b ”是“ac 2>bc 2”成立的

A .必要不充分条件

B .充分不必要条

C .充要条件

D .以上均错

( )5,若b a , 为任意实数且b a >,则( ) A ,22b a > B ,1>b a C ,0)lg(>-b a D ,b a )2

1()21(<

( )6,“1>a ”是“

11

”的

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件

( )7,设10<<

A .12<

B .0log log 2

12

1<

( )8,1>a

b

是0)(<-b a a 成立的

A .充分不必要条件

B .充要条件

C .必要不充分条件

D .既不充分不必要条

( )9,若0,0,0><>+ay a y x ,则y x -的值

A ,小于0

B ,大于0

C ,等于0

D ,正负不确定

( )10,若a >b ,在①b

a 1

1<;②a 3>b 3;③)1l g ()1l g (22+>+b a ;

④b a 22>中,正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

已知a 、b 、c 满足c b a <<,且ac <0,那么下列选项中不一定成立的是 A .ab ac > B . c b a ()-<0 C . cb ab 22<

D . 0)(<-c a ac

01

1<

a ,则下列不等式①a

b b a <+;②|;|||b a >③b a <;④02<-ab a 中,正确的不等式有 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 二,填空题

13,设01,0<<-

14,设R x x x B x A ∈+=+=,2,21234且1≠x ,则B A ,的大小关系为

15,如果01<<<-b a ,则22,,1

,1a b a

b 的大小关系为

16,设,则b a >是b

b a a 1

1->-成立的 条件

17,若53,42≤<<≤b a ,则b a -3的取值范围为 ,b

b

a +2的取值范围

18,若a b a a 23

1

,63<<<≤,则b a +的取值范围为

6、已知2,2>>b a ,试比较ab b a 与+的大小______________。

不等式证明的基本方法

'、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 、知识分析 定理1 若a,b为实数,贝当且仅当ab>0时,等号成 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a 与一b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与—b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0, a>0, b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a —b|表示a—b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,贝等号成立,即b落在a,c之间 推论1 推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到

判别式法证 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是 错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A> B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 典型例题】 例1已知函数,设a、b€ R,且a^b,求证: 思路:本题证法较多,下面用分析法和放缩法给出两个证明: 证明: 证法一: ① 当ab< —1时,式①显然成立; 当ab>—1时,式①② b,A式②成立。故原不等式成立。 证法二:当a=—b 时,原不等式显然成立; 当a M— b 时, ???原不等式成立。

不等式典型例题之基本不等式的证明

5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——(6例题) 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法:比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一,它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用,比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质:“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”.其一般步骤为:①作差:考察不等式左右两边构成的差式,将其看作一个整体;②变形:把不等式两边的差进行变形,或变形为一个常数,或变形为若干个因式的积,或变形为一个或几个平方的和等等,其中变形是求差法的关键,配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断:根据已知条件与上述变形结果,判断不等式两边差的正负号,最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是:“若a,b∈R + ,a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”.其一般步骤为:①作商:将左右两端作商;②变形:化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系,就是判定商大于1或小于1.应用范围:当被证的不等式两端含有幂、指数式时,一般使用商值比较法. 2.综合法:利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后推出所要证明的不等式,其特点和思路是“由因导果”,从“已知”看“需知”,逐步推出“结论”.即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B. 3.分析法:是指从需证的不等式出发,分析这个不等式成立的充分条件,进而转化为判定那个条件是否具备,其特点和思路是“执果索因”,即从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是:为了证明命题B成立,只需证明命题B1为真,从而有…,这只需证明B2为真,从而又有…,……这只需证明A为真,而已知A为真,故B必为真.这种证题模式告诉我们,分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法:有些不等式的证明,从正面证不好说清楚,可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式A>B,先假设A≤B,由题设及其它性质,推出矛盾,从而肯定A>B.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 5.换元法:换元法是对一些结构比较复杂,变量较多,变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换,以便简化原有的结构或实现某种转化与变通,给证明带来新????

不等式解法性质与证明

第五讲 不等式的解法、性质与证明 一、不等式的性质: ⑴(对称性或反身性⑵(传递性)a b b c a c >>?>,; ⑶(可加性)a b a >?;(同向可相加)a b c d a c b d ?>>+>+, ⑷(可乘性)0a b c ac bc ?>>>,; 0a b c ac bc ?><<,. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ?>>>>>, ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈?>>()⑹(开方法则)0,20n n a b n N n a b >>∈>(≥) ⑺(倒数法则)11 0a b ab a b ? >><, 1、判断下列命题是否正确,并说明理由。 (1)若a>b ,则ac 2>bc 2 ; (2)若 a c 2>b c 2 ,则a>b ; (3)若a>b ,且ab ≠0,则1a <1b ; (4)若a>b ,c>d ,则ac>bd ; (5)若a>b ,且k ∈N +,则a k >b k ; (6)若a>b>0,则a a >a b ;(7)若a>b>0,则b 2 +1a 2 +1 > b 2a 2 2、比较下列各组数的大小,其中x ∈R 。(1)x 2+3与3x ;(2)x 6+1与x 4+x 2 ;3)11+x 与1-x 。 3、已知a,b 为正数,试比较a b +b a 与 a +b 的大小。 4、已知a>b ,则不等式(1)a 2>b 2,(2)1a < 1b ,(3)1a -b >1 a 中不能成立的个数是( D ) A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 5、已知12+x x 的解集是_____________。 3、不等式 13 1 2>+-x x 的解集为 。 4、如果x x sin 2 log 3 log 2 1 2 1,那么π π ≥- 的取值范围是为_____________-。 5、) ,的解集是的不等式,关于且已知0(110-∞>≠>x a x a a ,则0)1 (l o g >-x x a 的解集为____。 6、不等式333 2)21 (2 2---

不等式证明的常用基本方法

证明不等式的基本方法 导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式. [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a ,b ,c>0,那么_________________________,当且仅当a =b =c 时等号成立. 2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即a 1+a 2+…+a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ,当且仅当__________________时等号成立. 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小. (2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法. (3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法. (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法. ②反证法的特点 先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾. (5)放缩法 ①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. ②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t =a +2b ,s =a +b 2+1,则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 0;②a 2+b 2≥2(a -b-1);③a 2+3ab>2b 2;④,其中所 有恒成立的不等式序号是 ② . ②【解析】①a=0时不成立;②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,成立;③a=b=0时不成立;④a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有②.

不等式的性质和证明

不等式的性质和证明 一、基础知识 1.性质 对称性a>b?b<a 传递性a>b,b>c T a>c 加法单调性a>b T a+c>b+c 乘法单调性a>b,c>0 T ac>bc;a>b,c<0 T ac<bc开方法则a>b>0 T移项法则a+b >c T a>c-b 同向不等式相加a>b,c>d T a+c>b+d 同向不等式相乘a>b>0,c >d>0 T ac>bd 乘方法则a>b>0 T a n>b n倒数法则a>b,ab>0 T 2.证明方法:比较法,综合法,分析法,反证法,换元法 证明技巧:逆代,判别式,放缩,拆项,单调性 3.主要公式及解题思路 公式:a2+b2≥2ab(a,b∈R) a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈R+) 思路:① ② ③ ④正数x,y且x+y=1,求证:≥ 二、例题解析 1.(1)a,b∈R+且a<b,则下列不等式一定成立的是() A.B. C.D. (2)若0<x<1,0<y<1且x≠y,则x2+y2,x+y,2xy,中最大的一个是() A.x2+y2B.x+y C.2xy D.

(3)若a,b为非零实数,则在①a2+b2≥2ab ②≤ ③≥ ④≥2中恒成立的个数为() A.4B.3C.2D.1 (4)下列函数中,y的最小值是4的是() A.B.C.y= D.y=lgx+4log x10 (5)若a2+b2+c2=1,则下列不等式成立的是() A. a2+b2+c2>1 B.ab+bc+ca≥ C.|abc|≤ D a3+b3+c3≥ 2.(1)已知x,y∈R+且2x+y=1,则的最小值为 (2)已知x,y∈R 且x2+y2=1,则3x+4y的最大值为 (3)在等比数列{a n}和等差数列{b n}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,试比较大小:a5b5 (4)已知a>0,b>0,a + b=1,则的最小值为 (5)已知:x+2y=1,则的最小值为 (6)已知:x>0,y>0且x+2y=4,则lg x + lg y的最大值为 (7)若x>0,则,若x<0,则 (8)建造一个容积为8 m3,深为2m的长方体无盖水池,如果池底和池壁造价分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元。 (9)某工厂生产机器的产量,第二年比第一年增长的百分率为a,第三年比第二年增长的百分率为b,第四年比第三年增长的百分率为c,设年平均增长的百分率为P,且a+b+c 为定值,则P的最大值为 3.求证:a2+b2≥ab+a+b-1 4.已知a>0,b>0,c>0,求证:≥ 5.已知:a,b,c∈R+且a+b+c=1,求证:

不等式证明的基本方法

绝对值的三角不等式;不等式证明的基本方法 一、教学目的 1、掌握绝对值的三角不等式; 2、掌握不等式证明的基本方法 二、知识分析 定理1 若a,b为实数,则,当且仅当ab≥0时,等号成立。 几何说明:(1)当ab>0时,它们落在原点的同一边,此时a与-b的距离等于它们到原点距离之和。 (2)如果ab<0,则a,b分别落在原点两边,a与-b的距离严格小于a与b到原点距离之和(下图为ab<0,a>0,b<0的情况,ab<0的其他情况可作类似解释)。 |a-b|表示a-b与原点的距离,也表示a到b之间的距离。 定理2 设a,b,c为实数,则,等号成立 ,即b落在a,c之间。 推论1

推论2 [不等式证明的基本方法] 1、比较法是证明不等式的一种最基本的方法,也是一种常用的方法,基本不等式就是用比较法证得的。 比较法有差值、比值两种形式,但比值法必须考虑正负。 比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤,变形的主要方向是因式分解、配方,判断过程必须详细叙述。 如果作差后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式,则可考虑用到判别式法证。 2、所谓综合法,就是从题设条件和已经证明过的基本不等式出发,不断用必要条件替换前面的不等式,直至推出要证明的结论,可简称为“由因导果”,在使用综合法证明不等式时,要注意基本不等式的应用。 所谓分析法,就是从所要证明的不等式出发,不断地用充分条件替换前面的不等式,或者是显然成立的不等式,可简称“执果索因”,在使用分析法证明不等式时,习惯上用“”表述。 综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法,其中分析法既可以寻找解题思路,如果表述清楚,也是一个完整的证明过程.注意综合法与分析法的联合运用。 3、反证法:从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的证明方法。 4、放缩法:欲证A≥B,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,使得,,再利用传递性,达到证明的目的.这种方法叫做放缩法。 【典型例题】 例1、已知函数,设a、b∈R,且a≠b,求证:

最新高一下学期期末复习之——必修五不等式知识点及主要题型-讲义含解答

不等式的基本知识 (一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系; 不等式的主要性质: (1)对称性:a b b a (2)传递性:c a c b b a >?>>, (3)加法法则:c b c a b a +>+?>; d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则:bc ac c b a >?>>0,; bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则:b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则:)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集: 设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、, ac b 42-=?, 0>? 0=? 0a )的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2

一元二次方程 ()的根 2 > = + + a c bx ax 有两相异实根 ) ( , 2 1 2 1 x x x x< 有两相等实根 a b x x 2 2 1 - = =无实根的解集 )0 ( 2 > > + + a c bx ax{} 2 1 x x x x x> <或 ? ? ? ? ? ? - ≠ a b x x 2 R 的解集 )0 ( 2 > < + + a c bx ax{} 2 1 x x x x< ?>≥?? ≠ ? 4、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f>在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() min f x A >若不等式()B x f<在区间D上恒成立,则等价于在区间D上() max f x B < (三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(y x,),把它的坐标(y x,)代入

北师大版数学高二-选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题

选修4-5 第二节 不等式证明的基本方法例题 1.已知a 、b 、x 、y 均为正实数,且1a >1 b ,x >y . 求证: x x +a > y y +b . 证明:∵ x x +a - y y +b = bx -ay x +a y +b , 又1a >1 b ,且a 、b 均为正实数, ∴b >a >0. 又x >y >0, ∴bx >ay . ∴ bx -ay x +a y +b >0,即x x +a >y y +b . 2.已知a ,b ,c 均为正数,证明:a 2+b 2+c 2 +(1a +1b +1c )2≥63,并确定a ,b ,c 为何值时,等号成立. 证明:法一:因为a ,b ,c 均为正数,由平均值不等式得 a 2+ b 2+ c 2 ≥3(abc )23 ,① 1 a +1 b +1 c ≥3(abc )1 3-,② 所以(1 a +1 b +1c )2 ≥9(abc ) 2 3-. 故a 2 +b 2 +c 2 +(1a +1b +1 c )2 ≥3(abc ) 23 + 9(abc ) 23 - . 又3(abc ) 23 +9(abc ) 23 -≥227=63,③ 所以原不等式成立. 当且仅当a =b =c 时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc ) 23 =9(abc ) 23 - 时,③式 等号成立. 即当且仅当a =b =c =314 时,原式等号成立. 法二:因为a ,b ,c 均为正数,由基本不等式得

a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac. 所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac,① 同理1 a2+ 1 b2 + 1 c2 ≥ 1 ab + 1 bc + 1 ac ,② 故a2+b2+c2+(1 a + 1 b + 1 c )2≥ab+bc+ac+ 3 1 ab +3 1 bc +3 1 ac ≥6 3.③ 所以原不等式成立. 当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立. 即当且仅当a=b=c=31 4时,原式等号成立. 3.(2012·豫南九校联考)已知x,y均为正数,且x>y,求证:2x+1 x2-2xy+y2 ≥2y +3. 解:因为x>0,y>0,x-y>0, 2x+ 1 x2-2xy+y2 -2y=2(x-y)+ 1 x-y2 =(x-y)+(x-y)+ 1 x-y2 ≥33 x-y2 1 x-y2 =3, 所以2x+ 1 x2-2xy+y2 ≥2y+3. 4.已知正实数a,b,c满足 1 a + 2 b + 3 c =1,求证:a+ b 2 + c 3 ≥9.证明:因为a,b,c均为正实数, 所以 1 a + 2 b + 3 c ≥3 31 a · 2 b · 3 c .同理可证: a+ b 2 + c 3 ≥3 3 a· b 2 · c 3 . 所以(a+ b 2 + c 3 )( 1 a + 2 b + 3 c )≥ 3 3 a· b 2 · c 3 ·3 31 a · 2 b · 3 c =9. 因为 1 a + 2 b + 3 c =1,所以a+ b 2 + c 3 ≥9, 当且仅当a=3,b=6,c=9时,等号成立.

高中数学知识点总结不等式的性质与证明

要点重温之不等式的性质与证明 1.在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方,具体的:当a>0,b>0时,a>b ?a n >b n ; 当a<0,b<0时,a>b ?a 2b 2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数,但不等号的方向要改变,如:由 x 1<2推得的应该是:x>21或x<0,而由x 1>2推得的应该是: 00即可。以下用“取倒数”求:3-f(x)<3,分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x )∈(-∞,0)∪(31,+∞);f(x)+3>3?0<3)(1+x f <31?1③b a <;④2>+b a a b 中,正确的不等式有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 [巩固2] 下列命题:①若a>b,则ac 2>bc 2;②若ac 2>bc 2,则a>b ;③若a>b,c>d 则a -d>b -c ; ④若a>b,则a 3>b 3;⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若aab>b 2; ⑦若a|b|;⑧若a;⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0; ⑩若c>a>b>0,则b c b a c a ->-;其中正确的命题是 。 [迁移]若a>b>c 且a+b+c=0,则:①a 2>ab ,②b 2>bc ,③bc

证明不等式的几种常用方法

证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法,即比较法、综合法和分析法外,在不等式证明中,不仅要用比较法、综合法和分析法,根据有些不等式的结构,恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易.下面几种方法在证明不等式时也经常使用. 一、反证法 如果从正面直接证明,有些问题确实相当困难,容易陷入多个元素的重围之中,而难以自拔,此时可考虑用间接法予以证明,反证法就是间接法的一种.这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”,所谓的“正难则反”就是这个道理. 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的,在使用反证法时,必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论,缺少任何一种可能,则反证法都是不完全的. 用反证法证题的实质就是从否定结论入手,经过一系列的逻辑推理,导出矛盾,从而说明原结论正确.例如要证明不等式A>B,先假设A≤B,然后根据题设及不等式的性质,推出矛盾,从而否定假设,即A≤B不成立,而肯定A>B成立.对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式,若正面难以找到解题的突破口,可转换视角,用反证法往往立见奇效. 例1 设a、b、c、d均为正数,求证:下列三个不等式:①a+b<c+d; ②(a+b)(c+d)<ab+cd;③(a+b)cd<ab(c+d)中至少有一个不正确. 反证法:假设不等式①、②、③都成立,因为a、b、c、d都是正数,所以

不等式①与不等式②相乘,得:(a +b)2<ab +cd ,④ 由不等式③得(a +b)cd <ab(c +d)≤( 2 b a +)2 ·(c +d), ∵a +b >0,∴4cd <(a +b)(c +d), 综合不等式②,得4cd <ab +cd , ∴3cd <ab ,即cd <31 ab . 由不等式④,得(a +b)2<ab +cd < 34ab ,即a 2+b 2<-3 2 ab ,显然矛盾. ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确. 例2 已知a +b +c >0,ab +bc +ca >0,abc >0,求证:a >0,b >0, c >0. 证明:反证法 由abc >0知a ≠0,假设a <0,则bc <0, 又∵a +b +c >0,∴b +c >-a >0,即a(b +c)<0, 从而ab +bc +ca = a(b +c)+bc <0,与已知矛盾. ∴假设不成立,从而a >0, 同理可证b >0,c >0. 例3 若p >0,q >0,p 3+q 3= 2,求证:p +q ≤2. 证明:反证法 假设p +q >2,则(p +q)3>8,即p 3+q 3+3pq (p +q)>8, ∵p 3+q 3= 2,∴pq (p +q)>2. 故pq (p +q)>2 = p 3+q 3= (p +q)( p 2-pq +q 2), 又p >0,q >0 ? p +q >0, ∴pq >p 2-pq +q 2,即(p -q)2 <0,矛盾.

高中数学基本不等式证明

不等式证明基本方法 例1 :求证:221a b a b ab ++≥+- 分析:比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法,常用作差法和作商法,此题用作差法较为简便。 证明:221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注:1.比较法之一(作差法)步骤:作差——变形——判断与0的关系——结论 2.作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等,应注意结合式子的形式,适当选 用。 例2:设c b a >>,求证:b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析:从不等式两边形式看,作差后可进行因式分解。 证明:)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ,则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注:三元因式分解因式,可以排列成一个元的降幂形式: =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-,这样容易发现规律。 例3 :已知,,a b R +∈求证:11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明:11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =--

经典不等式证明的基本方法

不等式和绝对值不等式 一、不等式 1、不等式的基本性质: ①、对称性: 传递性:_________ ②、 ,a+c >b+c ③、a >b , , 那么ac >bc ; a >b , ,那么ac <bc ④、a >b >0, 那么,ac >bd ⑤、a>b>0,那么a n >b n .(条件 ) ⑥、 a >b >0 那么 (条件 ) 2、基本不等式 定理1 如果a, b ∈R, 那么 a 2+b 2≥2ab. 当且仅当a=b 时等号成立。 定理2(基本不等式) 如果a ,b>0,那么 当且仅当a=b 时,等号成立。即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。 结论:已知x, y 都是正数。(1)如果积xy 是定值p ,那么当x=y 时,和x+y 有最小值 ; (2)如果和x+y 是定值s ,那么当x=y 时,积xy 有最大值 小结:理解并熟练掌握基本不等式及其应用,特别要注意利用基本不等式求最值时, 一 定要满足“一正二定三相等”的条件。 3、三个正数的算术-几何平均不等式 二、绝对值不等式 1、绝对值三角不等式 实数a 的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a 的点A 到原点的距离: a b b a c a c b b a >?>>,R c b a ∈>,0>c 0> d c 2,≥∈n N n 2,≥∈n N n 2 a b +≥2 1 4 s 3 ,,3a b c a b c R a b c +++∈≥==定理如果,那么当且仅当时,等号成立。 即:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。2122,,,,n n n a a a a a n a a ++≥=== 11把基本不等式推广到一般情形:对于n 个正数a 它们的算术平均不小于它们的几何平均,即: 当且仅当a 时,等号成立。

证明不等式的基本方法(20200920095256)

12. 4 证明不等式的基本方法 T 懈不评式证明的基車方诜:比较法,综合建、井析媒 ttMK MMM ■■座用它们证明一些简 厲的不等式. Kiff <年斋号悄况来看.本讲尼岛号血埶的一个热点一 fO 灿讪卜将芸号僧::1;与躺碓不零式结, 证 期不等式:2>M 破立,探索性问題结合,ttaAMML 厲中档題團L E 基础知识过关 [知识梳理] 1. 证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2. 三个正数的算术-几何平均不等式 (1) 定理:如果a , b , c € R +那么a + ?+1需辰,当且仅当a = b = c 时,等号 a + b + c Q 成立.即三个正数的算术平均 3 不小于它们的几何平均Vabc. (2) 基本不等式的推广 对于n 个正数a i , a 2, , , a ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数, 即a 〔 + 汁‘ + 》^a 1a 2,—,当且仅当 a 1 = a 2 =, = a n 时,等号成立. n 3. 柯西不等式 (1)设 a , b , c , d 均为实数,则(a 2 + b 2)(c 2 + d 2)>(ac + bd)2,当且仅当 ad = bc 时等号成立. f n 「n J 「n ' ⑵若a i, b(i € N *)为实数,贝则 18 15 A l^a b i 2,当且仅当 I "八=1丿 T =1丿 (当a i = 0时,约定b i = 0, i = 1,2, , , n)时等号成立. (3) 柯西不等式的向量形式:设 a B 为平面上的两个向量,则|如3》|a ? (3当 且仅当a, 3共线时等号成立. 善纲解谨 君向预测 b^_ b2_ a 1 a 2 b n =a ;

4 基本不等式的证明(1)

4、基本不等式的证明(1) 目标: (,0)2 a b a b +≥的证明过程,并能应用基本不等式证明其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上,在另一个盘子上放砝码使天平平衡,称得物体的质量为 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) ,那么a 并非物体的实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的质量为b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量“平均”一下,以2 a b A +=表示物体的质量。这样的做法合理吗? 设天平的两臂长分别为12,l l ,物体实际质量为M ,据力学原理有1221,l M l a l M l b == ,有2,M ab M == ,0a b >时,2 a b +叫,a b ,a b 的几何平均数 2 a b + 二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法”: 02a b +-=≥ 2 a b +≤(当且仅当a b =时取等号) 说明:当0a =或0b =时,以上不等式仍成立。 从而有 2 a b +≤(0,0)a b ≥≥(称之“基本不等式” )当且仅当a b =时取等号。 2 a b +≤的几何解释: 如图,,2 a b OC CD OC CD +≥== 三、运用 例1 设,a b 为正数,证明:1(1)2(2)2b a a a b a +≥+≥ 注意:基本不等式的变形应用 2,2a b a b ab +??≤+≤ ???

例2 证明: 22(1)2a b ab +≥ 此不等式以后可直接使用 1(2)1(1)1 x x x + ≥>-+ 4(3)4(0)a a a +≤-< 2 2≥ 2 2> 例3 已知,0,1a b a b >+=,求证:123a b +≥+ 四、小结 五、作业 反馈32 书P91 习题1,2,3

高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明知识点分析

高中数学知识要点重温(11)不等式的性质与证明 1.在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方,具体的:当a>0,b>0时,a>b ?an>bn ; 当a<0,b<0时,a>b ?a2b2?|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数,但不等号的方向要改变,如:由x 1<2推得的应该是:x>21或x<0,而由x 1 >2推得的应该是: 00即可。以下用“取倒数” 求:3-f(x)<3,分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31 或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x)∈(-∞,0)∪(31,+∞);f(x)+3>3?0<3)(1+x f <31?1③b a <;④2>+b a a b 中, 正确的不等式有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 [巩固2] 下列命题:①若a>b,则ac2>bc2;②若ac2>bc2,则a>b ;③若a>b,c>d 则a-d>b-c ; ④若a>b,则a3>b3;⑤若a>b,则 ),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若aab>b2; ⑦若a|b|;⑧若a;⑨若a>b 且 b a 11>,则a>0,b<0; ⑩若c>a>b>0,则b c b a c a -> -;其中正确的命题是 。 [迁移]若a>b>c 且a+b+c=0,则:①a2>ab ,②b2>bc ,③bc

第049讲 总复习:不等式的综合应用(基础)知识梳理

不等式的综合应用 【考纲要求】 1.在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上,掌握其它的一些简单不等式的解法.通过不等式解法的复习,提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力; 2.掌握解不等式的基本思路,即将分式不等式、绝对值不等式等不等式,化归为整式不等式(组),会用分类、换元、数形结合的方法解不等式; 3.通过复习不等式的性质及常用的证明方法(比较法、分析法、综合法、数学归纳法等),使学生较灵活的运用常规方法(即通性通法)证明不等式的有关问题; 4.通过证明不等式的过程,培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力; 5.能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法,解决有关不等式的问题. 6.通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高分析问题解决问题的能力.在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中,提高学生数学素质及创新意识.. 【知识络】 【考点梳理】 考点一:不等式问题中相关方法 1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化.在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一.通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰. 2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函 数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法.方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式 化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰.通过复习,感悟到不等式的核心问题是不等式的同解变形,能否正确的得到不等式的解集,不等式同解变形的理论起了重要的作用. 4.比较法是不等式证明中最基本、也是最常用的方法,比较法的一般步骤是:作差(商)→变形 →判断符(值). 5.证明不等式的方法灵活多样,内容丰富、技巧性较强,这对发展分析综合能力、正逆思维 等,将会起到很好的促进作用.在证明不等式前,要依据题设和待证不等式的结构特点、内在联系,选择 不 等式的综合应用 解不等式问题 实际应用问题 不等式中的含参问题 不等式证明

证明不等式的基本方法-比较法

第二讲证明不等式的基本方法 课题:第01课时不等式的证明方法之一:比较法 一.教学目标 (一)知识目标 (1)了解不等式的证明方法——比较法的基本思想; (2)会用比较法证明不等式,熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式;(3)明确用比较法证明不等式的依据,以及“转化”的数学思想。 (二)能力目标 (1)培养学生将实际问题转化为数学问题的能力; (2)培养学生观察、比较、抽象、概括的能力; (3)训练学生思维的灵活性。 (三)德育目标 (1)激发学习的内在动机; (2)养成良好的学习习惯。 二.教学的重难点及教学设计 (一)教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 (二)教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想,证明不等式的依据和用途 (三)教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜,实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境,激发学生学习动机,通过将实际问题转化为不等式大小的比较,引入新课。 2.教学内容的处理 (1)补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 (2)补充一组证明不等式的变式练习。 (3)在作业中补充何时该用作差法,何时用作商法的习题,帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究,合作交流与教师引导相结合。 三.教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四.教学过程 (一)、新课学习: 1.作差比较法的依据: a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a

不等式的常见证明方法

不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证:.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明:.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评:可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练:设c b a ,,都是正数。求证: .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知,对于任意的n 为正整数,求证: 1+221+321+K +n 21<4 7 分析:通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解:Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1(n ≥2) ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评:放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练:设c b a ,,都是正数,a+b>c,求证:a a +1+b b +1>c c +1

三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++0有不等式x x 11ln - ≥,如果令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,如果令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k k 1ln )1ln(11<-+<+,然后叠加不等式即可。 解:设函数x x x x f ln 1)(+-=,则易证0)(≥x f ,即不等式x x 11ln -≥对于x>0恒成立, 令x=k k 1+,则有111ln +>+k k k ,令x=1+k k ,则k k k ->+11ln ,即k k k 11ln <+成立。从而有k k k k 1ln )1ln(11<-+<+。 在不等式k k k 11ln <+中,分别令,3,,2,1n n n k K ++=得到一系列不等式相加为 )13ln()2ln()2ln()1ln(312111++++-+++->+++++n n n n n n n K K 即n n n 312111+++++K >113ln ++n n 2ln 1 22ln =++≥n n 在不等式1 11ln +>+k k k 中,分别令k=n,n+1,K 3n-1,并把所得的不等式相加,得 n n n 312111+++++K <3ln 3ln 3ln )1ln()1ln(ln ==++-++-n n n n n n K 即不等式3ln 3121112ln <+++++

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