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2020年高考数学(理)大题分解专题03 概率与统计

2020年高考数学(理)大题分解专题03  概率与统计
2020年高考数学(理)大题分解专题03  概率与统计

(2020江西省上饶市一模)在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中,某单位在某市定点帮扶某村100户贫困户.为了做到精准帮扶,工作组对这100户村民的年收入情况、危旧房情况、患病情况等进行调查,并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2,[)0.2,0.4,[)0.4,0.6,[)0.6,0.8,[]0.8,1.0分成五组,得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<,则认定该户为“绝对贫困户”,否则认定该户为“相对贫困户”;当00.2x ≤<时,认定该户为“亟待帮住户”.工作组又对这100户家庭的受教育水平进行评测,家庭受教育水平记为“良好”与“不好”两种

.

(1)完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:

受教育水平良好

受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2

相对贫困户 52

总计

100

(2)上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中,随机选取两户,用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X 的分布列和数学期望()E X .

附:()()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中n a b c d =+++.

()

20P K k ≥

0.15 0.10

0.05 0.025

大题肢解一

统计案例与数学期望

k

2.072 2.706

3.841 5.024

【肢解1】完成下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关:

受教育水平良好

受教育水平不好 总计 绝对贫困户 2

相对贫困户 52

总计

100

【肢解2】上级部门为了调查这个村的特困户分布情况,在贫困指标处于[)00.4,的贫困户中,随机选取两户,用X 表示所选两户中“亟待帮助户”的户数,求X 的分布列和数学期望()E X .

【解析】(1)由题意可知,绝对贫困户有()0.250.500.75++0.210030??=(户),可得出如列联表:

受教育水平良好

受教育水平不好

总计

绝对贫困户 2 28 30 相对贫困户 18 52

70

总计

20

80 100

()

2

2100182825230702080

K ??-?=

??? 4.762 3.841≈>. 故有95%的把握认为绝对贫困户数与受教育水平不好有关.

(2)贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+??=(户)

“亟待帮助户”共有0. 250.21005??=(户), 依题意X 的可能值为0,1,2,

()2

10215307C P X C =

==,()11

1052

1510121C C P X C ===,()252152

221

C P X C ===, 则X 的分布列为

X

0 1

2

P

37

10

21

221

故31022()012721213

E X =?

+?+?=.

1.独立性检验的一般步骤:

(1)根据样本数据制成2×2列联表; (2)根据公式

K 2=

n (ad -bc )2

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

计算K 2的值;

(3)查表比较K 2与临界值的大小关系,作统计判断. 2.求离散型随机变量ξ的均值与方差的方法:

(1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)求ξ取每个值的概率; (3)写出ξ的分布列; (4)由均值的定义求E (ξ); (5)由方差的定义求D (ξ).

【拓展1】(2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟)手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)

若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?

参考数据:

参考公式:()()()()

2

2

()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.

【解析】(1)由统计表可得,低于45岁人数为70人,不低于45岁人数为30人, 可得列联表如下:

于是有K2的观测值2

100(60151510)14.28610.82875257030

k ??-?=

≈???>. 故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关.

【拓展2】(2020届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟)手机支付也称为移动支付,是指允许用户使用其移动终端(通常是手机)对所消费的商品或服务进行账务支付的一种服务方式.随着信息技术的发展,手机支付越来越成为人们喜欢的支付方式.某机构对某地区年龄在15到75岁的人群“是否使用手机支付”的情况进行了调查,随机抽取了100人,其年龄频率分布表和使用手机支付的人数如下所示:(年龄单位:岁)

(1)若以45岁为分界点,根据以上统计数据填写下面的2×2列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用手机支付”与年龄有关?

(2)若从年龄在[55,65),[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈,记选中的4人中“使用手机支付”的人数为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.

【解析】由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,3,相应的概率为:()22

3222531

010C C P X C C ===,

()1122132232222253532

15

C C C C C P X C C C C ==+=,

()1112

2322222222535313230C C C C C P X C C C C ==+=,()21

2222

531

315

C C P X C C ===, 于是X 的分布列为:

所以1213122

()0123105301515

E X =?+?+?+?=

1.(2019年湖北模拟)通过随机询问100名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下2×2列联表:

男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 15 25 40 总计

55

45

100

(1)能否有99%

(2)利用分层抽样的方法从以上爱好该项运动的大学生中抽取6人组建“运动达人社”,现从

“运动达人社”中选派2人参加某项校际挑战赛,求选出的2人中恰有1名女大学生的概率.

附:

P (K 2≥k 0)

0.050 0.010 0.001 k 0

3.841

6.635

10.828

K 2=

n (ad -bc )2

(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )

,其中n =a +b +c +d .

【解析】(1)因为

K 2=

100×(40×25-20×15)2

55×45×60×40

≈8.249>6.635,

所以有99%的把握认为是否爱好该项运动与性别有关.

(2)由题意,抽取的6人中,有男生4名,分别记为a ,b ,c ,d ;女生2名,分别记为m ,n . 则抽取的结果共有15种:(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,m ),(a ,n ),(b ,c ),(b ,d ), (b ,m ),(b ,n ),(c ,d ),(c ,m ),(c ,n ),(d ,m ),(d ,n ),(m ,n ),

设“选出的2人中恰有1名女大学生”为事件A ,事件A 所包含的基本事件有8种: (a ,m ),(a ,n ),(b ,m ),(b ,n ),(c ,m ),(c ,n ),(d ,m ),(d ,n ).

则P (A )=815

.

故选出的2人中恰有1名女大学生的概率为8

15

.

2.(2019年湖北省宜昌模拟)某公司招收大学毕业生,经过综合测试录用了14名男生和6名女生,这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示(单位:分).公司规定:成绩在180分以上者到甲部门工作,在180分以下者到乙部门工作,另外只有成绩高于180分的男生才能担任助理工作.

变式训练一

(1)现用分层抽样的方法从甲、乙两部门中选取8人.若从这8人中再选3人,求至少有一人来自甲部门的概率;

(2)若从甲部门中随机选取3人,用X 表示所选人员中能担任助理工作的人数,求X 的分布列及数学期望.

【解析】(1)根据茎叶图可知,甲、乙两部门各有10人,用分层抽样的方法,应从甲、乙两部门中各选取2

1045

?

=人. 记“至少有一人来自甲部门”为事件A ,则()343813

114

C P A C =-=.

故至少有一人来自甲部门的概率为

1314

. (2)由题意可知,X 的可能取值为0,1,2,3.

()()()()03122130646464643333101010101311

0,1,2,3301026

C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C ============,

所以X 的分布列为

X 0 1 2 3

P

1

30

310

1

2 16

所以()1301233010265

E X =?+?+?+?=.

(2019河南洛阳市模拟)雾霾天气对人体健康有伤害,应对雾霾污染、改善空气质量的首要任务是控制PM 2.5,要从压减燃煤、严格控车、调整产业、强化管理、联防联控、依法治理等方面采取重大举措,聚焦重点领域,严格考核指标.某省环保部门为加强环境执法监管,派遣四个不同的专家组对A 、B 、C 三个城市进行治霾落实情况抽查.

(1)若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率;

(2)每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,并对所选取的城市进行评价,每个专家组

大题肢解二

二项分布

给检查到的城市评价为优的概率为1

2,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复检.设

需进行复检的城市的个数为X ,求X 的分布列和期望.

【肢解1】若每个专家组随机选取一个城市,四个专家组选取的城市可以相同,也可以不同,求恰有一个城市没有专家组选取的概率;

【肢解2】每一个城市都要由四个专家组分别对抽查情况进行评价,并对所选取的城市进行评价,每个专家组给检查到的城市评价为优的概率为1

2,若四个专家组均评价为优则检查通过不用复检,否则需进行复

检.设需进行复检的城市的个数为X ,求X 的分布列和期望.

【解析】(1)随机选取,共有34=81种不同方法,

恰有一个城市没有专家组选取的有C 13(C 14A 22+C 24)=42种不同方法,

故恰有一个城市没有专家组选取的概率为4281=1427

.

(2)设事件A :“一个城市需复检”,则P (A )=1-4)2

1(=15

16,X 的所有可能取值为0,1,2,3,

P (X =0)=C 03·3)161(

=14 096,P (X =1)=C 13·3)161(·1)1615(=454 096,P (X =2)=C 23·1)161(

·2)16

15(=6754 096,P (X =3)=C 33·3)16

15(

=3 3754 096. 所以X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

14 096

45

4 096

675

4 096

3 375

4 096

由题意知X ~B )16

15

,

3(, 所以E (X )=3×1516=45

16

.

二项分布的期望与方差

如果ξ~B (n ,p ),则用公式E (ξ)=np ;D (ξ)=np (1-p )求解,可大大减少计算量.

1.(2019四川成都诊断)某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况,对其每天的用水量做了记录,得到了大量该企业的日用水量的统计数据,从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本,得到如图所示的茎叶图(单位:吨).若用水量不低于95吨,则称这一天的用水量超标.

(1)从这12天的数据中随机抽取3个,求至多有1天的 用水量超标的概率;

(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,估计该企业未来3天中用水量超标的天数,记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数,求X 的分布列、数学期望和方差. 【解析】(1)记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天的用水量超标”为事件A ,

则P (A )=C 14C 2

8C 312+C 38

C 3

12=168220=4255

.

(2)以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率,易知用水量超标的概率为3

1

. X 的所有可能取值为0,1,2,3, 易知X ~B )31,3(,P (X =k )=C k 3k

k

-??3)

3

2()3

1(,k =0,1,2,3,

则P (X =0)=827,P (X =1)=49,P (X =2)=29,P (X =3)=1

27.

所以随机变量X 的分布列为

X 0 1 2 3 P

8

27

49

29

127

所以数学期望E (X )=3×13=1,D (X )=3×1

3×)311(-=23

.

2.(2020湖南师范大学附属中学高三上学期第二次月考)某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表:

从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图:

变式训练二

(1)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定?

(2)在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率;

(3)该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,活动后再抽样检测,产品质量指标值X近似满足~(218,140)

X N,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少?

【解析】(1)根据抽样调查数据,一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.2600.0900.0250.875

++++=,由于该估计值小于0.92,故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定.

(2)由频率分布直方图知,一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125,故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中,一等品3件,二等品4件,三等品1件,再从这8件产品中随机抽取4件,一、二、三等品都有的情况有2种:①一等品2件,二等品1件,三等品1件;②一等品1件,二等品2件,三等

品1件,故所求的概率211121 3

41341

4

8

3

7

C C C C C C

P

C

+

==.

(3)“质量提升月”活动前,该企业这种产品的质量指标值的均值约为

1700.0251800.11900.22000.32100.262200.092300.025?+?+?+?+?+?+?

200.4

=

“质量提升月”活动后,产品质量指标值X近似满足()

~218,140

X N,则()218

E X=. 所以,“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.

1.(2019云南省高考模拟)一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球*

()n n N ∈个,现进行从口袋中摸球的游戏:摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分.若从这个口袋中随机的摸出2个球,恰有一个是黄色球的概率是

15

8

. (1)求n 的值;

(2)从口袋中随机摸出2个球,设ξ表示所摸2球的得分之和,求ξ的分布列和数学期望()E ξ.

【解析】(1)由题意有15

82

31

2

11=++n n C C C ,即03522=--n n ,解得3=n ; (2)ξ取值为3,4,5,6.

则11

122

62

(3)15

C C P C ξ===,11213222664(4)15C C C P C C ξ==+=, 11

232

62

(5)5

C C P C ξ===,23261(6)5C P C ξ===, ξ的分布列为:

故242114

()34561515553

E ξ=?

+?+?+?=. 2.(2020福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考)自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况,随机抽取了100人,统计结果整理如下:

(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率;

(2)从被抽取的年龄在BF 使用自由购的顾客中,随机抽取3人进一步了解情况,用X 表示这3人中年龄在[50,60)的人数,求随机变量X 的分布列及数学期望;

(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计

有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋. 【解析】(1)在随机抽取的100名顾客中, 年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人,

所以,随机抽取1名顾客,估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为17

100

P =. (2)X 所有的可能取值为1,2,3,

()124236115C C P X C ===,()214236325C C P X C ===,()30

423

61

35

C C P X C ===. 所以X 的分布列为

所以X 的数学期望为131

()1232555

E X =?

+?+?=. (3)在随机抽取的100名顾客中,使用自由购的共有3121764244+++++=人, 所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为44

50002200100

?=.

3.(2020广东省惠州市高三第三次调研)为发挥体育核心素养的独特育人价值,越来越多的中学将某些体育项目纳入到学生的必修课程.惠州市某中学计划在高一年级开设游泳课程,为了解学生对游泳的兴趣,某数学研究学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查.

(1)已知在被抽取的学生中高一(1)班学生有6名,其中3名对游泳感兴趣,现在从这6名学生中随机抽取3人,求至少有2人对游泳感兴趣的概率;

(2)该研究性学习小组在调查中发现,对游泳感兴趣的学生中有部分曾在市级或市级以上游泳比赛中获奖,具体获奖人数如下表所示.若从高一(8)班和高一(9)班获奖学生中随机各抽取2人进行跟踪调查,记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望.

【解析】(1)记事件i A {=从6名学生抽取的3人中恰好有i 人有兴趣,i 0=,1,2,3}; 则2A 与3A 互斥,

故所求概率为()()()()2323P 2P A A P A P A =+=+至少人感兴趣 2130

33

3333

66

C C C C C C ??=+101202==; (2)由题意知,随机变量ξ的所有可能取值有0,1,2,3;

()22342255C C 9P ξ0C C 50?===?,()11221234342255C C C C C 12P ξ1C C 25??+?===?,()22111

24

324

22

55C C C C C 3P ξ2C C 10?+??===? ()2124

2255C C 1P ξ3C C 25

?===

?. 则ξ的分布列为:

数学期望为()9241526E ξ0123505050505

=?

+?+?+?=. 4.(2019·河北高考模拟)某次招聘分为笔试和面试两个环节,且只有笔试过关者方可进入面试环节,笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三科,且至少有两科优秀才算笔试过关,面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为2

3

,面试两科每科优秀的概率均为

34

. (1)求该考生被录用的概率;

(2)设该考生在此次招聘活动中考试的科目总数为ξ,求ξ的分布列与数学期望. 【解析】(1)该考生被录用,说明该考生笔试与面试均得以过关.

所以=P 3223221335[(

)+()]=3334412

C ???. (2)易得ξ的可能取值为3 ,5 ,

所以(=3)=1P ξ-3223221207

[(

)+()]=1-=3332727C ?, 或(=3)=P ξ31231127

()+()=33327

C ? ,

所以20

(=5)=1-(=3)=27

P P ξξ,

或(=5)=P ξ322322120

()+()=33327

C ? ,

ξ的分布列为:

所以720121

()=3+5=

272727

E ξ?

?. 5.(2019江西省新八校联考)某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:

(1)若将频率是为概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率;(结果用分数表示)

(2)用样本估计总体,果园老板提出两种购销方案给采购商参考, 方案1:不分类卖出,单价为20元/kg . 方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:

从采购单的角度考虑,应该采用哪种方案?

(3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,X 表示

抽取的是精品果的数量,求X 的分布列及数学期望()E X .

【解析】(1)设从100个水果中随机抽取一个,抽到礼品果的事件为A ,则201

()1005

P A ==, 现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X ,则1~(4,)5

X B ,

所以恰好抽到2个礼品果的概率为22244196(2)C ()()55625

P X ===

, (2)设方案2的单价为ξ,则单价的期望值为

134216548848()1618222420.61010101010

E ξ+++=?

+?+?+?==, 因为()20E ξ>,所以从采购商的角度考虑,应该采用第一种方案. (3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个,则其中精品果4个,非精品果6个, 现从中抽取3个,则精品果的数量X 服从超几何分布,所有可能的取值为0,1,2,3,

则36

310C 1(0)C 6P X ===;21

643

10C C 1(1)C 2P X ===; 1264

310C C 3(2)C 10P X ===;34310C 1(3)C 30

P X ===

, 所以X 的分布列如下:

所以()01236210305

E X =?+?+?+?=.

6.(2020山西省晋城市高三第一次模拟)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,

这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:

某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:

(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ,并判断y 与x 是否线性相关; (2)请将上述22?列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;

(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X 的数学期望与方差.

参考公式:()()

n

i

i

x x y y r --=

∑,2

2

()()()()()

n ad bc k a b c d a c b d -=++++,

其中n a b c d =+++25≈,若0.9r >,则可判断y 与x 线性相关. 附表:

【解析】(1)依题意,20142015201620172018

20165

x ++++=

=,

810132524

165

y ++++=

=,

5

1

()()(2)(8)(1)(6)192847i

i

i x x y y =--=-?-+-?-+?+?=∑,

5

2

1

()

411410i

i x x =-=+++=∑,5

21

()643698164254i i y y =-=++++=∑,

则5

()()

0.940.9i

i

x x y y r --=

=

=≈>∑

故y 与x 线性相关.

(2)依题意,完善表格如下:

22

30(18426)15 3.75 2.70620102464

K ??-?===>???

故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. (3)依题意,该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为42

105

=, 则2(50,)5

X B :, 所以2()50205E X =?

=,22

(

)50(1)1255

D X =??-=. 7.(2020云南省昆明市第一中学高三一轮检测)某城市为鼓励人们乘坐地铁出行,地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策,不超过30站的地铁票价如下表:

现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁,已知他们乘坐地铁都不超过30站,甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为

14,13;甲、乙乘坐超过20站的概率分别为12,13

. (1)求甲、乙两人付费相同的概率;

(2)设甲、乙两人所付费用之和为随机变量X ,求X 的分布列和数学期望. 【解析】(1)由题意知甲乘坐超过10站且不超过20站的概率为111

1424

-

-=,

乙乘坐超过10站且不超过20站的概率为1111333

-

-=, 设“甲、乙两人付费相同”为事件A ,则()11114343P A =?+? 1

11

233

+?=,

所以甲、乙两人付费相同的概率是1

3

.

(2)由题意可知X 的所有可能取值为:6,9,12,15,18.

()11164312P X ==?=,()11943P X ==? 111436+?=,()11112432P X ==?+ 1111

3433?+?=,

()11112432P X ==?+ 1134?=,()111

18236

P X ==?=.

因此X 的分布列如下:

X

6

9

12 15

18

P

1

12

16

13

14

16

所以X 的数学期望()1169126E X =?

+? 11121534+?+? 1511864

+?=. 8.(2020东北三省三校联合模拟)“移动支付、高铁、网购、共享单车”被称为中国的“新四大发明”.为了帮助50岁以上的中老年人更快地适应“移动支付”,某机构通过网络组织50岁以上的中老年人学习移动支付相关知识.学习结束后,每人都进行限时答卷,得分都在[]50,100内.在这些答卷(有大量答卷)中,随机抽出200份,统计得分绘出频率分布直方图如图.

(1)求出图中a 的值,并求样本中,答卷成绩在[)80,90上的人数;

(2)以样本的频率为概率,从参加这次答卷的人群中,随机抽取4名,记成绩在80分以上(含80分)的人数为X ,求X 的分布列和期望.

【解析】(1)依题意,()2 376 2101,a a a a a ?++++=故0.005a =, 故成绩在[)80,90上的频率为600.3,a = 答卷成绩在[)80,90上的人数为2000.360; ?=

(2)由样本的频率分布直方图知成绩在80分以上(含80分)的频率为2805

a =, 依题意,24,5X B ??- ???

故()04042381055625P X C ????=== ? ?????,()3

1423216155625P X C ????=== ???

????, ()()2

2

4

2

34

42321623962,35562555625

P X C P X C ????????====== ? ? ? ?

????????, ()4442316455625P X C α

????=== ? ?

????

, 所以X 的分布列为

所以X 的数学期望为()28455

E X =?=.

全国各地高考数学统计与概率大题专题汇编.doc

1.【2015·新课标II】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度评分如下: A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可); 价结果相互独立.根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率. 2.【2015·福建】某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.

3.【2015·山东】若n是一个三位正整数,且n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如137,359,567等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数,且只能抽取一次.得分规则如下:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除,参加者得0分;若能被5整除,但不能被10 分;若能被10整除,得1分. 整除,得1 (I)写出所有个位数字是5的“三位递增数” ; (II)若甲参加活动,求甲得分X的分布列和数学期望EX. 4.【2015·安徽】已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所 需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,

(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.

最新高考数学压轴题专题训练(共20题)[1]

1.已知点)1,0(F ,一动圆过点F 且与圆8)1(2 2 =++y x 内切. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程; (2)设点)0,(a A ,点P 为曲线C 上任一点,求点A 到点P 距离的最大值)(a d ; (3)在10<

3.已知点A (-1,0),B (1,0),C (- 5712,0),D (5712 ,0),动点P (x , y )满足AP →·BP → =0,动点Q (x , y )满足|QC →|+|QD →|=10 3 ⑴求动点P 的轨迹方程C 0和动点Q 的轨迹方程C 1; ⑵是否存在与曲线C 0外切且与曲线C 1内接的平行四边形,若存在,请求出一个这样的平行四边形,若不存在,请说明理由; ⑶固定曲线C 0,在⑵的基础上提出一个一般性问题,使⑵成为⑶的特例,探究能得出相应结论(或加强结论)需满足的条件,并说明理由。 4.已知函数f (x )=m x 2+(m -3)x +1的图像与x 轴的交点至少有一个在原点右侧, ⑴求实数m 的取值范围; ⑵令t =-m +2,求[1 t ];(其中[t ]表示不超过t 的最大整数,例如:[1]=1, [2.5]=2, [-2.5]=-3) ⑶对⑵中的t ,求函数g (t )=t +1t [t ][1t ]+[t ]+[1t ]+1的值域。

【2020最新】人教版最新高考数学总复习(各种专题训练)Word版

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一.课标要求: 1.集合的含义与表示 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系; (2)能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用; 2.集合间的基本关系 (1)理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; (2)在具体情境中,了解全集与空集的含义; 3.集合的基本运算 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; (3)能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。 二.命题走向 有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn 图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主,分值5分。 预测20xx 年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立。具体题型估计为: (1)题型是1个选择题或1个填空题; (2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用。 三.要点精讲 1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。 (1)集合中的对象称元素,若a 是集合A 的元素,记作;若b 不是集合A 的元素,记作;A a ∈A b ? (2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;

2020高考数学概率统计(大题)

全国一卷真题分析---概率统计 1.(2011年)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的 概率为0.3,设各车主购买保险相互独立. (Ⅰ)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l种的概率; (Ⅱ)X表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望. 2.(2012年)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果 当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16朵玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,N n )的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 以100天记录的各需求量的频率作为 各需求量发生的概率. (ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差; (ⅱ)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 3.(2013年)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中 优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下, 这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为1 2, 且各件产品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望. 1

2018届高考数学立体几何(理科)专题02-二面角

2018届高考数学立体几何(理科)专题02 二面角 1.如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 1,90A A AB ABC =∠=?侧面11A ABB ⊥底面ABC . (1)求证: 1AB ⊥平面1A BC ; (2)若15360AC BC A AB ==∠=?,,,求二面角11B A C C --的余弦值.

2.如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,,平面 平面,点为的中点. (1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

3.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形, 2AB AD =, BD =,且PD ⊥底面ABCD . (1)证明:平面PBD ⊥平面PBC ; (2)若Q 为PC 的中点,且1AP BQ ?=u u u v u u u v ,求二面角Q BD C --的大小.

4.如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,,平面. (1)求证:; (2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

5.在四棱锥P ABCD -中,四边形ABCD 是矩形,平面PAB ⊥平面ABCD ,点E 、F 分别为BC 、AP 中点. (1)求证: //EF 平面PCD ; (2)若0 ,120,AD AP PB APB ==∠=,求平面DEF 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值.

6.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为直角梯形, ,90AD BC ADC ∠=o P ,平面PAD ⊥底面ABCD , Q 为AD 中点, M 是棱PC 上的点, 1 2,1,2 PA PD BC AD CD === ==(Ⅰ)若点M 是棱PC 的中点,求证: PA P 平面BMQ ; (Ⅱ)求证:平面PQB ⊥平面PAD ; (Ⅲ)若二面角M BQ C --为30o ,设PM tMC =,试确定t 的值.

2014年全国大纲卷高考理科数学试题真题含答案

2014年普通高等学校统一考试(大纲) 理科 第Ⅰ卷(共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设103i z i =+,则z 的共轭复数为 ( ) A .13i -+ B .13i -- C .13i + D .13i - 【答案】D . 2.设集合2{|340}M x x x =--<,{|05}N x x =≤≤,则M N = ( ) A .(0,4] B .[0,4) C .[1,0)- D .(1,0]- 【答案】B. 3.设sin33,cos55,tan35,a b c =?=?=?则 ( ) A .a b c >> B .b c a >> C .c b a >> D .c a b >> 【答案】C . 4.若向量,a b 满足:()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = ( ) A .2 B C .1 D . 2 【答案】B . 5.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ) A .60种 B .70种 C .75种 D .150种 【答案】C .

6.已知椭圆C :22 221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 2F 的 直线l 交C 于A 、B 两点,若1AF B ?的周长为C 的方程为 ( ) A .22132x y += B .2213x y += C .221128x y += D .22 1124 x y += 【答案】A . 7.曲线1x y xe -=在点(1,1)处切线的斜率等于 ( ) A .2e B .e C .2 D .1 【答案】C . 8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( ) A .814 π B .16π C .9π D .274π 【答案】A . 9.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为1F 、2F ,点A 在C 上,若122F A F A =,则 21cos AF F ∠=( ) A .14 B .13 C .4 D .3 【答案】A . 10.等比数列{}n a 中,452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前8项和等于 ( ) A .6 B .5 C .4 D .3 【答案】C . 11.已知二面角l αβ--为60?,AB α?,AB l ⊥,A 为垂足,CD β?,C l ∈,135ACD ∠=?,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ( )

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、(全国 8)正六棱柱 ABCDEF -A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1, 侧棱长为 2 ,则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 ( ) A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质,以及异面直线所成角的求法。 2、(全国 18)如图,正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1,而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直,点 M 在 AC 上移动,点 N 在 BF C 上移动,若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形,PB⊥面ABCD。 (1)若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°, 求这个四棱锥的体积; (2)证明无论四棱锥的高怎样变化,面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念,以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、(02全国文22)(一)给出两块面积相同的正三角形纸片,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,使它们的全面积都与原三角形面积相等,请设计一种剪拼法,分别用虚线标示在图(1)(2)中,并作简要说明。 (3) (1)(2) (二)试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。(三)如果给出的是一块任意三角形的纸片,如图(3)要求剪拼成一个直三棱柱模型,使它的全面积与给出的三角形面积相等,请设计一种剪拼方法,用虚线标出在图3中,并作简要说明。

概率统计大题题型总结(理)学生版

统计概率大题题型总结 题型一 频率分布直方图与茎叶图 例1.(2013广东理17)某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如 图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值; (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人,根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人; (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有名优秀工人的概率. 例2.(2013新课标Ⅱ理)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出t 该产品获利润500 元,未售出的产品,每t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品,以X (单位:t,150100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内销商该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数; (Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率; 1 7 9 2 0 1 5 3 0 第17题图

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的概率),求利润T 的数学期望. 变式1. 【2015高考重庆,理3】重庆市2013年各月的平均气温(o C )数据的茎叶图如下: 08912 58 200338312 则这组数据的中位数是( ) A 、19 B 、20 C 、21.5 D 、23 /频率组距0.010 0.0150.0200.0250.030100110120130140150需求量/x t

高考数学19个专题分章节大汇编

高考理科数学试题分类汇编:1集合 一、选择题 1 . (普通高等学校招生统一考试重庆数学(理)试题(含答案))已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A , ,{}=23B ,,则()=U A B e( ) A. {}134, , B. {}34, C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . (普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD 版))已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ,则 A. ()01, B. (]02, C. ()1,2 D. (]12, 【答案】D 3 . (普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . (普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯WORD 版))设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . (高考上海卷(理))设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . (普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是

2018江苏高考数学试题及答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学Ⅰ 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1.已知集合{}8,2,1,0=A ,{}8,6,1,1-=B ,那么=?B A . 2.若复数z 满足i z i 21+=?,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 . 3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 . 4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 . 5.函数()1log 2-=x x f 的定义域为 . 6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 . 7.已知函数()??? ??<<- +=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称,则?的值是 . 8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为

c 2 3 ,则其离心率的值是 . 9.函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4,且在区间]2,2(-上,()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π, 则()() 15f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 . 11.若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点,则()x f 在[]1,1-上的最大值与最 小值的和为 . 12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点,()0,5B ,以AB 为直径的圆C 与 直线l 交于另一点D .若0=?,则点A 的横坐标为 . 13.在ABC ?中,角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、,ο 120=∠ABC ,ABC ∠的平分线交AC 于点D , 且1=BD ,则c a +4的最小值为 . 14.已知集合{ }* ∈-==N n n x x A ,12|,{}* ∈==N n x x B n ,2|.将B A ?的所有元素从小到大依次排 列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 .

高考数学专题精讲 (3)

专题二三角函数、解三角形与平面向量 第1讲三角函数的图象与性质 「考情研析」 1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性. 2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点. 核心知识回顾 1.同角关系式与诱导公式 (1)同角三角函数的基本关系:□01sin2α+cos2α=1,□02sinα cosα=tanα. (2)诱导公式:在kπ 2+α,k∈Z的诱导公式中“ □03奇变偶不变,符号看象限”. 2.三种三角函数的性质

3.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的步骤 热点考向探究 考向1 同角三角关系式、诱导公式 例1 (1)(2019·临川第一中学等九校高三3月联考)已知α∈(0,π),且cos α=-1517,则sin ? ?? ?? π2+αtan(π+α)=( ) A .- 1517 B . 1517 C .-817 D .817 答案 D 解析 sin ? ???? π2+αtan(π+α)=cos αtan α=sin α, 因为α∈(0,π),且cos α=-15 17,

所以sin α=1-cos 2α= 1-? ?? ?? -15172=817.故选D. (2)已知sin α-cos α=2,α∈(0,π),则tan α=( ) A .-1 B .-2 2 C .22 D .1 答案 A 解析 因为sin α-cos α=2,所以(sin α-cos α)2=2,所以sin2α=-1.因为α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以2α=3π2,即α=3π 4,故tan α=-1. (3)已知α为锐角,且有2tan(π-α)-3cos ? ???? π2+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π +β)-1=0,则sin α=( ) A.35 5 B .377 C .31010 D .-353 答案 C 解析 由已知可得, -2tan α+3sin β+5=0, ① tan α-6sin β-1=0, ② ①×2+②得tan α=3.∵α为锐角,∴sin α=310 10.故选C. (1)利用诱导公式化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二. (3)关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解. 1.(2019·内江市高三第三次模拟)已知α∈? ????π2,π,sin α=45,则tan ? ? ???α+π4=( ) A .7 B .17 C .-7 D .-17

2014年高考数学理科分类汇编专题03 导数与应用

1. 【2014江西高考理第8题】若1 2 ()2(),f x x f x dx =+? 则1 ()f x dx =?( ) A. 1- B.13- C.1 3 D.1 2. 【2014江西高考理第14题】若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是________. 3. 【2014辽宁高考理第11题】当[2,1]x ∈-时,不等式32 430ax x x -++≥恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .[5,3]-- B .9 [6,]8 -- C .[6,2]-- D .[4,3]--

4. 【2014全国1高考理第11题】已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是( ) A .()2,+∞ B .()1,+∞ C .(),2-∞- D .(),1-∞- 5. 【2014高考江苏卷第11题】在平面直角坐标系xoy 中,若曲线2 b y ax x =+(,a b 为常数)过点(2,5)P -,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b += . 【答案】3-

6. 【2014高考广东卷理第10题】曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 . 7. 【2014全国2高考理第8题】设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ,则a = ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 【2014全国2高考理第12题】设函数()x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足 ()2 22 00x f x m +

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

(重庆)22.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分) 在数列{}n a 中,()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ (1)若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式; (2)若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明:01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】(1)132n n a -=?;(2)证明见解析. 试题分析:(1)由02λμ==-,,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈,使得0n 0a =,则由上述递推公式易得0n 10a +=,重复上述过程可得 10a =,此与13a =矛盾,所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈,即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-,,数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =,归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +,所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面,由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上:01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点:等比数列的通项公式,数列的递推公式,不等式的证明,放缩法.

高考数学专题 存在性问题

第76炼 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时,通常先假定所求的要素(点,线,图形或是参数)存在,并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析,若能求出相应的要素,则假设成立;否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式:未知要素用字母代替 (1)点:坐标()00,x y (2)直线:斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量) (3)曲线:含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧: (1)特殊值(点)法:对于一些复杂的题目,可通过其中的特殊情况,解得所求要素的必要条件,然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 (2)核心变量的选取:因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素,所以通常以该要素作为核心变量,其余变量作为辅助变量,必要的时候消去。 (3)核心变量的求法: ①直接法:利用条件与辅助变量直接表示出所求要素,并进行求解 ②间接法:若无法直接求出要素,则可将核心变量参与到条件中,列出关于该变量与辅助变量的方程(组),运用方程思想求解。 二、典型例题: 例1:已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为33,过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点,当l 的斜率为1时,坐标原点O 到l 的距离为 2 2 。 (1)求,a b 的值 (2)C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 旋转到某一位置时,有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 成立?若存在, 求出所有的P 的坐标和l 的方程,若不存在,说明理由 解:(1)3 ::323 c e a b c a = =?=

【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题(教师版)

【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品,顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计,顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品,若顾客采用一次性付款,商场获得利润200元;若顾客采用分期付款,商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件:“3位顾客中至少1位采用一次性付款”,则A 表示事件:“3位顾客中无人采用一次性付款”. 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=,()1()10.0640.936P A P A =-=-=. (Ⅱ)记B 表示事件:“3位顾客每人购买1件该商品,商场获得利润不超过650元”. 0B 表示事件:“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”. 1B 表示事件:“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”. 则01B B B =+.30()0.60.216P B ==,12 13()0.60.40.432P B C =??=. 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=. 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性的即没患病.下面是两种化验方案: 方案甲:逐个化验,直到能确定患病动物为止. 方案乙:先任取3只,将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验,直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验. 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率. (20)解:记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次,B 表示依方案乙需化验3次,A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立,且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ,5 1A A )A (P 25 142= = ,5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束。假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立。已知前2局中,甲、乙各胜1局。 (Ⅰ)求再赛2局结束这次比赛的概率;

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:解析几何(含答案)

解析几何 1.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角的范围为[0,π). (2)直线的斜率 ①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =tan α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率;②斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的直线的斜率为k =y 1-y 2 x 1-x 2(x 1≠x 2);③直 线的方向向量a =(1,k );④应用:证明三点共线:k AB =k BC . [问题1] (1)直线的倾斜角θ越大,斜率k 就越大,这种说法正确吗? (2)直线x cos θ+3y -2=0的倾斜角的范围是________. 2.直线的方程 (1)点斜式:已知直线过点(x 0,y 0),其斜率为k ,则直线方程为y -y 0=k (x -x 0),它不包括垂直于x 轴的直线. (2)斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b ,斜率为k ,则直线方程为y =kx +b ,它不包括垂直于x 轴的直线. (3)两点式:已知直线经过P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)两点,则直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1,它不包括垂直于坐标 轴的直线. (4)截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a ,b ,则直线方程为x a +y b =1,它不包括垂直于坐标轴的直 线和过原点的直线. (5)一般式:任何直线均可写成Ax +By +C =0(A ,B 不同时为0)的形式. [问题2] 已知直线过点P (1,5),且在两坐标轴上的截距相等,则此直线的方程为________. 3.点到直线的距离及两平行直线间的距离 (1)点P (x 0,y 0)到直线Ax +By +C =0的距离为d =|Ax 0+By 0+C | A 2+ B 2; (2)两平行线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0间的距离为d = |C 1-C 2|A 2 +B 2. [问题3] 两平行直线3x +2y -5=0与6x +4y +5=0间的距离为________. 4.两直线的平行与垂直 ①l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2(两直线斜率存在,且不重合),则有l 1∥l 2?k 1=k 2;l 1⊥l 2?k 1·k 2=-1. ②l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,则有l 1∥l 2?A 1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0;l 1⊥l 2?A 1A 2+B 1B 2=0. 特别提醒:(1)A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2、A 1A 2≠B 1B 2、A 1A 2=B 1B 2=C 1 C 2仅是两直线平行、相交、重合的充分不必要条件;(2)在解 析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线. [问题4] 设直线l 1:x +my +6=0和l 2:(m -2)x +3y +2m =0,当m =________时,l 1∥l 2;当m =________时,l 1⊥l 2;当________时l 1与l 2相交;当m =________时,l 1与l 2重合. 5.圆的方程 (1)圆的标准方程:(x -a )2+(y -b )2=r 2. (2)圆的一般方程:x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0),只有当D 2+E 2-4F >0时,方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0才表示圆心为(-D 2,-E 2),半径为1 2D 2+E 2-4F 的圆. [问题5] 若方程a 2x 2+(a +2)y 2+2ax +a =0表示圆,则a =________. 6.直线、圆的位置关系 (1)直线与圆的位置关系 直线l :Ax +By +C =0和圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)有相交、相离、相切.可从代数和几何两个方面来判断: ①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况):Δ>0?相交;Δ<0?相离;Δ=0?相切;②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小):设圆心到直线的距离为d ,则d r ?相离;d =r ?相切. (2)圆与圆的位置关系 已知两圆的圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,则①当|O 1O 2|>r 1+r 2时,两圆外离;②当|O 1O 2|=r 1 +r 2时,两圆外切;③当|r 1-r 2|<|O 1O 2|b >0);焦点在y 轴上,y 2a 2+x 2 b 2=1(a >b >0).

高三数学 高考大题专项训练 全套 (15个专项)(典型例题)(含答案)

1、函数与导数(1) 2、三角函数与解三角形 3、函数与导数(2) 4、立体几何 5、数列(1) 6、应用题 7、解析几何 8、数列(2) 9、矩阵与变换 10、坐标系与参数方程 11、空间向量与立体几何 12、曲线与方程、抛物线 13、计数原理与二项式分布 14、随机变量及其概率分布 15、数学归纳法

高考压轴大题突破练 (一)函数与导数(1) 1.已知函数f (x )=a e x x +x . (1)若函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线经过点(0,-1),求a 的值; (2)是否存在负整数a ,使函数f (x )的极大值为正值?若存在,求出所有负整数a 的值;若不存在,请说明理由. 解 (1)∵f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2, ∴f ′(1)=1,f (1)=a e +1. ∴函数f (x )在(1,f (1))处的切线方程为 y -(a e +1)=x -1, 又直线过点(0,-1),∴-1-(a e +1)=-1, 解得a =-1 e . (2)若a <0,f ′(x )=a e x (x -1)+x 2 x 2 , 当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(-∞,0)上无极值;当x ∈(0,1)时,f ′(x )>0恒成立,函数在(0,1)上无极值. 方法一 当x ∈(1,+∞)时,若f (x )在x 0处取得符合条件的极大值f (x 0), 则???? ? x 0>1,f (x 0)>0,f ′(x 0)=0, 则0 0000 2 00 201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ? > +> -+ = ? ①②③ 由③得0 e x a =-x 20 x 0-1,代入②得-x 0x 0-1+x 0 >0, 结合①可解得x 0>2,再由f (x 0)=0 e x a x +x 0>0,得a >-02 0e x x , 设h (x )=-x 2 e x ,则h ′(x )=x (x -2)e x , 当x >2时,h ′(x )>0,即h (x )是增函数, ∴a >h (x 0)>h (2)=-4 e 2.

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