三角函数的图像和变换以及经典习题和答案
3.4函数sin()y A x ω?=+的图象与变换
【知识网络】1．函数sin()y A x ω?=+的实际意义；
２．函数sin()y A x ω?=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226
x y π
=
+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．
（１）
32； 14π；26x π+；6
π （2）函数2sin(2)3
y x π
=-
的对称中心是 ；对称轴方程是
；单调增区间是 ． （２）(
,0),26k k Z ππ+∈；5,212
k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ??
-++∈????
(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π??
=- ???
r 平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图
象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π??=- ???
r 平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x π
ω=+，由图象知，
73()1262
πππ
ω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像
上所有的点 （ ）
（A ）向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D ）向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数2sin(),6
y x x R π
=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
不变）得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像
(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移
4
π
个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）
（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 2
12sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平
移4
π
得cos 2()sin 24
y x x π
=-+=2sin cos x x =
［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3
x π=
为其一条
对称轴。（1）试求ω的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．
解：（1）2
()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω==++
2sin(2)16
x π
ω=++
3x π
=
Q 是()y f x =的一条对称轴2sin(
)136ωππ
∴+=±
2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13
()22
k k Z ω∴=+∈
1
012
ωω<<∴=Q
（2）用五点作图
［例3］已知函数2
()sin ()(0,0,0)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><<，且()y f x =的最大值
为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （I ）求?；
（II ）计算(1)(2)(2008)f f f +++L ．
解：（I ）2
sin ()cos(22).22
A A
y A x x ω?ω?=+=
-+()y f x =Q 的最大值为2，0A >. 2, 2.22A A A ∴+==又Q 其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224
ππωω∴== 22()cos(2)1cos(2)2222
f x x x ππ
??∴=-+=-+.()y f x =Q 过(1,2)点，
cos(2) 1.2π?∴+=-22,,2k k Z π?ππ∴+=+∈22,,2k k Z π
?π∴=+∈
,,4
k k Z π
?π∴=+
∈又Q 0,2
π
?<<
4
π
?∴=
.
（II ）4
π
?=
Q ，1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+
(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又()y f x =Q 的周期为4，20084502=?，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++???+=?=
［例4］设函数2
()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
a 的值．
解：（I ）1()cos 2sin 2sin(2)22232
f x x x x a πωωαω=
+++=+++ 依题意得 1
26
3
2
2
π
π
π
ωω?
+
=
?=
．
（II ）由（I ）知，()sin()32f x x π
α=+
+
+．又当5[,]36
x ππ
∈-时， 7[0,
]3
6x π
π+
∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36??
-????
，
122a =-
++，故1
.2
a =
【课内练习】
1.若把一个函数的图象按a =r （3
π
-，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图
象的函数解析式是 （ ）
（A ）2)3
cos(-+=πx y （B ）2)3
cos(--=πx y （C ）2)3
cos(++=πx y （D ）2)3
cos(+-=π
x y
１．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -r
平移可得原图象的函数解析式
2．为了得到函数y =sin （2x －
6
π
）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象 （ ） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π
个单位长度
C.向左平移6π个单位长度
D.向左平移3
π
个单位长度
２．B 提示：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3
π
2－2x ）=cos （2x
－3π2）=cos ［2（x －3π）］，∴将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度
3．若函数f （x ）=sin （ωx +?）的图象（部分）如下图所示，则ω和?的取值是 （ ）
A.ω=1，?=
3π B.ω=1，?=－3π C.ω=21，?=6π D.ω=21，?=－6
π
３．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ω
π2，∴ω=21
.
又当x =3π2时，y =1，∴sin（21×3
π
2+?）=1，
3π+?=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，?=6
π
. 4．函数sin 2y x =的图象向右平移?（0?>）个单位，得到的图象关于直线6
x π
=对称，
则?的最小值为 （ ）
()
A 512π ()
B 116π ()
C 1112
π
()D 以上都不对 ４．A 提示：平移后解析式为sin(22)y x ?=-，图象关于6
x π
=对称，
∴226
2
k π
π
?π?
-=+
（k Z ∈），∴2
12
k
π
?π=--
（k Z ∈），
∴当1k =-时，?的最小值为
512
π
． 5．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移
2
π
个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，
则()f x = ．
５．()f x =
11
sin(2)3cos 23222
x x π++=+． ６．函数sin(),(0,0)y A x A ω?ω=+>>为奇函数的充要条件是 ；
为偶函数的充要条件是 ． ６．()k k Z ?π=∈ ；()2
k k Z π
?π=+
∈
7．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4
，从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于
1
(,0)4
-，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 . ７．3sin()4
y x π
π=+
８．已知方程sinx+cosx=k 在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围
解：原方程sinx+cosx=k ?2sin （x+4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x+4π
）
与y 2=k 的图象.对于y=2sin （x+4
π
），令x=0，得y=1.
∴当k ∈［1，2
在［0，π］上有两交点，方程有两解
9．数)2
||,0,0(),sin(π
ω>?+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象相邻最
高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。
解：易知：A = 2 半周期π=32T ∴T = 6π 即π=ω
π62 从而：31
=ω
设：)31
sin(2?+=x y 令x = 0 有1sin 2=?
又：2||π
=? ∴所求函数解析式为)631sin(2π+=x y
10．已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，
并当x =3
1
时，2)(max =x f .
（1）求f （x ）.
（2）在闭区间［421，4
23
］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；
如果不存在，请说明理由. 解：（1）由22,T π
ωπω
=
==得 ()sin cos f x A x B x ππ∴=+
由题意可得
sin cos 2332
A B ππ?
+=
?= 解得 1A B ?=??=??()cos 2sin()6
f x x x x π
πππ∴=+=+
（2）令,62x k k Z ππππ+=+∈ 所以1
,3
x k k Z =+∈
由
21123434k ≤+≤ 得 5965
1212
k ≤≤
5k ∴= 所以在［421，4
23］上只有f （x ）的一条对称轴x =316
作业本
A 组
1．将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3
π
，得到图象对应解析式是 （ ）
()A 335sin(
)22x y π=- ()B 735sin()102x y π=- （C ） 35sin()22x
y π=- （D ） 5sin(26)y x π=--
１．A
２．已知函数sin()y A x ω?=+在同一周期内，当9
x π
=时，取得最大值
12，当49
x π
=时，取得最小值1
2
-
，则该函数的解析式是 （ ） ()A 12sin()36y x π=- ()B 1sin(3)26y x π
=+
()C 1sin(3)26y x π=- ()D 1sin(3)26
y x π
=-+
２．Ｂ 提示：代入验证 3．要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+
=x y 的
图象上所有的点的( )
A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动4π
个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动8
π
个单位长度
C ．横坐标缩短到原来的21倍，再向右平行移动4π
个单位长度
D ．横坐标缩短到原来的21倍, 再向左平行移动8
π
个单位长度
３．Ａ
４．函数y =
21sin （4π－3
2x ）的单调减区间是 ． ４．［3k π－8π3，3k π+8
π
9］，()k Z ∈
5．已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?π><
下图所示，则函数的解析式为 ．
５．32sin(2)4
y x π=+
提示：由图得32,()2882
T A πππ
==--=，∴T π=，∴ω=∴2sin(2)y x ?=+，又∵图象经过点(,2)8
π
-，
∴22sin()4
π
?=-
+，∴242
k π
π
?π-
=+
（k Z ∈），
∴324
k π
?π=+，∴34π?=
6、已知函数2()2cos sin()sin cos 23
f x x x x x x π
=+
-++（x R ∈）
，该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？ 解：21
()2cos (sin )sin cos 22f x x x x x x x =+
-++ 222sin cos sin )2x x x x =+-+sin 2222sin(2)23
x x x π
=++=++
①由sin y x =的图象向左平移
3
π
个单位得sin()3y x π=+图象，
②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3
y x π
=+图象，
③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3
y x π
=+图象，
④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23y x π
=++的图象．
说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23
y x π
=++的形式；（2）若在水平方向先伸
缩再平移，则要向左平移6
π
个单位了．
７．求函数22
7()4sin cos ()424
f x x x x x x ππ=+-≤≤的最小值，求其
单调区间．
解：22
()4sin cos f x x x x x =+-22sin 2x x =-+ 4cos(2)6
x π
=++因
74
24x π
π≤≤
，故232364
x πππ≤+≤，所以()f x 的最小值为
单调递减区间为7,424ππ??????
８．若函数()2sin cos 2(sin cos )f x a x x a x x a b =-+++的定义域为[0,]2
π，值域
为[5,1]-，求,a b 的值．
解：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，又[0,]2
x π
∈，故[1,2]t ∈
所以2
221
2()22
y at at b a t b a =-+=-
+-，由题意知：0a ≠ １．
当0,[1,2]a t >∈得：(12)51
a b b ?-+=-?
?
=??解之得6(21),1a b =+=
２．
当0,[1,2]a t <∈得：(12)1
5
a b b ?-+=??=-??解之得6(21),5a b =-+=-（舍
去）
综上知：6(21),1a b =+=
B 组
1.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )
（A ）sin()6y x π=+ （B ）sin(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）cos(2)6
y x π=- １．Ｄ
2．已知函数sin()y x ω?=+，(0)ω> 与直线1
2
y =的交点中，距离最近的两点间距离为
3π
，那么此函数的周期是 （ ） A 3
π
B π
C 2π
D 4π
２．B 提示：2()6x k k Z πω?π+=+∈或52()6
x k k Z π
ω?π+=
+∈， 212()()3x x πω?ω?+-+≥，2123x x πω-≥，令233
ππ
ω=得2ω=
3．若04
π
αβ<<<
，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则 （ ）
()A a b < ()B a b > ()C 1ab < ()D 2ab >
３．A 提示：
sin cos )4a πααα=+=+
，sin cos )4
b π
βββ=+=+
4
4
4
2
π
π
π
π
αβ<+
<+
<
Q
))44
π
π
αβ+
<+
４．把y =cos （x +
3
π
4）图象向左平移(0)??>个单位，所得函数为偶函数，则?的最小值是 ．
４．3
π2
５．①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则
tan tan αβ>；③函数sin()y A x ω?=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3
y x π
=+的最
小正周期为
2
π
．上列四个命题中，正确的命题是 ． ５．④
6．如图为某三角函数图象的一段
（1）用正弦函数写出其中一个解析式；
（2）求与这个函数关于直线π2=x 对称的函数解析 式，并作出它在[0，π4]内的简图。
解：（1）,3,2
1
2,43313====-=
A T T 又π?πππΘ )
21
sin(3?+=x y 令由图它过6
)321sin(30),0,3(π
??ππ-=+?=∴（为其中一个值） 所以13sin()26
y x π
=-
（2）令(x,y)是所求函数图象上任意一点，该点关于直线π2=x 对称点为),4(y x -π
该点在函数13sin()26y x π=-的图象上，所以13sin[(4)]26
y x π
π=--
即所求函数解析式为)6
21sin(3π
+-=x y
7．如图，函数2sin()y x π?=+，x ∈R,(其中02
π
?≤≤
)的图象与y 轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求?的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM 余弦。
值
解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,?=即1
sin .2
?=
因为02
π
?≤≤
，所以6
π
?=
.
（II ）由函数2sin()6y x π
π=+及其图像，得115
(,0),(,2),(,0),636
M P N - 所以11(,2),(,2),22PM PN =--=-u u u u r u u u r 从而cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ?<>=?u u u u r u u u r
u u u u r u u u r u u u u
r u u u r 1517
=
8.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点 11,16π??
???
，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
3
π
，然后将所得图象向左平移一个单位得到()y f x =的图象，若方程()3f x =的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求 ()y f x =的解析式。 解：原函数可化为22)y a b x c ?=
+++（其中?为辅助角，满足2
2
cos a b
?=
+
22
sin a b ?=
+且），因为11,16π??
???
是它的最低点，所以 22112621
k a b c π
π?π?+=-??
?-+=-?
解得 2272()3k k Z a b c π?π=-∈+=+且 1 所以(1)sin()3
y c x c π
=+-
+ 按题给变换后得()(1)sin
3
f x c x c π
=++
方程()3f x =的的正根就是直线3y =与()y f x =的图象交点的横坐标，它们成等差数列，即3y =与()y f x =相邻交点间的距离都相等。
直线3y =满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x 轴平行的直线1l ，二是
过图象最低点且和x 轴平行的直线2l ，三是和1l 、2l 平行且等距的直线3l ，而图象最低点为
11,16π??
???
，故不可能是2l ．假若直线3y =在1l ，交点间隔为一个周期６，即正根的公差为６，不合题意，所以3y =只能在3l 位置，所以3c =，()2sin
33
f x x π
=+，此时由
sin
03
x π
=得3x k =，正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意。
三角函数的平移及伸缩变换(含答案)
三角函数的平移及伸缩变换 一、单选题(共8道，每道12分) 1.将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再把图象上各点向左平移个单位长度，则所得的图象的解析式是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 2.已知函数y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整 个图象沿x轴向左平移个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数，则y ＝f(x)的表达式时( ) A. B. C. D.
答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 3.已知函数，若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 4.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的一个值是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 5.偶函数的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则的值可以是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 6.已知函数的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值是( ) A.π B. C. D. 答案：D
三角函数图像变换顺序详解(全面).
《图象变换的顺序寻根》 题根研究 一、图象变换的四种类型 从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换： 1.纵向平移——m 变换 2.纵向伸缩——A变换 3.横向平移——变换 4.横向伸缩——变换 一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样. 以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题. 【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？ 【解法1】第1步，横向平移： 将y = sin x向右平移，得 第2步，横向伸缩： 将的横坐标缩短倍，得 第3步：纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 第4步：纵向平移： 将向上平移1，得 【解法2】第1步，横向伸缩： 将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x 第2步，横向平移：
将y = sin 2x向右平移，得 第3步，纵向平移： 将向上平移，得 第4步，纵向伸缩： 将的纵坐标扩大3倍，得 【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变 换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大. 【质疑】对以上变换，提出如下疑问： （1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？ （2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反—— 如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？ （3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反—— 如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？ 【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f ()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式 (y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了. 如将例1中的变成 它们的变换“方向”就“统一”了. 对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的. 故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响； 但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这
三角函数图像的变换
1、函数y=sin(x+π)，x∈R和y=sin(x- 6- O 3 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联系？2 个单位所得的曲线是 2 sin x的图象，试求y=f(x)的解析式。 3 )y=sin2x 3 ) 3 ) 3 ) 3 ) 3 )，x∈R的简图。 π2 3 )，x∈R 6 )，x∈R 三角函数图像的变换 题型归纳： 系？ π 34 )，x∈R的图象与y=sin x的图象有什么联 - π-π 3 1y π5ππ 6 34x 2、函数y=3sin(2x+π (1)y=sin x(2)y=sin x y=sin(x+π 4、函数f(x)的横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移 π y=1 5、函数y＝Asin(ωx＋φA>0,ω>0，｜φ｜＜π） 的图象如图，求函数的表达式. y=sin(2x+π y=3sin(2x+π y=sin(2x+π y=3sin(2x+π ★☆作业：（A组） 1、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： 3、画出函数y=3sin(2x+π y 2x+ 3 x 3sin(2x+π) 3 （3）y=4sin(x- π （4）y=sin(2x+π 第1页共2页
6 ) ，x ∈R （2） y = 1 sin( 3 x - （1） y = 5 sin( 1 x + 4 ) ，x ∈R 6、把函数 y ＝cos(3x ＋ π A.向右平移 π 4 C.向右平移 12 （3） y = 3sin(2 x － ) ，x ∈R （4） y = 2 cos( x + π ) ，x ∈R 3 ，φ ＝－ 6 B.A ＝1，Ｔ＝ 2 3 ，φ ＝－ 4 D.A ＝1，Ｔ＝ 3 sin(2x + 3 sin(2x + （1） y = 8sin( － ) ，x ∈[0,＋∞） （2） y = 1 7 ) ，x ∈[0,＋∞） 2 的图象的一部分，求这个函数的解析式。 4、(1)y ＝sin(x ＋ π (2)y ＝sin(x － π (3)y ＝sin(x － π 4 )是由 y ＝sin(x ＋ 4 )向 5、若将某函数的图象向右平移 π 10、设函数 y = sin （x - π A.y ＝sin(x ＋ 3π B.y ＝sin( x ＋ π C.y ＝sin(x － π D.y ＝sin(x ＋ π 2、说明下列函数的图像由正弦函数或余弦函数经过了怎样的变换。 π 2 2 π 4 )的图象适当变动就可以得到 y ＝sin(－3x )的图象，这种变动 可以是( ) π π π 4 B.向左平移 D.向左平移 12 ★★☆☆作业( B 组)： 7、如图：是函数 y ＝A sin(ω x ＋φ ）＋2 的图象的一部分，它 的振幅、周期、初相各是 ( ) π 1 1 6 4 A.A ＝3，Ｔ＝ 4π π 4π 3π 3 ，φ ＝－ 4 C.A ＝1，Ｔ＝ 2π 3π 4π π 3 ，φ ＝－ 6 8、如左下图是函数 y ＝A sin （ω x ＋φ ）的图象的一段，它的 解析式为 ( ) A. y = 2 π 2 x 3 ) B. y = 3 sin( 2 + π 2 π 4 ) C. y = 3 sin(x - 3 ) D. y = 2 2π 3 ) 3、不画简图，直接 写出下列函数的振幅、周期和初相，并说明这些 函数的图象可由正弦曲 线经过怎样的变化得出（注意定义域）： x π 4 8 3 cos(3x + π 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. 4 )是由 y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. π 平移 个单位得到的. 2 以后所得到的图象的函数式是 y ＝sin(x ＋ 表达式为( ) 4 ) 2 ) π 4 )－ 4 4 ) π 4 )，则原来的函数
三角函数图像及其变换
高一数学第十四讲 三角函数图像及其变换 一、知识要点： ππ ππ ?ω2,2 3, ,2 , 0=+x 列表求出对应的x 的值与y 的值，用平滑曲线连结各点，即可得到其在一个周期内的图象。 3．研究函数R x x A y ∈+=),sin(?ω(其中0,0>>ωA )的单调性、对称轴、对称中心仍然是将?ω+x 看着整 体并与基本正弦函数加以对照而得出。它的最小正周期||2ωπ =T 4．图象变换 (1)振幅变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x y ∈=,s i n A
(2)周期变换 R x x y ∈=,s i n ??????????????→ ?<<>倍 到原来的或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω1 1)(01)(R x x y ∈=,s i n ω (3)相位变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? (4)复合变换 R x x y ∈=,s i n ????????????→ ?<>个单位长度平移或向右所有点向左||0)(0)(???R x x y ∈+=,)(s i n ? ?? ????????????→?<<>倍 到原来的 或伸长所有点的横坐标缩短ω ωω11)(01)(R x x y ∈+=),sin(?ω ??????????????→ ?<<>倍到原来的或缩短所有点的纵坐标伸长A 1)A (01)(A R x x A y ∈+=),sin(?ω 5．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图 象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。 二.基础练习 1． 函数1π2sin()23 y x =+的最小正周期T = ． 2．函数sin 2x y =的最小正周期是 若函数tan(2)3y ax π=-的最小正周期是2π,则a=____. 3．函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 4．函数2 2cos()()363 y x x ππ π=- ≤≤的最小值是 5．将函数cos y x =的图像作怎样的变换可以得到函数2cos(2)4 y x π =-的图像？ 6．已知简谐运动ππ()2sin 32f x x ????? ?=+< ??????? 的图象经过点(01)， ，则该简谐运动的最小正周期T 和初相?分别为 7.已知a=tan1,b=tan2,c=tan3,则a,b,c 的大小关系为______. 8．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立； ②函数5sin 22y x π?? =- ???是偶函数； ③直线8x π=是函数5sin 24y x π? ?=+ ??? 的图象的一条对称轴； ④若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>． ⑤R x x x f ∈+ =),32sin(3)(π 的图象关于点)0,6 (π - 对称； 其中结论是正确的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）． 三、例题分析： 题型1：三角函数图像变换 例1、 变为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数1 cos 2 y x =的图象怎样变换？
三角函数图像变换
三角函数图像及其变换 一、 知识梳理 1、sin y x =与cos y x =的图像与性质 2、sin y x =与sin()y A x ωφ=+ （1） 形如sin()y A x ωφ=+的函数图像的画法 （2） sin y x =与sin()y A x ωφ=+图像的关系 二、 典型例题 1、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 （A ）sin(2)3y x π=-，x R ∈ （B ）sin()26x y π =+，x R ∈ （C ）sin(2)3y x π=+，x R ∈ （D ）sin(2)3 2y x π =+，x R ∈ 2、为得到函数πcos 23y x ? ?=+ ???的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6 个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位
3、函数πsin 23y x ??=- ?? ?在区间ππ2??-???? ，的简图是（ ） 4、下面有五个命题： ①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a = Z k k ∈π ,2 |. ③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 36 )32sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =π π+= ⑤函数.0)2 sin(〕上是减函数，在〔ππ - =x y 其中真命题的序号是 （写出所言 ） 5、将函数3sin()y x θ=-的图象向右平移3 π 个单位得到图象F ',若F '的一条对称轴是直线4 x π =,则θ的一个可能取值是 A. π125 B. π125- C. π12 11 D. 1112π- 三、高考再现 1、已知函数2 π()sin sin 2 f x x x x ωωω?? =++ ?? ? （0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03?????? ，上的取值范围．
三角函数图像的平移、变换练习题
三角函数图像的平移、变换练习题 1、为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2、将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=- （B ）sin(2)5 y x π =- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=- 5y Asin x x R 66ππω???=∈???? 右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个 函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的（ ） (A)向左平移 3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12 倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 (C) 向左平移 6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 4、若将函数()tan 04y x πωω? ?=+> ???的图像向右平移6 π个单位长度后，与函数tan 6y x πω??=+ ?? ?的图像重合，则ω的最小值为（ ） A ．16 B. 14 C. 13 D. 12 5、已知函数()sin()(,0)4f x x x R π ??=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()cos g x x ?=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
三角函数题型及解法
高中数学常见三角函数题型及解法 近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来.在考查三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.三角函数的命题趋于稳定,会保持原有的考试风格，尽管命题的背景上有所变化，但仍属基础题、中档题、常规题.实施新课标后，新一轮基础教育的改革增添了与现代生活和科学技术发展相适应的许多全新的内容，它们会吸引命题者关注的目光. 三角函数试题可以归纳为以下几种典型题型。 1、三角函数的概念及同角关系式 此类题主要考查三角函数诱导公式及三角函数的符号规律.解此类题注意必要的分类讨论以及三角函数值符号的正确选取. 例1（10全I 卷理2）记cos(80)k -?=,那么tan100?= A.21k k - B.-21k k - C.21k - D.-21k - 解：Θ222sin801cos 801cos (80)1k =-=--=-o o o , ∴tan100tan80?=-o 2sin 801.cos80k k -=-=-o o 。故选B 评注：本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.同时熟练掌握三角函数在各象限的符号. 例2（10全1卷文1）cos300?=(A)32-(B)-12(C)12 (D)32 解：()1cos300cos 36060cos602 ?=?-?=?= 评注：本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 2、三角函数的化简求值 这类题主要考查三角函数的变换.解此类题应根据考题的特点灵活地正用、逆用，变形运用和、差、倍角公式和诱导公式，进行化简、求值. 例3（10重文数15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C ，各段弧所在的圆经过同一点P （点P 不在C 上）且半径相等.设第i 段弧所对的圆心角为(1,2,3)i i α=，则 23 23 1 1 cos cos sin sin 3333αααααα++-=____________ 解： 又Θ1232αααπ++=，∴123 1cos 32 ααα++=- 评注：本题以过同一点的三段圆弧为背景，考查了三角恒等变形中公式逆用的基本技 巧，将已知与求解合理转化，从而达到有效地求解目的. 例4（10全1理数14)已知α为第三象限的角，3cos 25α =-,则tan(2)4πα+=. 解：Θα为第三象限的角∴ππ+k 2<α<ππ2 32+k
三角函数图像及性质,图像变换习题
考点测试20 三角函数的图象和性质 一、基础小题 1．已知f(x)＝sin ? ????x ＋π2，g(x)＝cos ? ????x －π2，则f(x)的图象( ) A ．与g(x)的图象相同 B ．与g(x)的图象关于y 轴对称 C ．向左平移π2个单位，得到g(x)的图象 D ．向右平移π 2 个单位，得到g(x)的图象 解析 因为g(x)＝cos ? ????x －π2＝cos ? ????π2－x ＝sinx ，所以f(x)向右平移π2个单位，可得到g(x)的图象，故选 D. 2．函数y ＝sin 2x ＋sinx －1的值域为( ) A ．[－1,1] B ．??????－54，－1 C ．???? ? ?－54，1 D ．? ?????－1，54 答案 C 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sinx －1，令sinx ＝t ，则有y ＝t2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t2＋t －1可得y ∈???? ??－54，1. 3．函数y ＝2sin ? ?? ??π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．??????－π，－5π6 B ．??????－π3，0 C ．??????－2π 3 ，－π6 D ．??????－π 3 ，－π6 答案 C 解析 因为y ＝2sin ? ????π6－2x ＝－2sin ? ????2x －π6，所以函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间就是函 数y ＝sin ? ????2x －π6的单调递减区间．由π2＋2kπ≤2x－π6≤3π2＋2kπ(k∈Z)，解得π3＋kπ≤x≤5π6＋kπ(k∈Z)， 即函数y ＝2sin ? ????π6－2x 的单调递增区间为? ?? π3 ＋kπ， ? ??5π 6＋kπ(k ∈Z)，又x ∈[－π，0]，所以k ＝－1，故函数y ＝2sin ? ????π6－2x (x ∈[－π，0])的单调递增区间为???? ??－2π3，－π6. 4．使函数f(x)＝sin(2x ＋φ)为R 上的奇函数的φ的值可以是( ) A ．π4 B ．π2 C ．π D ．3π 2 答案 C 解析 若f(x)是R 上的奇函数，则必须满足f(0)＝0，即sinφ＝0.∴φ＝kπ(k∈Z)，故选C. 5．已知函数f(x)＝sin ? ????x ＋π6，其中x ∈??????－π3，a ，若f(x)的值域是??????－12，1，则a 的取值范围是( ) A ．? ????0，π3 B ．??????π3，π2 C ．??????π2 ，2π3 D ．???? ??π3，π
高中三角函数的平移变换 讲解+习题
三角函数图像平移变换 由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。 利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y ＝sin x 的图象向左(?＞0)或向右(?＜0＝平移｜?｜个单位，再将图象上各点 的横坐标变为原来的 ω 1 倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。 先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω 1 倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(?＞0) 或向右(?＜0＝平移 ω ?| |个单位，便得y ＝sin(ωx ＋?)的图象。 1.为得到函数πcos 23y x ?? =+ ?? ? 的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ A ） A ．向左平移 5π 12个长度单位 B ．向右平移 5π 12个长度单位 C ．向左平移5π 6个长度单位 D ．向右平移5π 6 个长度单位 2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π?? =- ?3?? 的图象（ D ） A ．向右平移 π 6个单位 B ．向右平移 π 3个单位 C ．向左平移π 3 个单位 D ．向左平移π 6 个单位 3.为了得到函数)6 2sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ） (A)向右平移 6π个单位长度 (B)向右平移3π 个单位长度 (C)向左平移6π个单位长度 (D)向左平移3 π 个单位长度 4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3 π 个单位长度，再把所得图象 上所有点的横坐标缩短到原来的1 2 倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( C ) A sin(2)3y x π=-，x R ∈ B sin()26x y π =+，x R ∈ C sin(2)3y x π=+，x R ∈ D sin(2)3 2y x π =+ ，x R ∈
三角函数图象变换习题
三角函数图象变换复习 1.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6 y x π=+的图像（ ） （A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4 π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2 π个长度单位 2.函数f (x )=2sin x cos x 是（ ） (A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数 （D ）最小正周期为π的偶函数 3.设0ω>,函数sin()23y x πω=+ +的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（ ） （A ）23 （B ） 43 （C ） 32 （D ） 3 4.将函数y=sin(x+π/6) (x 属于R)的图象上所有的点向左平行移动π/4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为( ) (A) y=sin(2x+5π/12) (x 属于R) (B) y=sin(x/2+5π/12) (x 属于R) (C) y=sin(x/2+π/12) (x 属于R) (D) y=sin(x/2+5π/24) (x 属于R) 5.下列函数中，周期为π，且在[ ,]42ππ上为减函数的是（ ） （A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π =+ 6.已知函数()sin (0,)2y x πω?ω?=+>< 的部分图象如题（6）图所示，则（ ） A. ω=1 ?= 6π B. ω=1 ?=- 6 π C. ω=2 ?= 6π D. ω=2 ?= -6 π 7.将函数y=sin(x-π/3)的图像上所有的点的横坐标伸长 带原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移 π/3个单位，得到的图象对应的解析式为（ ） (A)y=sin(x/2) (B)y=sin(x/2-π/2) (C) y=sin(x/2-π/6) (D)sin(2x-π/6)