2006中国数学奥林匹克(第二十一届全国中学生数学冬令营)试题及解答

2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第一天

福州 1月12日 上午8∶00～12∶30 每题21分

一、 实数12,,,n a a a 满足120n

a a a +++= ，求证：

()1

2

2

111

m ax ()3

n k i i k n

i n a a a -+≤≤=≤

-∑．

证明 只需对任意1k n ≤≤，证明不等式成立即可． 记1,1,2,,1k k k d a a k n +=-=- ，则

k k a a =，

1k k k a a d +=-，2111,,k k k k n k k k n a a d d a a d d d +++-=--=---- ， 112121121,,,k k k k k k k k k k a a d a a d d a a d d d -------=+=++=++++ ，

把上面这n 个等式相加，并利用120n a a a +++= 可得

11121()(1)(1)(2)0k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +----------+-+-++= ．

由Cauchy 不等式可得

()2

2

11121()()(1)(1)(2)k k k n k k na n k d n k d d k d k d d +---=-+--++------

1122

21

1

1k n k

n i i i i i i d ---===????≤+ ? ?????

∑∑

∑ 111222111(1)(21)6n n n i i i i i n n n i d d ---===--??????

≤= ? ? ???????∑∑∑ 3

1213n i i n d -=??≤ ???

∑， 所以 (

)

1

2

211

3

n k

i i i n a a a -+=≤-∑．

二、正整数122006,,,a a a （可以有相同的）使得

2005122

3

2006

,

,,

a a a a a a 两

两不相等．问：122006,,,a a a 中最少有多少个不同的数？

解 答案：122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．

由于45个互不相同的正整数两两比值至多有45×44＋1＝1981个，故

122006,,,a a a 中互不相同的数大于45．

下面构造一个例子，说明46是可以取到的．

设1246,,,p p p 为46个互不相同的素数，构造122006,,,a a a 如下：

11213231434241,,,,,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p p p p p ， 11221,,,,,,,,,,,k k k k k k k p p p p p p p p p p -- ， 14544454345452451,,,,,,,,,,p p p p p p p p p p ， 4645464446462246,,,,,,,,p p p p p p p p ，

这2006个正整数满足要求．

所以122006,,,a a a 中最少有46个互不相同的数．

三、正整数m ，n ，k 满足：2

3mn k k =++，证明不定方程

22

114x y m +=

和 22

114x y n +=

中至少有一个有奇数解(,)x y ．

证明 首先我们证明如下一个 引理：不定方程

22114x y m += ①

或有奇数解00(,)x y ，或有满足

00(21)(mod )x k y m ≡+ ②

的偶数解00(,)x y ，其中k 是整数．

引理的证明 考虑如下表示

(21)x k y ++ ,x x y ≤≤0为整数，且,02

y ≤≤

，

则共有()

112m ??

?++

> ?? ??

???

个表示，因此存在整数12,0,x x ?∈?，

12,0,2y y ?∈???

，满足1122(,)(,)x y x y ≠，且

1122(21)(21)(mod )x k y x k y m ++≡++，

这表明

(21)(mod )x k y m ≡+， ③

这里1221,x x x y y y =-=-。由此可得

2

2

2

2

(21)11(mod )x k y y m ≡+≡-，

故22

11x y km +=，因为2

x y ≤≤

22

1111474

x y m m m

+<+

<，

于是16k ≤≤．因为m 为奇数，22112x y m +=，22116x y m +=显然没有整数解．

（1） 若2211x y m +=，则002,2x x y y ==是方程①满足②的解． （2） 若22114x y m +=，则00,x x y y ==是方程①满足②的解． （3） 若22113x y m +=，则()()2

2

2111134x y x y m ±+=? ． 首先假设3

m ，若

x

0(mod 3),y

0(mod 3)，且x (mod 3)y ，则

0011,3

3

x y x y x y -+==

④

是方程①满足②的解．若

x y

≡0(mod 3)，则 0011,3

3

x y y x x y +-=

=

⑤

是方程①满足②的解．

现在假设3m ，则公式④和⑤仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解

01012,2x x y y ==，则

()()22

22

1111111136511115x y m

m x y y x +=?

=±+ ．

因为11,x y 的奇偶性不同，所以11511x y ±，115y x 都为奇数． 若(mod 3)x y ≡，则11

11

005115,3

3

x y y x x y -+==

是方程①的一奇数解． 若

1

x 1(mod 3)y ，则11

11

005115,3

3

x y y x x y +-=

=

是方程①的一奇数解．

（4）22115x y m +=，则()()2

2

254311113m x y y x ?=+± ． 当5m 时，若1(mod 5),2(mod 5)x y ≡±≡ ，或2(m o d 5

),1(m o d 5)x y ≡±≡±

，

则

003113,5

5

x y

y x x y -+==

⑥

是方程①满足②的解．

若1(mod 5),2(mod 5)x y ≡±≡±，或2(mod 5),1(mod 5)x y ≡±≡ ，则

003113,5

5

x y

y x x y +-=

=

⑦

是方程①满足②的解．

当5m ，则公式⑥和⑦仍然给出方程①的整数解．若方程①有偶数解

01012,2x x y y ==，则

22

1111,

x y m +=1

x 1(m o d 2)y ，

可得

()()2

2

111110033113m x y y x =+± ．

若 110(mod 5)x y ≡≡，或者 111(mod 5),2(mod 5)x y ≡±≡±，或者

112(mod 5),1(mod 5)x y ≡±≡ ，则11

11

00333,5

5

x y y x x y -+=

=

是方程①的一奇数

解．

若 111(mod 5),2(mod 5)x y ≡±≡ ，或112(mod 5),1(mod 5)x y ≡±≡±，则

11

11

003333,5

5

x y y x x y +-=

=

是方程①的一奇数解．

引理证毕．

由引理，若方程①没有奇数解，则它有一个满足②的偶数解00(,)x y ．令

21l k =+，考虑二次方程

2

2

0010

m x ly x ny ++-=， ⑧

则 00

22ly x x m

m

-±=

=

，

这表明方程⑧至少有一个整数根1x ，即

2

2

101010m x ly x ny ++-=，

⑨

上式表明1x 必为奇数．将⑨乘以4n 后配方得

()

2

2

0112114ny lx x n ++=，

这表明方程22

114x y n +=有奇数解0112,x ny lx y x =+=．

2006中国数学奥林匹克

（第二十一届全国中学生数学冬令营）

第二天

福州 1月13日 上午8∶00～12∶30 每题21分

四、在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=?，△ABC 的内切圆O 分

别与边BC ，CA ， AB 相切于点D ，E ，F ，连接AD ，与内切圆O 相交于点P ，连接BP ，CP ，若90BPC ∠=?，求证：AE AP PD +=．

证明 设AE = AF = x ，BD ＝BF ＝y ，CD ＝CE ＝z ，AP ＝m ，PD ＝n ． 因为90ACP PCB PBC PCB ∠+∠=?=∠+∠，所以ACP PBC ∠=∠．

E C

延长AD 至Q ，使得AQC ACP PBC ∠=∠=∠，连接BQ ，CQ ，则P ，B ，Q ，C 四点共圆，令DQ ＝l ，则由相交弦定理和切割线定理可得

yz nl =， ① 2

()x m m n =+． ②

因为ACP ?∽AQC ?，所以

AC AP AQ

AC

=

，故

2

()()x z m m n l +=++． ③

在Rt △ACD 和Rt △ACB 中，由勾股定理得

2

2

2

()()x z z m n ++=+， ④ 2

2

2

()()()y z z x x y +++=+． ⑤

③－②，得 22z zx ml +=， ⑥ ①÷⑥，得 2

2yz n

z zx

m =+，

所以 2

12yz m n z zx m

++=

+， ⑦

②×⑦，结合④，得 2

2

2

2

2

2

()()2x yz

x m n x z z z zx +

=+=+++，

整理得 2

2()2x y z x z z x

=++． ⑧

又⑤式可写为 2xy x z y z +=

+， ⑨

由⑧，⑨得

42x z

z x

y z

=

++． ⑩ 又⑤式还可写为 2xz y z x z

+=-， ○11

把上式代入⑩，消去y z +，得

2

2

3220x xz z --=，

解得 13

x z

=

，

代入○11得， 5)y z =+， 将上面的x ，y 代入④，得

1)

3

m n z

+=

，

结合②，得 2

6

x

m z

m n

=

=

+，

从而 2

n z

=

，

所以，x m n +=，即 AE AP PD +=．

五、实数列{}n a 满足：112

a =

，

11

2k k k

a a a +=-+

-，1,2,k = ．

证明不等式

1212121

1111112()n n n n

n

a a a n

a a a n a a a ????????+++??-≤--- ?

?

? ? ?+++????????

??

． 证明 首先，用数学归纳法证明： ,2,1,2

10=≤

1=n 时，命题显然成立．

假设命题对)1(≥n n 成立，即有2

10≤

设??

?

???∈-+

-=21,0,21

)(x x x x f ，则()f x 是减函数，于是 2

1)0()(1=

≤=+f a f a n n ,

111()()2

6

n n a f a f +=≥=

0>，

即命题对n ＋1也成立．

原命题等价于

()121212n

n

n n n n

a a a a a a ????-≤ ? ? ?++++++????

12111111n a a a ??????--- ? ? ??????? ． 设1

1()ln 1,0,2f x x x ???

?=-∈

? ?

???

?，则()f x 是凸函数，即对1210,2

x x <<

，有

()()121222f x f x x x f ++??

≤ ?

??

． 事实上，()()121222f x f x x x f ++??

≤

???

等价于 2

12122

11111x x x x ??????-≤-- ? ? ?+??????，

()

2

120x x ?

-≥．

所以，由Jenson 不等式可得

()()()

1212n n f x f x f x x x x f n n

++++++??

≤

???

，

即

12121111111n n n

n

a a a a a a ????

????-≤--- ?

? ? ?+++??????

??

． 另一方面，由题设及Cauchy 不等式，可得

()1

1

1

1

1n

n

i i i i

i a n a

a ==+-=

-+∑

∑

2

2

1111

1

()

2

n

n

i

i n i

i i n

n

n n a

a a a a

++==≥

-=

-+-+∑∑

211122n n

i i i i n n n n a a ==??

? ?≥-=- ?

???

∑∑， 所以

1

1

11(1)

12n

i

i n

n n i

i i i i i a

n n

a

a a ====??

- ? ?≥- ? ???

∑∑∑∑， 故 ()121

21212(1)(1)(1)12n

n

n

n n n n

a a a n

n

a a a a a a a a a ??????-+-++--≤ ? ?

? ?+++++++++??????

12111

111n a a a ??????≤--- ? ? ???????

， 从而原命题得证．

六、设X 是一个56元集合．求最小的正整数n ，使得对X 的任意15个子集，只要它们中任何7个的并的元素个数都不少于n ，则这15个子集中一定存在3个，它们的交非空．

解 n 的最小值为41．

首先证明41n =合乎条件．用反证法．假定存在X 的15个子集，它们中任何7个的并不少于41个元素，而任何3个的交都为空集．因每个元素至多属于2个子集，不妨设每个元素恰好属于2个子集（否则在一些子集中添加一些元素，上述条件仍然成立），由抽屉原理，必有一个子集，设为A ，至少含有256115???

+?

?

??

＝8个元素，又设其它14个子集为1214,,,A A A ．考察不含A 的任何7个子集，

都对应X 中的41个元素，所有不含A 的7－子集组一共至少对应7

1441C 个元素．另

一方面，对于元素a ，若a A ?，则1214,,,A A A 中有2个含有a ，于是a 被计算

了77

1412C C -次；若a A ∈，则121

4,,,A A A 中有一个含有a ，于是a 被计算了77

14

13C C -次，于是

77777

141412141341(56)()()C A C C A C C ≤--+-

7777

1412131256()()C C A C C =---

7

7

7

7

1412131256()8()

C C C C ≤---，

由此可得196195≤，矛盾．

其次证明41n ≥．

用反证法．假定40n ≤，设{}1,2,,56X = ，令

{},7,14,21,28,35,42,49,

1,2,,7i A i i i i i i i i i =+++++++= ，

{},8,16,24,32,40,48,1,2,,8j B j j j j j j j j =++++++= ．

显然，8(1,2,,7),0(17)i i j A i A A i j ===≤<≤ ，7(1,2,,8)j B j == ，

0(18)i j B B i j =≤<≤ ，1(17,18)i j A B i j =≤≤≤≤ ，于是，对其中任何3个

子集，必有2个同时为i A ，或者同时为j B ，其交为空集．

对其中任何7个子集1

2

1

2

,,,,,,,(7)s

t

i i i j j j A A A B B B s t += ，有

1212s t i i i j j j A A A B B B 1212s t i i i j j j A A A B B B st =+++++++-

8787(7)(7)s t st s s s s =+-=+--- 2

(3)4040s =-+≥，

任何3个子集的交为空集，所以41n ≥．

综上所述，n 的最小值为41．

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(42)

加试模拟训练题（42） 1、设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC，又设D、 E分别是△APB及△APC的内心．证明AP、BD、CE交于一点． 2、设N为自然数集合，k∈N．如果有一个函数f：N→N是严格递增的，且对每个n ∈N，都有f(f(n))＝kn．求证，对每一个n∈N都有

3、在平面上任画一条所有顶点都是格点的闭折线，并且各节的长相等.能使这闭折线的节数 为奇数？证明你的结论. （莫斯科数学竞赛试题） 4、 试确定使72 ++b ab 整除b a b a ++2 的全部正整数对).,(b a

加试模拟训练题（42） 1、 设P 是△ABC 内一点，∠APB －∠ACB ＝∠APC －∠ABC ，又设D 、E 分别是△APB 及△APC 的内心．证明AP 、BD 、CE 交于一点． 【证】 延长AP 交BC 边于K ，交△ABC 的外接圆于F ，连结BF 、CF ． ∠APC －∠ABC ＝∠AKC ＋∠PCK －∠ABC ＝∠BAK ＋∠PCK ＝∠BCF ＋∠PCK ＝∠PCF 同理 ∠APB －∠ACB ＝∠PBF 所以由已知 ∠PCF ＝∠PBF 有正弦定理 PB sin ∠PFB ＝PF sin ∠PBF ＝PF sin ∠PCF ＝PC ∠PFC 所以 PB PC ＝sin ∠PFB sin ∠PFC ＝sin ∠ACB sin ∠ABC ＝AB AC 即 PB AB ＝PC AB 设∠ABP 的角平分线BD 交AP 于M ，则PM AM ＝PB AB 同样设CE 与AP 交于N ，则 PN AN ＝PC AC 由此，PM AM ＝PN AN ，所以M 与N 重合，即AP 、BD 、CE 交于一点. 2、设N 为自然数集合，k ∈N ．如果有一个函数f ：N →N 是严格递增的，且对每个n ∈N ，都有f(f(n))＝kn ．求证，对每一个n ∈N 都有 【题说】第五届(1990年)全国冬令营选拔赛题1． 【证】由于f 严格递增且取整数值，所以f(n ＋1)≥f(n)＋1 从而对m ≥n ，有f(m)＝f(n ＋m －n)≥f(n)＋m －n 取m ＝f(n)，得f(f(n))－f(n)≥f(n)－n 故f(n)≥2kn/(k ＋1)

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word版

2020年中国数学奥林匹克试题和详细解答word 版 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分不是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分不作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分不为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分不为M ，N ． 〔1〕假设A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； 〔2〕假设 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解〔1〕设Q ，R 分不是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，那么 11 ,22EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，因此 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，因此 ABD ACD ∠=∠， 因此 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 因此 EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ???， 因此 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 因此 EM FN EN FM ?=?． 〔2〕答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，因此A ，B ，C ，D 四点不共圆，但现在仍旧有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分不是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，那么 11 ,22 NS OD EQ OB ==， C B

因此 NS OD EQ OB =．①又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，因此 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，因此 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 因此NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==〔由②〕．同理可得， FN OA FM OC =， 因此EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

四川省南充高中2020年“科技冬令营”初三数学试题解析版(一)

四川省南充高中2020年“科技冬令营”初三数学试题（一） （时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，共50分） 1.计算 ++++…+的结果是（ B ） A ． B ． C ． D ． 2.如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为( D ) 3.如图，若x 为正整数，则表示﹣的值的点落在（ B ） A ．段① B ．段① C ．段① D ．段① 4．如图，AB 是⊙O 的直径，EF 、EB 是⊙O 的弦，且EF ＝EB ，EF 与AB 交于点C ，连接OF ．若∠AOF ＝40°，则∠F 的度数是（ B ） A ．20° B ．35° C ．40° D ．55° 5. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6．若点E 、F 分别在AB 、CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G 、H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ C ） A ．1 B ．32 C ．2 D ．4 6.关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1、x 2，若(x 1?x 2+2)(x 1?x 2?2)+2x 1x 2=?3，则k 的值（ D ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．2 7.如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是AB 的中点，点P 从点E 出发，沿E →A →D →C 移动至终点C ，设P 点经过的路径长为x ，△CPE 的面积为y ，则下列图象能大致反映y 与x 函数关系的是（ C ） A B C D

8.如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ A ） A ． B ． C ． D ． 9. 在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为（ D ） A ．m ＝57，n ＝－187 B ．m ＝5，n ＝－6 C ．m ＝－1，n ＝6 D ．m ＝1，n ＝－2 10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，tanA ＝2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上 的一个动点，则CD + BD 的最小值是（ B ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．10 二、填空题（每小题6分，共36分） 11.如果不等式组 的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是 a ≥?3 ． 12.若2x 2?6y 2+xy +kx +6能分解成两个一次因式的积，则整数k= ±7 . 13.已知直线1l ：5y +-=x 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ；直线2l ：52y +=x 经过点B ， 交x 轴于点C ，过点D （0，-1）的直线b kx +=y 分别交1l 、2l 于点E 、F ，若△BDE 与 △BDF 的面积相等，则k= 12 . 14.如图，Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，O 是BC 上一点，经过C.D 两点的⊙O 分别交A C.BC 于点E.F ，AD ＝，∠ADC ＝60°，则劣弧的长为 π ．

2009中国数学奥林匹克解答

2009中国数学奥林匹克解答 一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ． （1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ?=?； （2）若 EM FN EN FM ?=?，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接 EQ ，MQ ，FR ，MR ，则 11 ,22 EQ OB RM MQ OC RF ====， 又OQMR 是平行四边形，所以 OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABD ACD ∠=∠， 于是 图1 22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠， 所以 E Q M E Q O O Q M F R O O R M ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 E Q M M R F ???， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ， 所以 E M F N E N F M ?=?． （2）答案是否定的． 当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有 EM FN EN FM ?=?，证明如下： 如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则 11 ,22 NS OD EQ OB ==， 所以 N S O D E Q O B =． ① C B

又 11 , 22 ES OA MQ OC ==，所以 ES OA MQ OC =．② 而AD∥BC，所以 OA OD OC OB =，③ 由①，②，③得NS ES EQ MQ =． 因为2 NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠， ()(1802) EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+?-∠ (180)2 AOE EOB AOD AOE =∠+?-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠， 所以NSE ?～EQM ?， 故 EN SE OA EM QM OC ==（由②）．同理可得， FN OA FM OC =， 所以EN FN EM FM =， 从而EM FN EN FM ?=?． C B

小学二年级数学奥林匹克竞赛题(附答案)

小学二年级数学奥林匹克竞赛题（附答案） 1、用0、1、 2、3能组成多少个不同的三位数？2、小华参加数学竞赛，共有10道赛题。规定答对一题给十分，答错一题扣五分。小华十题全部答完，得了85分。小华答对了几题？ 3、2，3，5，8，12，( )，( ) 4、1，3，7，15，( )，63,( ) 5、1，5，2，10，3，15，4，( ) ，( ) 6、○、△、☆分别代表什么数？(1)、○+○+○=18 (2)、△+○=14 (3)、☆+☆+☆+☆=20 7、△+○=9 △+△+○+○+○=25 8、有35颗糖，按淘气-笑笑-丁丁-冬冬的顺序，每人每次发一颗，想一想，谁分到最后一颗？ 9、淘气有300元钱，买书用去56元，买文具用去128元，淘气剩下的钱比原来少多少元？ 10、5只猫吃5只老鼠用5分钟，20只猫吃20只老鼠用多少分钟？ 11. 修花坛要用94块砖，?第一次搬来36块，第二次搬来38，还要搬多少块？(用两种方法计算) 12. 王老师买来一条绳子，长20米剪下5米修理球网，剩下多少米？ 13. 食堂买来60棵白菜，吃了56棵，又买来30棵，现在人多少棵？ 14、小红有41元钱，在文具店买了3支钢笔，每支6元钱，还剩多少元？ 15、二(1)班从书店买来了89本书，第一组同学借了25本，第二组同学借了38本，还剩多少本？ 16、果园里有桃树126颗，是梨树棵数的3倍，果园里桃树和梨树一共多少棵？ 17、1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ) 18、11+12+13+14+15+16+17+18+19=( )

19、按规律填数。(1)1，3，5，7，9，( ) (2)1，2，3，5，8，13 ( ) (3)1，4，9，16，( ) ，36 (4)10，1，8，2，6，4，4，7，2，( ) 20、在下面算式适当的位置添上适当的运算符号，使等式成立。 (1)8 8 8 8 8 8 8 8 =1000 (2) 4 4 4 4 4 =16 (3)9 8 7 6 5 4 3 2 1=22 21、30名学生报名参加小组。其中有26人参加了美术组，17人参加了书法组。问两个组都参加的有多少人？ 22、用6根短绳连成一条长绳，一共要打( )个结。 23、篮子里有10个红萝卜，小灰兔吃了其中的一半，小白兔吃了2个，还剩下( ) 个。 24、2个苹果之间有2个梨，5个苹果之间有几个梨？ 25、用1、2、3三个数字可以组成( ) 个不同的三位数。 26、有两个数，它们的和是9，差是1，这两个数是( ) 和( ) 27、3个小朋友下棋，每人都要与其他两人各下一盘，他们共要下( ) 盘。 28、把4、6、7、8、9、10填下入面的空格里(三行三列的格子) ，使横行、竖行、斜行上三个数的和都是18。

中国数学奥林匹克(第二十三届全国中学生数学冬令营)

2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营） 第一天 哈尔滨 1月19日 上午8：00~12：30 每题21分 1．设锐角△ABC 的三边长互不相等，O 为其外心，点A`在线段AO 的延长线上，使得∠BA`A=∠CA`A ，过A`分别作A` A 1⊥AC ，A` A 2⊥AB ，垂足分别为A 1，A 2，作AH A ⊥BC ，垂足H A ，记△H A A 1A 2的外接圆半径为R A ，类似地可得R B ，R C ，求证： R R R R C B A 2111=++ 其中R 为△ABC 的外接圆半径。 2．给定整数3≥n ，证明X={1，2，3，……，n n -2}能写成两个不相交的非空子集的并，使得每一个子集均不包含n 个元素,,,,21,21n n a a a a a a <<< 满足 1,,2,2 11-=+≤+-n k a a a k k k 3．给定正整数n ，及实数n n y y y x x x ≥≥≤≤≤2121,，满足 证明：对任意实数a ，有 这里[β]表示不超过实数β的最大整数。 2008年中国数学奥林匹克 （第二十三届全国中学生数学冬令营） 第二天 哈尔滨 1月20日 上午8：00~12：30 每题21分 4．设A 是正整数集的无限子集，1>n 是给定的整数，已知：对任意一个不整除n 的素数p ，集合A 中均有无穷多个元素不被P 整除 证明：对任意整数m>1,(m,n)=1，集合A 中均存在有限个互不相同的元素，其和S 满足S≡1（modm ）,且S≡0（modn ）

5.求具有如下性质的最小正整数n ，将正n 边形的每一个顶点任意染上红，黄，蓝三种颜色之一，那么这n 个顶点中一定存在四个同色点，它们是一个等腰梯形的顶点（两条边平行，另两条边不平行且相等的凸四边形称为等腰梯形）。 6．试确定所有同时满足 )(mod 3),(mod 32222n n n n n n q p p q ++++≡≡ 的三无数组（p,q,n ）,其中p,q 为奇素数，n 为大于1的整数。

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集

全国小学生数学奥林匹克竞赛真题及答案收集 目录 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 (1) 2006年小学数学奥林匹克决赛试题 (4) 2007年全国小学数学奥林匹克预赛试卷 (7) 2008年小学数学奥林匹克决赛试题 (8) 2008年小学数学奥林匹克预赛试卷 (10) 2006年小学数学奥林匹克预赛试卷及答案 1、计算4567－3456＋1456－1567＝__________。 2、计算5×4＋3÷4＝__________。 3、计算12345×12346－12344×12343＝__________。 4、三个连续奇数的乘积为1287，则这三个数之和为__________。 5、定义新运算a※b=a b＋a＋b (例如3※4=3×4＋3＋4=19)。 计算(4※5)※(5※6)=__________。 6、在下图中，第一格内放着一个正方体木块，木块六个面上分别写着A、B、C、D、E、 F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对。将木块沿着图中的方格滚动，当木块滚动到第2006个格时，木块向上的面写的那个字母是__________。 7、如图：在三角形ABC中，BD=BC，AE=ED，图中阴影部分的面积为250.75平方 厘米，则三角形ABC面积为__________平方厘米。

8、一个正整数，它与13的和为5的倍数，与13的差为3的倍数。那么这个正整数最小是 __________。 9、若一个自然数中的某个数字等于其它所有数字之和，则称这样的数为“S数”，(例： 561，6=5＋1)，则最大的三位数“S数”与最小的三位数“S数”之差为__________。 10、某校原有男女同学325人，新学年男生增加25人，女生减少5％，总人数增加16人， 那么该校现有男同学__________人。 11、小李、小王两人骑车同时从甲地出发，向同一方向行进。小李的速度比小王的速 度每小时快4千米，小李比小王早20分钟通过途中乙地。当小王到达乙地时，小李又前进了8千米，那么甲乙两地相距__________千米。 12、下列算式中，不同的汉字代表不同的数字，则：白＋衣的可能值的平均数为 __________。 答案： 1、1000 2、22.3 3、49378 4、33 5、1259 6、E 7、2006 8、 7 9、889 10、170 11、40 12、12.25 1.【解】原式＝（4567－1567）－（3456－1456）＝3000－2000＝1000 2.【解】原式＝＝21.5＋0.8＝22.3 3.【解】原式＝12345×（12345＋1）－（12343＋1）×12343 ＝＋12345－－12343 ＝(12345＋12343)×（12345－12343）＋2

南充高中2016年冬令营 数学试卷(1)

南充高中2016年“优秀初中生科技冬令营” 初三数学试题（一） 一、选择题：（本题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题4个选项中只有1个正确符合题目要求） 1. 关于x 的方程09)2(2=+++a x a ax 有两个不等的实数根21211,,x x x x ＜＜且,那么a 的取值范围是 （ ） A. 5272 -＜＜a B. a ＜52 C. 112-＜a D. 011 2＜＜a - 2. 比较循环小数? 9.0与1的大小，正确的结果是 （ ） A. 19.0＜? B. 19.0=? C. 19.0＞? D. ?9.0与1的大小不确定 3. 若函数）＞0(k kx y =与函数x y 1= 的图像交于A 、C 两点，且AB 垂直x 轴于点B ，求△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. 2k 4. 在-3,-2,-1,0,1,2,3中随机取一个实数，作为函数ax y =和方程012=+++a ax x 中a 的值，则恰好使函数的图像经过第二、四象限且方程有实根的概率为 （ ） A. 73 B. 72 C. 74 D. 7 1 5. 一元二次方程0192=++px x 的两根恰好比方程02=+-B Ax x 的两个实根分别大 1，其中A 、B 、p 都为整数，则A+B= （ ） A. 19 B. 18 C. 17 D. 16 6. 已知2012)2011)(2013(=--a a ,那么=-+-2 2)2011()2013(a a （ ） A. 4024 B. 4026 C. 4028 D. 2012 7. 若a 、b 、c 为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程01)2()1(2=+++++c x b x a 的根的情况是 （ ） A. 没有实根 B. 有两个相等的实根 C. 有两个不等的实根 D. 根的情况不确定 8. 关于x 的不等式组???????++-+a x x x x ＜＞2 35352只有5个整数解，则 （ ）

2006年第3届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第三届中国东南地区数学奥林匹克 第一天 （2006年7月27日， 8：00－12：00， 南昌） 一、 设0,a b >>2()2()4a b x ab f x x a b ++= ++．证明：存在唯一的正数x ，使得 113 3 3 ()()2 a b f x +=． 二、 如图所示，在△ABC 中，90,,ABC D G ∠=?是 边CA 上的两点，连接BD ，BG 。过点A ，G 分别作BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，连接CF 。若BE ＝EF ，求证：ABG DFC ∠=∠。 三、 一副纸牌共52张，其中“方块”、“梅花”、“红心”、“黑桃”每种 花色的牌各13张，标号依次是2,3,,10,,,,J Q K A ，其中相同花色、相邻标号的两张牌称为“同花顺牌”，并且A 与2也算是顺牌（即A 可以当成1使用）. 试确定，从这副牌中取出13张牌，使每种标号的牌都出现，并且不含“同花顺牌”的取牌方法数。 四、 对任意正整数n ，设n a 是方程3 1x x n +=的实数根，求证： (1) 1n n a a +>； (2) 2 11 (1)n n i i a i a =<+∑。 第二天 （2006年7月28日， 8：00－12：00， 南昌） 五、 如图，在ABC ?中，60A ∠=?，ABC ?的内切圆I 分 别切边AB 、AC 于点D 、E ，直线DE 分别与直线BI 、 CI 相交于点F 、G ，证明：1 2 FG BC =。 六、 求最小的实数m ，使得对于满足a +b +c =1的任意正实数a ，b ，c ，都有333222(61m a b c a b c ++≥+++） （）。 七、 （1）求不定方程2()mn nr mr m n r ++=++的正整数解(,,)m n r 的组数。 （2）对于给定的整数k >1，证明：不定方程()mn nr mr k m n r ++=++至 少有3k +1组正整数解(,,)m n r 。 B A

中国数学奥林匹克(cmo)试题(含答案word)

2012年中国数学奥林匹克(CM Ｏ）试题 第一天 1. 如图1,在圆内接ABC 中,A ∠为最大角，不含点A 的弧BC 上两点D 、E 分别为弧 ABC 、ACB 的中点。记过点A 、B 且与AC 相切的圆为1O ，过点A 、E 且与AD 相切的圆为 2O ,1O 与2O 交于点A 、P 。证明：AP 平分ABC ∠。 2. 给定质数p 。设()ij A a =是一个p p ?的矩阵,满足2{|1}{1,2,,}ij a i j p p ≤≤=、。 允许对一个矩阵作如下操作:选取一行或一列,将该行或该列的每个数同时加上１或同时减去１。若可以通过有限多次上述操作将A 中元素全变为0，则称A 是一个“好矩阵"。求好矩阵A 的个数. 3.证明:对于任意实数2M >，总存在满足下列条件的严格递增的正整数数列12,, a a : （1） 对每个正整数i ,有i i a M >； （2） 当且仅当整数0n ≠时，存在正整数m 以及12,,,{1,1}m b b b ∈-使得 1122m m n b a b a b a =+++.

第二天 4．设()()()(f x x a x b a b =++、是给定的正实数),2n ≥为给定的正整数。对满足 121n x x x ++ +=的非负实数12,,,n x x x ,求1min{(),()}i j i j n F f x f x ≤<≤=∑的最大值． 5．设n 为无平方因子的正偶数,k 为整数,p 为质数，满足 |p p <2,|()n p n k +。 证明:n 可以表示为ab bc ca ++，其中,,,a b c 为互不相同的正整数。 ６．求满足下面条件的最小正整数k ：对集合{1,2,,2012}S =的任意一个k 元子集A ,都存在S 中的三个互不相同的元素a 、b 、c ，使得a b +、b c +、c a +均在集合A 中.

2019年英国高中数学奥林匹克竞赛试题

2019-2020英国数学奥林匹克 第一轮 比赛时间：2019年11月29日 1.证明：存在至少3个小于200的素数p ，满足p+2,p+6,p+8,p+12均为素数.同样的,证明有且仅有一个素数q,满足q+2,q+6,q+8,q+12,q+14均为素数. 2.整数数列a 1,a 2,a 3,……满足递推关系:2214410n n n n a a a a +-+-=对任意正整数n 成立. 求a 1的所有可能的值. 3.两个圆S 1,S 2切于点P.一条不经过点P 的公切线分别与S 1,S 2交于点A,B.过P 且在△APB 外的直线CD 与S 1,S 2分别交于点C,D.证明AC ⊥BD. 4.共2019只企鹅摇摆着走向它们最喜欢的饭馆.当企鹅到达时,每只企鹅都得到了一张门票,上面写有1-2019的数字,升序排列,并被告知他们要排队就餐.第一只企鹅站在队伍的最前面.接下来,持有n 号门票的企鹅,需要找到满足m ＜n 且m 整除n 的最大整数m,然后钻到第持有m 号门票的企鹅后面.随后下一只企鹅加入队伍,直到2019只企鹅都排好队. (1)持2号门票的企鹅前面有多少只企鹅? (2)与持33号门票企鹅相邻的分别是持哪两个号码的企鹅? 5.有6个小孩均匀地围着圆桌坐成一圈.开始时,有一个小孩有n 个糖果,其他人没有糖果.如果有一个小孩有4个以上的糖果,那么他可以进行如下操作:吃掉一个糖果,同时给他相邻的和对面的一个人各一个糖果.如果经过某些步骤之后,每个小孩的糖果数量相同,就称这是一次”完美安排”.求可以实现”完美安排” 的所有 n 的值. 6.若定义域和值域均为整数的二元函数f(m,n)满足,对任意整数对(m,n),都有： 2f(m,n)=f(m-n,n-m)+m+n=f(m+1,n)+f(m,n+1)-1, 就称它是一个“好函数”.求所有的“好函数”. 第二轮 比赛时间：2020年1月30日

高中数学竞赛讲义

高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是： 1.平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 2.代数 周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。 n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代，简单的函数方程* 3.初等数论 同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。

4.组合问题 圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。 二、初中数学竞赛大纲 1、数 整数及进位制表示法，整除性及其判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；有理数的概念及表示法，无理数，实数，有理数和实数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理；因式分解；拆项、添项、配方、待定系数法；对称式和轮换对称式；整式、分工、根式的恒等变形；恒等式的证明。 3、方程和不等式 含字母系数的一元一次方程、一元二次方程的解法，一元二次方程根的分布；含绝对值的一元一次方程、一元二次方程的解法；含字母系数的一元一次不等式的解法，一元二次不等式的解法；含绝对值的一元一次不等式；简单的多元方程组；简单的不定方程（组）。 4、函数 二次函数在给定区间上的最值，简单分工函数的最值；含字母系数的二次函数。 5、几何 三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形中的边角之间的不等关系；面积及等积变换；三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质；相似形的概念和性质；圆，四点共圆，圆幂定理；四种命题及其关系。 6、逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用；简单的组合问题简单的逻辑推理问题，反证法；

新人教版2020-2021三年级上册数学奥林匹克竞赛难题试卷

中心小学三上年级数学竞赛试题 小朋友，经过小学里两年多的学习，你一定掌握了不少本领，相信你一定会有大的收 获。 一、我会填(每题2分，共26分) 1、小华和姐姐踢毽子。姐姐三次一共踢81下，小华第一次和第二次都踢了25下， 要想超过姐姐，小华第三次最少要踢（）个。 2、学校有篮球和排球共80个，篮球比排球多4个，篮球有（）个。 3、7只猴子一共吃了13个桃，每只大猴吃3个，每只小猴吃1个，请你算一算，大 猴有（）只。 4、某学生第一次与第二次数学测验的平均成绩是62分，第三次测验后，三次平均 成绩是68分，他第三次得（）分。 5、由0、2、5、8组成的最大四位数是（），最小四位数是（）。 6、在（）里填上合适的数 2时=（）分 8米=（）分米=（）厘米 5000千克=（）吨 60毫米=（）厘米 7、下列算式中，□，○，△，☆各代表什么数？ (1)□+5=13-6； (2)28-○=15+7；(3)3×△=54； (4) 56÷☆= 7 □=（），○=（），△=（），☆=（）。 8、用4个边长是1厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的周长是（）厘 米，如果拼成一个正方形，这个正方形的周长是（）厘米。 9、小惠今年6岁，爸爸今年年龄是她的5倍，（）年后，爸爸年龄是小惠的3 倍。 10、四月份有30天，这个月共( )个星期余( )天。 11、在○里填上“＞”“＜”或“=” 3时○300分60毫米○6分米6千米○5800米6+7+8+9+0○6×7×8×9×0 12、一节课40 分钟，如果10时40分上课，那么( )时( )分下课。 13、在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 二、我会判断(每题1分，共6分)

第28届全国中学生数学奥林匹克竞赛冬令营

2013年1月11日，2013年全国中学生数学冬令营暨第28届中国数学奥林匹克在沈阳的东北育才中学开幕，来自全国各赛区代表队的319名选手将参加本届CMO的比赛，另外，大赛还邀请了来自香港、澳门和俄罗斯的多位选手一同参赛。在今天上午举行的开幕式上，中国数学奥林匹克委员会主任周青教授、副主任吴建平教授和本届CMO 组委会的有关领导，各代表队的参赛选手、领队老师等欢聚一堂。 按照本届CMO的日程安排，1月12、13日，也就是明、后二天上午，将进行本届大赛的二次选拔考试。我们预计，今年CMO的试题在难度上可能会在保持去年难度的基础上略有增加，鉴于今年CMO 第一次进行了扩容，加上本届高联赛试题的特殊性，我们很难对各赛区进入集训队的人数进行预测。在此，我们预祝所有的选手发挥出最佳状态，取得好成绩，尤其要预祝以上届国家队队员刘宇韬同学领衔的上海队能展示出整体的实力，力争拿下团体第一，期待着…… 以下是来自东北育才中学对本届CMO开幕式的官方报道： 第28届全国中学生数学冬令营在我校开幕 2013年1月11日上午9时，第28届全国中学生数学冬令营在东北育才中学校区举行了开幕式，来自俄罗斯及香港、澳门等全国各

省（市）、特别行政区共34支代表队前来参赛，营员、领队、来宾近600人。 开幕式上，中国数学奥林匹克委员会主席周青、沈阳市政府副秘书长徐兴家、辽宁省数学会理事长张庆灵讲话，东北育才中学副校长刘子军致欢迎词，辽宁省数学会秘书长吕方主持开幕式。东北育才中学杨羽轩同学代表参赛选手发言。开幕式之后，与会代表合影留念，并观看了精彩的文艺演出。 中国数学奥林匹克（全国中学生数学冬令营）是由国家教育部正式批准，中国中学生级别最高、规模最大、最有影响的全国性数学竞赛，承担着选拔国家集训队并代表中国参加国际数学奥林匹克竞赛的任务。1985年，应北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学的倡议，中国数学会决定自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营，后更名为中国数学奥林匹克（Chinese Mathematical Olympiad，简称CMO）。承办该项赛事，对推进学校的教育教学质量，提升沈阳教育的知名度和影响力都具有重要意义。 冬令营的营员由全国数学联赛中获得各省赛区前几名的学生构成，经数学奥林匹克冬令营的严格挑选，最后胜出的佼佼者将成为国家集训队队员，因此他们称得上是国内中学生数学方面的顶尖高手。 辽宁省的数学精英在历届冬令营中均取得了优异的成绩，至今已有5人进入过国家代表队（其中育才学子4人），在国际比赛中，获得四枚国际金牌、1枚国际银牌。近年来，辽宁省的数学学科竞赛

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案

小学四年级数学奥林匹克竞赛试题及答案 (每题8分；总共120分) 一、选择.（将正确的答案填在相应的括号内） 1.找规律填数:（在横线上写出你发现的规律） 21 26 19 24 ( ) ( ) 15 20 . (1)15,34 (2)17,18 (3)17,22 (4)23,25 2.甲乙两个数的和是218,如果再加上丙数,这时三个数的平均数比甲乙两数的平均数多 5,丙数是( ). (1)124 (2) 122 (3)140 (4)127 3.设X和Y是选自前500个自然数中的两个不同的数,那么(X+Y)÷(X-Y)的最大值 是( ). (1)1000 (2) 990 (3)999 (4)998 4.选择: 8746×7576 的积的末四位数字是 ( ). (1) 6797 (2) 9696 (3) 7669 (4) 6769 5. 现有1分,2分和5分的硬币各四枚,用其中的一些硬币支付2角3分钱,一共有多少 种不同的支付方法？ (1)4 (2) 5 (3)10 (4)8 6.右图中,所有正方形的个数是( )个. (1)10 (2)8 (3)11 (4)9 7.用0--4五个数字组成的最大的五位数与最小的五位数相差( ). (1)30870 (2)32900 (3)32976 (4)10000 8.用0、5、8、7这四个数字；可以组成（）个不同的四位数？ (1)10 (2)18 (3)11 (4)9

9. 学校进行乒乓球选拔赛；每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场；一共进 行了21场比赛；有多少人参加了选拔赛？ (1)7 (2)8 (3)11 (4)9 10 一个长方形的纸对折成三等份后变成了一个正方形；正方形的周长是40厘米；那么 原来长方形的周长是多少？ (1)70 (2)80 (3)100 (4)96 11.小明每分钟走50米,小红每分钟走60 米,两人从相距660米的两村同时沿一条公路 相对出发,8分钟后两人相距( )米. (1)75 (2)200 (3)220 (4)90 12甲、乙、丙、丁四位同学的运动衫上印有不同的号码. 赵说：“甲是2号；乙是3号.” 钱说：“丙是4号；乙是2号.” 孙说：“丁是2号；丙是3号.” 李说：“丁是4号；甲是1号.” 又知道赵、钱、孙、李每人都说对了一半；那么丙的号码是几？ (1)4 (2)2 (3)3 (4)1 13有一根木材长4米,要把它锯成8段,每锯一段要用3分钟.共锯了( )分钟. (1)21 (2)24 (3)19 (4)20 14有一个两位数,这个两位数十位上的数字是个位上的数字的4倍,如果把它减去5,十位数字就与个数字相同,那么这个两位数减去10后是( ). (1)73 (2)82 (3)83 (4)72 15. 公园要建一个正方形花坛,并在花坛四周铺上2米宽的草坪,草坪的面积是96平方米,花坛和草坪的面积总和是( )平方米. (1)204 (2)190 (3)196(4)100

中国数学奥林匹克竞赛试题【CMO】[1987-2003]

CMO 中国数学奥林匹克竞赛试题 1987第二届年中国数学奥林匹克 1.设n为自然数，求方程z n+1-z n-1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整 除。 2.把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分，过各分点平行于其它两边的直线，将 这三角形分成小三角形，和小三角形的顶点都称为结点，在第一结点上放置了一个实数。已知 i.A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。 ii.在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中，两组相对顶点上放置的数之和相等。 试求 3.放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。 4.所有结点上数的总和S。 3.某次体育比赛，每两名选手都进行一场比赛，每场比赛一定决出胜负，通过比赛确 定优秀选手，选手A被确定为优秀选手的条件是：对任何其它选手B，或者A胜B，或者存在选手C，C胜B，A胜C。 结果按上述规则确定的优秀选手只有一名，求证这名选手胜所有其它选手。 4.在一个面积为1的正三角形内部，任意放五个点，试证：在此正三角形内，一定可 以作三个正三角形盖住这五个点，这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边，并且它们的面积之和不超过0.64。 5.设A1A2A3A4是一个四面体，S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球，它们 两两相切。如果存在一点O，以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切，还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切，求证这个四面体是正四面体。 6.m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的m 与n，问3m+4的最大值是多少？请证明你的结论。

小学数学奥林匹克竞赛试题 及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案 （四年级） (红色为正确答案) 1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数: △+△+△=36 □×△=240 ○÷□=6 ○=( ) A 120 B 100 C 130 D 124 2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个. A 5 B 6 C 7 D 4 3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场. A 97 B98 C 99 D 50 4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵. A 10 B 8 C 9 D 7 5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。 A 24 B 20 C 12 D 16 6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次. A 5 B 6 C 3 D 4 7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。 A 0 B 1 C 2 D 3 8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。 A 2 B 3 C 4 D 5 9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两 数之差(大减小),然后算出这三个数之和,那么这个 差数之和的最小值是( ). 13 32 41 13