搜档网
当前位置:搜档网 › 幂函数图象及其性质

幂函数图象及其性质

幂函数图象及其性质
幂函数图象及其性质

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质.doc

指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质 (一)指数与指数函数 1 .根式 ( 1 )根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果 x n a , 那么 x 叫做 a 的 n 次方根 n 1且 n N 当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数 , 负数的 n 次 n a 零的 n 次方根是零 方根是一个负数 当 n 为偶数时 , 正数的 n 次方根有两个 , 它们互为相反 n a ( a 0) 负数没有偶次方根 数 ( 2 ).两个重要公式 a n 为奇数 ① n a n a( a 0) ; | a | 0) n 为偶数 a(a ② (n a ) n a (注意 a 必须使 n a 有意义)。 2 .有理数指数幂 ( 1 )幂的有关概念 m n a m (a ①正数的正分数指数幂 : a n 0, m 、 n N ,且 n 1) ; m 1 1 ②正数的负分数指数幂 : a n 0, m 、 n N , 且 n 1) m (a a n n a m ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 . 注: 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 ( 2 )有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、 s ∈ Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、 s ∈ Q); ③(ab) r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);.

3.指数函数的图象与性质 y=a x a>100 时, y>1; (2) 当 x>0 时, 01 (3) 在( - ,+ )上是增函(3)在( - ,+ )上是减函数 数 注:如图所示,是指数函数( 1 ) y=a x, ( 2) y=b x,( 3 ) ,y=c x( 4 ),y=d x的图象,如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即 c1 >d 1 >1>a 1 >b 1 , ∴ c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1 )对数的定义 如果 a x N (a 0且 a 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底,N的对数,记作 x log a N,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数。 (2 )几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数底数为 a a 0,且a 1 log a N 常用对数底数为 10 lg N 自然对数底数为 e ln N

幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质 Prepared on 22 November 2020

【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 (1)计算:25 .021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()94 5()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -(2).)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数

注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立; 3、幂函数的性质 例3.比较大小:

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r as =a r+s (a>0,r 、s∈Q); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r bs (a>0,b>0,r ∈Q );. 3.指数函数的图象与性质 y =a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,0d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

3. 指对幂函数图像及其性质(文-中档)

指对幂函数图像及其性质 1. 已知函数()() 123,2,log 1,2,x e x f x x x -?)的图象如图所示,则函数()()log a g x x b =-的图象大致是( ). A . B . C . D . 5. e 是自然对数的底数,若() 1,1x e -∈,ln a x =,12x b ??= ???,x c e =,则( ) A .b c a >> B .a b c >> C .c b a >> D .c a b >> 6. 已知()f x 是周期为2的奇函数,当01x <<时,12 ()log f x x =,设6()5a f =,3()2b f =,5()2c f =,则,,a b c 的大小关系为( ). A. a b c << B. c b a << C. c a b << D. b a c << 7. 设,x y 为负实数且23x y =,则下列说法正确的是( ) A .32y x = B .32y x < C .23x y < D .以上都不对 8. 设a ,b ,c 均为正数,且12 2log a a =,121()log 2b b =,21()log 2c c =,则a ,b ,c 的大小关系为( ). A. c a b << B. c b a << C. a b c << D. b a c << 9. 若23a b ==6,则4a -=___;11a b +=___ 10. 设37,52a ??∈-??? ?,则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有α值为__________.

最新幂函数的性质、常考题型及对应练习

幂函数 分数指数幂 正分数指数幂的意义是:m n m n a a =(0a >,m 、n N ∈,且1n >) 负分数指数幂的意义是:m n n m a a - = (0a >,m 、n N ∈,且1n >) 一、幂函数的定义 一般地,形如 y x α =(x ∈R )的函数称为幂孙函数,其中x 是自变量,α是常数.如 112 3 4 ,,y x y x y x -===等都是幂函数,幂函数与指数函数,对数函数一样,都是基本初等函数. 二、幂函数的图像 幂函数n y x =随着n 的不同,定义域、值域都会发生变化,可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握n y x =,当11 2,1,,,323 n =±±± 的图像和性质,列表如下. 从中可以归纳出以下结论: ① 它们都过点()1,1,除原点外,任何幂函数图像与坐标轴都不相交,任何幂函数图像都不过第四象限. ② 11 ,,1,2,332a =时,幂函数图像过原点且在[)0,+∞上是增函数. ③ 1 ,1,22 a =---时,幂函数图像不过原点且在()0,+∞上是减函数. ④ 任何两个幂函数最多有三个公共点.

三、幂函数基本性质 (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)α>0时,幂函数的图象都通过原点,并且在[0,+∞]上,是增函数 (3)α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上是减函数. 规律总结 1.在研究幂函数的性质时,通常将分式指数幂化为根式形式,负整指数幂化为分式形式再去进行讨论; 2.对于幂函数y =αx ,我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性,由此确定图象的位置,即所在象限,其次确定曲线的类型,即α<0,0<α<1和α>1三种情况下曲线的基本形状,还要注意α=0,±1三个曲线的形状;对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆:“正抛负双,大竖小横”,即α>0(α≠1)时图象是抛物线型;α<0时图象是双曲线型;α>1时图象是竖直抛物线型;0<α<1时图象是横卧抛物线型. 四、幂函数的应用 题型一.幂函数的判断 例1.在函数22031 ,3,,y y x y x x y x x ===-=中,幂函数的个数为 ( ) A .0 B .1 C .2 D .3 练1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )

幂函数的图像与性质

【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 1 0,,1)m n m n a a m n N n a -*==>∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );. 例2 (1)计算:25 .021 21325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233232332 3134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ???-÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(653 12121 132b a b a b a ????--(2).)4()3(6521332121231----?÷-??b a b a b a (3) 1 00.256371.5()86-?-+

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

幂函数的图像与性质

幂函数的图像与性质

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

3、幂函数的性质 y=x y=x 2 y=x 3 12 y x = y=x -1 定义域 R R R [0,+∞) {}|0x x R x ∈≠且 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {}|0y y R y ∈≠且 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0,+∞)时,增; x ∈(,0]-∞时,减 增 增 x ∈(0,+∞)时,减; x ∈(-∞,0)时,减 定点 (1,1) 例3.比较大小: (1)112 2 1.5,1.7 (2)33( 1.2),( 1.25)--(3)112 5.25,5.26,5.26---(4)30.530.5,3,log 0.5 4.幂函数的性质及其应用 幂函数y =x α有下列性质: (1) 单调性:当α>0时,函数在(0,+∞)上单调递增; 当α<0时,函数在(0,+∞)上单调递减. (2)奇偶性:幂函数中既有奇函数,又有偶函数,也有非奇非偶函数,可以用函数奇偶性的定义进行判断. 例4.已知幂函数2 23 m m y x --=(m Z ∈)的图象与x 轴、y 轴都无交点,且关于 原点对称,求m 的值.

幂函数的性质与图像教案

【课题】 幂函数的性质与图像 【执教者】:关雅南(上海师范大学附属外国语中学) 【教学目标】:知识和技能:理解幂函数的概念,掌握幂函数的性质与图像并能 简单应用。 过程和方法:通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力,体会 从特殊到一般的研究问题的数学方法和数形结合 的数学思想。 情感、态度和价值观:培养学生积极探究、合作交流的学习品质,激发学 生的学习兴趣和探究热情。 【教学重点】:幂函数的性质与图像 【教学难点】:幂函数性质与图像特征的归纳 【教学过程】: 一. 创设情境,引入新知 回顾初中阶段所学的正比例函数如y=x,反比例函数如y=x 1即y=1-x ,二次函数如y=2x ,另外正方体的体积y 关于边长x 的函数解析式为y=3x ,正方形的边长y 关于面积x 的函数关系式为y=x 即y=21x ,分析这些函数有什么共同特征? 解析式右边为幂的形式,底数为自变量,系数为1. 这些函数可统一写成y=k x 的形式,引出幂函数的定义。 二. 幂函数定义 一般地,函数y=k x (k 为常数,k ∈Q )叫做幂函数(power function ) 概念巩固:判断下列函数是否为幂函数? (1) y=x 3.0 (2)y=21 _x (3)y=3x +x (4) y=23x 三. 研究特殊的幂函数的性质与图像的方法 例题:研究函数y=21 _x 的定义域、奇偶性和单调性,并且作出它的图像。

(师生共同探究此幂函数性质,课件演示利用描点法作出的函数图像,并 观察此幂函数性质在图像上的体现)。 自主探究: 研究函数y=32x 的定义域、奇偶性、单调性和最大值或最小值。 (在课堂练习单上独立完成,投影演示,师生共同评价) 四. 合作探究一般的幂函数性质与图像特征 1.教师演示:在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21_x 、 y=2 x 和y=31_x 的图像,认真观察图像,体会其中蕴含的函数性质。 2.小组讨论: 归纳幂函数(k 0)的性质和图像特征 (1) 在第一象限单调性如何? (2) 有无公共点? (3) 图像与坐标轴的位置关系? (4) 图像的象限分布有何特点?特点由什么确定? 3.类比探究:在同一直角坐标系分别演示幂函数y=21x 、 y=32x 和y=31x 的图 像,幂函数y=23x 、 y=2x 和y=3x 的图像,类比探究当0 k 1 和k 1时幂函数性质 五. 课堂巩固、简单应用 练习:比较下列两组数的大小 ①253_________251.3 ② (-0.96) 31__________ (-0.95)31_ 六. 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些?你有哪些收获? 七. 布置作业:课本81页:习题4.1 写一篇题为《幂函数研究方法初探》的数学小论文

指数函数、对数函数、幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ① ? ? ? ? ? ? ? ? < - ≥ = = )0 ( )0 ( | | a a a a a a a n n; ②a a n n= ) ((注意a必须使n a有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1) m n m n a a a m n N n * =>∈> 、且; ②正数的负分数指数幂: 1 0,,1) m n m n m n a a m n N n a a - * ==>∈> 、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s=a r+s(a>0,r、s∈Q); ②(a r)s=a rs(a>0,r、s∈Q); ③(ab)r=a r b s(a>0,b>0,r∈Q);. 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,01 (3)在(-∞,+∞)上是增函数(3)在(-∞,+∞)上是减函数 注:如图所示,是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数。 (2)几种常见对数 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

幂函数的图象及性质

课件6幕函数图象及性质 课件编号:AB I -2-3-1. 课件名称:幕函数图象及性质? 课件运行环境:几何画板4.0以上版本. 课件主要功能:配合教科书“ 2.3幕函数”的教学.利用几何画板绘制函数图象的功能,绘制出幕函数的图象,再利用幕函数的图象研究函数的性质. 课件制作过程: (1)新建画板窗口.单击【Graph](图表)菜单中的【Define Coordinate System!(建立直角坐标系),建立直角坐标系.选中原点,按Ctrl + K,给原点加注标签A,并用【文本]工具把标签改为O. (2)单击【Graph]菜单的【Plot New Function](绘制函数图象),弹出“New Function”函数式编辑器,编辑函数f (x)= x,单击【OK]后画出函数f (x) 1 , , _ 2 3 —_ 1 =x的图象.同法编辑函数g (x)= x,h (x)= x,q(x)=x2和函数r(x)二一的 x 图象.选中函数图象,单击【Display](显示)菜单中的【Line Width](线型)中的【Thick](粗线).把上述图象设置成粗线,单击【Display](显示)菜单中的【Color](颜色)的选择各种不同的颜色给每一个函数图象着色,如图1. 图1 (3)再选中直线f (x) = x,单击【Edit](编辑)菜单,选择【Action

Buttons] (操作类按钮),单击【Hide/Show](隐藏/显示),此时屏幕上出现【Hide Function Plot](隐藏对象)按钮,选择【文本工具】,双击【Hide Function Plot】按钮, 出现对话框,将其中的【Label](标签)改为“ f (x)= x”,再单击【确定】?此时,单击“f (x)二x”按钮就会隐藏或显示直线f (x)二x ?用同样的方法制作 1 【Hide Function Plot】按钮g (x)= x2,h(x)=x3,q(x)=x2和r(x)二-,如图 x 2. (4)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框,将【Page Namd (页面名称)改为“画图象”,单击【0K】. (5)单击【File】(文件)菜单的【Document Options】(文档选项)对话框, 单击【Add Page](增加页),单击【Blank Pagd (空白页),将页面名称改为“ g 2” (X)= x ? (6)单击【Graph】菜单的【Plot New Function】(绘制函数图象),弹出 “New Function”函数式编辑器,在对话框内依次单击x,A,2,单击【OK】后画出函

幂函数的图像与性质

【知识结构】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂 :0,,1)m n a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂 : 10,,1)m n m n a a m n N n a -*= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q);②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q);. 例2 (1)计算:25 .021 21 3 2 5 .032 0625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(÷?÷+---; (2)化简:533233 23 23 3 23 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 变式:(2007执信A )化简下列各式(其中各字母均为正数): (1) ;)(6 5 3 121211 3 2 b a b a b a ????- -(2).)4()3(6 521 3 32121231----?÷-??b a b a b a (3) 100.2563 71.5()86-?-+-

(三)幂函数 1、幂函数的定义 形如y=x α(a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例1.下列函数中不是幂函数的是( ) A .y x = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数; (3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 变式 已知幂函数2 223(1)m m y m m x --=--,当(0)x ∈+,∞时为减函数,则幂函数 y =_______. 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升; α<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

幂函数图象及其性质

幂函数的图像与性质 1、幂函数的定义 形如y=x α (a ∈R )的函数称为幂函数,其中x 是自变量,α为常数 注:幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置。 例题、(1). 下列函数中不是幂函数的是( ) A .y = B .3y x = C .2y x = D .1 y x -= 答案:C 例2.已知函数()()2531m f x m m x --=--,当 m 为何值时,()f x : (1)是幂函数;(2)是幂函数,且是()0,+∞上的增函数;(3)是正比例函数;(4)是反比例函数;(5)是二次函数; 简解:(1)2m =或1m =-(2)1m =-(3)45m =-(4)2 5 m =-(5)1m =- 变式训练:已知函数()() 22 23 m m f x m m x --=+,当 m 为何值时,()f x 在第一象限内它的 图像是上升曲线。 简解:220230 m m m m ?+>? ?-->??解得:()(),13,m ∈-∞-+∞ 小结与拓展:要牢记幂函数的定义,列出等式或不等式求解。 2.幂函数的图像 幂函数y =x α的图象由于α的值不同而不同. α的正负:α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;α<0,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立;

注:在上图第一象限中如何确定y=x 3 ,y=x 2 ,y=x ,12 y x =,y=x -1方法:可画出x=x 0; 当x 0>1时,按交点的高低,从高到低依次为y=x 3,y=x 2, y=x ,12 y x =, y=x -1; 当0

指数函数对数函数幂函数的图像和性质知识点总结

(一)指数与指数函数 1.根式 (1)根式的概念 (2).两个重要公式 ①?? ??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ; ②a a n n =)((注意a 必须使n a 有意义)。 2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正数的正分数指数幂:0,,1)m n m n a a a m n N n *=>∈>、且; ②正数的负分数指数幂: 10,,1)m n m n m n a a m n N n a a - *= = >∈>、且 ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义、 注:分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算。 (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q ); ②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q ); ③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );、 3.指数函数的图象与性质 y=a x a>1 0

图象 定义域R 值域(0,+∞) 性质(1)过定点(0,1) (2)当x>0时,y>1; x<0时,00时,01 (3)在(-∞,+∞)上就是增函数(3)在(-∞,+∞)上就是减函数 注:如图所示,就是指数函数(1)y=a x,(2)y=b x,(3),y=c x(4),y=d x的图象,如何确定底数a,b,c,d 与1之间的大小关系? 提示:在图中作直线x=1,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还就是右侧,底数按逆时针方向变大。 (二)对数与对数函数 1、对数的概念 (1)对数的定义 如果(01) x a N a a =>≠ 且,那么数x叫做以a为底,N的对数,记作log N a x=,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。 (2) 对数形式特点记法 一般对数 底数为a0,1 a a >≠ 且log N a 常用对数底数为10 lg N 自然对数底数为e ln N 2 (1)对数的性质(0,1 a a >≠ 且):①1 log0 a =,②log1 a a =,③log N a a N =,④log N a a N =。(2)对数的重要公式:

幂函数的图像及性质

讲义 教材与考点分析: 本节课学习的内容是了解幂函数的图像及性质,如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。因此我们只要接受它作为一个已知事实即可。 幂函数 一般地,形如y=x a x(a为实数)的函数叫幂函数对于a的取值为非零有理数,有必要分成几种情况来讨论各自的特性: 首先我们知道如果a=p/q,q和p都是整数,则x^(p/q)=q次根号(x的p 次方),如果q是奇数,函数的定义域是R,如果q是偶数,函数的定义域是[0,+∞)。当指数n是负整数时,设a=-k,则x=1/(x^k),显然x≠0,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点,一是有可能作为分母而不能是0,一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数,那么我们就可以知道: 排除了为0与负数两种可能,即对于x>0,则a可以是任意实数; 排除了为0这种可能,即对于x<0和x>0的所有实数,q不能是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于x为大于且等于0的所有实数,a就不能是负数。 总结起来,就可以得到当a为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果a为任意实数,则函数的定义域为大于0的所有实数; 如果a为负数,则x肯定不能为0,不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定,即如果同时q为偶数,则x不能小于0,这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数,则函数的定义域为不等于0 的所有实数。 在x大于0时,函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时,则只有同时q为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数,0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况. 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当a大于0时,幂函数为单调递增的,而a小于0时,幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时,幂函数图形下凹;当a小于1大于0时,幂函数图形上凸。(4)当a小于0时,a越小,图形倾斜程度越大。 (5)a大于0,函数过(0,0);a小于0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。 练习:

幂函数的图像与性质之欧阳光明创编

2.3幂函数 欧阳光明(2021.03.07) 学习目标 1. 通过具体实例了解幂函数的图象和性质; 2. 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用. 学习重点 幂函数的图像与性质 学习难点 幂函数性质的应用 学习过程 问题:分析以下五个函数,它们有什么共同特征? (1)边长为a 的正方形面积2 S a =,S 是a 的函数; (2)面积为S 的正方形边长12 a S =,a 是S 的函数; (3)边长为a 的立方体体积3 V a =,V 是a 的函数; (4)某人ts 内骑车行进了1km ,则他骑车的平均速度1 /v t km s -=,这里v 是t 的函数; (5)购买每本1元的练习本w 本,则需支付p w =元,这里p 是w 的函数. 1.幂函数的概念:一般地,形如 y x α =()a R ∈的函数称为幂函数,其中α为常数. 判断下列函数哪些是幂函数. ① 1 y x = ;②22y x =;③3 y x x =-;④1y =. 2.幂函数的图象与性质 作出下列函数的图象:(1)y x =;(2)12 y x =;(3)2 y x =;(4)1y x -=;(5)3y x =. 从图象分析出幂函数所具有的性质. x y = 2x y = 3x y = 2 1x y = 1-=x y 定义域 值域 奇偶性 单调性 定点 1. 2.幂函数图象变化规律:.

练习:下列关于幂函数的命题中不正确的是( ) A 幂函数的图象都经过点(1,1) B 幂函数的图象不可能在第四象限内 C 当n x y =的图象经过原点时,一定有n>0 D 若n x y =是奇函数,则n x y =在其定义域内一定是减函数 例1讨论()f x x =在[0,)+∞的单调性. 解析:证明函数的单调性一般用定义法。 证明:任取),0[,21+∞∈x x ,且21x x <,则 2 1212 121212121) )(()()(x x x x x x x x x x x x x f x f +-= ++-= -=-, 因为21x x <,021>+x x ,所以 02 121<+-x x x x , 所以)()(21x f x f <,即()f x x =在[0,)+∞为增函数。 点评:证明函数的单调性要严格按照步骤和格式写。 例2利用单调性比较大小: (1)215与3 15 ; (2)223 (2) a -+与23 2- ; (3)1.19.0与8.02.1. 关于指数式值的比较,主要有:①同底异指,用指数函数单调性比较; ②异底同指,用幂函数单调性比 较; ③异底异指,构造中间量(同底或 同指)进行比较。 例3:求下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性。 (1)2 3 -=x y (2)3 2- =x y [达标训练]

幂函数的性质和图像

幂函数的性质和图像

幂函数的性质和图像 南汇一中胡小军 一.教材分析 本节课是高中一年级第一学期第四章第一节“幂函数图像与性质” 的第一节课,教材是在介绍了函数的基本概念和基本性质后,来通过对 幂函数的研究,使学生掌握研究具体函数性质的方法,从而培养学生以 理论知识解决具体问题的能力,为以后学习指数函数和对数函数作准 备。 二.教学方法和教材处理 <一>教学方法 1.坚持上海二期课改“以学生为主体”这一理念,让学生充分参与到课堂 教学中来,通过教师不断地激励诱发学生求知欲,鼓励他们对新知的探 究; 2.在教学过程中,坚持不懈地启发和鼓励学生用类比、数形结合等教学思 想和方法,让学生在探究中接受新知识,拓展学生思维空间,提高学生 的能力; 3.面对新教材,新内容,要有与之适应的教学方法和教学手段,因此必须 要优化课堂教学的效益,通过多媒体教学的手段,使内容显示直观并且 有动态的效果,从而提高教学质量。 <二>教学目标 1.知识目标 (1).函数的概念,定义域的求法; (2).学会研究函数性质的方法; (3).能用列表描点法作出简单函数的图像 (4).掌握一些具体的幂函数的性质和图像 2.能力目标 (1). 通过对幂函数性质的讨论,总结,培养学生运用基本理论知识研究 具体问题的能力; (2). 在引导学生实践、分析、总结规律的过程中,培养学生多思考的习 惯,激发他们对教学的兴趣. 〈三〉教学的重点与难点 重点:幂函数的概念、定义域的求法、一些具体幂函数的性质和图像; 难点:幂函数性质的总结. 三.教学过程 1. 引例:已知一矩形的面积为1m2,那么矩形的长y m和宽x m之间具有 什么关系? 通过实际问题的引入,引起学生的兴趣,从而进入我们今天的课 2. 给出幂函数的定义(由y = x-1 、y = x 、y=x2归纳得出); 3. 回顾y=x-1的基本性质:即该函数的定义域,值域,奇偶性和单调性 通过对该函数的性质的复习,能使学生知道研究一个具体的函数,可 以以其定义域,值域,奇偶性,单调性和图像入手;

幂函数的图象及性质

幂函数图象有规律 本文作者:王佩其 江苏 幂函数()n y x n Q = 的图象看似复杂,其实很有规律。假如我们能抓住这些规律,那么幂函数图象问题就可迎刃而解。那么幂函数图象有哪些规律呢? 1.第一象限内图象类型之规律(如图1):1.n >1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,下凸递增。2.n =1时,过(0,0)、(1,1)的射线。 3.0<n <1时,过(0,0)、(1,1)抛物线型,上凸递增。4.n =O 时,变形为y =1(x ≠0),平行于x 轴的射线。 5.n <0时过(1,1),双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。 2.第一象限内图象走向之规律(如图1): x ≥1部分 各种幂函数图象,指数大的在指数小的上方;O <x <1部分 图象反之,此二部分图象在(1,1)点穿越直线y =x 连成 一体。 3.各个象限内图象分布之规律:设p n q = ,,p q 互质, ,p Z q N 挝。 1.任何幂函数在第一象限必有图象,第四象限必无图象。 2.n =奇数/偶数时,函数非奇非偶,图象只在第一象限 (如图1)。 3.n =偶数/奇数时,函数是偶函数、图象在第一、二象 限并关于y 轴对称(如图2)。 4.n =奇数/奇数时,函数是奇函数,图象在第一、三象限 并关于原点对称(如图3)。 利用规律,解题有方。请看以下例题: 例1 分别画出(1)2527y x -= , (2)829y x =, (3)5y x = , (4)18y x =的大致图象。

解析: (1)25 n=-=奇数/奇数<0,故双曲线型在第一、三象限,关于原点对称,如图27 3中的①。 (2)82 n==偶数/奇数>1,故抛物线型,在第一、二象限,关于y轴对称,如图2 9 中的④。 (3)5 n===奇数/偶数>1,故抛物线型,在第一、三象限,关于原点对称,5 1 如图3中的④。 (4)1 n==奇数/偶数,0<n<1,故抛物线型,仅在第一象限,如图2中在第一8 象限中的③。 例2 请把相应的幂函数图象代号填入表格。 (1);(2);(3);(4);(5); (6);(7);(8);(9)。 解析:利用上述规律,可很快地得出答案:E,C,A,G,B,I,D,H,F。

五大基本初等函数性质及其图像

五、基本初等函数及其性质和图形 1.幂函数 函数称为幂函数。如,, ,都是幂函数。没有统一的定义域,定义域由值确定。如 ,。但在内 总是有定义的,且都经过(1,1)点。当时,函数在上是单调增加的,当时,函数在内是单调减少的。下面给出几个常用的幂函数: 的图形,如图1-1-2、图1-1-3。 图1-1-2

图1-1-3 2.指数函数 函数称为指数函数,定义域 ,值域;当时函数为单调增加的;当时为单调减少的,曲线过点。高等数学中常用的指数函数是时,即。以与为例绘出图形,如图1-1-4。 图1-1-4 3.对数函数

函数称为对数函数,其定义域 ,值域。当时单调增加,当时单调减少,曲线过(1,0)点,都在右半平面内。与互为反函数。当时的对数函数称为自然对数,当时,称为常用 对数。以为例绘出图形,如图1-1-5。 图1-1-5 4.三角函数有 ,它们都是周期函数。对三角函数作简要的叙述: (1)正弦函数与余弦函数:与定义域都是,值域都是。它们都是有界函数,周期都是,为奇函数,为偶函数。图形为图1-1-6、图1-1-7。

图1-1-6 正弦函数图形 图1-1-7 余弦函数图形 (2)正切函数,定义域,值 域为。周期,在其定义域内单调增加的奇函数,图形为图1-1-8 图1-1-8 (3)余切函数,定义域,值域为 ,周期。在定义域内是单调减少的奇函数,图形如图1-1-9。

图1-1-9 (4)正割函数,定义域,值域为,为无界函数,周期的偶函数,图形如图1-1-10。 图1-1-10 (5)余割函数,定义域,值域为,为无界函数,周期在定义域为奇函数,图形如图1-1-11。

相关主题